有理数
以下では有理数全体をQで書きます。もちろん順序による標準的な位相が入っているとします。
定理5：集合としての濃度が可算で完全（孤立点がないということ）な距離空間はQと同相ある。
この定理の系としてQ^n（nは自然数）がQと同相であることが分かります。
この定理は
W.Sierpi?ski, Sur une propriete topologique des ensembles denombrables denses en soi, 1920, Fund.Math.1, pp11-16
で発表されたようです。Fund.Math.の創刊号ですね。
この定理の証明が載っている本は知りませんが、ネット上になんかあるんじゃないかな
0次元空間ってカントール集合に埋め込めるんですが、可算空間はカントール集合の”端点”を含まないように埋め込むことが出来て、
すると上の仮定を充たす空間はカントール集合の順序で見ると自己稠密な最大値最小値を持たない集合になり、
しかも自己稠密性から順序位相と相対位相が一致し、
そして自己稠密な最大値最小値を持たない可算な順序集合は有理数と順序同型になるので
〜〜〜
みたいな感じの証明だった気がします。
つづく
