数学オリンピック事典を一日一問以上解くスレ

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/20(水) 17:21:59.74

73。前問と同様に考える。床関数。等比数列。近似する。
フィボナッチ数列。フェルマーの小定理。ベズーの恒等式。整数論の基本定理。ベルヌーイの不等式。1次近似の式。
74。ほぼ公式そのまま問題。
メビウス関数。数論的関数。1, 0, (-1)^k。メビウスの反転公式。乗法的関数。和関数。メルセンヌ数。
75。前問を適用する。上手い値を代入する。
約数の個数。約数の和。ユークリッドの互除法。割り算を繰り返す。有限回で終了する。
76。合成数。完全に割り切る。ルジャンドルの公式。
ルジャンドル関数。pの指数。素因数分解。
77。因数分解の公式を繰り返し用いる。重要。
素数か非素数か、無限個あるか有限個か。
フェルマー素数が無限にあるかどうか。
合成数のフェルマー数が無限にあるかどうか。
78。互いに素。問題77の利用。問題22の特別な場合。
ルジャンドルの公式。和関数。数論的関数。
79。定理が使える形に変形する。偶数であることを示す。素数にならない。
フェルマーの小定理の逆が成り立たないこと、反例を与えることになる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/22(金) 00:19:00.05

1
a=bq=r。0≦r<b。割り切れる。割り切れない。倍数。約数。因数。剰余。
イェンセンの不等式。凸性。オイラーの公式。
OI^2=R^2-2rR。外心。内心。外接円。内接円。
3
b|a1、b|a2ならばb|c1a1+c2a2。
扇形。外心。外接円。カイト。線対称。菱形。対角線は直交する。解と係数の関係。多項式。ガウスの補題。加法定理。
4
c|b、b|aならばらc|a。
公約数。最大公約数。互いに素。公倍数。最小公倍数。
コーシー・シュワルツの不等式。最小多項式。既約。三角形の垂心。三角比に関する恒等式。3倍角の公式。
7
AB=GL
ジェルゴンヌ点。シューアの不等式。周期関数。最小のもの。巡回的な和。スチュワートの定理。垂線の長さ。角の二等分線の長さ。
8
aとbは互いに素でa|bcならばa|c
正弦法則。正弦定理。積和公式。相加相乗平均の不等式。冪平均不等式。相加調和平均の不等式。冪平均不等式。相似移動。相似比。正も負もある。相似移動可能な三角形。
9、10
ユークリッドの互除法
デザルグの定理。チェバ線。チェバの定理。チェビシェフ多項式。漸化式。チェビシェフの不等式。
11
ax+by、gk。
中線公式。展開公式。凸性。
12、13有限回の操作。
素数と合成数。素因数。約数の大きさ。
下に凸。上に凸。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/22(金) 00:32:16.98

14
素数は無限に存在する。
背理法。素数定理。解析的整数論。π(x)～x/logx (x→∞)。
下に凸=凸。上に凸=凹。イェンセンの不等式。
エラトステネスの篩。
15
p|abならばp|aまたはp|b。
ド・モアブルの公式。展開公式。内心。内接円。並べ替えの不等式。二項係数。二乗平均・相加平均の不等式。
16
素因数分解の一意性。
基準分解。完全数。過剰数。豊数。不足数。輸数。
互いに親和数。
冪平均不等式。2倍角の公式。鳩の巣原理。半角の公式。

1
一次不定方程式。ユークリッドの互除法。
冪平均不等式。ヘロンの公式。傍心。傍接円。内角の二等分線。外角の二等分線。
2
解法。特殊解を見つける。
余弦法則。余弦定理。ラグランジュの補間公式。
3
(a,b) |cとなることが必要十分である。
相異なる。ただ一つ存在する。和積公式。
4
c=1ならば、aとbが互いに素であることが必要十分条件。
・(a,c)=1、(b,c)=1ならば(ab,c)=1。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/22(金) 14:06:13.45

1
a/b。有限連分数は有理数。
無限連分数。2次無理数。循環無限連分数。正則連分数。
連分数。ユークリッドの互除法。繁分数。有限連分数。
集合・写像に関する用語・定義。集合に関する諸定義。
2・1
√2≒17/12。
互いに素。帰納法。行列式。
ガウス。多項式。 n次近似分数。
有限個。無限個。元。要素。空集合。属する。
2・2
x=kβ、y=kα。ユークリッドの互除法。三角不等式。
代数的数。
{a, b, …}と列挙した形。{a|aは偶数}。 |S|。含まれる。部分集合。真部分集合。
交わり。共通部分。積集合。結び。和集合。差集合。A- B。A\B。全体集合。部分集合。補集合。S^C。集合族。
1
合同式。a≡b mod m。法。合同。ガウス。不合同。
写像に関する諸定義。写像。関数。単射。
x1≠x2ならばf(x1)≠f(x2)。
対偶を取ってf(x1)=f(x2)ならばx1=x2。
1・2
37≡2 mod7。
全射。任意のy∈Yに対してf(x)=yとなるx∈Xが存在する時、fは全射。全単射。1対1対応。
12≡-4 mod8。
全単射。置換。変換。恒等置換。恒等写像。
普通の剰余。絶対最小剰余。
反射律。対称律。推移律。
単射。全射。全単射。元の個数は等しい。
4・3
剰余類。剰余系。代表。完全剰余系。
全単射。可算集合。
mod 3では{0,1,2}が完全剰余系。{-1,0,1}でも良い。
整数全体の集合、有理数全体の集合は可算集合。実数全体の集合は可算集合ではない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/22(金) 14:35:40.51

2
a+c≡b+d。a-c≡ b-d。
数列に関する用語・定義。
数列。狭義単調増加。広義単調増加。単調増加。
狭義単調減少。広義単調減少。単調減少。
3
ac≡bd。a^k≡b^k。
実数値関数。狭義単調増加。広義単調増加。単調増加。
狭義単調減少。広義単調減少。単調減少。
フィボナッチ数列は広義単調増加。関数y=xは狭義単調増加。
3・2
互いに素ならば両辺を約分できる。
互いに素でなければmodも含めて両辺を約分する。
フィボナッチ数列。1,1。ルカス数列。1,3。
4
(m+n)^p≡m^p+n^p modp。二項定理。
その他の用語・定義。
オイラー関数。互いに素。天井記号。床記号。
4・2
ディリクレの定理。素数からなる集合S。
ディリクレ密度d (S)。
4・3
多項展開でも4・2と同様に p乗のみが残る。
初項と公差が互いに素な等差数列は無限個の素数を含む。
p≡a mod mを満たすpは(a,m)=1ならば無限に存在する。
5
a^p≡aフェルマーの小定理。互いに素ならばa^(p-1)≡1。
実際にはd=1/φ(m)となる。
二項係数。鳩の巣原理。
4・3において全ての項を1とすれば導かれる。
フェルマーの小定理。包除の原理。任意の有限集合。
ディオファントスの数論。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/22(金) 15:22:53.45

1
φ(m)。オイラーの関数。剰余系。既約剰余系。mと互いに素なもの。整数論的関数。
グラフに関する用語・定理。グラフに関する諸定義。頂点。グラフ。辺。頂点V。辺E。vとwは隣接する。vはeに接続する。wはeに接続する。
1・2
p-1。既約剰余類。既約剰余類群。乗法群。位数。巡回群。
辺の本数を次数。歩道。歩道の長さ。始点。終点。閉歩道。重複してもよい。道またはパス。閉路またはサイクル。連結である。
2
(a,b)=1の時、φ(ab)=φ(a)φ(b)となる。
握手の補題。回数の総和は偶数回。各頂点の次数の総和は偶数。
3
φ(a)=aΠ(1-1/pi)。pは素因数分解の時の底すなわち各素数。
オイラーの一筆書き定理。閉歩道。オイラー周遊。オイラーグラフ。連結グラフ。必要十分条件。
(1)Gの全ての頂点の次数が偶数であること。(2)次数が奇数の頂点の個数が0または2であること。なぜならば始点と終点を結ぶことによりオイラーグラフになるため。
0個ならば(1)と同値。2個ならばそれら2点の頂点を辺で結ぶことにより奇数が0個になり(1)に帰着される。
4
Σφ(d)=a。ここでΣは全ての約数に関する和。
完全グラフ。結婚定理。Hallの結婚定理。|M|≦|F|。
5
μ(a)。メビウスの関数。整数論的関数。1ならば1。平方因子を持たないならば素数の個数をrとして(-1)^r。平方因子を持つならば0と定義する。
「男性が好みの女性と結婚する」定理であって女性の気持ちは関係ない点に注意。男性は複数の女性を好きであることも可能である。
5・2
μ(ab)=μ(a)μ(b)。(aとbが互いに素の時)。Σμ=0。
整数論的関数。乗法的。
単色。部分グラフの全ての辺が同じ色で塗られていること。
ハミルトンサイクル。
7
Fを整数論的関数とするとG=ΣFも整数論的関数。F=Σμ(a/d)G(d)。ディリクレの反転公式。オイラーの関数とメビウスの関数。
8
ΣF=aならばオイラーの関数。ΣF= 0ならばメビウスの関数。
9
(a,m)=1ならばa^φ(m)≡1 mod m。オイラーの定理。
フェルマーの小定理の拡張。既約剰余類。a倍しても既約剰余類である。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/23(土) 14:12:06.91

IMO 1987
m∈Zの時、√(1+m^2)は無理数である。よってy=x^2上の任意の2つの格子点の間の距離は無理数である。
また放物線上の任意の相異なる3点は一直線上には並ばないので必ず三角形を作る。
面積はS=|a(α-β)(β-γ)(γ-α)|/2で与えられるので、有理数となる。

剰余類。完全剰余系。
1
ax≡b。連分数の理論を用いる方法。オイラーの定理を用いる方法。中国剰余定理。孫子の剰余定理。ウィルソンの定理。modが素数の時には解の個数は高々n個である。帰納法。
6
割り算の原理。ウィルソンの定理。ウィルソンの定理の逆。
10
ラグランジュの定理。6から派生しているので6が重要。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/23(土) 14:52:44.66

21
背理法。約数であると仮定するとkと置ける。nは正の偶数なので因数分解出来る。和差算。すると x=y=1となり矛盾。
22
逆に並べて加える。13|2002がポイント。問題19を用いれば一発で答えが出る。
23
体Zp=Z/(p)=Z/pZで定義された準同型写像。
Z/(1997)-{0}において定義されている乗法に関して2の逆元すなわち xy≡1の時、f(x)=y。1000x≡1の時、x≡1332。
24
平方数の存在条件。平方数はそれぞれをかけても平方数なので、3数をかけてみる。
すると不等式評価M^2<α<(M+1)^2が得られるのでαは平方数ではないことが示された。
25
シャッフル。1回のシャッフルで起こる置換をmodを用いて表す。重要。写像の意味を掴む。k=8とすると題意を満たす。16回シャッフルを行うと元に戻る。
30
p≠2, 5の時。オイラーの定理より0がm個連続して並ぶ事が分かる。
p=2の時。不等式評価してlをうまく選べば題意を満たすように出来る。
p=5の時。不等式評価してlをうまく選べば題意を満たすように出来る。
従っていずれの場合にも題意を満たすように構成できることが示された。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/23(土) 15:37:57.13

IMO 1992
倍数なのでkと置ける。abcで不等式評価する。分数の形にして解の候補を絞る。重要。
別の不等式評価により、k=2, 3と分かる。a=2, 3も分かる。これらの組合せ4通りを調べる。
ここまで絞れると、すなわちaが消去できるとあとは普通の双曲型不定方程式に帰着される。答えは(3, 5, 11), (2, 4, 8)。
1
10^e≡1。
無限循環小数。循環節の位数。ディリクレの部屋割り論法。デデキントの鳩の巣原理。周期の位数。分母が 2又は5のみの場合は割り切れる。それ以外の素数を含む場合は割り切れない。
1・2
フェルマーの小定理。指数という。冪乗して1になる最小の冪を指数という。e|p-1。
オイラーの定理。オイラーの関数。循環節の長さが求められた。既約真分数。
2
同一のものが存在したとして背理法。eの最小性がポイント。
3
p-1の任意の約数を指数に持つ整数が存在する。それはφ(d)個ある。
4
指数p-1に属する数はφ(p-1)個ある。
・3x≡11 mod 13。
標数表を見れば標数で合同式が解ける。原始根はどれでもOK。
素数pの原始根。イデアル。商環。素数ならば体になる。
・x^2≡2 mod 13。
両辺の標数を取る。解は存在しない。
巡回群。既約剰余系。生成元。
・x^3≡5 mod 13。
両辺の標数を取る。標数表を利用する。x≡8,7,11。
素数pの原始根は巡回群Zp^×の生成元と言える。剰余類。
・3^x≡5 mod 13。
両辺の標数を取る。解を持たない。
5
底は原始根。対数に似ている。標数。標数表。
平方剰余。冪剰余。
6
x^n≡a modp。
d|Ind(g,a)。解はd個存在する。
原始根。両辺の標数を取る。
・5x^6≡8 mod 13。
x^6の係数を消す(1にする)。両辺の標数を取る。
7
a^(p-1)/d≡1 modp が必要十分条件。
平方剰余。平方非剰余。n冪剰余。n冪非剰余。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/23(土) 17:34:56.53

IMO 1987
(1)単射であることの証明。単射でないと仮定して背理法。
写像。単射。
(2)全射でないことの証明。全射であると仮定して背理法。
非負整数全体の集合になる。
片方は0以上、他方は1987以上で矛盾。全射。集合。
(3)E1=Z0-D1とする。fは単射なのでD1∩E2=Ø。
E2=D1-D2。全射でないので隙間が生じることがポイント。

1
a^(p-1)/2≡1 modp。平方剰余の必要十分条件。
原始根。既約類の半数が平方剰余、半数が平方非剰余。
2
a^(p-1)/2≡-1 modp。平方非剰余の必要十分条件。
平方剰余。平方非剰余。奇素数p。
3
平方剰余ならばabも平方剰余。平方非剰余ならばabは平方剰余。バラバラならばabは平方非剰余。
(2)ルジャンドルの記号。平方剰余の時、1、平方非剰余の時、-1と定める。pは奇素数。aはpと互いに素。
4
(a/p)=(b/p)。(ab/p)=(a/p)(b/p)。
5
(a/p)≡a^(p-1)/2 modp。
オイラーの規準。オイラーの判定条件。
6
(-1/p)=(-1)^(p-1)/2。
平方剰余に関する第1補充法則。オイラーの規準。
7
(a/p)= (-1)^n。
ガウスの補題。オイラーの規準。絶対最小剰余。
既約剰余系。
8
(2/p)=(-1)^(p^2-1)/8。
平方剰余に関する第2補充法則。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/24(日) 04:48:49.74

9
相異なる奇素数。(q/p)(p/q)=(-1)^(p-1)/2 (q-1)/2。
ガウスの補題。p≡1∨q≡1の時は1。p≡3∧q≡3の時は-1。
10
(1)(59/103)
(59/103)(103/59)=-1。相互法則。
=-(103/59)=-(44/59) 還元。
=-(2/59)(2/59)(11/59) 相互法則。
= (2/59)(2/59)(59/11)
=(4/11) 第2補充則。=1。
(2)同様に(95/997)=-1。
10・2
解なし。
11
合成数の平方剰余。ヤコビの記号。ルジャンドルの記号。
ルジャンドルの記号は全て1にならないと解は存在しない。
-1が偶数個あると見かけ上 1になってしまって解を持つと勘違いしやすいから注意する。
12
ルジャンドル記号における第1補充則と第2補充則と
同じ形の法則がヤコビ記号においても成り立つ。
互いに素ならばルジャンドル記号における相互法則の
類似もヤコビ記号において同じ形で成り立つ。
12・1
(1)-1。(2)-1。
12・2 既約剰余類。互いに素。平方非剰余。既約剰余類。
初等整数論。解析的整数論。代数的整数論。素数定理。
オイラー積表示。
sinπx=0⇔x=整数。x^2の係数を比較する。
ゴールドバッハの派生問題。ウェアリングの問題。
有理整数。代数的数。代数的整数。ガウスの整数。超越数。イデアル論。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/24(日) 05:23:05.33

IMO 1986
狭義単調減少数列が得られるのでいつかは手続きが完了する。

IMO 1998
ab+1が消去出来る。その残りをCとするとB|C。
C>0の時, 不等式評価で矛盾が導ける。
C=0の時, 構成出来る。(7k^2, 7k)。
C<0の時, 具体的に求まる。(11, 1)(49, 1)。

IMO 1988
背理法で示す。Max{a,b}が最小なものについて考える。
(1)a=bの時。0<k<2。∴k=1という平方数になって矛盾。
(2)a<bの時。Max{a,b}=b。
解と係数の関係によりb+β=ka, bβ=a^2-k。
(a,b)以外に(a,β)も与式を満たす。
不等式評価によりβ<b。これはbの最小性に矛盾する。
(3)a>bの時。(2)と全く同様に証明出来る。
よって非平方数は存在しない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/25(月) 21:56:10.91

●█▀█▄⋯⊶≕≍≖≎≢≣≋∺∻ブウウウウウウウウオオオオオオオオオオオオオ

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/26(火) 00:15:49.70

1
三角法の基礎事項。直角三角形を用いた三角関数の定義。関数。写像。像。定義域。値域。正弦。余弦。正接。余接。正割。余割。sin。cos。tan。csc。sec。cot。相似。垂線の足。直角三角形。
2
箱の中での考察。相似。加法定理。2倍角の公式。3倍角の公式。
3
直角を作る。垂線の足。相似。加法定理。等比数列。等差数列。加法定理。減法定理。
4
単位円周に沿っての考察。垂線の足。回転。極座標。周期。周期関数。余弦関数。余角の正弦。加法減法定理。減法定理。2倍角の公式。3倍角の公式。加法減法定理。半角の公式。
積和公式。和積公式。差積公式。合成する。
5
三角関数のグラフ。奇関数。サニュソイド的。偶関数。振幅。線型結合。1次結合。同じ周期。フーリエ。漸近線。正接関数。鉛直な漸近線。下に凸。上に凸。イェンセンの不等式。関数の凸性。2次導関数。
6
正弦法則。正弦法則。幾何的意味。外接円。角の二等分線定理。外角版。
7
面積とトレミーの定理。垂線の足。対角線。トレミーの定理。円に内接する四辺形。外接円。等脚台形。対角線。対称性。加法定理。2倍角の公式。正弦法則。トレミーの定理。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/26(火) 00:45:11.60

8
存在・一意性そして三角関数の変換公式。正弦法則。一意的。二等辺三角形。全射。上への関数。単射。1対1。全単射。1対1対応。正弦関数。余弦関数。全単射。正接関数。互いに逆。全単射。
グラフは面白くかつ重要。周期4。三角法の置換の秘伝。
鳩の巣原理。コーシー・シュワルツの不等式。
9
チェバの定理。チェバ線。正弦法則。重心。垂心。内心。
ジェルゴンヌ点。傍心。
チェバの定理。正弦法則。
10
箱の外での考察。相似変換。中心。相似比。像。原像。相似。
11
メネラウスの定理。点が同一直線上。チェバの定理は直線が同一点上。正弦法則。辺々掛け合わせる。
12
余弦法則。SAS型。SSS型。
13
スチュワートの定理。中線定理。中線公式。
14
ヘロンの公式。ブラーマグプタの公式。内接四辺形。余弦法則。接線。三角形の周の半分。
15
ブロカール点。外接円。ブロカール点。角の二等分線。対称移動。チェバの定理。ブロカール点。等角で共役。互いに素。余弦法則。ヘロンの公式。正弦法則。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/26(火) 01:19:19.65

16
ベクトル。ベクトル。尾。頭。和。スカラー倍。スカラー因子。長さ。大きさ。傾き。鉛直。直交する。菱形の対角線は内角を2等分する。
直角二等辺三角形。入射角と反射角は等しい。互いに補角をなす。二等辺三角形。加法定理。半直線。
17
内積と余弦法則のベクトル版。内積。余弦法則。
18
コーシー・シュワルツの不等式。ベクトル。コーシー・シュワルツの不等式。
19
ラジアンと重要な極限。単位円周上。ラジアン。扇形。極限値。
20
円柱の切断によるサニュソイド的曲線の構成。切断曲線。切断面。対称性。垂線の足。
21
3次元の座標系。内積の定義。赤道面。直交座標系。緯度。緯線。本初子午線。北極点。南極点。大円。赤道。経線。経度。順序対。極座標。球座標。直交座標系。赤道面。垂線の足。球座標。直交座標。
22
地球上の旅行。円周。弧。大円。赤道。大半円。余弦法則のベクトル版。
23
あなたはどこにいるの？GPS。平行四辺形。内積。分配法則。余弦法則のベクトル版。連立方程式。直交座標系。球座標。
24
ド・モアブルの公式。複素数。虚数単位。純虚数。ベクトル。複素平面。複素数平面。虚軸。実軸。原点。対角線。平行四辺形。ベクトル。絶対値。長さ。円周。極形式。複素数。極座標。
ベクトルの和。菱形。角を二等分する。半角の公式。
加法定理。2倍角の公式。加法定理。和積変換の公式。複素数の積。加法定理。極形式。加法的性質。ド・モアブルの公式。展開公式。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/26(火) 09:46:54.64

　　　　　　　　　　　　　　　　!
　　　　　　　　　 |　　　丶　＿　　　　.,!　　　　　ヽ
　　　　　　　　　 >　　　　｀`‐.｀ヽ、　 .|、　　　　　|
　　　　　　　　　　　　ﾞ'．　　　　　,ト｀i､　｀i､　　　 .､″
　　　　　　　　　　　 |　　　 .,.:/""　ﾞ‐,.　｀　　　 /
　　　　　　　　　　　　　`　 .,-''ヽ"｀　　　　ヽ,,,、　　 !
　　　　　　　　　　､,､‐'ﾞl‐、　　　　　 .丿 : ':、
　　　　　　　　　､/ヽヽ‐ヽ､;,,,,,,,,,-.ッ:''｀　　.,"-、
　　　　　　　　 ,r"ﾂぃ丶　｀｀｀｀｀｀　　　..／　｀i､
　　　　　　　　　　,.ｲ:､ヽ／ー｀-､-ヽヽヽ､－´　　　 .lﾞ｀-、
　　　　　　　　 _,,lﾞ-:ヽ,;､、　　　　　　　　　　　　､､丶　ﾞi､,,、
　　　　　　　 ,<_ l_ヽ冫｀'｀-､;,,,､､､､.............,,,,､.-｀": 　　　│ ｀i､
　　　　　､､::|､､､ヽ,､､.　　　　｀｀｀: : : ｀｀｀　　　　　　､.､'｀　　.|丶、
　　　　　.l","ヽ､,"､,"'､ぃ､､,､､、、.、、、.、、､_､.,,．ヽ´　　　　lﾞ　ﾞ).._
　　　 ,､':ﾞl:､､｀:ヽ､｀:､　 : ｀"｀｀｀￢――'''"｀ﾞ＾｀　　　　　: ..､丶　 .lﾞ｀ヽ
　　　,i´.､ヽ".､".､"'ヽヽ;,:､........、　　　　　　､､...,,,､－‘｀　　､‐　　 |ﾞﾞ:‐,
　 ,.-l,i´.､".`ヽ,,,.".｀　　　｀ﾞﾞ'"｀'-ｰ"｀｀"｀｀r-ｰ｀'":　　　　　 _.‐′　　丿　 ,!
　j".､'ヽ,".､".､"`''｀ｰ､._､、、　　　　　　　　　　、._,、..-‐:'''′　　 .､,:"　　丿
　ﾞl,"`"`''ヽヽ"`"｀　｀｀｀ﾞ'''"ヽ∠、､、､ぃ-｀''''": ｀　　　　　　､._.／｀　 ._/｀
　｀'ｉ｀ヽヽヽ｀''ｰi､､、: : 　　　　　　　　　　　　　　　　　、.,-‐'｀　　、／｀
　　｀`ヽン'`"｀　 : ｀~｀｀―ヽ::,,,,,,,,,,.....................,,,,．ー'｀｀＾　　　　,､‐'"｀
　　　　　 `"'ﾞ―-､,,,,..､、　　　　　　　　　　　　　　　　: ..,､ー'"'｀
　　　　　　　　　　　: ｀‘"｀―---------‐ヽ｀｀"''''''""

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/26(火) 10:37:03.63

　　　　　　　　　＿人人人人人人人人人人人人人人人＿
　　　　　　　　＞　　　そうなんだ、すごいね！　　　　　＜
　　　　　　　´￣^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^￣
　　　　　　　　　　　　__､､=–､、　　　　　　　　　＿＿
　　　　　　　　　　　/　　　　・　ﾞ!　　　　　　　／・　　　｀ヽ
　　　　　　　　　　　|　・　　　__,ﾉ　　　　　　（＿　　　・　|
　　　　　　　　　　　ヽ、　(三,､,　　　　　　　　＿）　　　 /
　　　　　　　　　　　　/ー-=-i’’　　　　　　　（__＿＿,,,.ノ
　　　　　　　　　　　　|＿＿,,/　　　　　　　　　　|＿＿ゝ
　　　　　　　　　　　　　〉　　）　　　　　　　　　　（　　）

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/26(火) 10:44:59.24

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・　　　　＄　　？｛
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・／-===-====-===---=／
"''-,,_　　　　　　　　＼　　　　　　／－－－－－－－－－∠ﾐ::　　　　／　　　　　　　　_,,-''"
　　　"''-,,_　　　　　　　＼　　　　ﾐミ　　　　　　　　＿　　　ミ::　　／　　　　　　_,,-''"
　　　　　 ┏┓ 　 ┏━━┓　　ﾐ　　二__, --､r'"___､　ヾ　ﾄ､::ヽ　　　　　 _,,-''"　┏┓┏┓
　　　　┏┛┗┓ ┃┏┓┃　　ﾐレ'"~,-,､　!　　! ' '"￣ .ノ　＼ヾ:､　　　　　　　 ┃┃┃┃
　　　　┗┓┏┛ ┃┗┛┃┏　K/ｰ'~^~_/　ヽﾐ:ー‐‐'"　　　ヽ　i::━━━━┓　┃┃┃┃
ー‐‐- ┏┛┗┓ ┃┏┓┃┃!〉　ｰ―'"( o　⊂! ' ヽ　　　∪ 　 Y::　　　　　　┃　┃┃┃┃
　　　　┗┓┏┛ ┗┛┃┃┗i　　∪ 　,.:::二Ｕﾆ:::.､.　　　　　　 l　i━━━━┛　┗┛┗┛
　　　　　 ┃┃ .,. -‐‐､.┃┃　 .!　　　　 :r'ｴ┴┴'ｰダ　∪　　　 !Kl.　　　　　　 ┏┓┏┓
　　　　　 ┗┛.,'　　´ ,,,... ヽ_ 　.!　　　　 .!　　　　　 .!　　　　　　 .!　　,.--＜｀ヽ、　┗┛┗┛
　　　　　　　　,'　　　　　　- ヽ .i､　 .　　ヾ=､＿_.／　　　　　　　ﾄ/´~｀`　｀ , ヽ
　　　_,,-''"　 ,'　　　　　　　,..､|　ヽ.　:､∪　ﾞ　-―-　　　　,;　∪　,/´｀`　　` 　 i　.l
_,,-''"　　　　 |　　　　　　.,ﾍ__ノ　　＼. 　:.　　　　　　　　　.:　　　人　￣ヽ　　　　 |　"''-,,_

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/26(火) 11:40:35.41

　　＼
　　　＼
. 　　　＼
.　　　　　　＼　　　　　＿＿＿＿＿＿＿
　　　　　　　＼　 r'´￣￣￣　　￣￣￣｀､::.　　　＿＿＿
　　　l} ､:: 　　　＼ﾍ,___,＿＿＿＿＿＿＿/::.＿＿|　　　　.|＿＿＿＿＿＿＿＿＿_＿
　　　|l　＼::　　　 | | 　　　　　　　　　　　｜､:..　　|　[],　_ .|: [ニ]:::::
　　　|l'-,､イ＼:　　　| |　　　　∧,,,∧　.　　　｜::..　　ﾍ￣￣,/:::(_＿)::
　　　|l　　´ヽ,ノ: 　　| |　　　（´・ω・｀）　　　 ,l､:::　　　￣￣::::::::::::::::
　　　|l　　　 | :|　　 | |,r'",´￣￣￣￣￣｀ヽ､l:::::
　　　|l.,＼＼| :|　　 | ,'　　　　　　　 :::::... 　..::ll:::: 　　そうだ
　　　|l　　　 | :|　　 | |　　　　　　 :::::::... . .:::|l::::　　　これは夢なんだ
　　　|l＿＿,,| :|　　 | |　　　　　　 ::::....　 ..:::|l:::: 　　ぼくは今まで永い夢を見ていたんだ
　　　|l￣｀~~| :|　　 | |　　　　　　　　　　　　|l::::　　　目を閉じてまた開いた時
　　　|l　　　 | :|　　 | |　　　　　　　　　　　　|l::::　　　ぼくはまだ12歳の少年の夏
　　　|l　　　 | :|　　 | |　　　''"´　　　　　　 |l::::　　　起きたらラジオ体操に行って
　　　|l ＼＼[]:| 　　| |　　　　　　　　　　　 |l::::　　　朝ご飯を食べて涼しい午前中に宿題して
　　　|l　　ｨ'´~ヽ　　| |　　　　　　　｀`' 　 |l::::　　　午後からおもいっきり遊ぶんだ
　　　|l-''´ヽ,／:: 　　| |　　　''"´　　　　　　 |l::::　　　虫取り網を手に持って・・・
　　　|l 　／:: 　　　 | ＼,'´＿___..:::::::::::::::_`l__,ｲ::::
　　　l}ィ:: 　　　　　|　　`´::::::::::::::::::::::::::::::`´::::::

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/26(火) 14:00:19.11

/:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::ヽ::::::ヽ
:::::::/::::::::::::::::::::::::::::ハ::::::::::::::::::::::::::ヽ::::::ヽ　　　／⌒＼
:::::/:::/:::::::/::::::::::::/　 V::::::::::V::::::::::::ヽ:::::::',　　/　　　　ヽ
:::/::/::::://::::://:/　　ヽ:ヽ::::V:i:::::::::::';::::::::,　/　　き　 !
:::l::::!:::::トi:_::/ i:/　　　 V:ﾊ:::ﾊ:レ::::::::i::::::::} ,'　　も　　 !
:::i::::!::/{　V:ト､{　　　　､_iレ:イﾌ　V:::i::}::::::::! !　　い　　 }
:::{:::{:/ ／z77ﾊヽ　　　／zzミヽ　i::::i:i:::::::::! {　　　：　　 }
::::!::i:i i　ん///}　　　　　ん//ﾊ ', i::::i:i:::::::ﾘゝ　　：　　/
::::i:::ﾊ　弋z‐フ　　　　　弋z‐フ　ｲﾉ:i:i:::::::i　(_,､　　__／
:::::i::i:::!　　￣　　　　　　　￣　　 '::::i:i::::::ﾘ O　￣
::::::i::i:ﾊし　　　　 ′　　　" "　/::::i:i::::ノﾟ
｀ヽi:ト::＞　　　　､　 , 　　　イ:::::〃'´
　　V／: : {｀ヽ　　　＿　＜i: : :＼
　／: : : : : ＼　／￣＼　／: : : : : :＼

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/26(火) 14:56:19.32

　　　　 ┏┓　　　　　 ┏━┓　　　　　　 ┏┓　　　　　　　　　　　　　 ┏━━━━┓
　 ┏┓　 ┗┛　　 ┏┓　 ┗┓┃┏┓┏┓　 ┏┛┗━━┓┏━┓　　　　　　　 ┃┏━━┓┃
┏┛┗━┓┏┓┏┛┗━┓┃┃┃┃┃┃　 ┗┓┏━━┛┗┓┃┏┓┏━━━┓┗┛　　 ┃┃
┗┓┏━┛┗┛┗┓┏┓┃┗┛┃┃┗┛　　 ┃┃　　 ┏┓┗┛┃┃┗━━━┛　　 ┏━┛┃
┏┛┃┏━┓　 ┏┛┃┃┃　　 ┃┗━━┓　 ┃┃┏━┛┗┓　 ┃┃　　　　　　　 ┃┏━┛
┃┏┛┗━┛　 ┗━┛┃┃　　 ┗━━┓┃　 ┃┃┃┏┓┏┛　 ┃┃┏┓　　　　　 ┗┛
┃┃┏━━┓　　　 ┏┛┃　　 ┏━━┛┃　 ┃┃┃┗┛┃　　 ┃┃┃┗━━┓　　 ┏┓
┗┛┗━━┛　　　 ┗━┛　　 ┗━━━┛　 ┗┛┗━━┛　　 ┗┛┗━━━┛　　 ┗┛

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/26(火) 16:31:16.73

1。加法。乗法。分配律。記号と準備。集合。要素。元。
2。要素を列挙する方法。性質によって表現する方法。部分集合。真部分集合。差。空集合。Ø。和集合。
3。合併集合。共通集合。互いに素。論理記号。自然数全体。整数全体。有理数全体。実数全体。複素数全体。
4。整除される。割り切れる。約数。倍数。b｜a。
5。公倍数。最小公倍数。
写像。ただ一つ対応させる。変換。像。逆像。写像の相等。単射。の中への1対1写像。全射。の上への写像。
6。公約数。最大公約数。
恒等写像。合成写像。全単射。逆写像。直積集合。順序対。直積集合。A×B。同値関係。
・除法の原理。
存在と一意性。帰納法。
・ユークリッドの互除法。単調に減少する整数の列。
反射律。対称律。推移律。同値類。代表元。商集合。類別。
7。完全代表系。対等。全単射。同値関係。濃度が等しい。可算集合。自然数全体に対等な集合。
任意の。ある。
8。7の拡張。帰納法。
9。 8より成り立つ。
10。互いに素。
11。d｜b。必要条件。十分条件。数学的帰納法。
・素数。合成数。エラトステネスの篩。ギリシャ。素因数。
12。素因数分解の一意性。帰納法。有限個の素数の積で表される。一意性。フェルマーの素数。メルセンヌ数。ガウスの記号。k進表示。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/26(火) 16:51:21.86

1。a≡b modn。法。合同。合同式。
2。反射律。対称律。推移律。同値関係。和差積。
3。互いに素ならば割って良い。
互いに素でなければ法も含めて割る。
4。1次合同式の解法。
5。解の存在条件。
6。解の個数。d個ある。合同方程式。
7。中国式剰余の定理。帰納法。解の存在証明。
8。数学的帰納法。剰余類。代表元。反射律。
9。反射律。対称律。推移律。部分集合。
逆の包含関係。除法の原理。同値関係。類別。
剰余類。完全代表系。互いに素。既約剰余類。

1。オイラーの関数。φ。既約剰余類の個数＝φ。
写像。単射。全射。全単射。互いに素り既約剰余類。
制限した写像。
2。乗法的。既約剰余類。全単射。単射。全射。
3。帰納法。互いに素。割り切れない。
4。縦に数えるか横に数えるか。
5。メビウスの関数。
6。乗法的。素因数分解。互いに素。
7。メビウスの反転公式。リウヴィルの関数。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/26(火) 16:52:04.78

同じアスペ

「物理数学の直感的方法」とかいう本
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/sci/1523151554/

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/26(火) 17:21:20.27

1。整数。集合。集合。要素。元。中にある。属する。含まれる。空集合。Ø。部分集合。真部分集合。含まれる。和集合。共通部分。交わり。結び。交わる。交わらない。直積。積。空集合。
2。数学的帰納法。除法の原理。整列性。自然数。整列性。最小元を持つ。空でない自然数の集合。数学的帰納法の原理。第1形式。整列性。最小元。数学的帰納法の原理。第2形式。
3。除法の原理の証明。帰納法。整商。余り。剰余。負でない最小剰余。階乗。帰納法。二重帰納法。規約する。組合せの数。整列性。帰納法。第2形式。
二項定理。二項係数。凸関数。下に凸な関数。
凹関数。上に凸な関数。微分法。

最大公約数。割り切れる。割り切る。倍数。約数。符号。公約数。最大公約数。0は任意の整数の倍数である。0の倍数は0のみである。
ユークリッドの互除法。正の整数の減少数列。最大公約数。必ず最後には割り切れる。互いに素。対ごとに素。
ユークリッドの互除法。互いに素。

最小公倍数。公倍数。整列性。最小公倍数。双対的。対ごとに素。
素数。素因数分解。素数。合成数。整数論の基本定理。背理法。最小の元。最小性に反することを導き矛盾。存在性と一意性。標準分解。約数の和。真の約数。完全数。6, 28。オイラー。
互いに素。メルセンヌ数。フェルマー数。有理数。互いに素。既約分数。素数は無限に存在する。対ごとに素。標準分解。冪。a進展開。帰納法。一意性。準完全数。既約な準完全数。2進展開。既約。整数部分。ガウスの記号。小数部分。

同値関係。合同式。～同値関係。反射律。対称律。推移律。類。同値類。類別。代表。法。合同。同値関係。和差積。法mに関する剰余類。互い合同。剰余類の代表。完全剰余系。
二項定理。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/26(火) 17:40:37.77

1次の合同式。整係数の多項式。合同方程式。解く。次数。剰余類。完全剰余系。有限群。位数。有限集合。ユークリッドの互除法。対ごとに素。2つの方程式を1つの方程式に還元して解く。連立合同式。

2つの整数論的関数。整数論的関数。オイラーの関数。既約剰余類。個数。既約剰余系。完全剰余系。
メビウスの関数。標準分解。二項定理。交換子群。導群。位数。巡回群。整数論的関数。整数論的関数の反転公式。互いに素。和。集合の記号について。真部分集合。値域。
乗法的。「互いに素ならば」積に分解できるということ。メビウスの関数は乗法的関数である。反転公式。乗法的。乗法性。

オイラーの定理。フェルマーの小定理。加法群。加群。部分群。整数論的関数の和関数は乗法的関数である。
対ごとに素。完全剰余系。既約剰余系。互いに素。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/27(水) 16:58:45.02

1。規則性の発見。具体的に書き出す。周期8を見出す。
2。2進法。帰納法。逆に並べた数。
3。グリーディ・アルゴリズム。3進法で2が出現しない数列。
4。ガウス記号。幾何学的に表現する。グラフを描く。
5。+ 1と- 1に対応させる。中間値の定理。カタラン数。
6。帰納法。
7。同値な問題へのすり替え。組合せに帰着させる。適切な記号や座標の導入。変数の置き換え。概念の同一視。対応。異概念への移行。
置き換え。
8。Pの位置は一定。相加相乗平均の不等式。
9。対称性の利用。対称点を取る。円周角の定理。
10。中央である5に関する対称性。ファンデアヴェルデン数。
11。大小関係を設定する。最大数cを固定して変形していく。
12。議論の展開法。解の絞り込み論法。全称命題の時に使える。n=2の時を調べるだけで必要十分条件が得られた。
13。0を代入してみる。場合分け。帰納法。
14。論点の設定法。際立った要素。帰納法。最短である 2個を取り除く。
15。帰納法。上の辺が一番高い正方形を選ぶ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/27(水) 17:38:29.63

16。単位正方形で覆うことができる。
17。全て異なることが必要。対称性。大小関係を設定する。場合分け。
18。半径最小の円。
19。間接的証明法。背理法の完結のさせ方。最大性や最小性に注目。行列で表す。行を男子に列を女子に。踊ったら1を、踊らなかったら0を対応させる。1が最も多く現れている行に注目する。
最も多く女子と踊った男子に注目した。
20。背理法。素数が無限個あるのと同じ証明法。
21。有効な場合分け。必然による場合分け。性質に基づく場合分け。山登り法。対称性。階層的。漏れを防ぐ工夫。
凸包。四角形の時。五角形の時。三角形の時。エステ・クライン。
22。背理法。7の倍数が含まれているかどうかで場合分け。
23。偶奇で場合分け。乗法的。山登り法。
24。存在命題の証明の仕方。鳩の巣原理。ディリクレの部屋割り論法。正三角形を4個に分割する。空間の点を偶奇で8個に分割する。
25。0とn-1を仮定して矛盾を導く。modnでn-1に分割できるから、鳩の巣原理で同じ個数のものが存在することが示される。
26。中間値の定理。小区間の中の距離の最大値が題意を満たすように分割することができる→鳩の巣原理。
27。6個の区間に分割して中間値の定理を使う。
28。分断線の可能性は10本ある。ある分断線を跨ぐタイルが奇数個(1個3個5個)だと仮定すると、その分断線によって例えば左右が奇数個ずつになる。これは残りのスペースを
1×2のタイル(面積偶数)で覆うことが不可能になる。従って分断線を跨ぐタイルの数は偶数個(2個4個)である。このうち最小の2個であると仮定しよう。跨ぐタイルの最小値は
2×10=20である。これは全体を覆い尽くすタイルの枚数18を超えるので不可能。ロナルド・グラハム。
29。全称命題の証明の仕方。帰納法。4個に分割する。可能であることが示せる。
30。帰納法。偶奇性。S1を除くと帰納法の仮定が使える形になる。ロナルド・グラハム。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/29(金) 16:51:13.06

葛西祐美（ぷーすー）
https://twitter.com/yumi__kasai
https://geinou-resistance.info/4926.html

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/30(土) 08:25:34.38

梅原大吾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A2%85%E5%8E%9F%E5%A4%A7%E5%90%BE
http://fgamers.saikyou.biz/?%E3%82%A6%E3%83%A1%E3%83%8F%E3%83%A9#.Wza_PWcnbcs

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/23(月) 23:13:43.05

数オリにハマってた俺がいうが、今ならわかる
数オリなんて子供の遊びだ
本物の数学ではない

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/24(火) 08:36:00.80

基地外死ね

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/26(木) 00:09:19.56

IMO 2018 [1]
　Let Γ be the circumcircle of acute triangle ABC.
　Points D and E are on gegments AB and AC respectively such that AD = AE.
　The perpendicular bisectors of BD and CE intersect minor arcs AB and AC of Γ at points F and G respectively.
　Prove that lines DE and FG are either parallel or they are the same line.
　http://suseum.jp/gq/question/2890

IMO 2018 [2]
　Find all integers n ≧ 3 for which there exist real numbers a_1，a_2，…，a_{n+2} satisfying
　a_{n+1} = a_1，a_{n+2} = a_2 and
　　a_i a_{i+1} + 1 = a_{i+2}
　for i = 1，2，…，n.
　http://suseum.jp/gq/question/2891

IMO 2018 [3]
　http://suseum.jp/gq/question/2892

IMO 2018 [4]
　http://suseum.jp/gq/question/2893

IMO 2018 [5]
　Let a_1，a_2,… be an infinite sequence of positive integers.
　Suppose that there is an integer N > 1 such that，for each n ≧ N，the number
　　a_1/a_2 + a_2/a_3 ＋ … + a_{n-1}/a_n + a_n/a_1
　is an integer.
　Prove that there is a positive integer M such that a_m = a_{m+1} for all m ≧ M.
　http://suseum.jp/gq/question/2894

IMO 2018 [6]
　A convex quadrilateral ABCD satisfies AB･CD = BC･DA.
　Point X lies inside ABCD so that
　　∠XAB = ∠XCD　and　∠XBC = ∠XDA.
　Prove that
　　∠BXA + ∠DXC = 180ﾟ.
　http://suseum.jp/gq/question/2895

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/26(木) 03:28:25.26

　　　　　　　　　　　　　　　　!
　　　　　　　　　 |　　　丶　＿　　　　.,!　　　　　ヽ
　　　　　　　　　 >　　　　｀`‐.｀ヽ、　 .|、　　　　　|
　　　　　　　　　　　　ﾞ'．　　　　　,ト｀i､　｀i､　　　 .､″
　　　　　　　　　　　 |　　　 .,.:/""　ﾞ‐,.　｀　　　 /
　　　　　　　　　　　　　`　 .,-''ヽ"｀　　　　ヽ,,,、　　 !
　　　　　　　　　　､,､‐'ﾞl‐、　　　　　 .丿 : ':、
　　　　　　　　　､/ヽヽ‐ヽ､;,,,,,,,,,-.ッ:''｀　　.,"-、
　　　　　　　　 ,r"ﾂぃ丶　｀｀｀｀｀｀　　　..／　｀i､
　　　　　　　　　　,.ｲ:､ヽ／ー｀-､-ヽヽヽ､－´　　　 .lﾞ｀-、
　　　　　　　　 _,,lﾞ-:ヽ,;､、　　　　　　　　　　　　､､丶　ﾞi､,,、
　　　　　　　 ,<_ l_ヽ冫｀'｀-､;,,,､､､､.............,,,,､.-｀": 　　　│ ｀i､
　　　　　､､::|､､､ヽ,､､.　　　　｀｀｀: : : ｀｀｀　　　　　　､.､'｀　　.|丶、
　　　　　.l","ヽ､,"､,"'､ぃ､､,､､、、.、、、.、、､_､.,,．ヽ´　　　　lﾞ　ﾞ).._
　　　 ,､':ﾞl:､､｀:ヽ､｀:､　 : ｀"｀｀｀￢――'''"｀ﾞ＾｀　　　　　: ..､丶　 .lﾞ｀ヽ
　　　,i´.､ヽ".､".､"'ヽヽ;,:､........、　　　　　　､､...,,,､－‘｀　　､‐　　 |ﾞﾞ:‐,
　 ,.-l,i´.､".`ヽ,,,.".｀　　　｀ﾞﾞ'"｀'-ｰ"｀｀"｀｀r-ｰ｀'":　　　　　 _.‐′　　丿　 ,!
　j".､'ヽ,".､".､"`''｀ｰ､._､、、　　　　　　　　　　、._,、..-‐:'''′　　 .､,:"　　丿
　ﾞl,"`"`''ヽヽ"`"｀　｀｀｀ﾞ'''"ヽ∠、､、､ぃ-｀''''": ｀　　　　　　､._.／｀　 ._/｀
　｀'ｉ｀ヽヽヽ｀''ｰi､､、: : 　　　　　　　　　　　　　　　　　、.,-‐'｀　　、／｀
　　｀`ヽン'`"｀　 : ｀~｀｀―ヽ::,,,,,,,,,,.....................,,,,．ー'｀｀＾　　　　,､‐'"｀
　　　　　 `"'ﾞ―-､,,,,..､、　　　　　　　　　　　　　　　　: ..,､ー'"'｀
　　　　　　　　　　　: ｀‘"｀―---------‐ヽ｀｀"''''''""

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/04(火) 17:32:36.61

>>202
臭(草)

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/29(土) 16:56:04.22

数学オリンピック事典を一日一問以上解くスレ
ふうL@Fu_L12345654321
学コン1傑いただきました！
とても嬉しいです！

https://pbs.twimg.com/media/D-IuUuqVUAALnAB.jpg

https://twitter.com/Fu_L12345654321/status/1144528199654633477
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 19:35:27.24

3530
ふうL@Fu_L12345654321
学コン1傑いただきました！
とても嬉しいです！

https://pbs.twimg.com/media/D-IuUuqVUAALnAB.jpg

https://twitter.com/Fu_L12345654321/status/1144528199654633477
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/24(火) 07:00:13.51

〔Problem6〕
Construct a bounded infinite sequence x_0，x_1，x_2，…… such that
　｜x_i - x_j｜｜i - j｜ > 1
for every pair of distinct i，j.

次の不等式をみたす有界無限実数列： x_0，x_1，x_2，… を1つ与えよ。
　i≠j　⇒　｜x_i - x_j｜｜i - j｜ > 1,

IMO-1991（32nd，Sweden）問題6-改.
数セミ、1991年10月号

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/24(火) 07:01:17.83

〔Problem6〕
Construct a bounded infinite sequence x_0，x_1，x_2，…… such that
　｜x_i - x_j｜｜i - j｜ > 1
for every pair of distinct i，j.

次の不等式をみたす有界無限実数列： x_0，x_1，x_2，… を1つ与えよ。
　i≠j　⇒　｜x_i - x_j｜｜i - j｜ > 1,

IMO-1991（32nd，Sweden）問題6-改.
数セミ、1991年10月号

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/24(火) 07:03:39.83

>>206 >>207
　x_j = k { j √m - 1/2 }，　k=1+2√m,
ここに　m は平方数でない自然数。{ a } はaの小数部分
（富蘭平太氏の解）

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/09(水) 19:07:19.69

i≠j とする。
0 ≦ x_i, x_j < k,
k > | x_i - x_j | = k･| |i-j|√m -n |,　　････ (a)
ここに　n = | [ i√m -1/2] - [ j√m -1/2] | ≧0,
ところで
k|i-j| - (|i-j|√m + n) = (k-2√m)|i-j| + (|i-j|√m - n)
　> (k-2√m)|i-j| - 1　　(← a)
　= |i-j| - 1　　　(← k=1+2√m)
　≧ 0,　　　　　　(← i≠j)
これより
|i-j|･|x_i - x_j| = k|i-j|･| |i-j|√m - n|
　> (|i-j|√m + n)| |i-j|√m - n|
　= | (i-j)^2･m - nn |
　≧ 1,　　　　　(←　m≠平方数, i≠j)

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/11(月) 12:27:11.62

〔問題1〕
次の式の値を計算し、整数値で答えよ。
　√{(11^4 + 100^4 + 111^4)/2}

・JMO-2016 予選
・どちゃ楽数学bot
　//www.twitter.com/solove_math/ Q.157 ☆2
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 08:36:39.11

〔ヘロンの公式〕
辺長 a,b,c の三角形の面積を S とする。
16SS =（a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)
　　=（aa+bb+cc)^2 - 2(a^4+b^4+c^4),

-a+b+c=0, a-b+c=0, または a+b-c=0 のとき
三角形が潰れて S=0 だから
　√{(a^4+b^4+c^4)/2｝=（aa+bb+cc)/2,

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/19(火) 16:41:17.66

A = aa, B = bb, C = (a+b)^2,
とおくと
(C-A-B)^2 =（2ab)^2 = 4AB,
AA+BB+CC = 2(AB+BC+CA),
2(AA+BB+CC）=（A+B+C)^2,
√{(AA+BB+CC)/2｝=（A+B+C)/2,

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/27(水) 17:16:42.33

〔問題3〕
　p/q - 4/(r+1）= 1　をみたす素数 p,q,r をすべて求めよ。

Find all prime numbers p,q,r, such that p/q - 4/(r+1）= 1.
　JBMO-2008 A3.

http://www.youtube.com/watch?v=Ci4GrEoNxjI 17:44
【数学実況#42】JBMO素数　by　AKITO

http://global.olympiadsuccess.com/junior-balkan-mathematical-olympiad
http://www.massee-org.eu/index.php/mathematical/jbmo

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/27(水) 17:37:52.62

　JBMO はバルカンMO（BMO）のジュニア版らしい。

http://global.olympiadsuccess.com/junior-balkan-mathematical-olympiad
http://www.massee-org.eu/index.php/mathematical/jbmo

17th　JBMO-2013　トルコ
18th　JBMO-2014　マケドニア (Ohrid)
19th　JBMO-2015　セルビア (Belgrade)
20th　JBMO-2016　ルーマニア (City of Slatina)
21st　JBMO-2017　ブルガリア (City of Varna)
22nd　JBMO-2018　ギリシャ (Rhodes island)
23rd　JBMO-2019　キプロス
24th　JBMO-2020　？

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/30(土) 19:34:24.32

[例9-3] 改
　次の不等式をみたす整数a,b,cで、どれか１つは0でなく、
かつどの絶対値も100万を超えないものが存在することを示せ。
　　｜a + b√2 + c√3｜< 10^(-12),

秋山仁 + ピーター・フランクル共著：
［完全攻略］数学オリンピック, p.47-48, 日本評論社 (1991/Nov)

注）鳩ノ巣原理では解けません。

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/01(月) 03:37:56.63

97 -56√3 = 1/(97+56√3) = 0.005154776
99 -70√2 = 1/(99+70√2) = 0.005050634
辺々足して14で割る。
14 - 5√2 - 4√3 = 7.28957859×10^(-4)　････ (1)
辺々引いて2で割る。
-1 + 35√2 - 28√3 = 5.207113×10^(-5)　････ (2)
(2)×14 - (1)
-28 + 495√2 - 388√3 = 3.7957659×10^(-8)　････ (3)
また、
127 + 138√2 -186√3 = 2.1399676×10^(-5)　････ (4)
205 - 58√2 - 71√3 = 6.0449702×10^(-6)　････ (5)

*　3.352882344113････×10^(-13）まではあるらしい｡

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/07(日) 10:21:25.18

高校までならいいが
そうでなかったら人生の無駄だと思わないか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/08(月) 03:15:16.97

>>216
38419 -13895√2 -10836√3 = 9.489944×10^(-9),
1920 -42258√2 +33395√3 = 4.066451×10^(-10),

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/08(月) 04:29:26.33

>>216
97-56√3 = (2-√3)^4 = 1/(2+√3)^4,
99-70√2 = (√2 -1)^6 = 1/(1+√2)^6,
より
-28 +495√2 -388√3 = {-(√2 -1)^12 +（2-√3)^8}/28,　････ (3)

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/09(火) 10:30:36.84

38419 -13895√2 -10836√3 = 9.489944×10^(-9)　　････ (6)
1920 -42258√2 +33395√3 = 4.066451×10^(-10)　　････ (7)

(4)×2 - (5)×7
　-1181 +682√2 +125√3 = 4.84560485×10^(-7)　　････ (8)

(6)×4 - (3)
　153704 - 56075√2 -42956√3 = 2.11768032×10^(-12)　　････ (9)

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/15(月) 07:43:05.19

〔問題4〕
4444^4444 を10進表示して、その各桁に現れる数の和をAとする。
Aの各桁に現れる数の和をBとする。
Bの各桁に現れる数の和をCとする。
Cを求めよ。

IMO-1975 (ブルガリア大会)

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/15(月) 07:44:52.98

N=4444^4444　とする。このとき
　log(N) < 4444 log(4444) = 16210.707879
であるから、Nが10進法で書かれているとき、Nの桁数は 16211 である。
また、Nの各桁に現れる数は9以下であるから、
　A ≦ 16211×9 = 145899
となる。
同様の方法で、Aは多くとも6桁であるから、Aの桁に現れる数の和は54
（=6×9）以下ということになり、B≦54 である。
54以下の正整数で、各桁に現れる数の和が最大になるのは49であり、その
値は13である。よって C≦13 である。
　一方、この解答の鍵は次の事実を使うことである。　A=72601
これより
　B = 7+2+6+0+1 = 16,
　C = 1+6 = 7,

「［完全攻略］数学オリンピック」(1991)　p.70-71

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/24(水) 04:59:29.47

〔問題〕
8^1000 を10進表示して、その各桁に現れる数の和をAとする。
Aの各桁に現れる数の和をBとする。
Bの各桁に現れる数の和をCとする。
Cの各桁に現れる数の和をDとする。
A,B,C,D を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/30(火) 06:51:02.00

空間[5]
　空間の点全体を5色すべてを使って勝手に塗る。
このとき、この空間内に少なくとも4色（異なる4色で塗られた4点）
を含む平面が存在することを示せ。

秋山仁＋ピーター・フランクル共著
「[完全攻略] 数学オリンピック」日本評論社 (1991)　p.99

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/30(火) 06:53:29.76

「2直線ABとCDが同一平面上にない場合」に補足。
平面πと直線CD とが平行ならば、交わらない。
点Pを通ってCDに平行な直線Lをひく。
直線Lは平面πに含まれる。また
L // CD はABと平行でないから、ABと交わる。
その交点Qは色a,bのどちらかで塗られている。
CDPQは同一平面上にあり、4色を含む。（終）

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/01(水) 03:27:42.13

数列[1]
　数列{a_n} を次のように定める。
　a_1 = 1,
　n≧1 のとき a_{n+1} = a_n + 1/a_n,
このとき次を示せ。
　(1)　2≦m のとき　(a_m)^2 ≧ 2m,
　(2)　m≦100 のとき　(a_m)^2 < 2m + (H_{m-1} -1)/2 < 2(m+2),
　(3)　2≦m≦100 のとき　(a_m)^2 > 2m + (H_{m+1} -11/6)/2,
　(4)　14.20 < a_100 < 14.22
　　　ただし調和級数は H_99 = 5.1774　H_101 = 5.1973 とせよ。
　　　　　(1990年国内大会予選-改)

「［完全攻略］数学オリンピック」(1991)　p.107

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/01(水) 11:58:27.95

(1)
(a_{n+1})^2 = (a_n)^2 + 2 + 1/(a_n)^2,

これを n=2,3,････,m-1 でたすと

(a_m)^2 = (a_2)^2 + 2(m-2) + Σ[n=2,m-1] 1/(a_n)^2
　　= 2m + Σ[n=2,m-1] 1/(a_n)^2,
　　≧ 2m,

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/01(水) 19:37:27.37

>>223

A = 3871
B = 19
C = 10
D = 1

桁, 数字の和, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
下１～ 100, 476, 9, 13, 11, 9, 4, 9, 4, 15, 10, 16,
101～ 200, 402 , 17, 9, 14, 9, 7, 4, 14, 10, 8, 8,
201～ 300, 385, 14, 12, 10, 12, 13, 9, 7, 11, 7, 5,
301～ 400, 398, 16, 13, 11, 5, 8, 15, 9, 3, 14, 6,
401～ 500, 463, 8, 9, 10, 8, 16, 8, 7, 15, 12, 7,
501～ 600, 429, 15, 6, 9, 16, 11, 5, 8, 9, 12, 9,
601～ 700, 455, 11, 9, 6, 11, 12, 9, 13, 11, 9, 9,
701～ 800, 410, 11, 9, 15, 13, 10, 11, 8, 2, 14, 7,
801～ 900, 447, 8, 15, 8, 10, 6, 11, 12, 12, 11, 7,
901～ 904, 6, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
計, A=3871, 110, 96, 95, 94, 87, 81, 82, 88, 97, 74,

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/11(土) 07:29:10.55

>>215
a=96051, b=-616920, c=448258 のとき
　a + b√2 + c√3 = 3.352882344113･･･×10^(-13)

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/11(土) 08:19:50.09

〔Zsigmondy の定理〕に関連する問題

<<Problem 3>>
Prove that the sequences a_n = 3^n - 2^n contains no three numbers in geometric progression.
〔問題3〕
数列 a_n = 3^n - 2^n は等比数列となる3項を含まないことを示せ。
　(1994年 Romania 第1回TST)

<<Problem>>
Find all triplets of positive integers (a,m,n)
　such that (a^m)+1 divides (a+1)^n.
　　　　　　　　　　(IMO-2000 SLP）
〔問題〕
(a^m)+1 が (a+1)^n を割り切るような正の整数の3つ組(a,m,n)をすべて求めよ。
　(→ 和のZsigmondy の定理)

〔第2問〕
正の整数の組 (a,n,p,q,r) であって、等式
　a^n - 1 = (a^p - 1)(a^q - 1)(a^r - 1)
を満たすものをすべて求めよ。　(JMO-2011 本選)

http://science-log.com/数学/number-theory-の話題（zsigmondys-theorem）/

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/11(土) 13:30:07.08

〔Question 4〕
Determine all x,y∈Z　such that
　1 + 2^x + 2^(2x+1) = y^2.
　　　　　　　(IMO-2006, Q4)

　(2^x){1+2^(x+1)} = (y+1)(y-1)　を使う。
http://www.youtube.com/watch?v=wviiZlYRaGE 05:52

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/11(土) 13:57:58.86

1 + 2^x + 2^(2x) = y^2 - 2^(2x) = (y-2^x)(y+2^x),
を使うとどうなるか？

・xが偶数のとき
　t = 2^(x/2) >0　とおく。
　1 + t^2 + t^4 = (1+t+t^2)(1-t+t^2),
　y^2 - t^4 = (y+t^2)(y-t^2),
よって
　y + t^2 = 1+t+t^2,
　y - t^2 = 1-t+t^2,
辺々引いて
　0 = 2t(1-t),
∴　t=1,　x=0,　y=±2.

・xが4の倍数のとき
　t = 2^(x/4) >0　とおく。
　1 + t^4 + t^8 = (1-t^2+t^4)(1-t+t^2)(1+t+t^2),
　y^2 - t^8 = (y+t^4)(y-t^4),
よって
　y + t^4 = (1-t^2+t^4)(1-t+t^2),
　y - t^4 = 1+t+t^2,
辺々引いて
　0 = -2t - t^2 + t^3 - 2t^4 - t^5 + t^6
　　= -t(1+t)(2-t)(1+t^3)
∴　t=2,　x=4,　y=±23.

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/23(木) 15:56:37.95

バルカンMOから

〔問題3.10〕
三角形ABCの外心をOとし、重心をGとする。
Rとrをそれぞれ三角形の外接円および内接円の半径とする。
このとき OG ≦ √{R(R-2r)} を証明せよ。
　バルカンMO-1996

〔問題3.28〕
ABCを鋭角三角形とし、L,M,N をABCの重心Gから
それぞれ辺BC, CA, AB へ下ろした垂線の足とする。
このとき次を証明せよ。
　4/27 < (LMN)/(ABC) < 1/4,
　バルカンMO-1999

〔問題3.51〕
a,b,c を正の実数とする。このとき次を証明せよ。
　aa + bb + cc ≧ ab + bc + ca ≧ √{3abc(a+b+c)}.
　バルカンMO-2001

〔問題3.58〕
正の実数 a,b,c に対して次を証明せよ。
　2/(b(a+b)) + 2/(c(b+c)) + 2/(a(c+a)) ≧ 9/(ab+bc+ca) ≧ 27/(a+b+c)^2.
　バルカンMO-2002

〔問題3.93〕
a,b,c を正の実数とする。このとき次を証明せよ。
　1/(a(b+1)) + 1/(b(c+1)) + 1/(c(a+1)) ≧ 3/(g(g+1)) ≧ 3/(1+abc),
　g = (abc)^(1/3).
　バルカンMO-2006,　Inequalitybot [77]

佐藤淳郎(訳) 「美しい不等式の世界」朝倉書店 (2013)
　p.127,　p.130　p.134　p.135　p.141

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/23(木) 16:45:50.44

〔問題3.51〕
左側は AM-GM で。
右側
　(ab+bc+ca)^2 - 3abc(a+b+c) = (x+y+z)^2 - 3(xy+yz+zx)
　= (xx+yy+zz) - (xy+yz+zx)
　≧ 0,

〔問題3.58〕
左側
　Σ(乱順序積) ≧ Σ(逆順序積)　　　(チェビシェフ) により
　(左辺) ≧ 2/(c(a+b)) + 2/(a(b+c)) + 2/(b(c+a))
　≧ 2･9/{c(a+b) + a(b+c) + b(c+a)}　　　(AM-HM)
　≧ 9/(ab+bc+ca),
右側は AM-GM で。

〔問題3.93〕
左側は
　(abc+1)/(a(b+1)) = b(c+1)/(b+1) -1 + (a+1)/(a(b+1)),
巡回的にたして AM-GM する。
　(g^3 + 1)(左辺) ≧ g -1 +1/g = (gg-g+1)/g,
　g^3 + 1 > 0 で割って
　(左辺) ≧ 1/(g(g+1)),
右側は
　(g^3 +1) - g(g+1) = (g+1)(g-1)^2 ≧ 0,

佐藤淳郎(訳) 「美しい不等式の世界」朝倉書店 (2013)
　p.127,　p.130　p.134　p.135　p.141

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/25(土) 01:16:39.25

>>220
(3)×1372 - (2)
　-38415 +679105√2 -532308√3 = 6.778753462914×10^(-9)　････ (10)
また
　-292 -3153√2 +2743√3 = 2.999061727274×10^(-6)　････ (11)
(5) - (11)×2
　789 +6248√2 -5557√3 = 4.68467447809×10^(-8)　････ (12)
(11) - (3)×79
　1920 -42258√2 +33395√3 = 4.0664508730847×10^(-10)　････ (7)
(10)×3 + (7)×50
　-19245 -75585√2 +72826√3 = 4.0668514754165×10^(-8)　････ (13)
(13) - (3)
　-19217 -76080√2 +73214√3 = 2.7108554859783×10^(-9)　････ (14)
(13) - (14)×15
　269010 +1065615√2 -1025384√3 = 5.68246449041×10^(-12)　････ (15)
(3)×10 - (10)×2 - (13)×9
　249755 -672995√2 +405302√3 = 2.4529685541555×10^(-12)　････ (16)
(16) - (9)
　96051 -616920√2 +448258√3 = 3.352882344112924×10^(-13)　････ (17)

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 08:18:34.62

>>233
バルカン半島はかつて「ヨーロッパの火薬庫」と呼ばれたが、
今はイスラエル（エルサレム）やレバノン（ベイルート）の辺りだろうな。
　(硝酸アンモニウム：2750トン)

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/27(土) 12:57:15.70

>>215
　次の不等式をみたす整数 a,b,c で、どれか１つは0でなく、
かつどの絶対値もnを超えないものが存在するか？
　｜a + b√2 + c√3｜< 1/n^2,

( 面白スレ３４-995 )

例)
n=10　　　0.339978835200 /n^2,　(a, b, c) = (-3, -4, 5)
n=10^2　　0.520711297654 /n^2,　(-1, 35, -28)
　…　…
n=10^6　　0.335288234411 /n^2,　(96051, -616920, 448258)
n=10^7　　0.617825865545 /n^2,　(2425305, 2250206, -3237536)
n=10^8　　0.594330503906 /n^2,　(54823746, 25581379, -52539613)
n=10^9　　0.466099494288 /n^2,　(-116906393, -23832207, 86954853)
n=10^10　　0.600393045602 /n^2,　(-2133560879, -933735484, 1994203778)
　(注：鳩ノ巣原理では解けません)

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/27(土) 15:41:10.90

n=10^3　　0.03795765927 /n^2,　(-28, 495, -388)
n=10^4　　0.8889085512745 /n^2,　(817, 5753, -5169)

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/01(月) 10:41:37.14

n=1　　　　0.317837245196　(0, -1, 1)
n=2　　　　0.049888052765　(-2, -1, 2)
n=3,4　　　0.046488264413　(1, 3, -3)
n=5～17　　0.003399788352　(-3, -4, 5)
n=11～15 　0.004128746211　(11, -9, 1)

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/02(火) 03:56:31.31

n=14～37　　0.000728958　(14, -5, -4)

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/08(月) 15:34:52.38

2項だと無理っぽいけど、3項なら可能(？)
　|a'|, |a"|, |b|, |c| ≦ n　とする。

リウヴィルの定理(1844)
　|a' + b√2| > k(√2)/b > k(√2)/n,
　|a" + c√3| > k(√3)/c > k(√3)/n,

　k(√2) = 2(√2 -1)^2 = 0.34314575
　k(√3) = (1/2)(√3 -1)^2 = 0.2679492

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/18(木) 20:04:27.14

>>237
n=10^5　　0.9710681853653 /n^2,　　(17841, 11305, -19531)

(略解)
　 -28 + 495√2 - 388√3 = 3.7957659×10^(-8)　　　　････ (3)
　 789 + 6248√2 - 5557√3 = 4.68467447809×10^(-8)　　････ (12)
(3)×21 - (12)×17
　-14001 - 95821√2 + 86321√3 = 7.161833560804×10^(-10)　････ (18)

　1920 - 42258√2 + 33395√3 = 4.0664508730847×10^(-10)　････ (7)
(7)×2 - (18)
　17841 + 11305√2 - 19531√3 = 0.9710681853653×10^(-10)

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/09(月) 00:19:39.43

オリンピックの結果

TOKYO-2020　3位 (金 27, 銀 14, 銅 17)　…　過去最高らしい

http://olympics.com/tokyo-2020/ja/
http://sports.nhk.or.jp/olympic/
http://www.yomiuri.co.jp/olympic/2020/

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/26(金) 17:46:08.17

問題
コインが何枚かあって
１枚のコインが他のコイン全てに接することが
それぞれのコインについていえるような最大数は何枚か

答え　５枚

というのが数学オリンピックの本に載っていたように思うが
どのように配置すればいい？

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/21(水) 23:00:06.26

https://i.imgur.com/X5pDktH.jpg
https://i.imgur.com/RFg4r2B.jpg
https://i.imgur.com/18xTUyr.jpg
https://i.imgur.com/TM6srjb.jpg
https://i.imgur.com/ooY1HtO.jpg
https://i.imgur.com/mas8VTW.jpg
https://i.imgur.com/HGF8p1j.jpg
https://i.imgur.com/n0WZK4r.jpg
https://i.imgur.com/duGTElb.jpg
https://i.imgur.com/BjRi4sl.jpg
https://i.imgur.com/UQdUsct.jpg
https://i.imgur.com/FF3XiA2.jpg