wが整数なら、wは最初から整数であり、pとcが奇数かどうかなんて全く関係ない。

「 p=cwでpとcは奇数だから、wは整数になることが必要 」(>>515)

という書き方は、明らかにwを整数に限定してないケースを念頭に置いている。
実際、>>515周辺の文脈では、「wが整数でない場合はどうするんだ」という話が中心になっており、
そのタイミングでの>>515である。ゆえに、>>515 は

「 w が整数かどうかわからなくても、p=cwでpとcが奇数なら、w は自動的に整数だ」

と言っているのである。もちろん、これは間違っている。