lim_[s→a,t→b](p(s)+q(t)) が存在するなら、その値を α とするとき、

∀ε＞0, ∃δ＞0, a＜∀s＜a＋δ, b−δ＜∀t＜b s.t ｜p(s)＋q(t)−α｜＜ε

が成り立つ。特に、b−δ＜t＜b を1つ取って固定すれば、a＜s_1＜a＋δかつ a＜s_2＜a＋δ のとき

｜p(s_1)＋q(t)−α｜＜ε,　｜p(s_2)＋q(t)−α｜＜ε

であるから、｜p(s_1)−p(s_2)｜＜ 2ε となる。
よって、コーシー列の関数版により、lim[s→a] p(s) が存在する。
同様にして、lim[t→b] q(t) も存在する。