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コラッツ予想がとけたらいいな その2
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0100前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/25(金) 00:00:11.96ID:cjcsGDRA
出力結果が正しいことの説明もしたいところですが、その前に別の話を。

まず一応誤解のないように言っておきますが、
この結果から即座に「コラッツ予想の 19n+1 版は成り立たない」とは結論づけられません。

ここで「コラッツ予想の 19n+1 版」とはそもそもなんなのかを考えなければなりませんが、
ここでは
「木を同様に定義したとき、自然数全体の集合が一つの木となる」
というものだとします。
(先行研究は特に知りません。情報があれば教えてください。)


今回の結果の意義について述べるために、改めてコラッツ操作についてまとめます。
一般化して、奇数 k を固定して「奇数は k 倍して 1 を加える」というルールだとします。

操作1:奇数に k をかけて 1 を加える。
操作2:偶数を 2 で割る。
操作3:mod k で 1 であるような偶数から 1 を引いて k で割る。
操作4:数に 2 をかける。

操作1,2 を「コラッツ操作」、操作3,4 を「コラッツ逆操作」と呼ぶことにします。

どんな数から始めても、操作1〜4の繰り返しで目的の数にたどり着けるか、というのが(一般化された)コラッツ予想。
この「目的の数」を mod n で考えたものが私の予想です。
0101前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/25(金) 00:01:05.77ID:cjcsGDRA
で、お気づきかもしれませんが、現在のアルゴリズムはコラッツ逆操作しか考えていません。
これが「コラッツ予想の 19n+1 版は成り立たない」とは結論づけらない理由です。
(コラッツ逆操作しか考えていない理由は、これだけでもさしあたってうまくいっていたことと、コラッツ操作まで考えると一気に複雑さが増すことということです)
(逆操作だけというのはかなり制限しているように見えますが、実はそれほどでもありません。また今度話します。)

今回の結果についてですが、
まず出力結果にある C' は「mod 133(=7*19) で 2 のべきである数の集合」になります。(これもまた今度)
このことから今回の結果を次のように述べることができます。

定理
コラッツ予想の 19n+1 版を考える。
このとき、mod 133 で 2 のべきである数からコラッツ逆操作を繰り返しても、
mod 133 で 2 のべきである数以外は得られない。

これはちょっと予想外でした。
3n+1 では今までコラッツ逆操作だけでうまくいってたけど、
そのうちコラッツ操作も考えなきゃいけなくなるかもしれない…
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