面白い問題おしえて～な 26問目

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 00:21:10.33

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 00:29:56.44

保守がてら

自分のIDに含まれている数字で10を作れ。
最初に成功した者が勝者である。
四則演算のみ使ってよい。
数字の分離、結合、並びの変更は認める。
例
ID:43ab2017　→　20/4+1+7-3=10

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 01:03:59.02

削除依頼を出しました

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 01:21:31.07

〔問題980〕
平面上にn個の異なる点を配置する。
どの2点間の距離も、必ず或る2つの実数値のどちらかを取るようにする。
n=3の時は、二等辺三角形をなすように配置する例がある。

1)　n=4の時、点の配置をすべて求めよ。
2)　n=5の時、点の配置は正五角形に限ると言えるか。
3)　n=6の時、条件を満たす点は位置は存在しないことを示せ。

[前スレ.980］

1）は、円周上の4点（2種）、円周上の3点と円の中心（4種）が判明している。>>983

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 01:33:40.61

〔問題970〕
a，b の最大公約数を gcd（a，b）と略記する。
gcd（a，b）= 1 をみたす a，b∈Z と任意の n∈Z（n≠0）に対して、
gcd（ax+b，n）= 1 をみたす x∈Z が存在することを示せ。

［前スレ.970-971］

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 01:35:31.90

975 １３２人目の素数さん 2018/02/18(日) 05:13:40.49 ID:3SEy6oaf
(1)　0<θ<πで、2-2cosθと(sinθ)^2の大小を比較せよ。
(2)　πを下から抑えるとき、円に内接する正多角形の周長と面積のどちらを用いるのがよいか。
(3)　πを上から抑えるとき、円に外接する正多角形の周長と面積のどちらを用いるのがよいか。

（参考）
一般の平面図形で、与えられた周長で面積が最大となるものは円である（等周問題）。
従って、ある平面図形の周長が2πより短いとき、(周長の半分の数値)>(面積の数値)である。

976 １３２人目の素数さん sage 2018/02/18(日) 06:31:15.01 ID:3BoN6Yxt
>>975
(1)
(2-2cosθ)-(sinθ)^2＝(1-cosθ)^2
0<θ<πで、cosθ＜1なので2-2cosθ＞(sinθ)^2

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 02:32:16.03

974
問．点Oを中心とする半径1の円と、点Aがあり、OA=2とする。
円周上に点P,Q,Rをとり、Oから直線APへの距離は1/2とする。
また、AP上P側に点XをAX=5となるように取り、
さらに、AQ上、AR上それぞれQ,R側に点Y,Zを取ると、
四角形PQYX,及び四角形QRZYはそれぞれ円に内接するという。
∠XYZ=120°の時、XZの長さを求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 02:47:23.03

解答は手に入れたが、貼る前にもう一度考えてみて

[23-937]
[24-30]
地球上の2地点A,B間を飛行機で移動する。このとき、飛行機がA,Bの両方より北側（高緯度側）を通ることがあるためのA,Bの位置関係を答えよ。
例えば、東京(N35.7°,E139.7°)と
・ロンドン(N51.5°,W0.1°)
・メキシコシティー(N19.4°,W99.1°)
・リオデジャネイロ(S22.9°,W43.2°)
はこの位置関係にあるが、
・大阪(N34.7°,E135.5°)
・ヨハネスブルク(S26.2°,E28.0°)
・ブエノスアイレス(S34.6°,W58.4°)
はこの位置関係にない（東京より北は通らない）
地球は球と見なせるとし、飛行機は2地点間を最短距離で（大圏航路で）移動する。
また、球面上の2点を最短距離で結ぶ線は、球面をその中心を通る平面で切った円（大円）の弧になることが知られている。

[24-437]
3^m+4^n=5^kを満たす非負整数の組(m,n,k)をすべて求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 08:52:47.71

【カーマイケル数】
gcd(a,n)=1 をみたす任意のa∈Zに対して、a^(n-1)≡1 (mod n) をみたすn∈Nをカーマイケル数という。
以下を証明せよ。

(1) カーマイケル数は奇数である。

(2) n∈Nに対して、nがカーマイケル数であるための必要十分条件は、(i)かつ(ii)である。
　(i) nは合成数で、平方因子をもたない
　(ii) nの任意の素因数pに対して、n-1はp-1で割り切れる

(3) カーマイケル数は、３個以上の異なる素数の積である。

(4) 6k+1、12k+1、18k+1がすべて素数のとき、n = (6k+1)(12k+1)(18k+1) はカーマイケル数である。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 08:59:11.10

>>9
n=2

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 12:33:56.24

素数p、整数a, bに対して、a≡b (mod p) ならば、a^p≡b^p (mod p^2) であることを示せ。

これは簡単杉か…

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 23:51:59.50

>>11
a-b=np
a=b+np
a^p=(b+np)^p=b^p+pb^(p-1)np+...+(np)^p
a^p-b^p=p^2{b^(p-1)n+...+n^pp^(p-2)}

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/20(火) 01:44:46.11

>>9
(4)
Chernick のカーマイケル数と云うらしい。 (A033502)
k=1, 1729,
k=6, 294409,
k=35, 56052361,
k=45, 118901521,
k=51, 172947529,
k=55, 216821881,
k=56, 228842209,
k=100, 1299963601,
k=121, 2301745249,

なお、逆は成り立たないようです。

・3因子のうち2つだけが素数であるカーマイケル数 (A242980)
k=5, 172081, (4), 18k+1=91=7*13,
k=11, 1773289, (4), 12k+1=133=7*19,
k=15, 4463641, (4), 6k+1=91=7*13,
k=33, 47006785, (5), 18k+1=595=5*7*17,
k=61, 295643089, (4), 18k+1=1099=7*157,
k=85, 798770161, (4), 6k+1=511=7*73,
k=96, 1150270849, (5), 18k+1=1729=7*13*19,
k=115, 1976295241, (4), 18k+1=2071=19*109,

・3因子のうち1つだけが素数であるカーマイケル数 (A242981)
k=22, 13992265, (5), 6k+1=133=7*199, 12k+1=265=5*53,
k=105, 1504651681, (5), 12k+1=1261=13*97, 18k+1=1891=31*61,

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/20(火) 02:21:17.57

>>11 >>12
ｐは素数でなくても成り立ちそう…　（ただしp≧2）

a^p - b^p = (a-b) ｛a^(p-1) + a^(p-2) b + …… + a b^(p-2) + b^(p-1)｝
ここで
a-b = np,
a = b+np,
｛……｝≡ b^(p-1) ×(p項) ≡ 0,　　（mod p)

>>13 の訂正
k=22, n=13992265, (5つの素数の積), 6k+1=133=7*１９, 12k+1=…

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/20(火) 09:36:02.27

>>9
(2)の条件に奇数が抜けていたので修正します。
内容が被ってしまうので、問題自体を書き直します。スマソ。

--------------------------------------------------
【問題：カーマイケル数】
gcd(a,n)=1 をみたす任意のa∈Zに対して、a^(n-1)≡1 (mod n) をみたす n∈N をカーマイケル数という。
以下を証明せよ。

合成数 n∈N に対して、nがカーマイケル数であるための必要十分条件は、(i)かつ(ii)かつ(iii)である。
　(i) nは奇数である。
　(ii) nは平方因子をもたない。
　(iii) nの任意の素因数pに対して、n-1はp-1で割り切れる。

(1) 合成数 n∈N がカーマイケル数ならば、(i)を示せ。
(2) 合成数 n∈N がカーマイケル数ならば、(ii)を示せ。
(3) 合成数 n∈N がカーマイケル数ならば、(iii)を示せ。
(4) 合成数 n∈N が(i),(ii),(iii)をみたすならば、n はカーマイケル数である。
(5) カーマイケル数は、３個以上の異なる素数の積である。
(6) 6k+1、12k+1、18k+1がすべて素数ならば、n = (6k+1)(12k+1)(18k+1) はカーマイケル数である。
--------------------------------------------------

(1)(4)(5)(6)は、易。
(2)は、私の用意した解答は間違っていますた。（フェルマーの小定理を誤用）
(3)は、(1)(2)と原始根と中国剰余定理を使って証明した。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/20(火) 09:39:19.45

>>10、>>13-14
かたじけのうござる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/20(火) 10:18:17.64

>>11を少し変えてみる。

素数p、整数a, bに対して、a^p≡b^p (mod p) ならば、a^p≡b^p (mod p^2) であることを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/20(火) 10:45:51.52

>>17
a=a^p=b^p=b (p)

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/21(水) 02:41:30.51

>>17

pは素数だから、フェルマーの小定理（ >>18）により
a^p ≡ a　（mod p)
b^p ≡ b　（mod p)
∴　a ≡ ｂ　（mod p)

p≧2 だから、>>12 >>14 により、
a^p ≡ b^p　（mod pp)

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/22(木) 02:44:52.37

一辺が整数の正方形で、3頂点からの距離が整数になる点を内部（周含まず）に持つものを挙げよ。
なお、4頂点すべてからの距離が整数になる場合は未解決である。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/22(木) 12:37:31.85

>>20
一辺52の正方形の内部、各辺からの距離7,24,45,28の点

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/22(木) 21:40:02.05

>>21○
A(0,0),B(52,0),C,D,P(24,45)
これが最小の正方形？

条件を満たす正方形ABCDと内部の点Pの例は無限にある

A(0,0),B(700,0),C,D,P(396,297)
A(0,0),B(3364,0),C,D,P(945,900)
A(0,0),B(10952,0),C,D,P(1155,396)
A(0,0),B(12675,0),C,D,P(8288,4884)
…

もちろんPとy=x,y=-x+1について対称な点も条件を満たす（各正方形に計4つ）。

解説や類例（英語）
http://mathworld.wolfram.com/RationalDistanceProblem.html

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/22(木) 22:30:00.29

>>22
一辺52は最小
一辺1000未満の解も他にいくつか
A(0,0),B(195,0),C,D,P(48,140)
A(0,0),B(740,0),C,D,P(168,315)
A(0,0),B(867,0),C,D,P(416,780)
A(0,0),B(996,0),C,D,P(520,765)
4頂点すべてからの距離が整数になる場合があるとしたら、一辺は12の倍数になるはず

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/24(土) 08:07:10.34

n,k,iを自然数とし、自然数b1,...,bnがあり、b1+b2+...+bn =k　とする。
この時、次の条件を満たす自然数の数列a1,...anが存在することを示せ。
・ai>ai+1
・ai≧bi
・a1+...+an=k^2

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/24(土) 08:32:12.28

k=2,b1=b2=1
ai=？

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/24(土) 08:56:00.81

３と１では

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/24(土) 09:13:38.88

>>22
一辺が 12675 のとき、互いに対称でない解が複数ある
A(0,0),B(12675,0),C,D,P(8288,4884)
A(0,0),B(12675,0),C,D,P(9100,3120)
A(0,0),B(12675,0),C,D,P(9588,784)
２番目は既約でなく一辺が 195 の解と本質的に同じ
３番目は既約

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/24(土) 13:00:01.29

k+k^2-kn+n(n-1)/2.
k-1.
k-2.
...
k-n+1.

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/24(土) 16:56:19.85

>>28
正解！感想は？

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/24(土) 21:20:28.33

>>24
これいつかのIMOよな

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/25(日) 06:01:36.41

〔掛谷の定理〕
正係数のn次多項式を
F（x）= a_0･x^n + a_1･x^{n-1} ＋ …… + a_{n-1｝･x + a_n,
とし、
F（x）= 0 の解をαとする。
　a_0 > a_1 > a_2 > …… > a_{n-1｝> a_n > 0　ならば　｜α｜< 1.
　0 < a_0 < a_1 < a_2 < …… < a_{n-1｝< a_n　ならば　｜α｜> 1.

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/01(木) 17:52:25.94

相異なる３つの素数の平方和は、素数となるか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/01(木) 20:09:04.83

>>32
3^2+5^2+7^2=83

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/01(木) 23:52:59.95

では、相異なる３つの「５以上の素数」の平方和は、素数にならないことを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/02(金) 00:58:19.40

>>34
５以上の素数は、その平方がいずれも３を法として１と合同であり、３つの和が常に３の倍数となるから
「相異なる」の条件は付けなくても問題は成立する

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/02(金) 01:34:29.12

こう書けばよかったんですね、さんくす。
「３と異なる３つの素数の平方和は、素数でない」

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/02(金) 02:26:45.73

2をふたつ使われないよう奇素数かな

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/02(金) 02:27:50.44

寝ぼけてた
見なかったことにして

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/03(土) 16:58:06.28

x^5 +2x^2 + 3x + 4 ≡ 0 (mod 5) の解は、x=0,1,2,3,4を代入して x≡1,2 (mod 5) を分かるけど、
これを無理やり因数分解できないものか？

　 x^5 +2x^2 + 3x + 4
≡x^5 +2x^2 - 2x - 1
＝(x^5-1) + 2x(x-1)
≡(x-1)(x^4 +x^3 +x^2 + 3x + 1) (mod 5)

ここまでいったが、x^4 +x^3 +x^2 + 3x + 1 が x≡2 (mod 5) だけを解にもつから (x-2)をくくりだしたいんだけど。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/03(土) 17:39:08.65

整数係数で割り算して、そのあと商（と余り）を mod 5 すればいい

6 · 2018/03/03(土) 23:54:29.55

>>6の正解

θ=2π/nとする。

(2)
単位円に内接する正n角形の面積は(n/2)sinθ、半周長は(n/2)(√(2-2cosθ))
(1)より
(n/2)sinθ<(n/2)(√(2-2cosθ))
よって、πを下から抑えるときは周長を用いた方がよい。

ちなみに
(n/2)(√(2-2cosθ))=((2n)/2)sin(2π/(2n))
より
(単位円に内接する正2n角形の面積)=(単位円に内接する正n角形の半周長)
である。
面積で抑えようとするのは効率が悪い。

(3)
単位円に外接する正n角形の一辺の長さをaとおけば、面積も半周長もna/2であり等しい。
よって、πを上から抑えるときはどちらを用いても変わりはない。

実際に計算すると
na/2=n√((1-cosθ)/(1+cosθ))=n(1-cosθ)/(sinθ)=n(sinθ)/(1+cosθ)

6 · 2018/03/03(土) 23:55:21.58

【参考】
単位円について
(内接正n角形の面積) < (内接正n角形の半周長) < π < (外接正n角形の面積,半周長)
の一覧

n=3
(3/4)√3 < (3/2)√3 < π < 3√3

n=4
2 < 2√2 < π < 4

n=5
(5/8)(√2)√(5+√5) < (5/4)(√2)√(5-√5) < π < 5√(5-2√5)

n=6
(3/2)√3 < 3 < π < 2√3

n=8
2√2 < 4√(2-√2) < π < 8(-1+√2)

n=10
(5/4)(√2)√(5-√5) < (5/2)(-1+√5) < π < 2(√5)√(5-2√5)

n=12
3 < 3(√2)(-1+√3) < π < 12(2-√3)

n=16
4√(2-√2) < 8√(2-√(2+√2)) < π < 8(√2)(√(2-√2))(2-√(2-√2))

n=20
(5/2)(-1+√5) < (5/2)(√2)(1+(√5)-(√2)√(5-√5)) < π < 5(1+√5)(4-(√2)√(5+√5))

n=24
3(√2)(-1+√3) < 6(√2)√(4-(√2)-√6) < π < 12(1+√3)(-1-(√3)+2√2)

(内接正16角形の半周長)のみ3重根号を用いている。

n=24の不等式を用いてπを評価すると
3.1326… < π < 3.1596…
である。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/04(日) 00:56:38.21

ところで>>41,42では
(1/2)(単位円に内接する正n角形の周長) < (1/2)(単位円の円周2π)
を用いている。
「円に内接する(凸)多角形の周長は円周より小さい」
は、各辺(弦)が弧より短いので自明である。

では
「円に包含される凸多角形の周長は円周より小さい」
更には
「凸多角形Aに包含される凸多角形Bの周長はAの周長より小さい」
は、初等数学（できれば初等幾何）で証明可能か？

凸多角形Bは凸多角形Aに包含される
⇒任意のxy座標系において[B(x,y)のxの変域]⊆[A(x,y)のxの変域]かつ[B(x,y)のyの変域]⊆[A(x,y)のyの変域]

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/05(月) 03:27:18.13

出題！
a,bは0＜a＜bなる実数として
平面図形
{(x,y)∈R^2|a≦x^2+y^2≦b}
を考える。
まあ要するにバウムクーヘンを上から見た形ですね。

これを4つの直線で切って、いくつかの部分に分ける。
最大何個に分けられるでしょう？

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/05(月) 04:49:24.03

>>20

A(0，0) B(L，0) C(L，L) D(0，L) P(x，y)
とおく。
　{L-x，y} 組、{L-y，x} 組はピタゴラス数だから h，m，n により
　L-x-y = ±h{(nn-mm) -2mn},
と書ける。
　その因数は、7，17，47，217，257 などで、１の位の数字は７である。（なぜか?）

(nn-mm) - 2mn = ±(L-x-y)/h
は、下記のようにペル方程式 ff -2gg = ±1 の形になる。
その解は
　f_k = {(1+√2)^k + (1-√2)^k} /2,
　g_k = {(1+√2)^k - (1-√2)^k} /(2√2),
（＋のときはk：偶数とし、－のときはk：奇数とする。）

・(nn-mm) -2mn = 7 のとき
　(nn-mm) -2mn = (n-m)^2 -2mm = {(5m-3n)^2 -2(4m-n)^2}/7 = {(m-3n)^2 -2(2m+n)^2}/7,

・2mn -(nn-mm) = 7 のとき
　2mn -(nn-mm) = (m+n)^2 -2nn = {(5m-n)^2 -2(3m-2n)^2}/7 = {(3m+n)^2 -2(m-2n)^2}/7,

・(nn-mm) -2mn = 17 のとき
　(nn-mm) -2mn = (n-m)^2 -2mm = {(9m-5n)^2 -2(7m-2n)^2}/17 = {(m-5n)^2 -2(3m+2n)^2}/17,

・2mn -(nn-mm) = 17 のとき
　2mn -(nn-mm) = (m+n)^2 -2nn = {(5m+n)^2 -2(2m-3n)^2}/17 = {(7m-n)^2 -2(4m-3n)^2}/17,

・(nn-mm) -2mn = 47 のとき
　(nn-mm) -2mn = (n-m)^2 -2mm = {(9m-7n)^2 -2(8m-n)^2}/47 = {(5m-7n)^2 -2(6m+n)^2}/47,

・2mn -(nn-mm) = 47 のとき
　2mn -(nn-mm) = (m+n)^2 -2nn = {(7m+5n)^2 -2(m-6n)^2}/47 = {(17m-5n)^2 -2(11m-6n)^2}/47,

∴　ff -2gg = ±１の形になる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/05(月) 05:24:46.33

>>44

x = ±d　と　y = ±d で「井の字」
　但し、d = min{ (1/2)√(a+b)，√a }
だと 12個か。
もっと多いんだろうな。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/05(月) 09:15:36.94

新手(荒手とも)の技で導いたので一般的(?)な解放が見たいです(*´ 艸｀)

マクローリンです
ついでにゼータも分解すると(1)の類題だと分かる形になります
因みにRamanijanの発見した恒等式を使用しました

https://i.imgur.com/EkGvNIH.jpg
https://i.imgur.com/bSvsQUN.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/05(月) 10:41:19.19

>>45
(L,x,y)=(6240,711,3080),(26180,3285,24528)という反例もあるけど、7や17の倍数になる例は確かに多いと思います
何か法則が…？

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/05(月) 11:53:26.30

>>45
＞f_k = {(1+√2)^k + (1-√2)^k} /2,
これは1,3,7,17,41,99,239,577,1393,…となると思うんですが、
その中でも特に7と17だけ際立って多く登場するのはなぜでしょうね？

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/03/05(月) 12:30:00.14

┏┳┓>>44>>46
￣┣━━◎￣￣￣/＼
＿◎＿＿＿＿＿_/＼/|
￣ ∩∩￣￣￣￣＼/ |
⊂(_-) )`⌒ つ￣/　|
￣|､＿`υ_＿＿／|　|
］|∥￣￣￣￣∥ | /
＿|∥ □　□ ∥ |/
￣`∥＿＿＿＿∥／
_　￣￣￣￣￣おもしろい。CDに細い紐４本、井桁に置いてずらしていくと、ちょうど頂角36°底角72°の二等辺三角形ができるときが星形で、それまでのあいだだろうなって見当はつく。かぞえるとバウムクーヘンの切れ端は13個あるね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/05(月) 14:00:02.90

>>47

Σ[n=-∞，∞] e^{-πn^2} = θ_3(0, e^{-π}) = 1.086434811213308

Σ[m=-∞，∞] m^2 e^{-πm^2} = 0.0864557352758541

辺々割って　4π.

Σ[n=1，∞] (-π)^n / {n! ζ(2n+1)} = -0.568682

Σ[m=0，∞] (-π)^m / {m! ζ(2m+3)} = -0.0452297

辺々割って　12.5732

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/05(月) 21:54:28.59

>>44

d = √{ab/(a+b)} とおく。0<a<b より
　√(a/2) < d < min{(1/2)√(a+b)，√a}.

x = -d,
y = 0 （x軸),
(-d，d）と（d√2，0) を通る直線,
(-d，-d）と（√{(a+b)/2}，0）を通る直線

これで13個だ…

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/05(月) 22:24:30.70

平面をn本の直線で分割するとき、最大でa[n]個の領域に分割するとき、
a[n+1] = a[n]+n+1

平面上に円が１つあって、n本の直線で分割するとき、最大でb[n]個の領域に分割するとき、
b[n]は？

平面上に同心円が２つあって、n本の直線で分割するとき、最大でc[n]個の領域に分割するとき、
c[n]は？

平面上に同心円がm個あって、n本の直線で分割するとき、最大でd[n]個の領域に分割するとき、
d[n]は？

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/05(月) 23:14:45.10

>>49
7や17をL-x-yの素因数に含む場合は複数解を含むケースが多い

L-x-y=833=7・7・17である解3つ
(L,x,y)=(11492,7524,3135),(21125,7524,12768),(43700,7524,35343) いずれも L-y=8357

L-x-y=4879=7・17・41である解2つ
(L,x,y)=(13156,1440,6837),(14355,1440,8036) いずれも L-y=6319

L-x-y=5593=7・17・47である解3つ
(L,x,y)=(9375,7072,7896),(21853,5040,11220),(22472,13260,14805)

L-x-y=6713=7・7・137である解2つ
(L,x,y)=(20280,4795,8772),(282348,15960,259675)

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/06(火) 02:12:22.19

全部映画のタイトル
https://i.imgur.com/LrvkjlK.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/06(火) 08:37:05.23

>>4が未解決ですが、解を知りたいものですね

さて、エレ解の募集です
(用意した想定解は地道にやっています)

xy平面上を点Pが原点(0,0)からスタートして、以下に定められる規則に従って移動する。次の設問に答えよ。

点Pの移動規則:
サイコロを振り、1の目が出た場合(2,0)、2の目が出た場合(1,√3)、3の目が出た場合(-1,√3)、4の目が出た場合(-2,0)、5の目が出た場合(-1,-√3)、6の目が出た場合(1,-√3)だけ点Pは移動する。
サイコロを8回振る。
最終的な点Pの位置をP_8とする。

原点と点P_8の長さが整数になる確率を求めよ。
但し原点と点P_8が一致した場合は長さ0とし、整数に含む。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/06(火) 11:34:45.51

>>56
原点からの距離が14となる場合が18通りあるが、それらの場合における確率がいずれも等しいところが興味深い
自明な結果ではないはず

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/06(火) 13:38:56.07

>>44

直線1本　…　2個
直線2本　…　5個
直線3本　…　9個
直線4本　… 13個？

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/06(火) 13:53:40.61

>>58
内側の円が充分小さければ14個できる

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/06(火) 14:21:06.54

四角形を角の付近を残して中を除けば１１＋３

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/06(火) 14:32:43.92

円の大きさは関係ないかな
4本すべての直線が内側の円の内部を通るようにし、かつ、
どの2直線も図形の内側(内側の円の外部かつ外側の円の内部)の、それぞれ異なる点で交わるようにすると14分割になる

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/06(火) 23:05:51.85

【湖畔の街灯】

観測者が、光源から受ける光の明るさ・電荷から受ける静電気力の大きさ・物体から受ける引力の大きさ…は逆二乗則に従う（すなわち距離の二乗に反比例する）。
観測者が距離1の光源から受ける光の明るさを1とする。
次のとき、θ=0にいる観測者が受ける光の明るさはいくらか？

(n=0)　直径2/πの円周上のθ=πの位置に光源があるとき
(n=1)　直径4/πの円周上のθ=π/2, 3π/2の位置に光源があるとき
(n=k)　直径(2/π)*2^kの円周上のθ={aπ/(2^(k-1))}-{π/(2^k)}の位置に光源があるとき（ただしa=1,2,…,2^k）

一周2^(n+1)の円形の湖に、2^n個の街灯が等間隔で並んでいるイメージである。

無限に大きい円を考えると、どのような数論の公式が導けるか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/07(水) 02:06:27.88

>>53
a[n] = (nn+n+2)/2,

>>61 に従って
直線0：　 y=0 (x軸)
　線分（√a，0）～（√b，0）をn等分する点をP_k　(k=1，…，n-1）
　線分（√a，δ）～（√a，0）をn等分する点をQ_k（k=1，…，n-1）
直線ｋ：　P_k と Q_k を通る直線
とする。　
δ>0 がじゅうぶん小さいとき、n本の直線は小円の内部を通る。

c[n+1] = c[n] + n+2,
c[n] = n(n+3)/2,

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/07(水) 02:14:12.02

>>63
P_n = （√b，0）
P_0 = Q_n = （√a，0）
とおけばいいか…

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/07(水) 02:19:58.34

>>45 >>49

ペル方程式

数セミ増刊「数学・物理　100の方程式」日本評論社（1989）p.16～17

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/07(水) 16:32:10.13

>>63 (補足)

d ' = √b - √a とおく。
線分ｋは放物線
　√{(x-√a)/d '} + √(y/δ) = 1
に接する。その接点は
（√a + (P_0 P_k)^2 /d '，(Q_k Q_n)^2 /δ）

次に、
線分 P_0（√a，0）～ P_n（√a +d '，0）をλ：(1-λ）に内分する点をP
線分 Q_0（√a，δ）～ Q_n（√a，0）を λ：(1-λ）に内分する点をQ とする。
λ = P_0 P / d ' = Q_0 Q / δ.

このとき、線分PQ も上記の放物線に接する。その接点は
（√a + λ^2･d '，(1-λ)^2･δ）
また、2本の接線の交点は
（√a + λ1･λ2･d'，(1-λ1)(1-λ2)δ）

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/07(水) 21:07:05.61

>>56
答え　44.13% 位ですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/08(木) 12:23:37.55

>>63-66

>>61 に従って
直線n： y=0（x軸）
大円内でx軸と小円に接する下に凸な曲線Cを書き、n-1本の接線を曳く。

曲線Cの例：
円（x - √{b-d 'd '})^2 + (y-d ')^2 = (d ')^2
　d ' = √b - √a とおいた。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/08(木) 12:46:49.80

>>68

・Cの例
円　(x-√b)^2 + (y-r)^2 = r^2,
　ここに　r = （b-a)/(2√a).

**44です** · 2018/03/08(木) 18:24:18.81

いちおう自分が考えたのと同じ　必ず14　が出ました。
読むのでもう少々お待ちを。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/09(金) 09:58:52.79

>>56
二次元で正六角形を表現するのは面倒だが、三次元内なら簡単に表現できる。サイコロの各出目に対し、
(1,-1,0),(1,0,-1),(0,1,-1),(0,-1,1),(-1,1,0),(-1,0,1)　・・・・（★）
を対応させればよい。この方法を用いると、ｎ回のサイ振り後の、動点Pの位置(x,y,z)は、
x+y+z=0,|x|≦n,|y|≦n,|z|≦n、・・・・・・・・・（☆）
の整数解と1対1に対応できる
(n=1の時、原点もこの方程式の解に含まれるが、動点がここにいることはないのでこれだけは除外する)

問題では一回のサイ振りで2移動するが、この解法では√2の移動に留まる。
従ってこの座標系の距離で√2倍したものが、問題における距離と一致する。
つまり、「動点Pが原点から整数距離にある」⇔「ｍを整数として、2(x^2+y^2+z^2)=ｍ^2と表せる」
m=2kとおき、整理すると　
x^2+y^2+xy=k^2　　　・・・・・・・・・（☆☆）
n=8においてこの解は、{x,y,z}={0,k,-k},{8,-5,-3},{-8,5,3}に限られる。

(★)より、(x/y + x/z + y/z + y/x + z/x + z/y)^8 　・・・・・・（★★）
を展開したとき　x^a y^b z^c の係数が、動点Pの8回のサイ振り後、(a,b,c)に到達するルート数に一致することが判る。
（☆☆）の解に対応させると、
(x/y),(x/y)^2,...,(x/y)^8　の係数の和の六倍、プラス、x^8/(y^5z^3)　の項の係数の十二倍、プラス　定数項
を6^8で割った物が、この問題の答えになる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/09(金) 09:59:22.23

飛び道具があれば、(★★)　を展開し、各係数を見て、計算すれば、それで終了とできる。
だがそでは「エレガント」とは言えないので、別の方法を示す。
最も、煩雑なのが定数項の計算。飛び道具を使う以外に二通りの方法で確認したので、まずそれを示す。

展開式において、x/yをa回、x/zをb回、．．．z/yをf回掛け合わされ、「定数になる」等という条件を式にすると、
a+b+c+d+e+f=8、a+b=d+e,c+d=a+f,e+f=b+c　→　abcdef=004004,013013,021203,022022,...,400400 という21通りの非負整数解を見つけられ、
全ての解において　8!/(a!b!c!d!e!f!)　を計算し、和を取れば、54810　を得られる。（これは、プログラムにより確認した）

問題では八回のサイ振りが求められているので、まずその半分四回までのサイ振り後のルートを全て計算する。
正三角形方眼紙を用いればパパパッとできる。４回後の各地点へ到達するルート数は、原点９０、サイズ１の正六角形の頂点６０、
サイズ２の正六角形の頂点３４、辺の中点４８、その外は頂点から順に１２，１６，１６、その外側は頂点から順に１、４、６、４
このようになる。こうして得られた61カ所に数字の二乗和を取ると、90^2+6*(60^2+48^2+34^2+2*16^2+12^2+6^2+2*4^2+1^2)=54810が得られる。

ところで、（★★）を展開したときの定数項は原点のルート数＝(54810)に当たるが、この式において、
x=yと置き換えた時の定数項は、正六角形の原点を通る対角線上の17個の数字の和に当たることが判る。
これは、（パスカルの三角形みたいなものを書けば）手でも十分計算可能で、2^8*1107という値を得る。
これの三倍で、原点を通る三本の対角線をカバーできるが、原点が３重に数えられているので、その超過分を減じ、
x^8/(y^5*z^3)の項の分8!/(5!3!)=56の12倍を加え、確率に直すと、
(1/6^8)(3*2^8*1107-2*54810+12*56)=741228/6^8=0.441308013...　が得られ、これが>>67で示した結果。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/09(金) 10:08:50.28

訂正
>>71
誤：n=8においてこの解は、{x,y,z}={0,k,-k},{8,-5,-3},{-8,5,3}に限られる。
正：n=8においてこの解は、{x,y,z}={0,k,-k},{8,-5,-3},{-8,5,3}、及び原点に限られる。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/03/09(金) 22:48:41.28

~人人~ 前>>50
(＿)_)　二重の円を
(_(＿)ﾞ適当な大きさに
(-_-))　描き、
○(`')ﾞバウムクーヘン
○⌒_ﾉ　上で交差する
(_人_)ﾞように５本の線
_υ_υ_ で分割し、内側の円を掠めるようにうまく配置して一本の線をとると、外側の円を含むバウムクーヘンは８つできる。
内側の円を含むバウムクーヘンは二種類あって一つの鋭角を持つ切れ端３つと、一つの鈍角をもつごく小さな切れ端３つが確認できる。
∴8＋3＋3＝14

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/03/09(金) 23:02:03.51

訂正。前>>74
やっぱり二つの円の中心がズレてました。一つの交点が外側の円を出ます。

8＋3＋2＝13 が最大かと。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/10(土) 01:14:51.00

>>75
星形にこだわるとうまい解はでないかもしれないです
例えばこういう線を考えてみてはどうでしょうかね
・バウムクーヘン>>44のもの。原点を中心に持つ半径aとbの円に挟まれた図形
・１本目の線を、切片(a+b)/2で正の傾きをもち、内側の円を通る(原点からの距離がa未満)線とする
・２本目の線を、切片(a+b)/2で負の傾きをもち、内側の円を通る(原点からの距離がa未満)線とする
・３本目の線を、切片-(a+b)/2で正の傾きをもち、１番目と２番目の線と第１象限にある図形内の点でそれぞれ交わるようにする
・４本目の線を、切片-(a+b)/2で負の傾きをもち、１番目と２番目の線と第２象限にある図形内の点でそれぞれ交わるようにする
このようにすると、>>61に書かれているように、４本の線は互いに図形内の異なる点で交わり、かつ内側の円の内部を通るようにできます
分割数は１４になります

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/03/10(土) 08:38:58.94

>>76図を書いて確認しました。たしかに14個に分割できますね。前>>75
∥∩∩］∥
（(-_-) ∥
（っφ)ﾟ∥
｢￣￣￣￣]
■/_UU＼■＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/12(月) 10:26:12.21

>>45
＞その因数は、7，17，47，217，257 などで、１の位の数字は７である。（なぜか?）
理由は不明ですが、既約解において、L-x-yの素因数は、その平方が48を法として1に合同なものに限られるらしい
(その場合、当然L-x-yの平方も48を法として1に合同)
何かそうでなければならない理由があるのでしょうか

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/13(火) 07:19:18.20

奇素数 p、自然数 r、gcd(a、p)=1 をみたす整数 a に対して、
x＾2≡a (mod p^r) をみたす整数 x が存在するならば、
y^2≡a (mod p^{r+1}) をみたす整数 y が存在することを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/14(水) 01:28:54.32

>>79

gcd(2a，p) = gcd(2，p) gcd(a，p) = 1,
∴ 1-2az ≡0　(mod p) を満たす z が存在する。

xx = a + b･p^r
に対して
y = x (1 - z b･p^r)
とおく。
yy = xx (1 - z b･p^r)^2
　= (a + b･p^r) {1 -2z b･p^r + zz bb･p^(2r)}
　≡ a + (1 -2az)b･p^r　　（mod p^(2r))
　≡ a　　　　　　　　　　（mod p^(r+1))

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/14(水) 02:47:19.91

>>80
実に素晴らしいデス！

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/14(水) 18:29:55.30

半径1の円の周および内部に、

(A) どのようにm個の点を配置しても、ある2点間の距離が1以下になる。最小のmを求めよ。全ての2点間の距離が1より大きくなるm-1個の点の配置を示せ。

(B) どのようにn個の点を配置しても、ある2点間の距離が1未満になる。最小のnを求めよ。全ての2点間の距離が1以上になるn-1個の点の配置を示せ。

論点
(A) 5点の配置は余裕、またmが高々7なのは容易に示せるが、m=6,7のどちらだろうか？
(B) 7点の配置はギリギリ可能だが、n=8なのだろうか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/15(木) 12:01:35.87

>>56
おそらく
原点は2-2-2-2型と3-3-2型(3は135ダブりか246ダブりのみ)からの計算

軸は、
23○
56□
14△
として
○がk個、□がk個、△が(8-2k)個を並べてから各○□△埋める
2^k×2^k×2^(8-2k)×8!/((8-2k)!k!k!)

が最も近道だと思う

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/15(木) 12:29:57.70

http://i.imgur.com/HY43Cip.gif

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/15(木) 18:08:55.23

>>82
(B)n=8が答え。
8点の中に円の中心が含まれていたら、残りの7点は円周上に無ければならないが、そのような配置は必ずある2点間の距離を1未満にする。
したがって8点とも円の中心と異なる場合のみ考えれば良いが、
ピザを切るように円を7等分すれば、鳩ノ巣原理より同一のピースに含まれるような2点が存在。
2点とも円の中心とは異なるため、必ず距離は1未満になる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/15(木) 19:55:30.54

>>83
>>原点は2-2-2-2型と3-3-2型(3は135ダブりか246ダブりのみ)からの計算

aaaa(aaaa)~型：　3通り　＊　8!/(4!4!)
aaab(aaab)~型：　6通り　＊　8!/(3!3!)
aabb(aabb)~型：　3通り　＊　8!/(2!2!2!2!)
aabc(aabc)~型：　3通り　＊　8!/(2!2!)
(ABC)^2*AA~型：　6通り　＊　8!/(3!2!2!)

の21通り合計、54810ですね。
（※aに対し、「a~」で、aと反対の方法を、A,B,Cは、お互い120度をなす方向を表し、ABCで元の位置に戻ります。）
（※二つの数字は、方向パターンと並べ替えパターン）
この方法は、「型の列挙」に漏れや重複がないか核心で、別の独立な方法で確認できたなら、自信が持てますよね。

軸の方の
Σ[k=0,4]2^k×2^k×2^(8-2k)×8!/((8-2k)!k!k!) =283392=1107*2^8
はシンプルですね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/16(金) 04:18:56.25

>>82
(A) m=6
・6点のどれかが円の中心ならば、他の点までの距離は１以下。
・6点とも円の中心でない場合、
　6つの中心角の合計が360ﾟだから、最小のものは60ﾟ以下となり、60ﾟの扇形に含まれる。
　∴ 距離は１以下。

　円周上の正５角形

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/16(金) 23:32:33.66

有名問題かもしれないけど
「全ての自然数は、3の階乗の足し引きで表されることを示せ。」
例えば4=3+1 11=9+3-1 とかな

高校数学解法辞典？っていうのに載ってて、難易度が難だった
難レベルは同書に数問しか入ってなかった
やや難の問題の方が難しく感じたけどなw

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/17(土) 00:28:31.07

>>88
3!=6だが...?

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/17(土) 00:37:00.45

>>89
書き間違えくらい、忖度してやれ

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/17(土) 00:42:15.69

足すか、引くか、足しも引きもしない、の3通りが選べる。
これが全ての数について言えるから

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/17(土) 00:56:58.05

>>90
土曜日だからね！

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/17(土) 09:43:19.88

>>89
階乗じゃなくて累乗やんけ
ごめんなさい

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/17(土) 09:45:59.36

n=3^0+3~0+…+3~0 (n個の和)

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/17(土) 09:59:07.80

>>88 だけど、問題の定義が曖昧すぎたので原文まんま上げます
考えてた人はごめんなさい
http://imgur.com/FJFbctS.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/17(土) 10:25:23.68

>>92
Sonntag する
ってそりゃ日曜日

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/18(日) 00:13:23.85

>>96
もう日曜だが…

博多どんたくの語源はオランダ語の zondag.（日曜日）らしい

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/18(日) 00:28:53.70

>>88
で、肝心の問題だが…

平衡３進法とか云うらしい...
http://www5e.biglobe.ne.jp/~emm386/2015/numeration/nb01.html

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/18(日) 13:46:22.49

平衡3進法、
天秤と重さ3^kの分銅がk=0,1,2,...について1個ずつあれば、正の整数の重さは全部表せるってやつだね

（天秤進法→）天進法の名前で商標登録してるやつがいるけどどうなの

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/18(日) 14:04:54.73

↑その人、コラッツ予想を証明してしまっているようだなあ。
数学というより、精神医学の話題なんじゃないの？