∫ x * (log(1/x))^100 dx from x = 0 to x = 1

↑の収束、発散を判定せよ

という問題も載っています。

その解答が↓これです：

x ∈ (0, 1] に対して y = log(1/x) とおくと y ≧ 0 であり、
exp(y) ≧ Σ y^k / k! from k = 0 to k = 100 ≧ y^100 / 100! より、
x ∈ (0, 1] のとき

x * (log(1/x))^100 = exp(-y) * y^100 ≦ 100!

したがって収束する。