sign を以下で定義する:

n ≡ 1 or 2 (mod 4) のとき
sign(n) = 1

n ≡ 3 or 0 (mod 4) のとき
sign(n) = -1


S_n := 1 + 1/2 - 1/3 - 1/4 + 1/5 + 1/6 - 1/7 - 1/8 + … + sign(n) * 1/n

Q_n := 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + … + (-1)^(n+1)/(2*n-1)
R_n := 1/2 - 1/4 + 1/6 - 1/8 + … + (-1)^(n+1)/(2*n)

明らかに、

Q_n → π/4
R_n → (1/2)*log(2)
S_(2*n) = Q_n + R_n → π/4 + (1/2)*log(2)
S_(2*n+1) = S_(2*n) + (-1)^n/(2*n+1) → π/4 + (1/2)*log(2) + 0 = π/4 + (1/2)*log(2)

よって、 {S_n} は π/4 + (1/2)*log(2) に収束する。