> f が全実数で微分可能な関数で lim f(x) = 0 as x → ∞, lim f(x) = 0 as x → -∞ なら、
> f'(x) = 0 となる点 x が存在することを示せ。

f は単射であると仮定する。f は R 上で連続だから、f は狭義単調増加または狭義単調減少となることが
簡単に証明できる。どちらのケースでも、[ lim f(x) = 0 as x → ∞, lim f(x) = 0 as x → -∞ ] という
仮定に矛盾することが証明できる。

よって、f は単射ではない。よって、ある a<b に対して f(a)=f(b) である。
このとき、閉区間 [a,b] 上でロルの定理を使えば、f '(x)=0 なる x の存在性が出る。