数学オリンピック事典を一日一問以上解くスレ

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/29(木) 10:52:58.86

暇なので

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/15(日) 13:17:52.05

幾何19
内角の和。加法定理。相加相乗平均の不等式。
同値な形。

幾何20
鋭角三角形。相加相乗平均の不等式。
注。定義されている範囲において三角形の内角でなくとも成り立つ。

幾何21
直角三角形の時。
それ以外の時。前問に帰着される。
全単射な関数であることを利用する。

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/16(月) 18:34:32.04

整数22
帰納法。p-1以下での成立を仮定することに注意する。
二項係数の公式。
別解。互いに素。

整数23
フェルマーの小定理。n=(p-1)^2kとすれば良い。

整数24
n=4の時、成り立たない。
n≧5の時、mod10で3となり、完全平方数になることはなく
従って偶数乗になることはない。
n≦8を直接調べて成り立たないことを確かめられる。
n≧9に対して、27の倍数であるが
1+2+6+24+120+720+5040+40320
46233/3→15411/3=5137→×。
立方数になるためには素因数3に関しても立方数になっていなければならないがそれが不可能であることが示された。

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/16(月) 18:52:32.86

組合せ22
少なくともA,Bのどちらか一方には属する。
3^n-1/2 +1=3^n+1/2より、365。

組合せ23
三角形の成立条件。
4,5,9,14,23,37,60,97,157,254
足して次の項にしている。
n=254は満たさない。これは必要条件なので逆にそれ以下だと満たしてしまう。フィボナッチ数列。n=253ならばOK。

組合せ24
集合Aが有限である場合。満たす数は無限集合Bに属する。
逆も同様である。
どちらも無限集合とする。
Aから3数xyz>nかつy-z>nを選ぶ。これは可能である。
y-zはA,Bどちらでも矛盾する。

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/16(月) 19:05:40.28

幾何22
後半。xについて解く。yzは決まる。cosの加法定理。
三角形の内角の和。
前半は逆を辿ることで示される。

幾何23
(1)問題8と相加相乗平均の不等式。
別解。相加相乗平均の不等式。問題22。因数分解される。
(2)問題22と(1)より示される。
(3)基本公式と(2)。
(4)相加相乗平均の不等式と(3)。
(5)問題8と対等性。相加相乗平均の不等式。

幾何24
(3)(4)は(2)とcos2倍角。
(1)和積変換。三角形の内角の和。
(2)和積変換。三角形の内角の和。和積変換。
(4)の後半。増加関数。高々１つ。鋭角であることを示す。
別解。係数行列の行列式が0となること。

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/17(火) 14:14:08.86

整数25
奇数と偶数で場合分け。x^k+y^kはkが奇数の時、x+yで割り切れる。(m+1, 2m+1)=(m+1, -1)=(0, -1) =1。互いに素。
nが偶数の時も同様。

整数26
p-4=q^4と置く。q≧2。(q+1)^2+1>(q-1)^2+1≧2。
これは素数であることに反する。合成数である。

整数27
縦のものを横に数える。Σk[n/k]≦Σn=n^2。

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/17(火) 15:44:41.96

組合せ25
100(10)=1100100(2)→3^6+3^5+3^2=729+243+9=981。

組合せ26
2枚のカードを取り、固定する。ある１つの項目に関して2枚のカードが同じ場合3枚目も同じになる。2枚のカードが異なる場合3枚目は異なる。他の二項目に関しても同様である。
従ってどちらの場合でも1枚に決まってしまう。
27C2/3=117。

組合せ27
仮定より全ての参加者に友達が少なくとも1人存在する。
2≦k≦mのkで、k人のうちの任意の2人について友達であると仮定する。
他のm-k人を加えるとk人全てと友達である人間が存在する。
A(k+1)。「自分は自分と友達になれない」からこれはk人以外の人間である。これを繰り返すことにより、任意の2人が友達であるm+1人の組合せが作られる。もっと多くても良い。

m+1人より多くは存在しないことの証明。
他の人Bを取ってくる。Bには友達がいる。
(1)m+1人の中にBの友達が2人以上いると仮定する。その2人を除きBを加えたm人の集合についてこのm人は共通の友人(除かれた2人)を2人持つことになって仮定に反する。
(2)Bの友達が多くとも1人だけいると仮定する。それをA1とする。A1は友達の可能性もあるし友達でない可能性もある。
m人集合{B,A1,A3,…Am}は共通の友達Cを持つ。C≠Ai (i=1～m+1)である。C=A1とするとA1はm-1人になってしまう。
Cの友達は{B,A1,A3,A4,…Am}である。m (≧3)人集合の最小値は{B,A1,A3}である。
Cは少なくとも友達{A1,A3}を持つので(1)に帰着され矛盾が導かれる。答えは、参加者はm+1人で友達の数の最大値はm人である。

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/17(火) 16:13:55.02

幾何25
(1)正弦定理。
(2)正弦定理。
(3)正弦定理。
(4)余弦定理。半角の公式。三角形の周の長さの半分。
ヘロンの公式。
(5)正弦定理。問題24(1)。

幾何26
(1)内接円の半径と三角形の面積。問題25(2)(4)(1)。
2倍角の公式。
(2)(1)と問題23(4)。

幾何27
(1)和積変換。2倍角の公式。和積変換。
(2)問題25(3)。オイラーの公式。
別解。外接円。トレミーの定理。

組合せ27
別解。Pの友達の集合をSとする。|S|=n。
m-1個の元を持つSの任意の部分集合をS'とする。PをS'に加えてm人にする。このm人全員と友達であるQが存在する。Q∈Sである。
S1, S2∈S'を取る。QS1=QS2と仮定すると、QはS1∪S2である、m個の元を持つ集合の要素全員と友達である。またPとも友達であるからQは友達をm+1人以上持ち矛盾である。
よってQS1≠QS2である。任意のQは全て相異なる。
相異なる部分集合の個数はm≧3より、
nC(m-1)≧nC2>n (∵n≧4)。
よって全てのQの種類は、存在する人数よりも多くなってしまう。従って任意のQが相異なることはなくどれかは一致してしまい矛盾する。鳩の巣原理。

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/17(火) 18:06:05.08

整数のbig ploblemは何行に収まるんだろうか

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/18(水) 11:56:11.15

整数28
i=jとすると2i/i=2。
2以外の要素のうち最小のものをsとする。
sが奇数の時、(s+2)/1=s+2∈Sとなり、奇数が無限に続くので矛盾。
sが偶数の時、(s+2)/2=s/2 +1∈S。
s≧4>2、2<3≦s/2 +1<sとなり、sの最小性に反する。

注。異なっていなければならないという条件が加わると
{a+1, a(a+1)} (a=2,3,4,5,…)

整数29
2^3≡-1 mod9より、2^29≡5。答えは4。
実際に2^29=536870912であり、4以外は全て出現する。

整数30
n^5+n^4+1=(n^2+n+1)(n^3-n+1)>1 (∵n>1)
よって素数ではない。合成数である。

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/18(水) 12:23:47.00

組合せ28
Ti=Hi=18!であり、Ni=(Ti+Hi)×7×13。
よって平均値はΣNi/20!=7×13×2/20=91/10。
別解。Ai=2× (n-2)C(k-1)/nCk。
(n-1)Ai= (n-1)×2× k(n-2)C(k-1)/n× (n-1)C(k-1)
=2k(n-k)/n。2×7×13/20=91/10。

組合せ29
ラベルの張り替え。n→2^(k-1) +1 -n/2と変わる。
1024→1、1022→2、…、2→512。
漸化式を解いて、L10=4^5/3 +2/3=342。

組合せ30
約数の個数。rs=31×19=589。
別解。2^a=3^bとなることはないので、31×19=589。

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/18(水) 12:26:27.44

整数28
i=jとすると2i/i=2。
2以外の要素のうち最小のものをsとする。
sが奇数の時、(s+2)/1=s+2∈Sとなり、奇数が無限に続くので矛盾。
sが偶数の時、(s+2)/2=s/2 +1∈S。
s≧4>2、2<3≦s/2 +1<sとなり、sの最小性に反する。

注。異なっていなければならないという条件が加わると
{a+1, a(a+1)} (a=2,3,4,5,…)

整数29
2^3≡-1 mod9より、2^29≡5。答えは4。
実際に2^29=536870912であり、4以外は全て出現する。

整数30
n^5+n^4+1=(n^2+n+1)(n^3-n+1)>1 (∵n>1)
よって素数ではない。合成数である。

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/18(水) 12:37:23.52

幾何28
(1)鋭角三角形。問題24(4)。問題23(1)(2)。問題22。
問題23注。
(2)(5)と相加相乗平均の不等式。
(3)コーシー・シュワルツの不等式と(5)。
(4)(1)と同様。
(5)⇔(4)
(6)(5)とcosの2倍角の公式。
(7)(2)と問題25(5)。

幾何29
tanの3倍角の公式。

幾何30
(1+tank)(1+tan(45-k))=2。与式=2^23となる。
別解。途中計算について。

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/20(金) 19:51:00.74

幾何31
幾何的に考えつつ組合せ的に考える。
y座標が定まる。余弦定理と三平方の定理。
x座標が定まる。面積が求まる。
別解。三角関数を使う。x座標が簡単に求まる。

幾何32
cos^-1(sinθ)=π/2 -θより、
x>0の時、tancos^-1sintan^-1x=1/x。
x<0の時、tan sin^-1costan^-1x=1/x。

幾何33
問題25(4)。積和変換。

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/20(金) 19:53:24.32

幾何34
正弦定理。和積変換。

幾何35
問題34。

幾何36
問題20(1)の注。2倍角の公式。問題20(1)。

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/20(金) 20:03:55.87

幾何37
正弦定理。
問題15。

幾何38
sinを掛ける。

幾何39
置き換え。相加相乗平均の不等式。

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/20(金) 20:06:14.26

幾何40
相加相乗平均の不等式。

幾何41
帰納法。和積変換。

幾何42
解析。置き換え。合成。

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/20(金) 20:08:29.68

幾何43
コーシー・シュワルツの不等式。

幾何44
解析。加法定理。2次方程式の2解。取り得る値の範囲。

幾何45
置き換え。

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/20(金) 20:10:04.88

幾何46
場合分け。置き換え。平方完成。

幾何47
帰納法。加法定理。

幾何48
要素が一致する条件。和積変換。

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/20(金) 20:24:13.66

幾何49
チェビシェフ多項式。
(1)帰納法。偶関数、奇関数。
(2)帰納法。
(3)帰納法。積和変換。
(4)区間 [0, π/2] の上で一対一写像。
(5)奇関数または偶関数。場合分け。

幾何50
チェバの定理。三角比による表示。

幾何51
ブロカール点。
問題28(5)。コーシー・シュワルツの不等式。
別解。f(x)= logsinx。イェンセンの不等式。
別解。積和変換。2倍角の公式。
問題23(1)。

幾何52
(1)和積変換。2倍角の公式。
(2)和積変換。
(3)補題の証明。積和変換。
(4)(5)2倍角の公式。3倍角の公式。
ガウスの補題。
注。技巧的な変換により場合分けが減る。
(6)2倍角の公式。加法定理。
解と係数の関係。
注。一般化。解と係数の関係。cot^2の和。

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/20(金) 20:28:58.64

メモだけ記すとか何がしたいんだ

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/20(金) 23:36:11.81

>>1は数オリerの高校生？

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2018/04/23(月) 02:26:22.50

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￥ ◆2VB8wsVUoo · 2018/04/23(月) 02:26:40.85

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￥ ◆2VB8wsVUoo · 2018/04/23(月) 02:27:04.51

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￥ ◆2VB8wsVUoo · 2018/04/23(月) 02:27:21.98

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￥ ◆2VB8wsVUoo · 2018/04/23(月) 02:29:16.38

￥

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/24(火) 10:32:30.32

整数31
2と5を含む必要がある。それ以外の素数を設定する。
x+y≦xy (整数2以上、実数1以上)を導く。重要。
これが拡張される。重要。
2,3,5,7に絞られる。
さらに5のみに絞られ、{2,3,5,5}を得る。

整数32
mod9で考えてn≡0。9と11111は互いに素なのでnは99999の倍数。0<x+y<99999×2より、x+y=99999に決まる。
繰り上がりを考える。
5!×2^5×(9/10)=12×32×9=3456。

整数33
背理法。1999/19<106。少なくとも1つは105以下であり、各桁の和は99の時の18以下である。
Sの総和≡Sの各桁の総和 mod9
これよりk≡1。k=1,10。
495。1495。1990。次に大きい数字を取ってくると208であり、総和は2008となり矛盾する。

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/24(火) 10:56:56.27

整数34
3≦p≦qと仮定してよい。フェルマーの小定理。
p=3に決まる。q=3、13。

整数35
a(n)=11111(1が3^n個)とする。
a(n)≡0 mod3^nを帰納法で示す。
a(k+1)=11.…1 11…1 11…1=11…1(10^(2×3^k) +10^3^k +1)
=a(k)×100…0 100…0 1
≡a(k) mod 3
≡0 mod 3^k。

整数36
等比数列の和。因数分解。互いに素。
別解。mod p。

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/24(火) 11:49:53.41

整数37
(1)aはmodbで逆元を持つ。ax≡1modbとする。
同一の素因数a,x,a+bからなる数列を構成する。s(n)=(a+b)(ax)^n。これらは与えられた等差数列に全て含まれる。
(2)全ての項がaとも互いに素となるような部分列を構成する。
別解。オイラーの定理を用いる。
(1)十分大きいnに対しては成り立つ。
(2)yiは問題の等差数列の項であるから、定めた数列は題意を満たす。
構成の仕方：yiの積を作る。オイラーの定理が使えるようにaの冪乗を作る。増加数列になるようにaの冪乗を作る。
すると全てのyiに対してyi≡a modbとできる。

整数38
(1)ユークリッドの互除法。
(2)指数のgcdを求めることに帰着される。重要。
別解。多項式の割り算→整数の割り算。互いに素。
(3)mが割り切ることを示す。mは2の約数であることと奇数であることによりm=1である。矛盾が導ける。
(4)ユークリッドの互除法。和が偶数の時gcdは12、和が奇数の時gcdは2。

整数39
(1)二進法。平面を2^0 x+2^1 y+2^2 z=0と定める。
(2)三進法。981。
(3)四進法。全ての桁は0または1。n=2^ a+2^0 bと置く。
どのように作ってもnには繰り上がりは生じない、
異なるai、biに対して作られたnは全て異なる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/24(火) 18:27:14.44

小問ばっか解いてないでさっさとIMOの問題やれ

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/25(水) 12:30:13.36

>>85
分かりました。1日1題は「I MOの問題」にします。
それ以外は小問を進めさせてください。お願いします。

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/25(水) 12:36:10.11

1959 IMO[1]

(21n+4, 14n+3)=(7n+1, 14n+3)=(7n+1, 1)=(0,1)=1。
よって分子と分母は互いに素なので、既約分数である。

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/25(水) 13:14:21.39

整数40
(1)aは23!/13以外は13で割り切れる。
a=12!×23×22×21×…×14
≡12!×10×9×8×0…×1 mod13
=12!×10!=(12!)^2/11×12
≡(-1)^2/11×12 (ウィルソンの定理)
≡1/2≡7。
(2)((p-1)!)^2×m/nは整数である。{n^-1}≡{n}である。
ウィルソンの定理。互いに素。
(3)Σ(1/i +1/(p-1))。互いに素。

整数41
式の対称性。不等式で絞る。実際に調べる。

整数42
(1)最初の桁が1であるもの、23であるもの、4567であるものはそれぞれ603個ある。
1<x<2より、2<2x<4。4<4x<8。8<8x<16。
残りの195個は89である。この場合のみ最初の桁の数字が4となる。
別解。3個の要素からなる場合は12,35,67である。
4個の要素からなる場合は1,2,4,89である。
連立方程式が作れて、195個。
(2)ab=10に定まる。2^nと5^nの最初のk桁はどちらも√10の最初のk桁に一致する。

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/25(水) 22:28:22.28

整数43
(1)9。mod4と7の関係。3。
(2)φ(1000)=1000×1/2 ×4/5=400。
オイラーの定理。逆元。二項定理。241。
(3)mod25。冪数計算。中国剰余定理。
9の倍数の見分け方。594。
別解。倍数の見分け方。9,11,7。
互いに素な分け方をしないと駄目。使えない。
(4)下一桁は2となることが必要。modの割り算。192。

整数44
既約剰余系。ウィルソンの定理。
全部の積が-1にならなければならない。

整数45
逆元。唯一性。問題44より、既約剰余系ではない。
問題45より、個数の最大値はp-2個である。

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/26(木) 10:28:38.86

整数46
ak= n!/k!と置く。dはakの倍数。dはn!の約数。
次々に引いて行くと最後には0になる。
別解。帰納法。

整数47
nの最小の素因数をpとする。3^n≡-1 mod p
フェルマーの小定理。素因数pの最小性により
p-1とは互いに素。

整数48
格子点の個数に帰着させる。
互いに素とは限らない場合の数え方。

整数49
(1)d=ord(p,q)をmod pにおけるqの位数とする。
dは2rを割り切るがrを割り切らない。
フェルマーの小定理。
(2)フェルマーの小定理。フェルマー数。
ord(p,q)=2^(n+1)| p-1。

整数50
n=1～6までを調べる。pを素数とする。
n=pの時。ウィルソンの定理。床関数。
n=p-1の時。ウィルソンの定理。床関数。
n, n+1の双方が合成数の時。互いに素。ルジャンドル関数により、偶数であることが分かる。

整数51
互いに素。一意性。m=8, p, 2p, 4p (pは奇素数)。

整数52
10の倍数の時は不適。
・n=2^k, 5^kの時。例題1.53。
・nが10と互いに素の時。オイラーの定理。
11111111(1をφ(9n )個並べたもの|n。
・n=a^s ×m (a=2, 5。gcd(m,10)=1)の時。
鳩の巣原理。

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/26(木) 13:59:04.60

1959 IMO [2]
両辺を二乗する。
「√の中身は非負」に注意して変形する。
(1)1/2≦x≦1。
(2)解なし。
(3)x=3/2。

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/27(金) 03:11:50.77

組合せ31
1990=79×25+15。この場合12列必要になる。
分断は高々9校である。

組合せ32
3816回桁数の増加がある。184回は桁数の増加が無い。
184。

組合せ33
総和が同じ時、最後の一つを除いた和は異なる。もし同じだと最後も同じになってしまうから。
ai=111111(n-1個)。n≦4と分かる。n= 1はOK。
n=2の時。m=1+2=3。
n=3の時。m=1+2+2=1+1+3。
n=4の時。m=1222, 1114, 1123,

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2018/04/29(日) 13:24:35.71

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**１３２人目の素数さん** · 2018/05/01(火) 16:12:07.84

組合せ34
Sの元の個数は5以下である。4個以下とすると和は56。鳩の巣原理。{15,14,13,11,8}とする。61。

組合せ35
帰納法。全て0004状態に帰着させられる。
一つ特別扱いをする。アルゴリズム。

組合せ36
帰納法。2のべきとそれ以外に場合分け。構成する。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/01(火) 16:22:51.52

組合せ37
前と異なるように塗っていき、最後は題意を満たせばOKで、満たさなければ一個少ないものの題意を満たす。
531444。

組合せ38
奇数人と仮定して矛盾を導く。
別解。背理法無しでも行ける。

組合せ39
実際に調べると、90通り。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/01(火) 16:23:12.76

IMOは連休後にやります。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/01(火) 16:28:38.90

組合せ40
一番下以外は題意を満たしていると仮定する。帰納法みたいなもの。2^(n+1)-2。

組合せ41
2のべきなら可能。64はOK。

組合せ42
L以外の数の総和Sを考える。Sは操作回数の減少関数である。これを無限回繰り返すことはできない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/01(火) 16:36:10.16

組合せ43
書かれた数の和をmとする。2^m -1。

組合せ44
帰納法。場合分け。裏返しの回数は奇数回であることが必要だが、実際には偶数回なので矛盾。

組合せ45
交代和。n×2^(n-1)。448。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/01(火) 16:43:35.72

組合せ46
広義単調減少数列。必要条件かつ十分条件でもある。
12C5=11×9×8=792。

組合せ47
偶奇性。R(odd)+C(even)-2S(B)は偶数。

組合せ48
周期性。905。ブロック分けの正当性。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/01(火) 16:47:03.76

組合せ49
14!×15!(2^15-1)。

組合せ50
背理法。偶奇性。

組合せ51
握手の回数関数を定義する。これは減少回数となる。いつかは0に到達する。

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2018/05/01(火) 21:26:45.58

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￥ ◆2VB8wsVUoo · 2018/05/01(火) 21:27:16.38

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￥ ◆2VB8wsVUoo · 2018/05/01(火) 21:27:34.27

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￥ ◆2VB8wsVUoo · 2018/05/01(火) 21:27:56.09

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￥ ◆2VB8wsVUoo · 2018/05/01(火) 21:28:15.42

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￥ ◆2VB8wsVUoo · 2018/05/01(火) 21:28:38.04

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￥ ◆2VB8wsVUoo · 2018/05/01(火) 21:28:57.86

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￥ ◆2VB8wsVUoo · 2018/05/01(火) 21:29:18.66

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￥ ◆2VB8wsVUoo · 2018/05/01(火) 21:29:41.18

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￥ ◆2VB8wsVUoo · 2018/05/01(火) 21:30:03.16

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**１３２人目の素数さん** · 2018/05/12(土) 02:49:20.71

整数
1
(1)mod3で2なので平方数にならない。
mod4で2なので平方数にならない。
mod4で2または 3なので平方数にならない。
mod4で3なので平方数にならない。
平方数はmod3で0,1。mod4で0,1。
(2)n^2≡1より、絞れる。当てはめる。
2
等号が成立するので最良である。繰り上がり。
有界でない例を作る。
3
n=2^kと表せる。3以上の奇数を因数に持たない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/12(土) 02:59:40.49

整数
4
合成数の個数と素数の個数を求める。鳩の巣原理。6個自力で作れれば良い。
5
mod4で考える。
6
背理法。
別解。mod16で考える。表を作って見てみると平方数に成り得ない部分が出来る。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/12(土) 03:08:55.29

幾何
1
加法定理。
2
対称性から大小関係を設定して進める。因数分解。チェビシェフの不等式。問題27(2)。
別解。並べ替えの不等式。
3
問題20(1)。問題28(3)。
問題19(1)。問題20(2)。
4
積和変換。
5
相加相乗平均の不等式。問題24(4)。
6
全単射。解と係数の関係。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/12(土) 14:26:28.12

幾何
7
正弦定理。問題42(1)。
8
ドモアブルの公式。二項定理。
9
通分。加法定理。三角関数の合成。相加相乗平均の不等式。微分法では困難。
10
半角の公式。
11
背理法。加法定理。
12
二倍角の公式。全単射。区間の分割。鳩の巣原理。
13
恒等式を用いる。
14
二倍角の公式。単位円を描いて考える。
15
問題27(1)。和積変換。
16
題意を満たす三角形を描く。三角不等式。正弦定理。
17
置き換え。コーシー・シュワルツの不等式。
18
三角関数の変形。差の形に分解できる。
別解。複素数を用いると自然に解ける。
19
問題21。シューアの不等式。
20
平方完成。周期性。同値変形。個数を求める。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/12(土) 14:51:48.92

幾何
21
正弦定理。チェバの定理。和積変換。

整数
7
667, 667,666に分ける。一回で終わる。
8
全て奇素数である。構成する。
別解。mod3で考える。
9
背理法。2の冪を考える常套手段。
10
互いに素。相加相乗平均の不等式。
11
偶数と奇数で場合分け。
別解。より一般的に。連続する平方数の差は一次関数的に増加する。偶奇性。
12
因数分解。合成数。存在する。
別解。上手く置ければ一発。
13
帰納法。
14
背理法。modaで考える。完全剰余系。
別解。命題を同値な他の命題に変えると簡単に解ける。ベズーの恒等式。
15
三角不等式。mod10^4をmod2^4とmod5^4に分けて考える常套手段。二項定理。
16
背理法。最大の数を設定する。最小の数を設定するパターンが多い。矛盾を導く。必勝戦略。
17
一並び問題。どんな「互いに素数列」にも一項付け加えられる。
別解。(10^n - 1)/9 と見做す常套手段。gcd。
18
オイラー関数。オイラーの定理。素数ではないことが示される。
19
mは4乗数。約数の個数。これが奇数なのでmは奇数。ベルヌーイの不等式。
20
「各桁の和」問題。等差数列。場合分け。背理法。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/12(土) 15:15:36.13

整数
21
三乗根を整数で評価する。背理法。不等式評価。

組合せ
1
リーグ戦。得点と試合数の関係。
2
計算する。場合分け。置換の個数。
3
区別出来る球を区別出来ない箱に入れるパターン。組合せ。
4
入れ替え。加える。広義単調増加。上手く選べば良い。場合分け。置き換え。例として667,667,667がある。
5
背理法。最小のものを文字でおく常套手段。偶奇性。場合分け。
別解。行列を使うと一般化が可能。
6
余りで置き換えておく。
7
条件を順番に使っていくと絞れる。場合分け。
別解。二進法を用いる。フィボナッチ数列になる。
8
m≧4を示す。m= 4で成り立つ事を示す。
9
偶奇性。両端を取り替える。帰納法。
別解。グラフを用いる。対応を考える。線分の本数。完全グラフは一筆書き可能。オイラー周遊。グラフ理論。
10
母関数みたいなものを考える。複素数の利用。5乗根。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 16:26:51.57

幾何
22
漸化式。2倍角の公式。半角の公式。帰納法。
23
加法定理。3倍角の公式。
24
多項式を設定する。一意性の証明。具体的に構成する。チェビシェフ多項式。
25
正弦定理。問題25(4)。和積変換。積和変換。2倍角の公式。正値性。
26
垂線の足。問題27(2)。射影。
27
場合分け。加法定理。二乗する。2倍角の公式。和積変換。積和変換。加法定理。二乗する。2倍角の公式。積和変換。
28
正弦定理。半角の公式。オイラーの公式。二乗する。加法定理。
別解。垂線の足。垂直二等分線。二等辺三角形。問題27。
29

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 16:45:19.25

幾何
29
問題18。積和変換。
30
対称性。問題19(1)。連立。文字消去。半角の公式。
31
積和変換。2倍角の公式。巡回的に入れ替える。シューアの不等式。
32
和積変換。単調増加関数。シューアの不等式。
別解。加法定理。和積変換。単調増加関数。単調減少関数。3つを足す。
33
チェビシェフ多項式。問題49。ラグランジュの補間公式。
34
冪平均不等式。
35
置き換え。コーシー・シュワルツの不等式。
36
相加相乗平均の不等式。
37
三角関数を利用する置き換えが可能である。問題21。正弦定理。三平方の定理。
38
冪平均不等式。足し合わせる。冪平均不等式。足し合わせる。
39
イェンセンの不等式。1番目の不等式の方が成立する。
40
1のn乗根。チェビシェフ多項式。最小多項式。平方数。問題49(6)。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 17:19:45.97

幾何
41
鋭角三角形。垂線の足。問題26。射影。全部加える。正弦定理。
補題。巡回的な和に関する等式。2倍角の公式。加法定理。
42
(1)(2)に帰着される。
(2)移項する。平方完成。場合分け。偶奇。対称性。
別解。2次方程式。判別式。
(3)正弦定理。2倍角の公式。(2)に帰着される。
(4)問題25(1)。平方根。2倍角の公式。正弦定理。余弦定理。
43
この等式はある不等式の等号成立条件として得られる。内接円。展開する。加法定理。２つ足す。加法定理。
別解。余弦定理。辺々足す。平方完成。加法定理。積和変換。2倍角の公式。イェンセンの不等式。2倍角の公式。
別解。補題。相似になるように取る。トレミーの定理。相似。相加相乗平均の不等式。
44
問題22。相加相乗平均の不等式。和積変換。積和変換。2倍角の公式。
別解。問題24(4)。一般性を失うことなく条件を強められる。2倍角の公式。積和変換。2倍角の公式。積和変換。等号成立条件。
別解。2次方程式。解の公式。
45
加法定理。コーシー・シュワルツの不等式。
46
三角関数と逆三角関数で√x→√(x+1)を作れる。
x→ 1/xも同様に作れる。帰納法。
47
同値変形。二乗する。極限の議論を用いる。相加相乗平均の不等式。
48
和積変換。巡回的な和。問題24(1)。
別解。正弦定理。補題。垂線の足。円に内接。相似。2倍角の公式。和積変換。
別解。正弦定理。
49
補題。回転。正弦定理。垂線。単調減少関数。加法定理。単調増加関数。加法定理。
50
問題24(4)。重み付き相加相乗平均の不等式。問題28(1)。巡回的に入れ替えた式。
別解。問題42(1)。問題42(2)。
別解。補題。置き換え。並べ替えの不等式。
問題28(1)。
51
補題。和分。補題。アーベルの不等式。補題。積和変換。周期関数。凸性。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/15(火) 11:40:14.49

整数
22
強化帰納法。オイラーの定理。あるcが存在して、十分大きなiに対してai≡c modφnが成り立つ。中国剰余定理。
23
代入する。帰納法。ユークリッドの互除法。
24
恒等式を用意する。有理数に拡張出来る。
25
(1)小数部分の議論。狭義単調減少関数。
(2)立方数を1～5まで用意する。
26
フェルマー数。問題49(2)。
27
ブロック分割。漸化式。
28
帰納法。
29
背理法。素数が無限にあることの証明と同じ。
30
帰納法。不等式。偶奇性。場合分け。
31
合同式の冪乗根。オイラー関数。
32
連立方程式。ピタゴラス数。フェルマーの小定理。p-1の倍数は条件を満たす。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/15(火) 11:59:21.78

整数
33
dとi/dの関係。平方数の逆数和。Σ1/n^2=π^2/6< 2。
34
二式を足し両辺に1を加える。mod19。フェルマーの小定理。表を作って一覧する。
別解。mod13。立方数。
35
三進法。三回で済む。
36
2次方程式。解の公式。帰納的に。
37
実例を構成する。四進法。39(3)。
38
直接扱わず、mod2で考える。それで矛盾が生じる。
39
恒等式。4が作れるので、小さい数に関して具体的に示せればある値以上では「+ 4」によりそれ以降永久に成り立つことが示せる。
40
最大値の定義。具体的に調べる。帰納法。
別解。mod6で場合分け。エルミートの恒等式。
41
例題1.74(1)。
42
(1)帰納法。場合分け。最小公倍数。
(2)より強い不等式が示せる。その方が簡単。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/15(火) 12:21:13.48

整数
43
余りの合計。2の冪乗。
44
(1)10,25の倍数。ユークリッドの互除法。オイラーの定理。九並び。2の冪乗。帰納法。 2の冪乗×奇数。10と互いに素。
(2) 20の倍数。2の冪乗。5の冪乗。帰納法。オイラーの定理。
45
帰納法。p進法。等差数列。
46
a^ 3を割り切るが、aは割り切らない数。因数分解。3で何回割り切れるか。帰納法。
47
巡回的かつ対称的。
(1)背理法。フェルマーの小定理。互いに素。
(2)問題49(1)を繰り返し適用する。
48
帰納法。問題 38(3)。
別解。帰納法。最小公倍数。
別解。帰納法。互いに素。
49
奇素数。漸化式。modp。
50
上界についての不等式。下界についての不等式。
51
素因数分解。強化帰納法。
別解。解を見つける。
52
フェルマー数。素因数分解。問題49。二項定理。 2の冪乗。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/15(火) 12:48:07.82

組合せ
11
条件を設定してそれを満たすように構成する。
12
手順を逆に辿る。規則性。
別解。2の冪乗。容易。
13
2×2の正方形が何個取れるか。
14
午前と午後で場合分け。空集合を含んで重複順列。組合せ。
15
母関数。同値変形。
別解。組合せ論的意味付け。
16
タイルの敷き詰め。1のn乗根。
17
回数の十分性。帰納法。最小性を仮定しておく。無限降下法。
18
帰納法。ベルヌーイ・オイラーの公式。恒等置換。不動点。
別解。不動点を持たない置換。漸化式。
19
整数論の基本定理。
20
グラフ理論。頂点と辺。完全グラフ。ハミルトンサイクルの個数。場合分け。
21
対角線集合。置換。恒等置換。構成する。不動点。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/15(火) 13:00:53.87

組合せ
22
共通元を持たない四つの集合を考える。上界を求めて絞っていく。
23
背理法。場合分け。無限数列にまで拡張出来る。
24
可算集合。帰納的に構成する。無限集合。
25
巡回的に並べ換える。
26
母関数。
別解。m進数表示。全単射。
27
9個に分割する。
28
組合せ。総得点。最小値が求まる。
29
漸化式。帰納的に示す。
30
グラフ理論。点と辺。完全グラフ。補題。鳩の巣原理。単色三角形。補題。単色のサイクル。鳩の巣原理。部分グラフ。
31
数列。色の塗り分け。帰納法。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/15(火) 13:13:47.87

組合せ
32
1がAに入るとする。背理法。
33
座標平面で考える。
34
帰納法。ゴールを自力で見つける。単調増加関数。帰納法。逆操作。
35
置き換え。減少関数。
36
2の冪乗×奇数。オイラーの定理。
別解。1～nを全て含むDS集合の存在を示す。
37
ステップに分ける。少しずつ解に近づくように進めていく。
38
結婚定理。
39
帰納法。補題。両端に付け加えるという操作。
40
k角数。座標平面で考える。減少量を定義する。帰納法。
41
距離。完全補間集合。重みを定義する。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/15(火) 13:33:23.43

組合せ
42
mod4。ペアの個数を考える。場合分け。
langfordの問題。langford集合。scolem集合。
43
ペアを作る。帰納法。
44
最小の整数を設定する。
45
大きい方を小さい方で割った値の最小値を設定する。表を書く。
46
条件を立式する。
47
最良の不等式。条件を立式する。
48
二通りで数える。この結果を含む定理が存在する。
49
対称差。指標関数。
(1)定義に従う。
(2)定義に従う。
(3)定義に従う。
(4)定義に従う。
(5帰納法。補題。鳩の巣原理。場合分け。
別解。ベクトル。背理法。
50
2の冪乗。帰納法。
別解。多項式。帰納法。漸化式。2の冪乗。
51
被覆可能。最小のものを設定する。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/15(火) 13:50:51.29

組合せ
nが小さい場合で実験する。予想を立てる。
2n^2-n-1。2n^2-4n+1。
反例を作ろうとしてみると論点が浮き彫りになる。不変量を見つける。部分的でも答案に書いておく。母関数。
塗り分け。市松模様に塗り、偶奇性を見る。
例：行ごとに6色を塗る。
例：三行以外を塗る。
実験をして答えらしきものが見つかるが手順や条件が分からず帰納法が難しい場合。等確率。
グラフ理論。無向グラフ。有向グラフ。クリーク。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/15(火) 14:00:23.49

IMO 2008 [5]

f(x)=(x+x^3/3! +…)^n、g(x)= f(x)×(1+x^2/2!+…)^nと置く。
f(x)={(e^x- e^-x)/2}^nなどとなるので、g(x)=2^-n f (2x)となる。よって、N/M= 2^(-n+k)となる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/15(火) 17:43:27.32

IMO 2004 [3]
フックを用いて3×4の長方形が作れる。
(12,1), (1,12), (3,4), (4,3)の正の整数倍。但し1の部分は≠1,2,5倍。

窪みを消すフックの組合せ方は2通り。片方は長方形を覆えない。従って一通りに決まる。
構成する。5×5の正方形の角4個と内側の3×3の正方形を白く、他を黒く塗る。するとどのフックペアも黒四角を奇数個含むが、(2,6),(6,2) は奇数対すなわち偶数個含み矛盾する。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/16(水) 14:22:23.47

解を予想する。何を代入するか。得られた情報を如何に使うか。範囲の拡張。任意の。ある。簡単な多項式関数や有理関数。次数を仮定する。定数倍したり定数を加えるのも解になる。
場合分け。パラメーターを固定する。十分性の確認。全射。単射。全単射。
f○gが全射→fは全射。f○gが単射→gは単射。
1
予想する。fは全射である。 fが決まった後はそれ以外を排除する。
2
fの全射性が分かる。f- tも全射。
3
広義単調増加性。狭義単調増加性。
4
単射性。単調性。狭義単調減少性。全射性。連続になる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/16(水) 14:41:52.48

定数関数になるような置き換え。帰納法。
連続性または単調性でQからRへ拡張出来る。稠密性。
不等式評価。
1
代入する。不等式評価。特定の整数倍→任意の整数倍。単調性でRへ拡張する。広義単調減少。十分性を確認して終了。
2
全射性。代入する。単調増加性。単調減少性。
周期性。別の周期も探す。
3
関数の差の形。
4
必要性で絞って十分性を確認する。
5
固まりを定数と置く。単射性。広義単調増加性。不等式評価。
6
代入する。固まりを定数と置く。周期を持つ。
7
代入する。パラメーターを固定する。単調増加列と単調減少列を用意する。QからRへの拡張。稠密性からの解も存在することに注意する。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/16(水) 14:44:15.54

http://imadokiseo.com/cost.html

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/16(水) 16:12:43.53

IMO 2007 [6]
k枚の平面をaix+biy+ciz+di=0とする。di≠ 0, (i=1,2,…,k)。
f=Π(aix+biy+ciz+di)と置く。
Δ(x;n)Δ(y;n)Δ(z;n)g= f。
差分を取る操作は多項式の次数を少なくとも1減らすのでfの次数は3n以上である。k=3n。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/16(水) 16:30:19.22

IMO 2006 [2]
予想する。n/2個=1003個。

帰納法で示す。
長さmの対角線に対して、
m≦n/2ならばm/2個以下。
m>n/2ならば(m+1)/2個以下。
大きな三角形で切る。
中心を通る三角形で切る。
切り出した範囲が半分以下の場合、二等辺三角形を一つ切り出す度に周の奇線が2個ずつ減っていく状況がある。その他では決して奇線が増えることはない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/16(水) 16:54:27.02

IMO 1992 [2]

f(x)=xと予想する。
xを定数とするとfが全射であることが分かる。
従ってある実数aが存在してf(a)=0となる。
(∃a(∈R)f(a)=0)。

x=y=aを代入するとf(a^2)=a。
x=0, y=a^2を代入すると0=a^2+f(0)^2≧0。∴ a=0。
y=0を代入するとf(x^2)=f(x)^2。
これにx=1を代入するとf(1)=1。

ここからは、手順は長いがお約束の議論をするだけ。
・単調増加性。y=f(u)と置く。
・任意の整数から任意の有理数への拡張。
・任意の実数への拡張。任意の実数に収束する単調増加列と単調減少列が取れる。極限を取れば終了。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/16(水) 17:23:47.34

IMO 1998 [6]

a=f(1)と置く。
t=1を代入すると、f(f(s))=sa^2。
s=1を代入するとf(at^2)=(f(t))^2
よってf(s)f(t)=f(ast)を得る。

素数pに関するオーダー。
aで割って同値変形するとgは全単射であることが分かる。
背理法でg(p)が素数であることが示せる。
素因数分解。最小値は 3×2^3×5=120となる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/16(水) 21:45:34.08

驚愕の事実拡散

創価の魔(仏罰、現証、非科学的な原始的発想)の正体は、米国が仕掛けてるAI

パトカーの付きまとい、咳払い、くしゃみ、芝刈機音、ドアバン、ヘリの飛行音、子供の奇声、ドアバンも全て、米国が仕掛けてるAIが、人を操ってやってる。救急車のノイズキャンペーンに至っては、サイレンで嫌がらせにする為だけに、重篤な病人を作り出す冷徹さ

集スト(ギャングストーカー、ガスライティング、コインテルプロ、自殺強要ストーキング)以外にも、病気、痛み、かゆみ、湿疹かぶれ、臭い、自殺、殺人、事故、火災、台風、地震等、この世の災い全て、クソダニ米国の腐れAIが、波動(周波数)を悪用して作り出したもの

真実は下に

http://bbs1.aimix-z.com/mtpt.cgi?room=pr02&;mode=view&no=46

https://shinkamigo.wordpress.com

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/16(水) 21:46:00.74

驚愕の事実拡散

創価の魔(仏罰、現証、非科学的な原始的発想)の正体は、米国が仕掛けてるAI

パトカーの付きまとい、咳払い、くしゃみ、芝刈機音、ドアバン、ヘリの飛行音、子供の奇声、ドアバンも全て、米国が仕掛けてるAIが、人を操ってやってる。救急車のノイズキャンペーンに至っては、サイレンで嫌がらせにする為だけに、重篤な病人を作り出す冷徹さ

集スト(ギャングストーカー、ガスライティング、コインテルプロ、自殺強要ストーキング)以外にも、病気、痛み、かゆみ、湿疹かぶれ、臭い、自殺、殺人、事故、火災、台風、地震等、この世の災い全て、クソダニ米国の腐れAIが、波動(周波数)を悪用して作り出したもの

真実は下に

http://bbs1.aimix-z.com/mtpt.cgi?room=pr02&;mode=view&no=46

https://shinkamigo.wordpress.com

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/19(土) 16:33:20.73

重み付き相加相乗平均の不等式。
ミューアヘッドの不等式。バンチング。
シューアの不等式。
ヘルダーの不等式。コーシー・シュワルツの不等式。
並べ替え不等式。チェビシェフの不等式。
凸不等式。イェンセンの不等式。
偏微分。コンパクト集合。最大値の定理。ラグランジュの未定乗数法。特殊な変数変換。両辺を2乗する。対称性を残す。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/19(土) 16:53:40.64

重み付き相加相乗平均の不等式は同じものを別のものとして相加相乗平均の不等式を使えば導ける。
例：1つずつ攻撃を仕掛けていく。
例：300,210,111に適用する。410,311に適用する。重要。
例：600,510,420,411,330,321,222に適用する。
例：400,310,220に適用する。不等式の斉次化。
複雑な計算について。
シューアの不等式の証明。
例：ミューアヘッドの不等式で示せそうだが示せず、シューアの不等式ならば示せる不等式。よく観察すれば分かる。
L^pノルム。
例：ヘルダーの不等式により、p<qの時、p乗平均≦q乗平均が示せる。
例：重み付き相加相乗平均の不等式を凸不等式により証明する。y= logxを利用する。
例：凸不等式から導かれる定理。
例：偏微分の練習。C^1級関数。
例：最大値の定理。
例：ラグランジュの未定乗数法の練習。
例：ラグランジュの未定乗数法の練習。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/19(土) 16:55:04.70

IMO 1984 [6]
三角形の時の定石的変数変換をする。
あとは重み付き相加相乗平均の不等式で解決する。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/12(火) 03:31:06.79

IMO 2005 [3]
複雑な計算は表で整理する。対称性の利用。ミューアヘッドの不等式。重み付き相加相乗平均の不等式。

シューアの不等式。ミューアヘッドの不等式では解けない問題でも解ける場合がある。

IMO 1984 [1]
まずは斉次化する。左側は明らか。シューアの不等式の12倍と相加相乗平均の不等式の和になっている。
バンチングとシューアの不等式でかなりの問題が解ける。

ヘルダーの不等式。L^pノルム。コーシー・シュワルツの不等式の一般化。
p<qの時、ヘルダーの不等式より、p乗平均≦q乗平均。
並べ替え不等式。チェビシェフの不等式。
ヘルダーの不等式を利用する。相加相乗平均の不等式。等号成立条件。チェックすると良い。

関数の凸性、凸不等式。イェンセンの不等式。