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分からない問題はここに書いてね442
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スレ立て乙
[前スレ.991] [前スレ.996] を一般化
nが奇数のとき
f(x) = {x(1-x)}^{(n-1)/2} (2x-1),
∫[0,1] {x(1-x)}^(n-1) (2x-1)^2 dx = 2 n! (n-1)! / (2n+1)!
nが偶数（n≧4) のとき
f(x) = {x(1-x)}^(n/2 -1) (2x-1)^2,
∫[0,1] {x(1-x)}^(n-2) (2x-1)^4 dx = 12 n! (n-2)! / (2n+1)!
n=2 のとき
f(x) = x(1-x),
1/30
最小ぢゃねゑだろうが…
が整数となるような自然数nをすべて決定せよ。
10000まで調べてひとつもない。問題合ってる？
合ってるよ
「すべて求めよ」には「1つもない」も含まれる
なんで答え知っとんのや
スレタイ読める？
np^n=p^(n+1)
のpを満たす自然数を求めよ
p=n
じゃあnしかないことの証明は？
スレタイ読めない文盲はﾀﾋねカス
Knの周及び内部の領域をDnとするとき、C全体をDnに含めることは不可能であることを示せ。
マスターデーモンらしい
何すかソレ？
k:={3^n+2^(n+1)}/{2^n+1}-2=(3^n-2)/(2^n+1)が自然数となる自然数nを求めることが必要十分.
kが自然数と仮定する.
3^n-2=k(2^n+1)…①
①の両辺をmod 2で考えkは奇数2l-1.
①の両辺をmod 3で考えnは偶数2mでありl≡2(mod 3).k=6r-1とかける.
3^{2m}-2=(6r-1)(2^{2m}+1)の両辺をmod 6で考えmは偶数2s.
3^{4s}-2=(6r-1)(2^{4s}+1)の両辺をmod 5で考えr≡2(mod 5).k=30t-19とかける.
3^{4s}-2=(30t-19)(2^{4s}+1)の両辺をmod 10で考え,8≡6^s.
このような非負整数sは存在しない.よって{3^n+2^(n+1)}/{2^n+1}が整数となるnは存在しない.
最大数の集合ってことですか？
https://i.imgur.com/1DL0o0c.jpg
εの値を変化させて、最大数が1 - ε/2の集合と1/2の集合を作りますよ ってことですか？
てっきり集合のことかと勘違いしてました
スレの流れを邪魔してごめんなさい
この定理を利用して証明して欲しいです
(2)の方を証明するために、さっき質問したようにaεを定義して利用しろと言われているんですが、この先が分かりません
https://i.imgur.com/Ktd7e1o.jpg
>基礎論以外の分野では自然数に0は含まれないと思います
ウゾだーー
バカ？
任意のεを選択したとき、1-ε＜aε＜≦1
となることを示しましょう
aεが必ず[0,1)に入ることも示せば、その定理より証明できたことになりますね
>>36
基礎論でも自然数が1以上をさすこともあります
0を含むという定義は小数派ですね
このとき、Cをx軸の周りに一回転させてできる曲面Dの面積も、ある初等関数h(x)を用いてh(a)-h(b)と表せることを示せ。
あってる？
f(x)は初等関数？
失礼しました。合ってるね。mod2、mod3、mod5で考えて必要条件出して、その後mod10で矛盾って何って思ったけど、背理法だからこういう事もあるのね。
どういうことですか？詳しく教えてほしいです
整数係数だと、るじゃんどるみたいにウマい多項式はないのでしょうか
曲面は
y=f(x)cosθ
z=f(x)sinθ
か
等差数列と等比数列の足し算なので
an=(4n-2)+[-4(2)↑n-1]
はダメなのですか？
https://i.imgur.com/Xvj5iB6.jpg
https://i.imgur.com/Xvj5iB6.jpg
問題も見せろや
>0を含むという定義は小数派ですね
基礎論とか整数論はやったこたないが、おらっちはずっと０は自然数だお
特異解のことも答えたほうがいいもの？
義務教育では1以上と習ったはずですが？
入り口ならそもそもないと思いますよ
結局
l(x) = ∫[a,x]√(1+f’(t)^2)dt が初等関数のとき
S(x) = ∫[a,x]πf(t)^2dt も初等関数であるか？
だけどS(x)が初等関数ならf(x)^2=(S’(x)/π)も初等関数になるけど
v(x) = √(1+f’(x)^2)とおいたとき
l(x) = ∫[a,x]v(t)dtは初等関数だけど
f(x)^2 = ∫[a,x]√(v(t)^2-1)dtが楕円積分になる例なんていくらでもありそうな希ガス。
微分方程式の変数分離型の最初の問題からいきなり特異解がひっついてるんだけど。
なんか理由があるんだろうな
さんきゅ
問題しだいだな
x軸に垂直な断面の円周の長さは 2πf(x)
xy-平面内の幅は g '(x) dx = √{1 + f '(x)^2} dx
h(b) - h(a) = ∫[a,b] 2πf(x) g '(x) dx
= 2π{f(b)g(b)-f(a)g(a)} - ∫[a,b] 2πf '(x) g(x) dx
= 2π{f(b)g(b)-f(a)g(a)} - ∫[a,b] 2π√{g '(x)^2 - 1} g(x) dx
う～む
> 等差数列と等比数列の足し算なので
ちがいます、掛け算です。
a_n = {(-1)^(n-1)} * 2n
前スレ>>954さん、>>956さん、情報ありがとうございました
ベルトラン・チェビシェフの定理で証明されているのですね
解答ありがとうございました
この数列がlim[n→∞] a(n)=+∞となるとき、a(j)>a(j-1)なるjを少なくとも何個持つといえるか。
＞ = 2π{f(b)g(b)-f(a)g(a)} - ∫[a,b] 2π√{g '(x)^2 - 1} g(x) dx
の最後の積分のみならず、前の方のf(x)すら初等的という仮定が使えない。
使えるのは “g(x)が初等関数” のみ。
到底できる気がしないんだけど。
mod 5でうまくいくようにしたのにmod 5で矛盾するっておかしいと思ったら
r≡2(mod 5)じゃなくてr≡3(mod 5)じゃないか
https://i.imgur.com/x1NFUTY.jpg
nまたはnの式で割って無理やりk/nを作ればいい
8,9,7,9,3,2,3,8,4,6,…
ある規則で並んでるんだけどね
> じゃ、次の数列の漸化式教えて、
> 8,9,7,9,3,2,3,8,4,6,…
> ある規則で並んでるんだけどね
教えて か～ら～の～ ある規則で並んでるんだけどねwww
a_n = [10^n･π] - 10･[10^(n-1)･π] （小数点下n桁目)
3,1,4,1,5,9,2,6,5,3,5,8,9,7,9,3,2,3,8,4,6,2,6,4,3,3,8,3,2,7,9,5
√(nn+k) -n - k/(2k+1)
= k/{√(nn+k) +n} - k/(2n+1)
= k{(n+1) - √(nn+k)} / ( {√(nn+k) +n} (2n+1) )
= k(2n+1-k) / ( {(n+1)+√(nn+k)} {√(nn+k) +n} (2n+1) )
ここで 2n(2n+1)^2 < (分母) < (2n+2)(2n+1)^2
分子だけたすと Σ[k=0,2n] k(2n+1-k) = 2n(2n+1)(2n+2) /6
lim[n→∞] (与式) = 1/6,
Σ少数第k位/2＾k を求めよ
教授が存在しないって言ってたんですけどだれかご教授下さい
別々に計算すると
Σ[k=0，2n] {k/(2n+1) + n} = n + (2n+1)n = 2n(n+1),
Σ[k=0，2n] √(nn+k)
= {n/2 + Σ[k=1，2n] √(nn+k) + (n+1)/2} - 1/2 …… 割線
< ∫[nn，(n+1)^2] √x dx - 1/2
= 2n(n+1) + 1/6,
から
(与式) < 1/6,
Σ[k=0，2n] √(nn+k) …… 接線
> ∫[nn-1/2，(n+1)^2 -1/2] √x dx
= ∫[nn，(n+1)^2] √x dx - ∫[(n+1)^2 -1/2，(n+1)^2] √x dx + ∫[nn-1/2，nn] √x dx
> 2n(n+1) + 2/3 - {n+1 - √(nn-1/2)}/2
= 2n(n+1) + 1/6 - {n - √(nn-1/2)}/2
= 2n(n+1) + 1/6 - 1/[4{n + √(nn-1/2)}]
から
(与式) > 1/6 - 1/[4{n + √(nn-1/2)}] → 1/6 (n→∞)
∫[nn，(n+1)^2] √x dx = [ (2/3) x^(3/2) ]_{x：nn→(n+1)^2}
= (2/3) {(n+1)^3 - n^3}
= (2/3) (3nn +3n +1)
= 2n(n+1) + 2/3,
を使った。
√2 を循環小数で表わすのは無理っすぅ
（問）
0<a<1として、a1=a, an+1 = 4an*(1-an) として漸化式で数列anを定義する。
lim[n->∞]an = 0 のとき、aN=0 となる自然数Nが存在することを示せ。
定義より
a[n]<1/2 ⇒ a[n+1] = 4a[n](1-a[n]) ≧ 2a[n]
である。lim a[n]=0からn≧N ⇒ a[n]＜1/2となるNがとれるが、このときn≧Nに対して
1/2 > a[n] ≧ 2^(n-N)a[N]
により
0≦a[N]＜2^(N-n)(1/2)
を得る。n→∞とすればa[N]=0。
y=4x(1-x) と y=x の グラフを 0≦x≦1 の範囲で描いて、
初期値aによって、a[n]の値がどのような“動き”をするか調べてみるとよい。
多くの場合は、大きくなったり、小さくなったりと、複雑な動きをすることが判ると思う。
しかし、特徴的な動きもみられる。
あるところでa[k]が3/4近辺の値をとると、次の値も、3/4近辺になる。当然、その次も3/4近辺だ。
3/4を含むある範囲では、常にこのループに陥り、a[k]=0となる様なことはない。
つまり、あるkで、a[k]の値が、この範囲に入るような値を取ると、lim[n->∞]a[n] = 0 となる様なことはない。
また、あるところでa[k]が、1/2 という値を取ると、a[k+1]=1、a[k+2]=0、となり、n≧k+2では常にa[n]=0となる
a[k]が1/2という値を取るためには、a[k-1]が 1/2=4x(1-x) の解 つまり、(2±√2)/4 という値を取っていた場合である。
さらに、(2±√2)/4=4x(1-x) の解を取っていると、．．．． というように、ある特別な値を取っていた時に限り、
あるところでa[k]=0となり、それ以後、常に0となる。
それ以外の値の場合は、大きくなったり、小さくなったり、あるいは、3/4近辺でぐるぐる回っていたりするだけで、
lim[n->∞]a[n] = 0 等という事は起こらない。このようなことを説明すればよい。
多くの場合、
lim[n->∞]a[n] = 0
というのを見ると、a[n]≠0 だけど、 nが大きくなるにつれて、|a[n]|が
どんどん小さくなるような場合を思い浮かべると思うけど、
この問題の場合の lim[n->∞]a[n] = 0 は、そのようなケースではなく、
あるところで、a[k]が0になり、その後は、定義から常に0という場合に限られる。
何故なら、あるところで、a[k]=ε、(ただし、εは非常に小さい値で、正)、を取ったとすると、
a[k+1]=4ε(1-ε)≒4ε=4a[k] となり、前項より大きくなる。
このような性質を持っていては、
“a[n]≠0 だけど、 nが大きくなるにつれて、|a[n]|がどんどん小さくなるような場合”
の、lim[n->∞]a[n] = 0 は起こらない。実際、図を描いても確かめられる。
従って、lim[n->∞]a[n] = 0 というのは、あるところで、a[k]=0 となり、その後全ての項が0
の場合に限られると結論できる。
点Aの、C上の点Pにおける接線lに関する対称点をBとするとき、以下の問に答えよ。
（1）P(cosθ,sinθ)とするとき、Bの座標をθを用いて表せ。
以下、θは0≦θ<2πを動くものとする。
（2）Bの座標を(s,t)とおき、点KをK(s+t,st)により定める。Kが動いてできる曲線Tの式を求めよ。
（3）Tの長さを求めよ。
ds=√(1+(f')^2)dx
dS=f(x)dsdθ
s=s(x)初等関数
ds=s'(x)dx
dS=f(x)s'(x)dxdθ
S(x)初等関数とは限らない
ボクの考えた最強のアホな問題
α = arcsin(√a) = arccos(1-2a)/2,
とおくと
a_n = {sin(2^(n-1)･α)}^2 = {1 - cos(2^n･α)}/2
α = (奇数)π/{2^(n0-1)} ⇔ a_n = 0 (n≧n0)
つまり、α/π の2進数展開が有限項で終わるとき。
f(x)=x^3+x^2+px+q g(x)=-1/x+1
条件：f(x)=0の任意の解αに対してg(α)もf(x)=0の解である。
当然一つの解はαでもう一つは-1/α+1
模範解答だともう一つはg(g(α))=-α+1/αになります
この後に解が同じか違うかで場合分けという流れですが
はじめの２つの解と解と係数の関係でもう一つの解を出すと-α^2-2α/α+1がでてしまいますが、これはなんでしょうか？任意解を入れれば初めの3つの解のどれかと同じになるということでしょうか？？
P-接線： (cosθ)x + (sinθ)y = 1,
Q (cos(2θ)，sin(2θ)) とおくと、P は BQ の中点。
B (2cosθ-cos(2θ)，2sinθ-sin(2θ)) = (s，t)
s+t = (√2){2sin(θ +π/4) - sin(2θ +π/4)},
st = (3/2)sin(2θ) - (2-cosθ)sin(3θ) = 2sin(2θ) - 2sin(3θ) + (1/2)sin(4θ),
半径の中心と異なる端で，半径に垂直な直線は，この円の接線である。
と書いてあるがこれはどういうこと？
半径の中心と異なる端ってことは、円周か円の中心ってこと？
自己解決した
つまり
半径の中心と異なる端ってことは円周か
円周上で半径に垂直な直線は接線だぜってことか
>>23が正解らしいけども
いや、それは後で間違い指摘されて実際間違ってる。今のところ正解出てないと思う。でもこのスレ解けない問題上がってくる事もあるからその類かもしれないけど。
∮[0,1]fdx / ∮[0,1]f^2dx
って求められますか？
教員曰く簡単らしいんですけれど全く無理でした…
∫f(x)dx = (1/a)∫sin(ax)/x dx = (1/a)Si(ax),
∫{f(x)}^2 dx = ∫{sin(ax)/ax}^2 dx
= - {sin(ax)}^2 /(aax) + (1/a)∫sin(2ax)/x dx
= - {sin(ax)}^2 /(aax) + (1/a)Si(2ax),
にて簡単
で？
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