現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む51
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“現代数学の系譜 物理工学雑談 古典ガロア理論も読む”
数学セミナー時枝記事は、過去スレ39 で終わりました。
39は、別名「数学セミナー時枝記事の墓」と名付けます。
皆さまのご尽力で、伝統あるガロアすれは、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。（勢い１位の時も多い（＾＾ ）
このスレは、現代数学のもとになった物理工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで良ければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな～（＾＾
話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。
“時枝記事成立”を支持する立場からのカキコや質問は、基本はスルーします。それはコピペで流します。気が向いたら、忘れたころに取り上げます。
なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
High level people
低脳幼稚園児のAAお絵かき
お断り！
小学生がいますので、18金よろしくね！（＾＾
High level people は自分達で勝手に立てたスレ28へどうぞ！sage進行推奨（＾＾；
また、スレ43は、私が立てたスレではないので、私は行きません。そこでは、私はスレ主では無くなりますからね。このスレに不満な人は、そちらへ。 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1506152332/
旧スレが512KBオーバー（又は間近）で、新スレ立てる
（スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。） 時枝不成立も分からず、定理1.7のおかしさも分からん、腰ぎんちゃくさん（＾＾ >>317 補足
まあ、さらにマジレスすれば、知識は多い方が良い！ が、知識を獲得するのに時間が必要だ
だから、人生で必要にして最小限の知識を（過不足なく）得ることができれば理想だ
が、人がいまから必要な知識のみを得ることはできない。
だから、幅広い知識と同時に体系化された知識、それも借り物ではなく自分なりに、消化吸収され身についたもの、自在に応用できるよう
それを目指すべき
ところで、下記の例、大栗先生が、マシュームーンシャインインを発見された
どこかで読んだが、大栗先生が岩波数学辞典の後ろの付録で見たマシュー群との関連に気づいたのだとか
大栗先生が、マシュー群の詳細を事前に知っていなければ、マシュームーンシャインインは未発見になり、まあ、別の誰かが発見したんだろうね
大栗先生が、マシュー群の詳細をなにゆえ知っていたのか？ その経緯は分からない
だが、一方で、人が、ただ雑学として、マシュー群の詳細を知っていても、マシュームーンシャインインには到達しないことは、明らかだ
幅広い知識と同時に体系化された知識。かつ、それを、自家薬籠のものとして、自由自在に応用する実力
それが大事だってことだよね
つづく >>320 つづき
http://planck.exblog.jp/23930852/
モック保形性と月影 大栗博司のブログ 2015年 04月 17日
(抜粋)
数式：http://planck.exblog.jp/iv/detail/?s=23930852&;i=201504%2F17%2F69%2Fc0194469_6492216.jpg
カナダのウォータールー市にあるペリメータ研究所で開かれている 「モック保形性と月影」 と題した国際会議に来ています。
上の式は、私が１９８９年に東京大学に提出した博士論文から取りました。
この式の係数、９０、４６２、１５４０、４５５４、１１５９２などは、超弦理論をK3と呼ばれる空間にコンパクト化したときに現れる粒子状態の数で、私の博士論文の成果のひとつは、これらの数を計算する方法を開発したことでした。
しかし、これらの数の背景にある基本原理は、長い間わかりませんでした。
それからちょうど２０年経った２００９年に、江口徹さんと立川裕二さんとアスペン物理学センターで話をしているときに、
これらの数字を２で割った、４５、２３１、７７０、２２７７、５７９６などが、マチュー群と呼ばれる有限群の中の一番大きなM２４の既約表現の次元になっていることに、３人で気がつきました。
私たちの発見は、「マチュー月影」と呼ばれて、その後いろいろな方面から研究されるようになりました。
月影というのは、英語では "Moonshine" といいますが、夜、池の表面に映った月の光、それから転じて、「実体のない反映」、さらには、「ばかげたこと」という意味になったのだそうです。
つづく >>321 つづき
もともとの「モンスター月影」の舞台となったj‐函数は保形性を持っていますが、「マチュー月影」の舞台になるのは、ラマヌジャンが考えた「モック・モジュラー（保形）形式」でした。
今回の会議のタイトルが 「モック保形性と月影」 となっているのは、そのようなわけでした。
モック・モジュラー形式については、先日ケンブリッジ大学を訪問し、「ラマヌジャンの失われたノート」を拝見したときのブログ記事
http://planck.exblog.jp/23763462/
に書きました。
ペリメータ研究所を訪問するのは、１０年ぶりです。トロント市から車で１時間ぐらいのところで、冬の気候は厳しいと聞いていますが、建物の中はとても快適にできています。左の写真は、１階の広場で、左奥がレストランになっています。
(引用終わり)
以上 >>320 補足の補足
まあ、ガロアスレは、私のメモ帳でね
どちらかと言えば、雑学＆雑談系だが
いろいろ書くことで、体系化される面もある
あと、検索で、google先生を使える
現代数学の系譜 ガロア理論 + キーワード（知りたいことの）
で検索を掛けると、ガロアスレの検索が（優先的に）できるし、ガロアスレの外も検索してくれるので便利なんだ
そんなことを繰り返していると、自分なりに消化でき体系化できる
もちろん、仕事優先ですがね。あと、オリンピックなどイベントがあるときも、そちら優先
佐藤幹夫先生みたく、「朝起きてから寝るまで、かつ夢の中まで数学」という集中する時期があってもいいが（実際そういうときもある）
彼女もできない
結婚もできない
ではねと
それは、ちょっとね
実際、大栗先生には家族がいるよ
http://planck.exblog.jp/12884028/
授業参観と漢字 大栗博司のブログ 2009年 11月 08日
(抜粋)
今日は子供の日本語補習授業校の授業参観がありました。
土曜日に、日本の１週間分の授業をするのですから、大変だと思います。
しかし、子供たちは集中して先生の話を聞いていて、手もしっかり上がっていました。
先生方が献身的なのには、同じ教師として頭が下がります。
(引用終わり) >>アスペン物理学センター
アスペ物理学センターと空目した >>315 補足
(引用開始)
（>>204より）
１）定理1.7の条件；lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ （ lim supが有限）
↓↑
３）定理1.7の結論；リプシッツ連続 （”任意の実数x,yに対し |f(x)-f(y)|<= k|x-y| を満たす0以上のkがとれる”>>199より）（k 有限）
(引用終わり)
まあ、>>315に書いたように、
３）リプシッツ連続→１）定理1.7の条件成立 は、ほぼ自明
また、１）→３）は、対偶：￢３）→ ￢１）が言えるから、逆も成立（∵リプシッツ不連続 k＝∞ → 定理1.7の条件式＝∞ 成立 ）
だから、１）と３）は同値
で（>>13より）
(引用開始)
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
(引用終わり)
「f はある開区間の上でリプシッツ連続」は、即その開区間（a,b）で、条件Bfを満たすので、この区間はBfに含まれる（ （a,b）⊂Bf ）
同じことだが、Bfの補集合R－Bfが、R中で稠密なら、Bf内に上記のような開区間（a,b）は持てないし、リプシッツ連続な区間もない
まとめると
・Bf内にある開区間（a,b）があれば、その開区間（a,b）が即リプシッツ連続な区間でもあるし（補集合R－Bfが、R中で稠密でない場合）
・Bf内にある開区間（a,b）がなければ、リプシッツ連続な区間もない（補集合R－Bfが、R中で稠密な場合）
それだけのことだろ
以上 >>324
はい（＾＾
http://planck.exblog.jp/18336706/
アスペン物理学センター５０周年 大栗博司のブログ 2012年 08月 13日
(抜粋)
アスペン物理学センターは、５０年前に、当時３０歳になったばかりの物理学者ジョージ・ストラナハンさんが、ここに夏の間物理学者が集う場所があればよと思いついたことに始まります。
ストラナハンさんは、ファインマンさんの学生だったマイケル・コーエンさんと、アスペン・インスティテュートの所長だったロバート・クレイグさんの協力を得て、物理学センターを始めました。
最初は、アスペン・インスティテュートの一部でしたが、その後に独立し、今ではひと夏に６００人以上の物理学者が滞在する施設になりました。
どこの組織にも属さず、米国を中心とした世界各国の物理学者がボランティアとして運営している団体です。私も理事および執行役員として、お手伝いをしています。
７月のお祝いのパーティには、創設者のストラナハンさん、コーエンさん、クレイグさんが久しぶりに集まり、当時のお話を聞かせてくださいました（右の写真）。
(引用終わり) >>326
>>ファインマンさんの学生だったマイケル・コーエンさん
このコーエンさんと、強制法のコーエンさんとは別人ですね
http://fuchino.ddo.jp/index-j.html
渕野 昌 (Sakae Fuchino) の web page．
http://fuchino.ddo.jp/misc/cohenx.pdf
“コーエンの強制法” と強制法1) 2) 2016 >>325
＞だから、１）と３）は同値
ぜんぜんダメ。同値にならない。
―――――――――――――――――――――――――――――――――
問：ある点 x で A_f(x)＜＋∞ なら、x を含むある開区間の上で A_f は必ず有限値になるか？
→ 必ずしもならない。f(x)＝ x^2 (xは有理数), －x^2 (xは無理数)
と置くと、A_f(0)＝0 だが、A_f(x)＝＋∞ (x≠0) である。
問：ある点 x で A_f(x)＜＋∞ なら、x を含むある開区間の上で f はリプシッツ連続になるか？
→ 必ずしもならない。上と同じ関数 f に対して、A_f(0)＝0 であるが、
f はどの開区間の上でもリプシッツ連続ではない。
問：ある開区間 (a,b) の中の各点 x で A_f(x)＜＋∞ なら、(a,b) 全体で f はリプシッツ連続になるか？
→ 必ずしもならない。f(x)＝ 0 (x＝0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0)
と置くと、(－1, 1) 上の各点 x で A_f(x)＜＋∞ である(A_f(0)＝0に注意)。
しかし、f は(－1, 1)全体ではリプシッツ連続ではない。
―――――――――――――――――――――――――――――――――― >>325
＞まとめると
＞・Bf内にある開区間（a,b）があれば、その開区間（a,b）が即リプシッツ連続な区間でもあるし（補集合R－Bfが、R中で稠密でない場合）
間違っている。(a,b)⊂B_f が成り立つとしても、(a,b)全体で f がリプシッツ連続だとは限らない。
(1)と(3)が同値だと勘違いしているから、そういう間違いに陥るのである。何度も書いているように、
f(x)＝ 0 (x＝0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0)
とするとき、(－1,1)上の各点 x で A_f(x)＜＋∞ が成り立つので、(－1,1)⊂B_f が成り立つことになるが、
しかし f は(－1,1)全体ではリプシッツ連続ではない。なお、この f については A_f(0)＝0 が成り立つことに
注意せよ( A_f(0)＝＋∞ だと勘違いするな)。
結局お前は、
「 (a,b)⊂B_f が成り立つなら、f はある開区間の上で自明にリプシッツ連続だ」
という主張が ぜんぜん自明に証明できないままでいる。自明どころか、そもそも全く証明できていない。
それもそのはず、正しい証明には >>110 の手法を使うしかなく、お前ごときでは絶対に証明できないのである。 >>325
＞・Bf内にある開区間（a,b）がなければ、リプシッツ連続な区間もない（補集合R－Bfが、R中で稠密な場合）
＞
＞それだけのことだろ
ぜんぜん まとめになってない。
「 Bf内に開区間が取れないなら、リプシッツ連続な区間も取れない 」
というのはその通りだが、そのことは 定理1.7 に対して何の批判にもなっていない。
定理1.7 とは、「 R－B_f が第一類集合なら、f はある開区間の上でリプシッツ連続である 」
というものである。B_f 内に開区間が取れるか否かを問題にしつつ定理1.7を批判するなら、
お前は次のように主張しなければならない。
「 R－B_f が第一類集合なのに、B_f が全く開区間を含まないような具体例があるので、定理1.7 は間違っている」
しかし、お前はそのような具体例を1つも提示していない。
実際には、定理1.7 もしくは 定理F により、R－B_f が第一類集合なら B_f は開区間を含むので、
お前は 定理1.7 を否定する材料を完全に失っているのである。 以下、再び 定理F について書いておく。
定理F：
A ⊂ R は Fσ集合とする。もし R－A が第一類集合ならば、
(a,b)⊂A を満たす開区間 (a,b) が存在する。
証明：
STEP1：
A は Fσ 集合だから、高々可算無限個の閉集合 A_k が存在して A ＝ ∪_k A_k と書ける。
一方で、R－A は第一類集合だから、高々可算無限個の、内点を持たない閉集合 F_k が存在して
R－A ⊂ ∪_k F_k と書ける。結局、R ⊂ (∪_k A_k ) ∪ (∪_k F_k ) ということになる。
STEP2：
A_k, F_k はどれも閉集合だから、これと R ⊂ (∪_k A_k ) ∪ (∪_k F_k ) から、
ベールのカテゴリ定理が使えて、ある A_k もしくはある F_k は内点を持つ。
F_k は内点を持たないのだから、ある A_k が内点を持つしかない。
そのような A_k に対して、(a,b)⊂A_k なる開区間が取れるので、
A ＝ ∪_k A_k に注意して、(a,b) ⊂ A となる。従って、定理F が成り立つ。 さて、B_f は Fσ 集合なので、上記の 定理F と組み合わせると、
「 R－B_f が第一類集合なら、B_f は開区間を含むので、R－B_f は R の中で稠密にならない」
ということが即座に確定する。
お前は未だに、R－B_f が R の中で稠密か否かで場合分けしようとしているが、
そのような場合分けは、お前の屁理屈によれば「最初から存在しない」のである。
定理1.7 に対するお前の批判は、これにて完全に崩壊する。 あと、>>286 の焼き直しになるが、定理Fについて補足する。
定理F を「 Gδ集合 」で書き直すと、次のようになる。
定理F1：
A ⊂ R は、R－A がGδ集合とする。もし R－A が第一類集合ならば、(a,b)⊂A を満たす開区間 (a,b) が存在する。
実は、さらに強く、次の定理も証明できる。
定理F2：
A ⊂ R は、R－A がGδ集合とする。もし R－A が第一類集合ならば、R－A は nowhere dense である。
ここまで来ると、「 R－A 」を1文字にした方がキレイなので、そうすると次のようになる。
定理F3：
A ⊂ R は、A がGδ集合とする。もし A が第一類集合ならば、A は nowhere dense である。
これに関しては、"Gδ set of first category" で検索すると、
1件だけだが上記の 定理F3 を使っていると思しき pdf が見つかる。
ttp://fm.math.uni.lodz.pl/artykuly/12/ww.pdf
＞ Observe that ∩[m＝1～∞] ∪[n≧m] A_n as Gδ set of first category is
＞ easily seen to be nowhere dense.
このことからも、定理F, F1,F2,F3 は全て正しいと分かる。
間違っているのはスレ主ただ1人だけ。キチガイ。ゴミクズ。問題外。 ＞いろいろ書くことで、体系化される面もある
一つ一つを全く理解できてないのに体系化できると稀代のアホが豪語しております 日本女子パシュート金、おめでとう！ ＼（＾＾／
https://www3.nhk.or.jp/news/html/20180221/k10011338091000.html
スピードスケート女子団体パシュート 日本が金メダル NHK 2月21日 22時04分 >>305 補足
渕野先生 定理A.3 (シェルピンスキーの双対原理)
これ、>>279 渕野昌 (2002) (PDF), 実数の集合論の基礎の基礎 に関連記述があるね
http://math.cs.kitami-it.ac.jp/~fuchino/notes/set-th-of-reals-kiso-no-kiso.pdf
P33
(抜粋)
3.3 双対性定理
次の定理は，連続体仮説のもとで，疎集合の?-イデアルと零集合の?-イデアルの間には強
い双対性が成り立っていることを主張している．特にこの定理でのf で移すことにより，
疎集合の性質は対応する零集合の性質に翻訳され，逆も真である．
(引用終り) >>319
> 時枝不成立も分からず
スレ主の時枝不成立理論だと
1) 箱が1つあって1から6の自然数を出題者がランダムに1つ選んで数字を箱の中に入れて箱を閉じる
2) 箱を開けて中の数字を確認してから箱を閉じることを出題者とは別の複数人(人数6n)がそれぞれ行う
3) 6n人が箱の中身を答えると1から6の数字を答える人数はnが十分大きければそれぞれほぼn人ずつになる
となるから
この場合(1から6の自然数)の数当ての成否(時枝成立or不成立も同じ)の判定を間違える確率は5/6
箱に入れる数字の種類を増やしていけば判定を間違える確率は1に近づいていくが
実際にスレ主は成否の判定を間違えている スレ主の言う確率は当てずっぽで当たる確率
時枝戦略は当てずっぽではないので根本的にナンセンス アホ丸出し >>328
１）
(引用開始)
問：ある点 x で A_f(x)＜＋∞ なら、x を含むある開区間の上で A_f は必ず有限値になるか？
→ 必ずしもならない。f(x)＝ x^2 (xは有理数), －x^2 (xは無理数)
と置くと、A_f(0)＝0 だが、A_f(x)＝＋∞ (x≠0) である。
(引用終り)
意味わからん。何を言いたいのかな？
２）
(引用開始)
問：ある点 x で A_f(x)＜＋∞ なら、x を含むある開区間の上で f はリプシッツ連続になるか？
→ 必ずしもならない。上と同じ関数 f に対して、A_f(0)＝0 であるが、
f はどの開区間の上でもリプシッツ連続ではない。
(引用終り)
意味わからん。「A_f(x)＜＋∞ なら」と書いておきながら、「A_f(x)＝＋∞ (x≠0) である」だと？ 「リプシッツ連続ではない」と
何を言いたいのかな？
３）
(引用開始)
問：ある開区間 (a,b) の中の各点 x で A_f(x)＜＋∞ なら、(a,b) 全体で f はリプシッツ連続になるか？
→ 必ずしもならない。f(x)＝ 0 (x＝0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0)
と置くと、(－1, 1) 上の各点 x で A_f(x)＜＋∞ である(A_f(0)＝0に注意)。
しかし、f は(－1, 1)全体ではリプシッツ連続ではない。
(引用終り)
A_f(x)の定義がないが・・、A_f(x)＝｜f(y)－f(x)｜/｜y－x｜でいいかな？
下記より、その例は下記wikipediaと同じ例だ。「その導函数は有界でない」とあるから、”lim y→0 A_f(x)＜＋∞”ではないよ
あと、重箱の隅だが、下記で”閉区間 [0,1] へ制限”とあるよ。
分るかな？ 分数べきの分母が偶数のとき、ｘ<0はまずい。
ｘ<0の例を考えるなら、分母は偶数でないと。
（>>282より）https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84%E9%80%A3%E7%B6%9A
リプシッツ連続
(抜粋)
例
可微分だが（大域）リプシッツ連続でない
・函数 f(x) = x^3/2sin(1/x) (x ≠ 0) かつ f(0) = 0 を閉区間 [0,1] へ制限したものは、コンパクト集合上微分可能だが局所リプシッツでない函数の例を与える。実際、その導函数は有界でない。
(引用終り) >>337-338
ご苦労さん
一見数学ぽいことを書いてんだね（＾＾ >>339 訂正
”lim y→0 A_f(x)＜＋∞”
↓
”lim y→0 A_f(y)＜＋∞”
か
追記
” lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜”みたいな書き方があまりよろしくないかも
変数と定数の表現を区別する方がいいだろう
” lim sup y→x0 ｜（f(y) － f(x0)）/（y － x0）｜”
あるいは
” lim sup y→c ｜（f(y) － f(c)）/（y － c）｜”
とか 突然ですが、平昌五輪 女子スケート金
”組織力で世界と互角以上に戦う” これが、日本の一つのめざすべき姿だろう。数学の分野でも
http://www.yomiuri.co.jp/editorial/20180222-OYT1T50190.html
女子スケート金 一体的な強化策が実を結んだ 読売 2018年02月23日
(抜粋)
組織力で世界と互角以上に戦う姿は、１６年リオデジャネイロ五輪で銀メダルだった陸上男子４００メートルリレーのメンバーと重なる。
(引用終り) >>339-341
A_f(x)という表記は、今まで散々使ってきた表記である。お前もこの表記を何度も見てきたはずである。
なぜ今さら「知らないふり」をするのか理解に苦しむ。A_f(x)の定義を改めて書くと、x∈R に対して
A_f(x) ＝ limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜
と定義するのである。定数と変数の区別がつかないとかいうアホなスレ主のために、
スレ主のスタイルで定義すると、各点 x_0∈R に対して
A_f(x_0) ＝ limsup[y→x_0]｜(f(y)－f(x_0))/(y－x_0)｜
と定義するのである。この定義のもとで、
B_f ＝ { x∈R｜ A_f(x)＜＋∞ }
と簡潔に表現できることに注意せよ。あるいは、全く同じことだが、
B_f ＝ { x_0∈R｜ A_f(x_0)＜＋∞ }
と簡潔に表現できることに注意せよ。ちなみに、f が点 x_0 で微分可能ならば、
A_f(x_0) ＝ ｜f ' (x_0)｜
が成り立つことにも注意せよ。 さて、上記の表現のもとで、改めて>>328を書き直す。
とは言っても、ほとんど>>328のコピペだがな。
―――――――――――――――――――――――――――――――――
問1：ある点 x で A_f(x)＜＋∞ なら、その点 x を含むある開区間の上で A_f は必ず有限値になるか？
→ 必ずしもならない。f(x)＝ x^2 (xは有理数), －x^2 (xは無理数)
と置くと、A_f(0)＝0 だが、A_f(x)＝＋∞ (x≠0) である。
問2：ある点 x で A_f(x)＜＋∞ なら、x を含むある開区間の上で f はリプシッツ連続になるか？
→ 必ずしもならない。上と同じ関数 f に対して、A_f(0)＝0 であるが、
f はどの開区間の上でもリプシッツ連続ではない。
問3：ある開区間 (a,b) の中の各点 x で A_f(x)＜＋∞ なら、(a,b) 全体で f はリプシッツ連続になるか？
→ 必ずしもならない。f(x)＝ 0 (x＝0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0) と置くと、
(－1, 1) 上の各点 x_0 で A_f(x_0)＝｜f ' (x_0)｜＜＋∞ である(A_f(0)＝｜f ' (0)｜＝0に注意)。
しかし、f は(－1, 1)全体ではリプシッツ連続ではない。
―――――――――――――――――――――――――――――――――― >>339-341
さて、お前が主張しているのは、
(i)「 (a,b)⊂B_f ならば、f は (a,b)全体でリプシッツ連続だ 」
という間違った主張である。B_f ＝ { x_0∈R｜ A_f(x_0)＜＋∞ } だったから、
上記の(i)をA_f(x)を使って書き直すと、次のように言い換えできる。
(ii)「 各点 x_0∈(a,b) に対して A_f(x_0)＜＋∞ ならば、f は(a,b)全体でリプシッツ連続だ」
このように書けば、(i),(ii)が間違っていることは明白である。なぜなら、
f(x)＝ 0 (x＝0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0)
が反例になるからだ。この f に対して、(－1, 1) 上の各点 x_0 で A_f(x_0)＝｜f ' (x_0)｜＜＋∞ が
成り立つが、しかし f は(－1, 1)全体ではリプシッツ連続ではない。
なお、 A_f(0)＝｜f ' (0)｜＝0 が成り立つことに注意せよ。A_f(0)＝｜f ' (0)｜＝＋∞ だと勘違いするな。 >>339
＞ ・函数 f(x) = x^3/2sin(1/x) (x ≠ 0) かつ f(0) = 0 を閉区間 [0,1] へ制限したものは、
＞コンパクト集合上微分可能だが局所リプシッツでない函数の例を与える。実際、その導函数は有界でない。
「導関数」が存在している時点で、(－1, 1) 上の各点 x_0 で A_f(x_0)＜＋∞ が成り立つことが確定している。
なぜなら、既に述べたように、f ' が存在する場合には A_f(x_0) ＝ ｜f ' (x_0)｜が成り立つからだ。
当然ながら｜f ' (x_0)｜＜＋∞ なので、A_f(x_0)＜＋∞ である。つまり、各 x_0∈(－1, 1) に対して
A_f(x_0)＜＋∞ である。そして、B_f ＝ { x_0∈R｜ A_f(x_0)＜＋∞ } だったから、
(－1,1)⊂B_f
ということになる。しかし、f は (－1,1)上ではリプシッツ連続ではない。従って、お前が主張している
(i)「 (a,b)⊂B_f ならば、f は (a,b)全体でリプシッツ連続だ 」
という主張は間違っているのである。
ちなみに、上記の f に対して、f ' は有界ではない。ここでの「有界ではない」とは、
「 ｜f '(x_0)｜＝＋∞ が成り立つ点 x_0∈(－1,1) が存在する 」
という意味ではなく、
「 max_{ x_0∈(-1,1)}｜f '(x_0)｜ や sup_{ x_0∈(-1,1)}｜f '(x_0)｜ が有限値として存在しない 」
という意味である。お前はこのことと、「各点 x_0∈(-1,1) で ｜f ' (x_0)｜＜＋∞ が成り立つ 」
ということとを混同している。 >>339
一応、このレスにも返答しておく。
＞意味わからん。何を言いたいのかな？
＞意味わからん。「A_f(x)＜＋∞ なら」と書いておきながら、
＞「A_f(x)＝＋∞ (x≠0) である」だと？ 「リプシッツ連続ではない」と
＞何を言いたいのかな？
その部分は、「問1」「問2」を考えて、それらの問に対する反例を挙げているだけである。
「当然、問1,問2には反例があるだろう」と理解しているなら、それでよい。
＞A_f(x)の定義がないが・・、A_f(x)＝｜f(y)－f(x)｜/｜y－x｜でいいかな？
＞下記より、その例は下記wikipediaと同じ例だ。「その導函数は有界でない」とあるから、”lim y→0 A_f(x)＜＋∞”ではないよ
A_f(x)の定義は再度 >>343 に書いたので、きちんと参照せよ。
というか、お前は既に A_f(x) の定義を知っていたはずである。
なぜ今さら「知らないふり」をするのか理解に苦しむ。 久し振りに来ました、おっちゃんです。
幾何や代数、表現論など他の分野と混じり気のないような純粋な解析に直観は禁物。
スレ主はこれを心得ること。
直観が通じそうでも或いはなさそうでも、場合によっては、議論に物凄いギャップがあることがある。
じゃ、おっちゃん寝る。 カーリング女子、残念でした
明日の3位決定戦、頑張って下さい
https://vdata.nikkei.com/newsgraphics/pyeongchang2018-blog/
日経 2018/2/23
カーリング女子準決勝で日本は延長戦の末、韓国に7－8で敗れました。あす夜、イギリスとの3位決定戦に臨みます。 SiegelのE 関数
和文では、情報がほとんどない
http://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/ha/SS2006/Data/Hokoku/hirata.pdf
1 対数一次形式の理論と応用: Hermite からBaker，Matveev まで 平田典子(Noriko Hirata-Kohno) 日本大学理工学部数学科 2006
(抜粋)
P30
Definition 4.1 (E 関数)
略
例えば，z の代数的数係数多項式，exp(z), sin z, cos z，Bessel 関数などはE 関数となる．E
関数の研究はC. L. Siegel が始めた．典型的な結果としてはたとえば次[76] が得られている．
Theorem 4.1 (A. B. Shidlovskii)
これはSiegel-Shidlovskii の定理と呼ばれるが，その代数的な別証明もある([4], [5])．Y. Andr´e
による最近の研究が進んでいる．
さらにG 関数と呼ばれる関数を定めよう．
Definition 4.2 (G 関数) 次のような解析関数を考える．
G 関数の
例としては通常の対数関数，その一般化であるpolylogarithm，Gauss の超幾何級数や一般超
幾何関数などがある．G 関数の数論的な性質については微分方程式論とも深く関連している
[3], [65]．
数論において意味のある良く知られた関数としてRiemann のゼータ関数ζ(s) がある．s が2
以上の奇整数のときにζ(s) が超越数か否かという問題がある．最も一般的な予想としては次
がある．
http://swc.math.arizona.edu/aws/2008/
Arizona Winter School 2008: Special Functions and Transcendence The Southwest Center for Arithmetic Geometry
http://swc.math.arizona.edu/aws/2008/08BeukersNotesDraft.pdf
Arithmetic of values of E- and G-functions Lecture notes (draft) Frits Beukers 2008
https://en.wikipedia.org/wiki/E-function
E-function
https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/E-function
E-function Encyclopedia of Mathematics >>348
おっちゃん、どうも、スレ主です。
>幾何や代数、表現論など他の分野と混じり気のないような純粋な解析に直観は禁物。
>スレ主はこれを心得ること。
>直観が通じそうでも或いはなさそうでも、場合によっては、議論に物凄いギャップがあることがある。
その考えは、私とは正反対だな
自分の直観を、レベルアップすべし
数学のハイレベルな理論と、自分の直観とが、一致するように
そうしないと、あなたはいつまで立っても論文一つ書けないだろう >>353 補足
余談だが、素朴な直観が、「高度な科学理論」と合わないということは歴史的にもしばしばあった
だが、頭が軟らかい若い内に、きちんと学ぶと、「高度な数学理論」が当たり前に思えてくるものだ
まあ、そういう話は、物理に多い
古くは、地球が球だとか
天動説 VS 地動説
相対論 VS ニュートンの絶対（ユークリッド）空間論
量子力学 VS 古典（ニュートン）力学
まあ、数学でも
古代は、負数は認めないとか、虚数は存在しないとか
幾何は、ユークリッドが絶対だとかね
まあ、無限もカントールが認められない時代があったし
ヒルベルトは、全数学をユークリッド方式で公理化しようとしたが、不完全性定理が出た
連続体仮説は、他の公理から独立だが、これはあやしい仮説だという人もいるらしい
選択公理も、いろいろ議論のあるところだ
そんなこんないろいろあるが
きちんと勉強して、自分の直観を磨き鍛えることをしないと、だめだと思うよ >>347
>A_f(x)の定義は再度 >>343 に書いたので、きちんと参照せよ。
>というか、お前は既に A_f(x) の定義を知っていたはずである。
>なぜ今さら「知らないふり」をするのか理解に苦しむ。
それはすまんかった
A_f(x)の定義を検索したが、見つからなかったのでね
えーと、下記だったね（細かいが、A_f(x)とAf(x)の違いで検索ヒットしなかったかも）
あと、３スレ前で2017/12/22付けだし、もう一度定義を確認しておく意義はあったろう
スレ48 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/404
404 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2017/12/22(金) 16:34:32.09 ID:bIg1uYPK
(抜粋)
[記法の整備 その１]
さて、せっかくディニ微分が出てきたので、ここからはディニ微分の「Ｄ記法」を拝借して
Af(x)：＝ limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜
とでも書くことにする。「Ａ記法」とでも呼ぶべきか。このとき、集合 B_f は
B_f ＝ { x∈R｜ Af(x) ＜ ＋∞ }
と表現できることに注意する。もちろん、
R－B_f ＝ { x∈R｜ Af(x) ＝ ＋∞ }
という等式が成り立つ。
(引用終り)
以上 ＞きちんと勉強して、自分の直観を磨き鍛えることをしないと、だめだと思うよ
と、一年生の教科書すら勉強しない稀代のアホが申しております >>304
谷村先生は、確か以前にも紹介したと思って検索すると（方法は>>323ご参照）
スレ24にあったね（＾＾
スレ24 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1475822875/369-376
369 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2016/10/14(金)
(引用終り) >>344
こんなのがあったので引用する（＾＾
https://answers.yahoo.com/question/index?qid=20111114081521AAQ7U4A
(抜粋)
Determine whether the following functions are lipschitz. Explain? Yahoo answers 20/11/2011
(a) f(x) = 1/x, x belong to (0,1)
(b) f(x) = (x^2) sin(1/x) with x belong to (0,1]
(c) f(x) = (x^(3/2)) sin (1/x) with x belong to (0,1)
(d) f(x) = (x^2) sin [exp(1/x)] with x belong to (0,1)
(e) f: R-->R, where f is a polynomial of degree larger than 1.
Best Answer:
(a) This is not Lipschitz on (0, 1). To show this:
Define x(n) = 1/n and y(n) = 1/2 for n = 1, 2, ..., and suppose that f is Lipschitz on (0, 1).
(Note that {1/n} and {1/2} are subsets of (0, 1).)
Then, there must exist M > 0 such that
M ? |[f(x(n)) - f(y(n))] / (x(n) - y(n))|
....= |(n - 2) / (1/n - 1/2)|
....= |(n - 2) / [(1/(2n)) (2 - n)]|
....= 2n → ∞ as n→∞.
Hence, no such M can exist, and so f(x) = 1/x is not Lipschitz on (0, 1).
(b) Note that f '(x) = 2x sin(1/x) - cos(1/x).
==> |f '(x)| ? 2|x| |sin(1/x)| + |cos(1/x)| ? 2|x| * 1 + 1 ? 2 * 1 + 1 = 3 for all x in [0, 1].
Since f has bounded derivative on (0, 1], we see that f is Lipschitz.
つづく >>358 つづき
(c) This is not Lipschitz on (0, 1); we prove this in a manner similar to (a).
Define x(n) = 1/√(2πn + π/2) and y(n) = 1/√(2πn) for n = 1, 2, ..., and suppose that f is Lipschitz on (0, 1).
(Note that {x(n)} and {y(n)} are subsets of (0, 1).)
Then, there must exist M > 0 such that
M ? |[f(x(n)) - f(y(n))] / (x(n) - y(n))|
....= |[(2πn + π/2)^(-3/4) - 0] / [1/√(2πn + π/2) - 1/√(2πn)]|
....= √(2πn) / {(2πn + π/2)^(1/4) [√(2πn + π/2) - √(2πn)]}
....= √(2πn) [√(2πn + π/2) + √(2πn)] / {(2πn + π/2)^(1/4) [(2πn + π/2) - (2πn)]}, via conjugates
....= (2/π) √(2πn) [√(2πn + π/2) + √(2πn)] / (2πn + π/2)^(1/4)
....= √(8/π) [√(2πn^2 + πn/2) + n√(2π)] / (2πn + π/2)^(1/4)
....→ ∞ as n→∞. [degree 1 on the numerator, degree 1/4 on the denominator]
Hence, no such M can exist, and so f(x) = x^(3/2) sin(1/x) is not Lipschitz on (0, 1).
(引用終り) 文字化けしとるな。まあ、原文を読めば良いのだが
>>358
M ? |[f(x(n)) - f(y(n))] / (x(n) - y(n))|
↓
M >= |[f(x(n)) - f(y(n))] / (x(n) - y(n))|
>>359
M ? |[f(x(n)) - f(y(n))] / (x(n) - y(n))|
↓
M >= |[f(x(n)) - f(y(n))] / (x(n) - y(n))| >>358 ついでに関連引用下記
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1167642766
(抜粋)
newt2shikenさん yahoo 2011/7/2913:43:05
数学の質問です。
f(x)=x^2sin(1/x) (x≠0)、0 (x=0) はリプシッツ連続であることを示してください。 よろしくお願いします。
ベストアンサーに選ばれた回答
k_i_n_o08さん 2011/8/101:56:04
x≠0 で f'(x)=2x*sin(1/x)-cos(1/x) である．
|f'(x)| <= 2|x|+1 であり，f'(x)→±∞ のとき f'(x)→2 なので，f'(x) は x≠0 において有界である。
L=sup(z≠0) |f'(z)| とおく。
ゆえに，xy >= 0 のとき，|f(x)-f(y)| <= L|x-y| である。
xy＜0 のとき，例えば x＜0＜y のとき，f(x)＜0＜f(y) であるから，
|f(x)-f(y)|=f(y)-f(x)=f(y)-f(0)-(f(x)-f(0))
=f'(u) y-f'(v)x
=f'(u) y+f'(v)*(-x)
<= Ly+L(-x)
=L(y-x)
=L|y-x|.
(引用終り)
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13115720653
(抜粋)
mnbvbnm7230さん2013/10/3103:50:01
関数 f(x)=x^2 sin(1/x) (x≠0), f(0)=0についての問題です
関数 f(x)=x^2 sin(1/x) (x≠0), f(0)=0について
１．x≠0のとき、この関数を微分せよ（導関数f'(x)を求めよ）。
２．この関数の微分係数f'(0)を定義に従って計算し、f'(x)がx=0で不連続であることを示せ。
ベストアンサーに選ばれた回答
calsopisdaさん 編集あり2013/10/3108:51:38
f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x)
です。
f'(0)を定義にしたがって計算すると、
lim[h→0](1/h)(f(0+h)-f(0))
=lim[h→0](1/h){h^2sin(1/h)-f(0)}
=lim[h→0]hsin(1/h)
=0(はさみうちより)
一方で、
lim[x→0]f'(x)
=lim[x→0](2xsin(1/x)-cos(1/x))
≠f'(0)
ですから、f'(x)はx=0で不連続となります。
(引用終り) >>353
おっちゃんです。
それが信じられないことにあったんだよ。
2冊合わせてリーマン面を除く部分の一変数複素解析の大半の理論が完結するようなテキストを読んだときね。
まあ、この2冊のうち片方には、面白いことが書いてある。 >>363
まあ、正確には「読んだ」ではなく「見た」だけどな。
いや～、新鮮味がある内容だよ。
実解析と集合論との関係について書いてあるような本があるんだな。 >>359 補足
>Define x(n) = 1/√(2πn + π/2) and y(n) = 1/√(2πn)
これちょっと怪しい（＾＾
下記が正解（√が不要）だろう
https://www.eco.uninsubria.it/site/dipartimento/ricerca/quaderni-di-ricerca/elenco/
Quaderni di ricerca (2000 / 2016)
http://eco.uninsubria.it/dipeco/quaderni/files/QF2008_03.pdf
I. Ginchev Weakened subdifferentials and Frechet differentiability of real functions 2008/3
Universita degli Studi dell'Insubria Via Monte Generoso, 71, 21100 Varese, Italy
(抜粋)
P5
Example 2. The function f : R → R,
f(x) =x^3/2 sin(1/x) , x ≠ 0 ,
=0 , x = 0 ,
is not Lipschitz near x = 0, but it possesses a Lipschitz weakened derivative f^w(0, v) = 0.
To show that the function f in this example is not Lipschitz near x = 0 put
xn = 1/{(2n ? 3/2)}π, yn =1/(2nπ).
Then xn → 0, yn → 0 and
{f(xn) ? f(yn)}/(xn ? yn) = 4n/{(3π)^(1/2)(2n ? 3/2)^(1/2)}→ ∞ as n → ∞.
We conclude this section with an example showing that the finiteness of L_*f^w(x) does not
imply the finiteness of of L*f^w(x) and consequently the Lipschitz property of f^w(x, ・).
(引用終り) >>362-364
おっちゃん、どうも、スレ主です。
良かったら、そのテキストの書名のご紹介をよろしく（＾＾ >>362-364
おっちゃん、どうも、スレ主です。
オリンピック見てる？
それが信じられないことにあったんだよ
マススタート金、カーリング銅
びっくりしたね（＾＾ >>366
辻正次が著した実函数論と複素函数論。
実函数論の方は記述的集合論とかいう分野について書いてあるような面白い実解析の本だ。
素朴集合論から書いてある。
>>367
オリンピック？ 全然見てない。結果を聞く程度。 >>365 訂正
あーら、マイナス記号が文字化けしちゃったな（＾＾
xn = 1/{(2n ? 3/2)}π, yn =1/(2nπ).
Then xn → 0, yn → 0 and
{f(xn) ? f(yn)}/(xn ? yn) = 4n/{(3π)^(1/2)(2n ? 3/2)^(1/2)}→ ∞ as n → ∞.
↓
xn = 1/{(2n - 3/2)}π, yn =1/(2nπ).
Then xn → 0, yn → 0 and
{f(xn) - f(yn)}/(xn - yn) = 4n/{(3π)^(1/2)(2n - 3/2)^(1/2)}→ ∞ as n → ∞. >>368
>辻正次が著した実函数論と複素函数論。
ああ、辻正次先生ね。それ、下記に紹介したが、”辻正次： 實變數凾數論， 清水書院，1949．”となっているけど、復刻版があったよね。結構分厚い本だったかな
スレ48 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/392-399
392 自分返信：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2017/12/22(金)
(抜粋)
https://ci.nii.ac.jp/els/contentscinii_20171221232301.pdf?id=ART0007541949
Dini導関数とその応用 中井三留，多田俊政 大同工業大学紀要 第39巻（2003）
辻正次： 實變數凾數論， 清水書院，1949．
(引用終り) >>365 & >>369 自己レス
なにをやっているかというと
f(x) =x^3/2 sin(1/x)
で、リプシッツ連続でないことの証明で
I. Ginchev先生みたく数列 xn = 1/{(2n - 3/2)}π, yn =1/(2nπ) 作って
{f(xn) - f(yn)}/(xn - yn) → ∞ as n → ∞.を証明している
これそのままで
定理1.7（>>13より）の
lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜→ ∞ as n → ∞
の証明になっとるんじゃないの？
つまり、
リプシッツ連続でないことの証明
↓
数列 xn、yn ”{f(xn) - f(yn)}/(xn - yn) → ∞ as n → ∞”
↓
lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜→ ∞ as n → ∞
の証明
だと >>371
何が言いたいのか意味不明。特に、
＞lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜→ ∞ as n → ∞
この部分は本格的に意味不明。キチガイ。
lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜ という量には「 n 」が出現していないので、
このままでは n に全く依存していない定数であり、n→∞ としても
lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜ のまま動かない。
このことは、A_f(x) という表現を使うと より明確である。再び
＞lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜→ ∞ as n → ∞
この部分を A_f(x) を使って書き直してみると、
「 A_f(x) → ∞ as n → ∞ 」
と言っていることになる。ここまで書けば、意味不明であることが如実に分かる。
A_f(x) という量には n が出現していないので、n → ∞ としても A_f(x) は A_f(x) のままであり、
A_f(x) → ∞ とはならないのである。強いて書くなら「 A_f(x) → A_f(x) 」という書き方はできるが、
これは「 A_f(x) は n に依存せずに動かない 」と言っているだけなので、特に意味はない。 あるいは、適切な点列 x_n を取って
A_f(x_n) → ∞ as n → ∞
と書きたかったのかもしれないが、それはつまり
「 max_{ x∈(-1,1)}｜f '(x)｜ や sup_{ x∈(-1,1)}｜f '(x)｜ は有限値として存在しない 」
と言っているに過ぎなくて、
「ある x∈(-1,1) に対して A_f(x)＝｜f'(x)｜＝＋∞ が成り立つ」
ということにはならないし、
「 (-1,1)⊂B_f は成り立ってない 」
ということにもならない。つまり、(-1,1)⊂B_f は依然として成り立ってるし、にも関わらず
f は (-1,1) 上ではリプシッツ連続にならない。
しかも、この議論は f(x)＝ 0 (x＝0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0) という関数に対する議論でしかないので、
定理1.7 の中で何を一般的に言及しようとしているのかも意味不明。 もしくは、f(x)＝ 0 (x＝0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0) という関数の場合には
A_f(x)＝｜f ' (x)｜が成り立っているので、―― すなわち、
lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜ ＝ ｜f ' (x)｜
が成り立っているので、こちらの表記を使ってもツッコミができる。この場合、
＞lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜→ ∞ as n → ∞
この部分は次のように表現できる。
「 ｜f ' (x)｜→ ∞ as n → ∞ 」
既に述べたように、意味不明である。｜f ' (x)｜という書き方では n に依存していないので、
｜f ' (x)｜→ ∞ とはならないのである。適切な点列 x_n を取って
｜f ' (x_n)｜→ ∞ as n → ∞
と書きたかったのかもしれないが、それはつまり、sup_{ x∈(-1,1)}｜f '(x)｜ が有限値として
存在しないということに過ぎなくて、
「ある x∈(-1,1) に対して｜f'(x)｜＝＋∞ が成り立つ」
ということにはならないし、「 (-1,1)⊂B_f は成り立ってない 」ということにもならない。
いずれにしても意味不明。 >>365
この論文は、フレシェ微分の話がよく出てくる
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%AC%E3%82%B7%E3%82%A7%E5%BE%AE%E5%88%86
(抜粋)
数学におけるフレシェ微分は、モーリス・ルネ・フレシェの名にちなむ、バナッハ空間上で定義される微分法の一種である。フレシェ微分は、実一変数の実数値函数の導函数を、実多変数のベクトル値函数の場合へ一般化するのに広く用いられ、また変分法で広範に用いられる汎函数微分を定義するのにもつかわれる。
一般に、これは実一変数実数値函数の微分の概念をバナッハ空間上の写像へ拡張するものであり、より一般のガトー微分（古典的な方向微分の一般化）とは対比されるべきものである。
性質
一点で微分可能な函数はその点で連続である。
フレシェ微分を取る操作は、次の意味で線型演算である。二つの写像 f, g: V → W は x において微分可能で、r, s が二つのスカラー（実数もしくは複素数）ならば、rf + sg は x において微分可能で D(rf + sg)(x) = rDf(x) + sDg(x) を満たす。
この文脈では連鎖律も同じく有効である。f: U → Y が点 x ∈ U において微分可能かつ g: Y → W が点 y = f(x) において微分可能ならば、それらの合成 g ○ f は点 x において微分可能、かつその導函数は各導函数の合成
D(g○ f)(x)=Dg(f(x))○ Df(x)}
になる。
有限次元
有限次元空間におけるフレシェ導函数は通常の導函数である。特に、座標系を定めれば、フレシェ導函数はヤコビ行列で表される。
ガトー微分との関係
函数 f:U⊂V→W が x ∈ U においてガトー微分可能であるとは、f が x において任意の方向へ沿った方向微分を持つときに言う。これはつまり、任意に選んだ h ∈ V に対して函数 g: V → W で
g(h)=lim t→0 {f(x+th)-f(x)}/{t}
を満たすものが存在するという意味である[1]。ただし、t は V に付随する係数体から取ったものである（ふつう t は実数である）。f が x においてフレシェ微分可能ならば、f は x においてガトー微分可能かつ g は線型作用素 A = Df(x) とちょうど一致する。しかし、任意のガトー可微分函数は必ずしもフレシェ微分可能でない。
関連項目
微分の一般化（英語版）
無限次元正則性（英語版）
(引用終り) C++さんのために（＾＾
週刊碁にオープンソースソフトAQの記事があったね
http://tweettunnel.com/ymg_aq
山口 祐 ＠囲碁ソフトAQ開発中 @ymg_aq Tsukuba
東大将棋部OB。趣味でDeep Learningやっています。オープンソースで最強の囲碁プログラム「AQ」を開発しています → https://t.co/J1RSYw103R 世界AI囲碁オープン8強（2017）/AI竜星戦4位（2017）
囲碁ソフトAQのダウンロード＆インストール手順についてWiki（日本語）を書きました。
https://t.co/8D3dzUL4o4
1:10 AM - 25 Feb 2018
幽玄の間のAQはプロ相手に４３勝3敗（35連勝中）のようなので、割と頑張っているよう
9:46 PM - 23 Feb 2018
(引用終り)
http://www.nihonkiin.or.jp/news/release/aqvsaq.html
囲碁ソフト「AQ」の『幽玄の間』への導入、およびイベント『「今研究会」vs「AQ」三番碁』のお知らせ 日本棋院 2018年02月09日
「AQ」は、山口祐氏開発の囲碁対局ソフトウェア。
主な戦績：第10回UEC杯4位（2017年3月）／中信証券杯8強（2017年8月）／AI竜星戦4位（2017年12月）いずれもDeepZenGo に次ぐ国内ソフト2,3位の成績
(引用終り) 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:b73a9cd27f0065c395082e3925dacf01) >>379-380
おっちゃん、どうも、スレ主です。
ご苦労さまです（＾＾ 平昌オリンピックの選手帰国インタビューを見ていた
新聞にも書いてあったが、外国人コーチの力も大きいみたいだね（＾＾
数学も同じだろうね ”ＡＩに詳しい学生”というのがキーワードか
数学科で頭の固いのはだめだが、普通の柔らかさでAIやITに詳しいという人は、アピールできるかも
かつ、それに近い研究をしていましたとなると、有利だろう
https://www.nikkei.com/article/DGXMZO27402590W8A220C1EA2000/
IT人材不足「19年危機」 新卒争奪戦が過熱 日経 2018/2/26 19:27
(抜粋)
ネット企業ではディー・エヌ・エー（ＤｅＮＡ）がすでに18年卒者の採用から、ＡＩに詳しい学生に絞った採用活動を実施している。募集案内では「ＡＩで実績のある人」と記している。入社１年目で年収が最大１千万円になる可能性もあるという。19年卒者対象でも「ＡＩ枠」を設定している。楽天は新卒でも「エンジニア職」を通年入社させることで海外留学していた学生などが応募しやすいようにしている。
各社の「ＩＴ人材」に厳密な定義はないが、ネットが重要な事業領域となりＩＴに詳しい人手を少しでも多く確保したいとの思惑がにじんでいる。衣料品店「ユニクロ」を展開するファーストリテイリングは、高度なデータ分析を担うデータサイエンティストなどの技術者採用に積極的だ。
経済産業省が16年にまとめたＩＴ関連企業を対象にした調査によると、国内では15年時点でＩＴ人材が約17万人不足しているという。19年には、ＩＴ産業への入職者が退職者を下回る逆転現象が発生する見込みで、30年には人材不足が約59万人にまで増える見通しだ。
(引用終わり) 数学科のためのAI講座とか
AIに使われている数学と課題とか
そういう講義を作ると受けるかもしれないね（＾＾ >>263 関連
（下記より）
連続的微分可能 ⊆ リプシッツ連続 ⊆ α-ヘルダー連続 (0 < α ?1) ⊆ 一様連続 ⊆ 連続函数
￢連続的微分可能 ⊇ ￢リプシッツ連続 ⊇ ￢α-ヘルダー連続 (0 < α ?1) ⊇ ￢一様連続 ⊇ ￢連続函数
リプシッツ連続 ⊆ 絶対連続 ⊆ 有界変動 ⊆ 殆ど至る所微分可能
￢リプシッツ連続 ⊇ ￢絶対連続 ⊇ ￢有界変動 ⊇ ￢殆ど至る所微分可能
(引用終わり)
（>>13より）
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
(引用終わり
で
Bfの示す連続な性質を、Bf連続と呼ぶことにすると
リプシッツ連続 ⊆ Bf連続 ⊆ α-ヘルダー連続 (0 < α ?1)
￢リプシッツ連続 ⊇ ￢Bf連続 ⊇ ￢α-ヘルダー連続 (0 < α ?1)
となる（∵リプシッツ連続→Bf連続が言えるから）
リプシッツ連続とBf連続とは、全く違う性質を言っているという主張をするが
私は、同じ性質について、表現形式が少し違っているだけだと思う
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84%E9%80%A3%E7%B6%9A
実数直線の有界閉集合上で定義される函数に関して、以下のような包含関係の鎖が知られている[2]:
リプシッツ連続
(抜粋)
連続的微分可能 ⊇ リプシッツ連続 ⊆ α-ヘルダー連続 (0 < α ?1) ⊆ 一様連続 ⊆ 連続函数.
また、
リプシッツ連続 ⊆ 絶対連続 ⊆ 有界変動 ⊆ 殆ど至る所微分可能
も成り立つ。
(引用終わり)
以上 >>368 関連事項
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%BB%91%E3%82%89%E3%81%8B%E3%81%AA%E9%96%A2%E6%95%B0
滑らかな関数
(抜粋)
滑らかさの分類
関数 f が連続的微分可能（れんぞくてきびぶんかのう、continuously differentiable）であるとは、f に導関数 f′ が存在して、なおかつその f′ が連続関数となることをいう。同様に自然数 k について、f の k 階の導関数が存在して連続であるとき、f は k 階連続的微分可能あるいは k 回の連続的微分が可能であるといい、また f は Ck 級の関数であるという。
微分可能な関数は連続であることから、Ck (k = 1, 2, ...) は包含関係に関して非増加な列を成している。任意有限階の導関数をもつ関数は無限回（連続的）微分可能であるといい、そのクラスは C∞ で表される。
関数のクラス Ck を、k 階の導関数が存在して連続であり、なおかつ k + 1 階の導関数が存在しないかあるいは存在しても連続でない関数全体が成す類とすることもある。この場合、各クラスは交わりを持たない排他的な分類を与える。
さらに強い滑らかさを表すクラスとして、解析関数つまり各点で冪級数展開可能な関数のクラス Cω がある。また場合により、連続関数のクラス C を 0 階連続的微分可能な関数のクラス C0 として、滑らかな関数の仲間に入れて考えることがある。
滑らかさのクラスを考えることは、具体的な定義域と値域をあたえることで、たくさんの関数空間（の台集合）の例を与える。関数の定義域が X であるときそれを明示して、X 上で定義される Ck 級関数全体の成す空間をしばしば Ck(X) のように記す。定義域 X は多くの場合 "滑らかな" 位相空間である。さらに値域 Y をも明示して Ck(X; Y) などと記すこともある。値域 Y はこの空間の係数と見なされる。
p-進解析のようにある種のリジッド (rigid) な空間を考えているとき、そこでは空間の全不連結性から必ずしも実解析あるいは複素解析的な意味での微積分を考えることはできないが、例えば局所定数関数全体の成すクラスを C∞ とすることがある。
つづく >>387 つづき
滑らかな関数
関数 f が（それが属する文脈での議論に用いるに）十分大きな n に関して Cn-級であるとき、滑らかな関数（なめらかなかんすう、smooth function）と総称される。またこのとき、関数 f は十分滑らかであるともいう。このような語法を用いるとき、n は十分大きければよく、その値が厳密に知られている必要はないし、とくに n は固定して考えないのが通例である。
そのような状況下では多くの場合、「滑らかな関数」のクラスとして無限回微分可能関数のクラス C∞ や解析関数のクラス Cω を考えるのが、議論の便宜からして有用である。
滑らかさの概念は（微分の概念がそうであるように）局所的なものである。つまり、ある点での滑らかさというのは、その点の周りの十分小さな近傍において考察される。有限個の例外を除く各点で滑らかな関数は区分的に滑らかであるといわれる。滑らかさのクラスを明示して、区分的に Ck 級の関数や、区分的に連続な関数を考えることもある。
(引用終わり)
以上 >>387 訂正
>>368 関連事項
↓
>>386 関連事項 >>386 関連事項
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%85%A8%E4%B8%8D%E9%80%A3%E7%B5%90%E7%A9%BA%E9%96%93
完全不連結空間
(抜粋)
位相空間論やそれに関わる分野において、完全不連結空間 (totally disconnected space) は非自明な連結部分集合を持たないという意味で最も不連結な位相空間である。すべての位相空間において空集合と1点集合は連結である。完全不連結空間においてはこれらしか連結部分集合がない。
完全不連結空間の重要な例の1つはカントール集合である。別の例は p-進数体 Qp で、代数的整数論において重要な役割を果たす。
定義
位相空間 X は、X の連結成分が一点集合であるときに、完全不連結 (totally disconnected) であるという。
例
以下は完全不連結空間の例である。
・離散空間
・有理数全体
・無理数全体
・p 進数全体や p 進整数全体、より一般に、射有限群
・カントール集合
・ベール空間
・ゾルゲンフライ直線（英語版）
・0次元 T1 空間
・extremally disconnected（英語版） なハウスドルフ空間
・ストーン空間
・naster?Kuratowski fan（英語版） は連結空間であるが、一点を取り除くと完全不連結空間になる
・エルデシュ空間（英語版） l^p(Z)∩ Q^ω は次元 0 でない完全不連結空間である
(引用終わり) >>386
＞Bfの示す連続な性質を、Bf連続と呼ぶことにすると
Bf連続という言葉が意味不明。
(a,b)⊂B_f が成り立つなら、f は (a,b) 上で連続であるから、
そのことを「 B_f 連続 」と呼んでいるのだと思われるが、もしそうなら、
＞リプシッツ連続とBf連続とは、全く違う性質を言っているという主張をするが
＞私は、同じ性質について、表現形式が少し違っているだけだと思う
この部分は明らかに間違っている。
いつもの f(x)＝ 0 (x＝0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0) が反例である。
(-1,1)⊂B_f が成り立つので、f は (-1,1) 上で連続である。
従って、お前に言わせれば、f は (-1,1) 上で B_f 連続なのだろう。
しかし、f は (-1,1) 上の全体ではリプシッツ連続ではない。
すなわち、ある開区間の上でB_f連続だからといって、
その開区間の上でリプシッツ連続とは限らない。 >>386
＞ Bf連続 ⊆ α-ヘルダー連続 (0 < α ?1)
この部分も間違っている。B_f連続だからと言ってαヘルダー連続とは限らない。
g(x)＝0 (x＝0), x^2 cos(πe^{1/x^2}) (x≠0)
と置くと、g は R 上の各点で微分可能なので、特に (-1,1)⊂B_g が成り立っている。
従って、お前に言わせれば、g は (-1,1) 上で B_g連続である。
しかし、0＜α≦1 のとき、g は (-1,1)上でαヘルダー連続にならないことが確認できる。従って、
＞ Bf連続 ⊆ α-ヘルダー連続 (0 < α ?1)
こんなことは言えない。
すなわち、ある開区間の上でB_f連続だからといって、
その開区間の上でαヘルダー連続とは限らない。 文字フォントの都合上、一応注意しておくが、
＞ g(x)＝0 (x＝0), x^2 cos(πe^{1/x^2}) (x≠0)
cos の中にある π という記号は「パイ」のつもりである。 ＞数学科で頭の固いのはだめだが、普通の柔らかさでAIやITに詳しいという人は、アピールできるかも
数学はからっきしで頭も固いスレ主は社会のゴミ >>365 >>369 ＜まず証明書き直し＞
(引用開始)
Example 2. The function f : R → R,
f(x) =x^3/2 sin(1/x) , x ≠ 0 ,
=0 , x = 0 ,
is not Lipschitz near x = 0, but it possesses a Lipschitz weakened derivative f^w(0, v) = 0.
To show that the function f in this example is not Lipschitz near x = 0 put
xn = 1/(2n - 3/2)π, yn =1/(2nπ).
Then xn → 0, yn → 0 and
{f(xn) - f(yn)}/(xn - yn) = 4n/{(3π)^(1/2)(2n - 3/2)^(1/2)}→ ∞ as n → ∞.
(引用終り)
ここで、
f(x) =x^3/2 sin(1/x) を微分して
f｀(x) =3/2 x^1/2 sin(1/x) -(1/x^1/2) cos(1/x)となる
1)
xn =1/(2nπ)とおくと、sin(1/xn)=0, cos(1/xn)=1なので
f｀(xn) = -√(2nπ) → -∞ as n → ∞.
2)
xn =1/(2nπ+π)とおくと、sin(1/xn)=0, cos(1/xn)=-1なので
f｀(xn) = √(2nπ+π) → ∞ as n → ∞.
3)
いずれにせよ
xn → 0, | f｀(xn) | → ∞ as n → ∞
であり、微分係数はx → 0で、f｀(x)→±∞に発散する数列が作れる
なので、ある関数f(x)が微分可能なことと、微分係数がある値（例えばx=0）で∞に発散することとは、矛盾しない >>339 訂正
あと、重箱の隅だが、下記で”閉区間 [0,1] へ制限”とあるよ。
分るかな？ 分数べきの分母が偶数のとき、ｘ<0はまずい。
ｘ<0の例を考えるなら、分母は偶数でないと。
↓
あと、重箱の隅だが、下記で”閉区間 [0,1] へ制限”とあるよ。
分るかな？ 分数べきの分母が偶数のとき、ｘ<0はまずい。
ｘ<0の例を考えるなら、分母は”奇数”でないと。
（補足）
ケアレスミスが多いな
息をするようにケアレスミスだな（＾＾
すまんな
>>391
x^{3/2} =√（x^3）とかける
f : R → R だったら
(-1,1) でｘ<0は、まずかろう
あと、>>395もご参照ください（＾＾ おっちゃんです。
定理1.7ではB_f は G_δ 集合かつ R－B_f は F_σ 集合なることが仮定されている。 それで、仮定に過ぎないから、スレ主が幾ら具体的な反例を構成して反論しようとしてもムダ。 >>395
＞x^{3/2} =√（x^3）とかける
＞f : R → R だったら
＞(-1,1) でｘ<0は、まずかろう
言われてみればそうだな。すまん。
f(x)＝0 (x≦0), x^{3/2} sin(1/x) (x＞0)
とでもすればよかろう。この f は R 上で微分可能なので、特に (-1,1)⊂B_f が成り立つが、
しかし f は(-1,1)上の全体ではリプシッツ連続ではない。もしくは、>>392 の
g(x)＝0 (x＝0), x^2 cos(πe^{1/x^2}) (x≠0)
の関数でもよい。この g は R 上で微分可能なので、特に (-1,1)⊂B_g が成り立つが、
しかし g は(-1,1)上の全体でリプシッツ連続ではない。
また、0＜α≦1に対して、g は(-1,1)上の全体でαヘルダー連続でもない。 >>395
＞微分係数はx → 0で、f｀(x)→±∞に発散する数列が作れる
それは「 sup_{x∈(-1,1)}｜f'(x)｜が有限値として存在しない」ということに過ぎない。
＞なので、ある関数f(x)が微分可能なことと、微分係数がある値（例えばx=0）で∞に発散することとは、矛盾しない
その言い方では｜f'(0)｜＝＋∞ と言っていることになるが、実際には｜f'(0)｜＝0 である。よって、正確には
(1)「 f が(-1,1)上で微分可能なことと、lim[x→0]｜f'(x)｜＝＋∞ が成り立つこととは 矛盾しない」
と書くべきである。ここで、lim[x→0]｜f'(x)｜＝＋∞ が成り立つなら
f は(-1,1)上でリプシッツ連続にならないことに注意せよ。従って、(1)は
(2)「 f が(-1,1)上で微分可能なことと、f が(-1,1)上の全体でリプシッツ連続にならないこととは 矛盾しない」
と言っているのと同じことである。そして、f が(-1,1)上で微分可能なら (-1,1)⊂B_f が成り立つので、(2)は
(3)「 (-1,1)⊂B_f が成り立つことと、f が(-1,1)上の全体でリプシッツ連続にならないこととは 矛盾しない」
と言っているのと同じことである。そして、この(3)は俺が言っていた主張と同じことであり、
なおかつ、スレ主が当初言っていた
「 (a,b)⊂B_f が成り立つなら、f は(a,b)上の全体でリプシッツ連続だ 」
という主張と正反対の主張である。今回、スレ主の方からそのような正反対の主張が出たわけである。
一体何がしたいのか意味不明。 さて、話を整理する。スレ主の当初の主張は、大まかに言えば次の3つだったはずである。
(1) 定理1.7は間違っている。
(2) (a,b)⊂B_f が成り立つなら、f はある開区間の上で自明にリプシッツ連続である。
(3) もっと言えば、(a,b)⊂B_f が成り立つなら、f は(a,b)上の全体で自明にリプシッツ連続である。
(1)については、俺が「 定理F 」を持ち出してから すっかりフェードアウトしており、
スレ主は定理1.7の真偽について黙ってしまった。
(2)については、スレ主は未だに(2)を証明できていない。それもそのはず、
(2)はちっとも自明ではなく、>>110の方針を使わなければ(2)は証明できないからだ。
(3)については、俺が何度も反例を挙げているのに、スレ主はロクな返答をせず、ついには
「 (-1,1)⊂B_f が成り立つことと、f が(-1,1)上の全体でリプシッツ連続にならないこととは 矛盾しない」
という、俺と同じ主張をするようになった。言い換えれば、スレ主が言い出した(3)と正反対の主張を、
スレ主の方から言い出すようになった。もはや何がしたいのか意味不明である。
・ (1)について、定理1.7が本当は正しいことは理解したのか？
・ (2)について、(2)はちっとも自明ではなく、>>110の方針を使わなければ(2)は証明できないことは理解したのか？
・ (3)について、(a,b)⊂B_f が成り立つからと言って f は(a,b)上の全体でリプシッツ連続とは限らないことは理解したのか？ ＞一体何がしたいのか意味不明。
スレ主の存在自体が意味不明 >>397-398
おっちゃん、どうも、スレ主です。
>定理1.7ではB_f は G_δ 集合かつ R－B_f は F_σ 集合なることが仮定されている。
>それで、仮定に過ぎないから、スレ主が幾ら具体的な反例を構成して反論しようとしてもムダ。
言っている意味がわからんし
そもそも、暗黙に”B_f は G_δ 集合かつ R－B_f は F_σ 集合なることが仮定されている”なら
それこそ、数学としてはおかしな話だ
むしろ暗黙に仮定されているのは、Ｂｆ内における開区間(a,b)の存在でしょ？ >>397
>定理1.7ではB_f は G_δ 集合かつ R－B_f は F_σ 集合なることが仮定されている。
ああ～？
ひょっとして、おっちゃんは、私スレ主の間違いを指摘してくれたのかな？
いま検索すると・・
>>242
(引用開始)
まあ、普通の連続・不連続で、R中の部分集合として連続がFσ、不連続がGδとして存在するの類似かな？と
つまり、「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }」が連続に相当しFσ
補集合 R－Bf が、不連続に相当しGδだろうと
(引用終り)
これFσとGδとの当てはめが、全く逆だな。
お恥ずかしい次第だ。
息をするようにケアレスミスしているな～（＾＾；
正しくは
”まあ、普通の連続・不連続で、R中の部分集合として連続がGδ、不連続がFσとして存在するの類似かな？と
つまり、「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }」が連続に相当しGδ
補集合 R－Bf が、不連続に相当しFσだろうと”
です
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/F%CF%83%E9%9B%86%E5%90%88
Fσ集合
(抜粋)
Fσ-集合とは、位相空間の部分集合で、閉集合の可算和に書けるようなものを言う。由来としては、F が閉（集合）を意味するフランス語の ferme から、σ が合併を意味するフランス語の somme からそれぞれとられている。
性質
Fσ-集合の補集合は Gδ-集合である。
可算個の Fσ-集合の合併はまた Fσ-集合であり、有限個の Fσ-集合の交わりはふたたび Fσ-集合を成す（Fσ-集合の可算交叉は Fσδ-集合という）。
例と反例
・任意の閉集合は明らかに Fσ-集合である。
・有理数全体の成す集合 Q は実数全体の成す集合 R の Fσ-集合である。無理数全体の成す集合 P = R ? Q は R の Fσ-集合ではない。
・距離化可能空間においては、任意の開集合が Fσ-集合になり、また任意の閉集合が Gδ-集合になる。
(引用終り)
つづき >>404 つづく
https://ja.wikipedia.org/wiki/G%CE%B4%E9%9B%86%E5%90%88
Gδ集合
(抜粋)
Gδ-集合あるいは内極限集合 (inner limiting set) とは、位相空間の部分集合で開集合の可算交叉となっているものを言う。
由来については、G というのが開集合を意味するドイツ語の Gebiet から、δ というのが交わりを意味するドイツ語の Durchschnitt からそれぞれとられたものである。
Gδ-集合（およびその双対であるFσ-集合）は、ボレル階層（英語版）において二階 (second level) の集合であり、より正確には Gδ-集合の全体はちょうど Π02-階集合である。
例と反例
・任意の開集合は明らかに Gδ-集合である。
・無理数の全体 P は実数直線 R の Gδ-集合である。実際 P は、q が任意の有理数を亙るときの一点集合 {q} の R における補集合すべての交わりとして表せる。
・有理数の全体 Q は実数直線 R の Gδ-集合ではない。実際、Q が開集合列 An の交わりに書けるとすると、各 An は（Q が R において稠密ゆえ）何れも R において稠密でなければならないが、
上でやったように無理数全体の集合 P は稠密開集合の可算交叉として書けるから、P と Q との交わりをとれば R の稠密開集合の可算交叉が空集合となるものが存在することとなり、ベールの範疇定理に反する。
つづき >>405 つづく
Gδ-集合の重要な性質は、位相空間から距離空間への連続写像がその上で定義され得るということにある。厳密に言えば、そのような写像 f が連続となるような点全体の成す集合は {\displaystyle G_{\delta }} G_{\delta }-集合を成すということである。これは、点 p における連続性というのが Π02-式で定義されることによる。
具体的に書けば、任意の正整数 n に対して p を含む開集合 U で任意の x, y ∈ U について d(x, y) < 1/n を満たすようなものが取れるが、
一旦 n の値を固定して対応する部分集合 U が取れるような点 p の全体を考えるとそれ自身が（開集合の和として）開集合であり、ここで n に対して普遍量化子を附すことは得られた開集合たちの可算交叉をとることに対応するから、所期の結論を得る。実数直線においてはこの逆も成り立つ：
実数直線の任意の Gδ-部分集合 A に対し、適当な函数 f: R → R が存在して、f は A に属する点のみにおいて連続となるようにすることができる。
このことから、無理数全体の成す集合が連続点集合であるような函数は存在する（トマエの函数（英語版）などを参照）が、有理数の上でのみ連続な函数というのは構成不可能であることが帰結される。
基本的な性質
・Gδ-集合の補集合はFσ-集合である。
・可算個の Gδ-集合の交わりはやはり Gδ-集合である。また、有限個の Gδ-集合の合併はふたたび Gδ-集合となる（可算個の Gδ-集合の合併は Gδσ-集合と呼ばれる）。
・距離化可能空間において、任意の閉集合は Gδ-集合であり、双対的に任意の開集合は Fσ-集合になる。
・稠密開集合の可算族の交わりを含むような集合は残留的 (comeagre, residual) であるという。残留的集合は函数の成す位相空間の生成的性質（英語版）を定義するのに用いられる。
(引用終り)
以上 >>404 関連
そうすると
>>254
(引用開始)
――――――――――――――――――――――――――――――
定理F：
A ⊂ R は Fσ集合とする。このとき、もし R－A が第一類集合ならば、
(a,b)⊂A を満たす開区間 (a,b) が存在する。
――――――――――――――――――――――――――――――
(引用終り)
これは、ミスを誘導したかも・・？
Aが、Bf相当で、Gδ集合
R－Aが、R－Bf相当で、Fσ集合（∵Gδ集合の補集合である）
では？
もし、ミスを誘導したなら、ゆるしてたもれ（＾＾； >>404-407
逆ではない。連続・不連続とは違って、B_f がFσ集合になり、R－B_f がGδ集合になる。
定理Fは正しい。 >>407 補足
下記より
「Q は第1類集合で，また，第1類集合2 つの合併はまた第1類集合であるから，R － Q は第2類集合である。
A ⊂ R を疎集合とすると，R － A は開かつ稠密である。」
とあることにご注意。
Q は第1類集合、R － Q は第2類集合
このどちらも、開区間 (a,b) は存在しない
（>>298より)
http://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~kawasaki/16isoukuukan.pdf
位相空間 川崎徹郎 学習院 2016
(抜粋)
P21
（参考）ベールのカテゴリー定理
数直線の部分集合A ⊂ R について，A が疎であるとは閉包A が開区間(α， β) を含まないときをいう。
疎集合可算個の合併で表される集合を第1 類集合といい，そうでないものを第2類集合という。
定理 (ベール(Baire) のカテゴリー定理 ) R は第2類集合である。
Q は第1類集合で，また，第1類集合2 つの合併はまた第1類集合であるから，R － Q は第2類集合である。
A ⊂ R を疎集合とすると，R － A は開かつ稠密である。したがって，前定理 は次のようにもいいかえられる。
定理 R において，可算個の開かつ稠密集合の共通部分は稠密である。
定義 開集合可算個の共通部分で表される集合をGδ 集合という。閉集合可算個の和集合で表される集合をFσ 集合という。
Gδ 集合の補集合はFσ 集合である。また，Fσ 集合の補集合はGδ 集合である。
例3.38 Q はR のFσ 集合で閉集合でない。したがって，R － Q はR のGδ集合で開集合でない。
定理 Q はR のGδ 集合でない。したがって，R－Q はR のFσ 集合でない。
(引用終り) >>407
>逆ではない。連続・不連続とは違って、B_f がFσ集合になり、R－B_f がGδ集合になる。
>定理Fは正しい。
うーんと
(引用開始)
（>>13より）
系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.
証明
定理1.7 が使えて, f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である.
一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である. これは矛盾. よって, 題意が成り立つ.
(引用終り)
これで、従来の数学理論では、
「Q は第1類集合、R － Q（無理数） は第2類集合
このどちらも、開区間 (a,b) は存在しない」>>409より
「有理数全体の成す集合 Q は実数全体の成す集合 R の Fσ-集合である。」>>404より
「無理数の全体 P は実数直線 R の Gδ-集合である。」>>405より
だった
”B_f がFσ集合になり、R－B_f がGδ集合になる”のなら
系1.8で
無理数の点で微分可能→無理数の点がB_fになる
有理数の点で不連続→有理数の点がR－B_fになる
だから
従来の数学理論では、
B_f→無理数→Gδ集合
R－B_f→有理数→Fσ集合
だけど
定理Fは逆かい？ >>386 補足
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84%E9%80%A3%E7%B6%9A
実数直線の有界閉集合上で定義される函数に関して、以下のような包含関係の鎖が知られている[2]:
連続的微分可能 ⊆ リプシッツ連続 ⊆ α-ヘルダー連続 (0 < α <=1) ⊆ 一様連続 ⊆ 連続函数
￢連続的微分可能 ⊇ ￢リプシッツ連続 ⊇ ￢α-ヘルダー連続 (0 < α <=1) ⊇ ￢一様連続 ⊇ ￢連続函数
リプシッツ連続 ⊆ 絶対連続 ⊆ 有界変動 ⊆ 殆ど至る所微分可能
￢リプシッツ連続 ⊇ ￢絶対連続 ⊇ ￢有界変動 ⊇ ￢殆ど至る所微分可能
(引用終わり)
で、（>>13）”定理1.7 (422 に書いた定理) f : R → R とする．”
だけど、ある閉区間I（a,b）（台）に限定して、 f : I → R で考えても、一般性はほとんど失われない
なお、”連続的微分可能”は、連続的微分可能かつ微分係数が有限にしておく方がすっきりしていると思う
（∵微分係数が∞になると、リプシッツ連続が言えないから）
その上で、「系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : I → R は存在しない.」（>>13）
について考えてみると、不連続と微分可能の間の関数の特性として考えられるのは
微分不可能だが、連続であり、それぞれ、リプシッツ連続やα-ヘルダー連続 (0 < α <=1)、一様連続を満たす関数などが考えられる
従来の数学理論が教えるところは、前スレ50の222-223より、下記で
系1.8 の証明は、こちらの数理なんだよね、開区間(a,b)が取れるじゃなく（”each dense”なんだから、開区間(a,b)などとれない）
http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006
(抜粋)
THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets
of points that are each dense in the reals.
Then g fails to have a derivative on a
co-meager (residual) set of points. In fact,
g fails to satisfy a pointwise Lipschitz
condition, a pointwise Holder condition,
or even any specified pointwise modulus of
continuity condition on a co-meager set.
つづく >>411 つづき
(Each co-meager set has c points in every interval.)
REMARK BY RENFRO:
The last theorem follows from the following stronger and more general result.
Let f:R --> R be such that the sets of points at which f is continuous and discontinuous are each dense in R.
Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite.
Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).
This was proved in H. M. Sengupta and B. K. Lahiri, "A note on derivatives of a function",
Bulletin of the Calcutta Mathematical Society 49 (1957), 189-191 [MR 20 #5257; Zbl 85.04502]. See also my note in item [15] below.
(引用終り)
以上 おっちゃんです。
>>403-404
あ～、間違えた。
まあ、そもそも正しい証明が書かれた pdf. を読んでなく、
口出しせずに議論の推移を見守ることにする。 >>413
おっちゃん、どうも、スレ主です。（＾＾
コメントありがとう（＾＾
>まあ、そもそも正しい証明が書かれた pdf. を読んでなく、
>口出しせずに議論の推移を見守ることにする。
「正しい証明が書かれた pdf. を読んでないが」と
一言断ってくれれば、問題ないのだが
もとPDFを読んでないことを表明せずに、”正しい”とか”間違っている”というとおかしくなるよね >>414 関連
下記、”一点で微分可能であるが、それ以外の点で連続でない関数 [微分] ねこ騙し数学”
面白いなと思った。例によって、数式と図が綺麗なのだが
原点 x=0でのみ微分可能（即ち連続）で、それ以外の点で連続でない関数の例だと
とすると、連続な点はGδ集合で、不連続点はFσ集合になるという理論と合わないのではないかと、暫く考え込んでしまった
考え込んでしまったが、結局よく分からないまま、貼っておきます。わかる人？
（後のyahooのkousaku2038さんのコメントが適切なのかな？）
http://nekodamashi-math.blog.so-net.ne.jp/archive/c2306116896-2
一点で微分可能であるが、それ以外の点で連続でない関数 [微分] ねこ騙し数学 2017-06-07
(抜粋)
関数の定義域の一点で微分可能であるが、それ以外の定義域の点すべてで不連続な関数の一例。
f(x)
= x^2 (xは無理数)
= -x^2 (xは有利数)
このとき、f(x)は、x=0で微分可能で連続であるが、それ以外の点すべてで連続でない。
x=0で微分可能であることは、例えば、次のように証明されるだろう。
(引用終わり)
似た例を探すと下記がヒットしたね
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1168625526
(抜粋)
chihiro_piano8987さん2011/8/11 06:01:27 yahoo
x = 0 の近傍で定義された微分可能な関数f(x)ってどういう意味でしょうか？
ベストアンサー以外の回答
kousaku2038さん 2011/8/111
f(x)= x^2 （xが有理数）
f(x)= 0 （xが無理数）
のように定義された関数f(x)です。
この関数はx=0で微分可能ですが、x=0以外では微分不可能です。
「x=0で微分可能な関数f(x)」と表記すると思いますので、
この問題を解くにあたっては、
①x=0を含むある開集合で定義されている
②①の開集合のすべての点で微分可能
と考えて良いのではないかと思います。
(引用終わり) >>410
＞従来の数学理論では、
＞B_f→無理数→Gδ集合
＞R－B_f→有理数→Fσ集合
キチガイ。問題外。お前がそこでやっているのは、
「系1.8 の関数 f に対して B_f と R－B_f を調べ上げ、B_f がGδ集合になることを確認した」
ということである。しかし、系1.8 の関数 f は実際には存在しないのだから、
そのような f に対して B_f がGδ集合になっていていも何の意味もない。
存在しない関数を調べるのではなく、実在する関数を調べてみよ。
たとえば、お前の大好きなトマエ関数 f に対して、f^2 という関数を考えると、
・ B_{f^2} はGδ集合に な り え な い
ということが証明できる。もうこの時点で、「 B_f は必ずGδ集合だろう 」という
お前の予想は崩壊することになる。
実際には、B_f は必ずFσ集合なのである。連続・不連続の場合とは逆なのである。 ちなみに、系1.8 の関数が存在しないことを言うには、
B_fがFσ集合であることを用いる方法もある。次のようにすればよい。
――――――――――――――――――――――――――――――――――
一般論として、B_f は必ずFσ集合であり、R－B_f は必ずGδ集合である。
もし系1.8 の関数 f が存在するなら、R－B_f ＝ Q となるので、
R－B_f がGδ集合であることから、Q はGδ集合ということになるが、
Q はGδ集合になりえないので矛盾する。よって、系1.8 の関数は存在しない。
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