数学オリンピック事典を一日一問以上解くスレ
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[例9-3] 改 次の不等式をみたす整数a,b,cで、どれか1つは0でなく、 かつどの絶対値も100万を超えないものが存在することを示せ。 |a + b√2 + c√3|< 10^(-12), 秋山 仁 + ピーター・フランクル 共著: [完全攻略]数学オリンピック, p.47-48, 日本評論社 (1991/Nov) 注)鳩ノ巣原理では解けません。 97 -56√3 = 1/(97+56√3) = 0.005154776 99 -70√2 = 1/(99+70√2) = 0.005050634 辺々足して14で割る。 14 - 5√2 - 4√3 = 7.28957859×10^(-4) ・・・・ (1) 辺々引いて2で割る。 -1 + 35√2 - 28√3 = 5.207113×10^(-5) ・・・・ (2) (2)×14 - (1) -28 + 495√2 - 388√3 = 3.7957659×10^(-8) ・・・・ (3) また、 127 + 138√2 -186√3 = 2.1399676×10^(-5) ・・・・ (4) 205 - 58√2 - 71√3 = 6.0449702×10^(-6) ・・・・ (5) * 3.352882344113・・・・×10^(-13)まではあるらしい。 高校までならいいが そうでなかったら人生の無駄だと思わないか? >>216 38419 -13895√2 -10836√3 = 9.489944×10^(-9), 1920 -42258√2 +33395√3 = 4.066451×10^(-10), >>216 97-56√3 = (2-√3)^4 = 1/(2+√3)^4, 99-70√2 = (√2 -1)^6 = 1/(1+√2)^6, より -28 +495√2 -388√3 = {-(√2 -1)^12 +(2-√3)^8}/28, ・・・・ (3) 38419 -13895√2 -10836√3 = 9.489944×10^(-9) ・・・・ (6) 1920 -42258√2 +33395√3 = 4.066451×10^(-10) ・・・・ (7) (4)×2 - (5)×7 -1181 +682√2 +125√3 = 4.84560485×10^(-7) ・・・・ (8) (6)×4 - (3) 153704 - 56075√2 -42956√3 = 2.11768032×10^(-12) ・・・・ (9) 〔問題4〕 4444^4444 を10進表示して、その各桁に現れる数の和をAとする。 Aの各桁に現れる数の和をBとする。 Bの各桁に現れる数の和をCとする。 Cを求めよ。 IMO-1975 (ブルガリア大会) N=4444^4444 とする。このとき log(N) < 4444 log(4444) = 16210.707879 であるから、Nが10進法で書かれているとき、Nの桁数は 16211 である。 また、Nの各桁に現れる数は9以下であるから、 A ≦ 16211×9 = 145899 となる。 同様の方法で、Aは多くとも6桁であるから、Aの桁に現れる数の和は54 (=6×9)以下ということになり、B≦54 である。 54以下の正整数で、各桁に現れる数の和が最大になるのは49であり、その 値は13である。よって C≦13 である。 一方、この解答の鍵は次の事実を使うことである。 A=72601 これより B = 7+2+6+0+1 = 16, C = 1+6 = 7, 「[完全攻略]数学オリンピック」(1991) p.70-71 〔問題〕 8^1000 を10進表示して、その各桁に現れる数の和をAとする。 Aの各桁に現れる数の和をBとする。 Bの各桁に現れる数の和をCとする。 Cの各桁に現れる数の和をDとする。 A,B,C,D を求めよ。 空間[5] 空間の点全体を5色すべてを使って勝手に塗る。 このとき、この空間内に少なくとも4色(異なる4色で塗られた4点) を含む平面が存在することを示せ。 秋山 仁+ピーター・フランクル 共著 「[完全攻略] 数学オリンピック」日本評論社 (1991) p.99 「2直線ABとCDが同一平面上にない場合」に補足。 平面πと直線CD とが平行ならば、交わらない。 点Pを通ってCDに平行な直線Lをひく。 直線Lは平面πに含まれる。また L // CD はABと平行でないから、ABと交わる。 その交点Qは色a,bのどちらかで塗られている。 CDPQは同一平面上にあり、4色を含む。(終) 数列[1] 数列{a_n} を次のように定める。 a_1 = 1, n≧1 のとき a_{n+1} = a_n + 1/a_n, このとき次を示せ。 (1) 2≦m のとき (a_m)^2 ≧ 2m, (2) m≦100 のとき (a_m)^2 < 2m + (H_{m-1} -1)/2 < 2(m+2), (3) 2≦m≦100 のとき (a_m)^2 > 2m + (H_{m+1} -11/6)/2, (4) 14.20 < a_100 < 14.22 ただし調和級数は H_99 = 5.1774 H_101 = 5.1973 とせよ。 (1990年国内大会予選-改) 「[完全攻略]数学オリンピック」(1991) p.107 (1) (a_{n+1})^2 = (a_n)^2 + 2 + 1/(a_n)^2, これを n=2,3,・・・・,m-1 でたすと (a_m)^2 = (a_2)^2 + 2(m-2) + Σ[n=2,m-1] 1/(a_n)^2 = 2m + Σ[n=2,m-1] 1/(a_n)^2, ≧ 2m, >>223 A = 3871 B = 19 C = 10 D = 1 桁, 数字の和, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 下1〜 100, 476, 9, 13, 11, 9, 4, 9, 4, 15, 10, 16, 101〜 200, 402 , 17, 9, 14, 9, 7, 4, 14, 10, 8, 8, 201〜 300, 385, 14, 12, 10, 12, 13, 9, 7, 11, 7, 5, 301〜 400, 398, 16, 13, 11, 5, 8, 15, 9, 3, 14, 6, 401〜 500, 463, 8, 9, 10, 8, 16, 8, 7, 15, 12, 7, 501〜 600, 429, 15, 6, 9, 16, 11, 5, 8, 9, 12, 9, 601〜 700, 455, 11, 9, 6, 11, 12, 9, 13, 11, 9, 9, 701〜 800, 410, 11, 9, 15, 13, 10, 11, 8, 2, 14, 7, 801〜 900, 447, 8, 15, 8, 10, 6, 11, 12, 12, 11, 7, 901〜 904, 6, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 計, A=3871, 110, 96, 95, 94, 87, 81, 82, 88, 97, 74, >>215 a=96051, b=-616920, c=448258 のとき a + b√2 + c√3 = 3.352882344113・・・×10^(-13) 〔Zsigmondy の定理〕に関連する問題 <<Problem 3>> Prove that the sequences a_n = 3^n - 2^n contains no three numbers in geometric progression. 〔問題3〕 数列 a_n = 3^n - 2^n は等比数列となる3項を含まないことを示せ。 (1994年 Romania 第1回TST) <<Problem>> Find all triplets of positive integers (a,m,n) such that (a^m)+1 divides (a+1)^n. (IMO-2000 SLP) 〔問題〕 (a^m)+1 が (a+1)^n を割り切るような正の整数の3つ組(a,m,n)をすべて求めよ。 (→ 和のZsigmondy の定理) 〔第2問〕 正の整数の組 (a,n,p,q,r) であって、等式 a^n - 1 = (a^p - 1)(a^q - 1)(a^r - 1) を満たすものをすべて求めよ。 (JMO-2011 本選) http://science-log.com/ 数学/number-theory-の話題(zsigmondys-theorem)/ 〔Question 4〕 Determine all x,y∈Z such that 1 + 2^x + 2^(2x+1) = y^2. (IMO-2006, Q4) (2^x){1+2^(x+1)} = (y+1)(y-1) を使う。 http://www.youtube.com/watch?v=wviiZlYRaGE 05:52 1 + 2^x + 2^(2x) = y^2 - 2^(2x) = (y-2^x)(y+2^x), を使うとどうなるか? ・xが偶数のとき t = 2^(x/2) >0 とおく。 1 + t^2 + t^4 = (1+t+t^2)(1-t+t^2), y^2 - t^4 = (y+t^2)(y-t^2), よって y + t^2 = 1+t+t^2, y - t^2 = 1-t+t^2, 辺々引いて 0 = 2t(1-t), ∴ t=1, x=0, y=±2. ・xが4の倍数のとき t = 2^(x/4) >0 とおく。 1 + t^4 + t^8 = (1-t^2+t^4)(1-t+t^2)(1+t+t^2), y^2 - t^8 = (y+t^4)(y-t^4), よって y + t^4 = (1-t^2+t^4)(1-t+t^2), y - t^4 = 1+t+t^2, 辺々引いて 0 = -2t - t^2 + t^3 - 2t^4 - t^5 + t^6 = -t(1+t)(2-t)(1+t^3) ∴ t=2, x=4, y=±23. バルカンMOから 〔問題3.10〕 三角形ABCの外心をOとし、重心をGとする。 Rとrをそれぞれ三角形の外接円および内接円の半径とする。 このとき OG ≦ √{R(R-2r)} を証明せよ。 バルカンMO-1996 〔問題3.28〕 ABCを鋭角三角形とし、L,M,N をABCの重心Gから それぞれ辺BC, CA, AB へ下ろした垂線の足とする。 このとき次を証明せよ。 4/27 < (LMN)/(ABC) < 1/4, バルカンMO-1999 〔問題3.51〕 a,b,c を正の実数とする。このとき次を証明せよ。 aa + bb + cc ≧ ab + bc + ca ≧ √{3abc(a+b+c)}. バルカンMO-2001 〔問題3.58〕 正の実数 a,b,c に対して次を証明せよ。 2/(b(a+b)) + 2/(c(b+c)) + 2/(a(c+a)) ≧ 9/(ab+bc+ca) ≧ 27/(a+b+c)^2. バルカンMO-2002 〔問題3.93〕 a,b,c を正の実数とする。このとき次を証明せよ。 1/(a(b+1)) + 1/(b(c+1)) + 1/(c(a+1)) ≧ 3/(g(g+1)) ≧ 3/(1+abc), g = (abc)^(1/3). バルカンMO-2006, Inequalitybot [77] 佐藤淳郎(訳) 「美しい不等式の世界」朝倉書店 (2013) p.127, p.130 p.134 p.135 p.141 〔問題3.51〕 左側は AM-GM で。 右側 (ab+bc+ca)^2 - 3abc(a+b+c) = (x+y+z)^2 - 3(xy+yz+zx) = (xx+yy+zz) - (xy+yz+zx) ≧ 0, 〔問題3.58〕 左側 Σ(乱順序積) ≧ Σ(逆順序積) (チェビシェフ) により (左辺) ≧ 2/(c(a+b)) + 2/(a(b+c)) + 2/(b(c+a)) ≧ 2・9/{c(a+b) + a(b+c) + b(c+a)} (AM-HM) ≧ 9/(ab+bc+ca), 右側は AM-GM で。 〔問題3.93〕 左側は (abc+1)/(a(b+1)) = b(c+1)/(b+1) -1 + (a+1)/(a(b+1)), 巡回的にたして AM-GM する。 (g^3 + 1)(左辺) ≧ g -1 +1/g = (gg-g+1)/g, g^3 + 1 > 0 で割って (左辺) ≧ 1/(g(g+1)), 右側は (g^3 +1) - g(g+1) = (g+1)(g-1)^2 ≧ 0, 佐藤淳郎(訳) 「美しい不等式の世界」朝倉書店 (2013) p.127, p.130 p.134 p.135 p.141 >>220 (3)×1372 - (2) -38415 +679105√2 -532308√3 = 6.778753462914×10^(-9) ・・・・ (10) また -292 -3153√2 +2743√3 = 2.999061727274×10^(-6) ・・・・ (11) (5) - (11)×2 789 +6248√2 -5557√3 = 4.68467447809×10^(-8) ・・・・ (12) (11) - (3)×79 1920 -42258√2 +33395√3 = 4.0664508730847×10^(-10) ・・・・ (7) (10)×3 + (7)×50 -19245 -75585√2 +72826√3 = 4.0668514754165×10^(-8) ・・・・ (13) (13) - (3) -19217 -76080√2 +73214√3 = 2.7108554859783×10^(-9) ・・・・ (14) (13) - (14)×15 269010 +1065615√2 -1025384√3 = 5.68246449041×10^(-12) ・・・・ (15) (3)×10 - (10)×2 - (13)×9 249755 -672995√2 +405302√3 = 2.4529685541555×10^(-12) ・・・・ (16) (16) - (9) 96051 -616920√2 +448258√3 = 3.352882344112924×10^(-13) ・・・・ (17) >>233 バルカン半島はかつて「ヨーロッパの火薬庫」と呼ばれたが、 今はイスラエル(エルサレム)やレバノン(ベイルート)の辺りだろうな。 (硝酸アンモニウム:2750トン) >>215 次の不等式をみたす整数 a,b,c で、どれか1つは0でなく、 かつどの絶対値もnを超えないものが存在するか? |a + b√2 + c√3|< 1/n^2, ( 面白スレ34-995 ) 例) n=10 0.339978835200 /n^2, (a, b, c) = (-3, -4, 5) n=10^2 0.520711297654 /n^2, (-1, 35, -28) … … n=10^6 0.335288234411 /n^2, (96051, -616920, 448258) n=10^7 0.617825865545 /n^2, (2425305, 2250206, -3237536) n=10^8 0.594330503906 /n^2, (54823746, 25581379, -52539613) n=10^9 0.466099494288 /n^2, (-116906393, -23832207, 86954853) n=10^10 0.600393045602 /n^2, (-2133560879, -933735484, 1994203778) (注:鳩ノ巣原理では解けません) n=10^3 0.03795765927 /n^2, (-28, 495, -388) n=10^4 0.8889085512745 /n^2, (817, 5753, -5169) n=1 0.317837245196 (0, -1, 1) n=2 0.049888052765 (-2, -1, 2) n=3,4 0.046488264413 (1, 3, -3) n=5〜17 0.003399788352 (-3, -4, 5) n=11〜15 0.004128746211 (11, -9, 1) n=14〜37 0.000728958 (14, -5, -4) 2項だと無理っぽいけど、3項なら可能(?) |a'|, |a"|, |b|, |c| ≦ n とする。 リウヴィルの定理(1844) |a' + b√2| > k(√2)/b > k(√2)/n, |a" + c√3| > k(√3)/c > k(√3)/n, k(√2) = 2(√2 -1)^2 = 0.34314575 k(√3) = (1/2)(√3 -1)^2 = 0.2679492 >>237 n=10^5 0.9710681853653 /n^2, (17841, 11305, -19531) (略解) -28 + 495√2 - 388√3 = 3.7957659×10^(-8) ・・・・ (3) 789 + 6248√2 - 5557√3 = 4.68467447809×10^(-8) ・・・・ (12) (3)×21 - (12)×17 -14001 - 95821√2 + 86321√3 = 7.161833560804×10^(-10) ・・・・ (18) 1920 - 42258√2 + 33395√3 = 4.0664508730847×10^(-10) ・・・・ (7) (7)×2 - (18) 17841 + 11305√2 - 19531√3 = 0.9710681853653×10^(-10) 問題 コインが何枚かあって 1枚のコインが他のコイン全てに接することが それぞれのコインについていえるような最大数は何枚か 答え 5枚 というのが数学オリンピックの本に載っていたように思うが どのように配置すればいい? ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
read.cgi ver 07.4.7 2024/03/31 Walang Kapalit ★ | Donguri System Team 5ちゃんねる