現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む51
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“現代数学の系譜 物理工学雑談 古典ガロア理論も読む”
数学セミナー時枝記事は、過去スレ39 で終わりました。
39は、別名「数学セミナー時枝記事の墓」と名付けます。
皆さまのご尽力で、伝統あるガロアすれは、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。（勢い１位の時も多い（＾＾ ）
このスレは、現代数学のもとになった物理工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで良ければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな〜（＾＾
話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。
“時枝記事成立”を支持する立場からのカキコや質問は、基本はスルーします。それはコピペで流します。気が向いたら、忘れたころに取り上げます。
なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
High level people
低脳幼稚園児のAAお絵かき
お断り！
小学生がいますので、18金よろしくね！（＾＾
High level people は自分達で勝手に立てたスレ28へどうぞ！sage進行推奨（＾＾；
また、スレ43は、私が立てたスレではないので、私は行きません。そこでは、私はスレ主では無くなりますからね。このスレに不満な人は、そちらへ。 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1506152332/
旧スレが512KBオーバー（又は間近）で、新スレ立てる
（スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。） >>81
”言える。定理1.7 により、R−B_f が第一類集合なら、f はある開区間の上でリプシッツ連続なので、
「 R−B_f が第一類集合かつ R−B_f はRの中で稠密 」
という性質を満たす f は存在しないことになる。すなわち、P’∧Q’は偽である。
ゆえに、「 P’∧Q’→ Q 」は真である。”
だから、それだったら、
１）稠密でない場合は自明に定理1.7が、成立（上記 >>100 ご参照）
２）稠密でない場合は自明に定理1.7の仮定が、不成立（仮定が不成立の場合は、証明の必要さえない）
ということですね >>82-83 & >>86 & >>89
>定理C2：
>f が原点で微分可能であり、f が原点で不連続ならば、f は原点で連続である
その定理C2は、的外れ
私が言っていることは、>>62の命題論理 藤田聡 広島大学のproof by cases（>>76）
f が原点で微分可能の場合分けには、
「f が原点で不連続ならば」は存在しない >>88
>あなたを強烈に批判している件の証明を書いた人は
>正鵠を射る指摘しかしていません
はい
回答は上記>>102 です >>91
>場合分けという手法も
>単に仮定に条件を付け加えて分類しているだけのことです
いいえ
R−Bf が R中で稠密か稠密でないかは、Bfが開区間を有するか否かに決定的に影響します
>>101 ご参照
以上 >>101 訂正
２）稠密でない場合は自明に定理1.7の仮定が、不成立（仮定が不成立の場合は、証明の必要さえない）
↓
２）稠密な場合は自明に定理1.7の仮定が、不成立（仮定が不成立の場合は、証明の必要さえない）
間違いが多いな。息をしたからかな（＾＾ >>99
何が言いたいのか意味不明
命題の定義（だけ）を述べよ、余計な付け足しは減点対象となることを注意しておく スレ主の成績表
本試験 零点
追試1回目 零点
追試2回目 零点
↑
コピペしてこのザマ >>100
＞その近傍内は、全てBf であり、性質G：＝“Bf ：={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }”を満たす
＞この近傍内に、定理1.7のある開区間を取れば良い
＞QED
息をするように間違えるゴミクズ。問題外。
(a,b)⊂Bf なる開区間を取ったとする。
f が (a,b) 上でリプシッツ連続になるかどうかを考えたい。すなわち、
∃L＞0, ∀y,z∈(a,b) [ ｜f(z)−f(y)｜≦L｜z−y｜] … (1)
が成り立つかどうかを考えたい。まず、(a,b)⊂Bf であるから、任意の x∈(a,b) に対して
Af(x)＜＋∞ は言えている。よって、Af(x)＜N を満たす正の実数 N を1つ取れば、y が x に十分近いところでは
｜f(y)−f(x)｜≦ N｜y−x｜
が成り立つことが言える。このことを、やや雑な書き方で表現すると、感覚的には
「 y が x に十分近ければ ｜f(y)−f(x)｜≦ Af(x)｜y−x｜が成り立つ 」
ということである。しかし、Af(x) は x∈(a,b) を動かすごとに「有限値」であるに過ぎないので、
x∈(a,b) を動かしたときの Af(x) が (1) のような一様に有界な L で抑えられるという保証はどこにもない。
ゆえに、単に (a,b)⊂Bf なる開区間を取っただけでは、(1) が成り立つとは言えず、
リプシッツ連続な開区間が取れるかどうかは分からなくなる。
だから、お前のやり方では何も言えてない。ゴミ。
[続く] [続き]
実際の証明法は、(a,b)⊂Bf なる開区間を取ったとき、B_f ⊂ ∪_{N,M≧1} B_{N,M} と合わせて
(a,b) ⊂ ∪_{N,M≧1} B_{N,M}
ということになるので、ベールのカテゴリ定理の開区間版を使うことにより、ある B_{N,M} は内点を持つことになる。
特に、(c,d)⊂B_{N,M} なる開区間 (c,d) が取れる。必要なら(c,d)内の更に小さな区間に差し替えることで、
d−c＜1/M かつ(c,d)⊂B_{N,M} が成り立つとしてよい。このとき、f は (c,d) 上でリプシッツ連続になることが言える。
(a,b)⊂B_f のときと (c,d)⊂B_{N,M} とで何が違うのかというと、前者では x∈(a,b) ごとに Af(x) が
「有限値」であるに過ぎず、Af(x) が一様に有界かどうかが分からなかったのに対し、後者では
x∈(c,d) ごとに Af(x)≦N となっているので、Af(x) が一様に有界なのであり、それゆえに上手く行くのである。
このような事情をお前は全く理解しておらず、単に「 (a,b)⊂B_f 」とするだけで
リプシッツ連続の証明が終わると思い込んでいるバカがお前である。問題外。レベルが低すぎる。
ちなみに、上記の手法をより一般的な状況下で使ったのが定理1.7である。 >>102
＞ f が原点で微分可能の場合分けには、
＞「f が原点で不連続ならば」は存在しない
詭弁である。「仮定が偽でなる」ことと、「場合分けとして存在しない」こととを混同している。
―――――――――――――――――――――――
P： f は原点で微分可能
Q： f は原点で連続
P1：f は原点で微分可能かつfは原点で連続
P2：f は原点で微分可能かつfは原点で不連続
P ＝ P1∨P2
―――――――――――――――――――――――
↑ほらね。「場合分け P2 」は存在してるだろ？ P2 は偽になっているだけであって、
場合分けとしては確実に「場合分け P2 」が存在してるだろ？ >>102
それとも、お前が定理Cを場合分けすると、次のようになるわけか？
―――――――――――――――――――――――
P： f は原点で微分可能
Q： f は原点で連続
P1：f は原点で微分可能かつfは原点で連続
P ＝ P1
―――――――――――――――――――――――
これのどこが「場合分け」なんだよｗ
P という仮定から出発してまだ何もしてないのに、
どうしてその時点での場合分けが P1 だけになるんだよｗ
P2 が起こり得ないことを証明しなければ P ＝ P1 は示せないだろｗ
なんで勝手に P2 が消滅して P1 だけになって P ＝ P1 になってるんだよｗ
P という仮定から出発して、その時点で無意識のうちに定理Cを適用してしまって、
それゆえにスレ主が自分勝手に P2 というケースを抹消してるだけだろｗ >>112 のような芸当が許されるなら、俺だって次のようにするよｗ
―――――――――――――――――――――――――――――――
P： R−B_f は第一類集合
Q： f はある開区間の上でリプシッツ連続
P1：f は原点で微分可能かつ f はある開区間の上でリプシッツ連続
P ＝ P1
―――――――――――――――――――――――――――――――
↑なぜこの "場合分け" で P2 に相当するケースが存在しないのかというと、
お前の屁理屈と同様に、P という仮定から出発して、その時点で無意識のうちに
定理1.7を適用することで、P2 に相当するケースを抹消したからであるｗ
これがお前のやっていることだよ。論理がメチャクチャ。 くどいようだが、もう一度言うよ。
―――――――――――――――――――――――
P： f は原点で微分可能
Q： f は原点で連続
P1：f は原点で微分可能かつfは原点で連続
P2：f は原点で微分可能かつfは原点で不連続
P ＝ P1∨P2
―――――――――――――――――――――――
このように、定理C での上記の場合分けにおいて、「 場合分け P2 」というケースは確実に存在している。
P2 という仮定が偽になっているだけであって、場合分けとしての「 場合分け P2 」は確実に存在している。
そして、お前は次のように主張するのである。
「 P2 の場合に「 P2 → Q 」を導くのは、なんか変。ゆえに、定理C は数学の命題としてふさわしい形ではない」
しかし、これはお前にとって都合が悪いので、お前は次のような詭弁を使ったのだった。
「定理Cでは "場合分けP2" というケースそのものが存在しない」 しかし、"場合分けP2" そのものが存在しないのであれば、
お前にとっての定理Cの場合分けは次のようになってしまう。
―――――――――――――――――――――――
P： f は原点で微分可能
Q： f は原点で連続
P1：f は原点で微分可能かつfは原点で連続
P ＝ P1
―――――――――――――――――――――――
これのどこが「場合分け」なんだよｗ
P という仮定から出発してまだ何もしてないのに、どうしてその時点での場合分けが P1 だけになるんだよｗ
P ＝ P1 という等号にしたって、P2 が偽であることを証明しなければ P ＝ P1 は出て来ないだろｗ
なんで何もしてない段階で勝手に P2 が消滅して P1 だけになってるんだよｗ
P という仮定から出発して、その時点で無意識のうちに定理Cを適用してしまって、
それゆえにスレ主が勝手に P2 というケースを抹消してるだけだろｗ
そんな芸当が許されるなら、俺だって定理1.7を適用することで次のようにするぞ。
―――――――――――――――――――――――――――――――
P： R−B_f は第一類集合
Q： f はある開区間の上でリプシッツ連続
P1：f は原点で微分可能かつ f はある開区間の上でリプシッツ連続
P ＝ P1
(P2 に相当するケースは存在しない)
―――――――――――――――――――――――――――――――
…というように、スレ主とかいうゴミクズは論理が滅茶苦茶である。キチガイ。問題外。レベルが低すぎる。 少し戻るが、>>109 について1つ補足しておこう。
(a,b)⊂Bf なる開区間を取ったとする。f が (a,b) 上でリプシッツ連続になるかどうかを考えたい。すなわち、
∃L＞0, ∀y,z∈(a,b) [ ｜f(z)−f(y)｜≦L｜z−y｜] … (1)
が成り立つかどうかを考えたい。つまり、我々のここでの目標は、
「 (a,b)⊂Bf という条件のもとで、(1)を示したい 」
ということである。
――――――――――――――――――――――――――――――――
ここで、もし(1)が成り立つなら何が起きるのかを、「先に」考えてみよう。
もし(1)が成り立つなら、簡単な考察により、
∀x∈(a.b) [ A_f(x)≦L ]
が成り立つことが分かる。すなわち、Af(x) は (a,b) 上で
一様に L で抑えられることになる。
――――――――――――――――――――――――――――――――
従って、(a,b)⊂Bf という条件のもとで(1)が証明できた暁には、
「 Af(x) は (a,b) 上で一様に有界である」
ことが自動的に証明できることになる。従って、我々は少なくとも、Af(x) が (a,b) 上で
一様に有界であるような (a,b) を B_f の中から選ばなければならないことになる。
しかし、出発点である (a,b)⊂Bf という条件では、任意の x∈(a,b) に対して Af(x) が「有限値」であることが
分かっているだけであって、Af(x) が (a,b) 上で一様に有界であるかどうかは分からない。(a,b) の幅を
さらに狭くした(a',b')の上でも、Af(x) が(a',b')上で一様に有界であるかどうかはわからない。
なぜなら、B_f という集合は、その各点 x で Af(x) が「有限値」と言っているに過ぎないからだ。 実際には、>>110 の手法によって、Af(x) が一様に有界であるような開区間が B_f の中から取れるし、
f はその開区間の上でリプシッツ連続になる。しかし、まさにその
「 Af(x) が一様に有界であるような開区間が B_f の中から取れる 」
ということを言うための手順が全く自明ではなく、そのやり方は >>110 で既に見たとおりであり、
B_f ⊂ ∪_{N,M≧1} B_{N,M}
という包含を使う必要があるし、さらにベールのカテゴリ定理(の開区間版)も必要である。
つまり、スレ主が思っているほど簡単には済まないのである。
もし>>110の手法を使わずに、「 Af(x) は (a,b) 上で一様に有界である」 という性質を満たす
(a,b)が B_f の中から簡単に選べると思うなら、その方法をここに書いてみたまえゴミクズ君。 >>105
>>101,106の
>１）稠密でない場合は自明に定理1.7が、成立（上記 >>100 ご参照）
自明ではありません
なぜならBf内に開区間が存在するだけでは証明にならず
Bfが可算個のB_N,Mで被覆されていること
および
開区間をそのうちのどれかのB_N,Mの中に取れるからこそ証明になるからです
件の証明を書いた人の解説を読みましょう
>２）稠密な場合は自明に定理1.7の仮定が、不成立（仮定が不成立の場合は、証明の必要さえない）
定理の仮定は
``R-Bfが可算個の疎な閉集合で被覆できる''
ですが
あなたの主張は
``R-BfがRで稠密ならばR-Bfは可算個の疎な閉集合で被覆できない''
ということですか？ 人生苦しい
つらい
悲しい
きつい
死にたい
もう疲れた
もう耐えきれない
寂しい
こんなに数学を懸命にやれるのに
なんでまじめにがんばって生きてるほうが馬鹿やらかして生きてる奴らに幸せを搾り取られないといけないんだ
彼女を返せ
彼女を返せ馬鹿野郎
体が究極におかしくなってきた
冷たい
しんどい
めんどくさい
人生つらい
人生悲しい
死にたい
俺は障害者だ
子に病気を負わせて過剰に苦労させるくらいなら
死にたい
永遠の夢をみたい >>119
本気なのかどうか不明だが
下記でも電話したらどうだ？ 声の可愛い女性が相談に乗ってくれるだろう
https://www.inochinodenwa.org/
あなたがつらいときそばにいます 日本いのちの電話連盟
・いのちの電話では、メールによる相談活動を行っております。https://www.inochinodenwa.org/soudan.php#net
・ナビダイヤル 0570-783(なやみ)-556（こころ）
・フリーダイヤル 0120-783(なやみ)-556（こころ）
(引用終り) >>107-108
ご苦労さん
私スレ主は、命題の定義を自分でするつもりは全く無く、必要もない
ただ、いまの瞬間の議論の範囲で使える定義をどこからか、もってくればそれで十分でね。命題の定義の吟味はその方面の趣味の人に任せるよ（＾＾
https://kotobank.jp/word/%E5%91%BD%E9%A1%8C-141120
命題(めいだい)とは - コトバンク
デジタル大辞泉の解説
めい‐だい【命題】
１ 題号をつけること。また、その題。名題。
２ 論理学で、判断を言語で表したもので、真または偽という性質をもつもの。→判断
３ 数学で、真偽の判断の対象となる文章または式。定理または問題。
出典 小学館デジタル大辞泉
(引用終り) >>121
零点
余計な付け足しは減点すると警告した
スレ主の成績表
本試験 零点
追試1回目 零点
追試2回目 零点
追試3回目 零点
↑
コピペ（カンニング）してこのザマ 採点と評価ありがとう
「落第生に落第」と言って貰えると、気が楽だい >>109-110 & >>116-117
ご苦労さん
>ということである。しかし、Af(x) は x∈(a,b) を動かすごとに「有限値」であるに過ぎないので、
>x∈(a,b) を動かしたときの Af(x) が (1) のような一様に有界な L で抑えられるという保証はどこにもない。
>ゆえに、単に (a,b)⊂Bf なる開区間を取っただけでは、(1) が成り立つとは言えず、
>リプシッツ連続な開区間が取れるかどうかは分からなくなる。
「Af(x) は x∈(a,b) を動かすごとに「有限値」」だから
最大値 max(Af(x)) = m (m∈R) とおけば、Af(x) ＜＝ m
それで終りでしょ？ >>111-115
>＞ f が原点で微分可能の場合分けには、
>＞「f が原点で不連続ならば」は存在しない
>詭弁である。「仮定が偽でなる」ことと、「場合分けとして存在しない」こととを混同している。
やれやれ
こんな下のレベルから、争うわけ？
あなたは>>68
「定理C：f：R → R が原点で微分可能ならば、f は原点で連続である。」と書いた
仮定P： f：R → R が原点で微分可能
これで尽きている。「不連続」は入る余地なし
だから、微分可能の場合分けには、「f が原点で不連続ならば」は存在しない
微分可能の場合分けとしては、例えば、微分可能性のクラス（下記）とかはあるけどね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%8F%AF%E8%83%BD%E9%96%A2%E6%95%B0
微分可能性のクラス
関数に一階および二階の導関数が存在し、それらが両方とも連続であるとき、その関数は C2-級にであると言われる。
より一般的に、k-階までの導関数 f'(x), f''(x), ... , f(k)(x) が存在し、すべて連続であるなら、その関数は Ck-級であると言われる。
すべての正の整数 n に対して導関数 f(n) が存在するなら、その関数は滑らか、あるいは、C∞-級であると言われる。
(引用終り) >>118
「ぷふ」さんですね
>>１）稠密でない場合は自明に定理1.7が、成立（上記 >>100 ご参照）
>自明ではありません
これについては、上記>>124 ご参照
つづく >>126 つづき
>>２）稠密な場合は自明に定理1.7の仮定が、不成立（仮定が不成立の場合は、証明の必要さえない）
>定理の仮定は
>''R-Bfが可算個の疎な閉集合で被覆できる''
>ですが
>あなたの主張は
>''R-BfがRで稠密ならばR-Bfは可算個の疎な閉集合で被覆できない''
>ということですか？
いいえ違います。
なお、補足すると
１）Rの部分集合で、''R-Bfが可算個の疎な閉集合で被覆できる''例として、自然数N、整数Z、有理数Qや代数的数Aがあります
２）一方、''R-Bfが可算個の疎な閉集合で被覆できる''に反する例として、無理数P*や超越数Tがあります
（*注：Pはあまり使われないが、なにも記号がないのも寂しいのでPでも。P,Q,Rという並びです。iRとして2文字もかったるいしね）
さらに補足
１）の例示は、全て無限集合ですが、これ以外に有限離散点から成る有限集合も可能です。
１）の例示では、a)稠密な場合と、b)そうで無い場合に、二分できます。例示中のQとAがR中稠密で、それ以外の例示はR中稠密ではありません。
つづく >>127 つづき
なお、QとZの組み合わせのキメラのような集合も考えられます。
例えば、区間[0,2]では整数Zを選び、それ以外の区間では整数Qを選んだ集合。
これは、区間[0,2]が稠密でなく、それ以外の区間では稠密です。が、全体としては、R中稠密とは言えません。
この場合、定理1.7の開区間は、(0,1)と(1,2)との二つの区間内で可能です。が、区間[0,2]の外では、R中稠密なので、定理1.7の開区間は取れません。
そして、区間[0,2]のような稠密でない区間が存在しない、つまりR全体の区間にわたって、整数Qを選んだ場合、区間R中のどこにも定理1.7の開区間は取れません
つづく >>128 つづき
さて、ついでに下記を書いておきます
（>>13 より）
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
証明
このとき, 補題1.5 を満たすN,M >= 1 が存在するので, 明らかにx ∈ BN,M である.
系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.
証明
定理1.7 が使えて, f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である.
一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である. これは矛盾. よって, 題意が成り立つ.
(引用終り)
これを書き直すと
仮定P： f : R → R とする．Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }と置く。
R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる
結論Q：f はある開区間の上でリプシッツ連続である
で、上記>>127-128 で見たように
a)稠密な場合は、定理1.7の集合Bf内に、開区間は取れません
以前に述べたように、定理1.7で、”a)稠密な場合”には、１）反例となるか、２）仮定Pが偽（空集合）（＝このような場合が存在しない）か、どちらかということです。
１）の反例となる場合は、定理1.7不成立
２）の仮定Pが偽の場合は、結論Qが真であることが保証されません（論理学の基本）
これを踏まえて、上記系1.8を見ると、有理数の点はR中稠密ですから
上記の１）又は２）のどちらの場合でも、その証明中の主張”定理1.7 が使えて, f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である”は、言えないことになります
なので、系1.8の証明は成立していません
以上 >>127
> >>２）稠密な場合は自明に定理1.7の仮定が、不成立（仮定が不成立の場合は、証明の必要さえない）
> >定理の仮定は
> >''R-Bfが可算個の疎な閉集合で被覆できる''
> >ですが
> >あなたの主張は
> >''R-BfがRで稠密ならばR-Bfは可算個の疎な閉集合で被覆できない''
> >ということですか？
>
> いいえ違います。
ではどういうことですか？上記で不成立とする仮定とはなんでしょう？ ＞最大値があるとは言えませんよ
スレ主のファンタジー数学ではスレ主が「ある」と言えばあるのです。 数日ぶりにレスをする、おっちゃんです。
土日(金曜の夜を含む)と休日、祝日の振り替えとの合計日間で大体100レス進んだのかな。
ということは、土日だと一日当たり大体30〜40近くレスが書き込まれるということか。
スレ主は相変わらず頑固に屈さないな。
数学はディベートというか討論とは違うんだけどな。スレ主は討論会だと負けないだろうね。 p を仮定、qを結論とする。命題 p⇒q の真偽について、
p、q が両方共に真のとき、 p⇒q は真、
p が真、q が偽のとき、 p⇒q は偽、
p が偽、q が真のとき、 p⇒q は真、
p、q が両方共に偽のとき、 p⇒q は真。
これは基本。
あと、命題 p∧q → q については、仮定の p∧q で結論のqが仮定されていることになるから、p∧q → q は必ず成り立ち真になる。
逆に、命題 q → p∧q については、qが真かつpが偽のとき p∧q が偽になって反例になるから、必ずしも真になるとは限らない。 >>127
>無理数P*や超越数Tがあります
普通、無理数全体の集合は R＼Q 、超越数全体の集合は C＼CL(Q) (CL(Q) は有理数体Q上の代数的閉包を表すとする) で表す。
但し、線型代数が出来れば、任意の超越数は実超越数と実代数的数とから構成出来て、
実超越数全体の集合を R＼( CL(Q) ) で表すことと同じになることが分かる。 で、今スレ主が反論のネタにしているのは ε-δ の関数の連続性や微分可能性のことだから、
言葉で反論している限り、無理数や超越数なんて関係ない。 >>125
＞「定理C：f：R → R が原点で微分可能ならば、f は原点で連続である。」と書いた
＞仮定P： f：R → R が原点で微分可能
＞これで尽きている。「不連続」は入る余地なし
＞だから、微分可能の場合分けには、「f が原点で不連続ならば」は存在しない
間違っている。スレ主は、その場合分けが「証明の中での議論」であったことを忘れている。
証明の中の場合分けで先に定理Cを使うことで特定の場合分けを排除してしまったら循環論法であり、
それでは定理Cの証明にならない。
このことを丁寧に書くと、まずお前は次のように言っていることになる。
――――――――――――――――――――――――――――――――
定理C:
f：R → R が原点で微分可能ならば、f は原点で連続である。
スレ主：
定理Cを証明しよう。f は原点で微分可能とする。f は原点で連続であることを示したい。
ここで、次のような場合分けをする。
(1) f は原点で連続 (2) f は原点で不連続
しかし、f は原点で微分可能なのだから、fは原点で連続なのであり、(2)は起こりようがない。
よって、(2)は場合分けとして入る余地がない。すなわち、f が原点で微分可能としたときの
場合分けには、「f が原点で不連続ならば」は存在しない。
――――――――――――――――――――――――――――――――――
↑これがお前の言っている屁理屈である。この屁理屈の何が間違いなのかと言うと、
今は定理Cを証明しようとしている段階なのに、
＞しかし、f は原点で微分可能なのだから、fは原点で連続なのであり、(2)は起こりようがない。
このように書いてしまったら、「先に定理Cを適用している」ことになって循環論法なのである。
つまり、これでは定理Cの証明にならないのである。 あるいは、次のように言ってもよい。もし >>137 の論法が許されるなら、俺も次のような論法を使わせてもらう。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理1.7:
R−B_f が第一類集合なら、f はある開区間の上でリプシッツ連続である。
俺：
定理1.7を証明しよう。R−B_f は第一類集合とする。
f はある開区間の上でリプシッツ連続であることを示したい。
ここで、次のような場合分けをする。
(1) R−B_f は R の中で稠密ではない (2) R−B_f は R の中で稠密である
しかし、R−B_f は第一類集合なのだから、fはある開区間の上でリプシッツ連続なのであり、(2)は起こりようがない。
よって、(2)は場合分けとして入る余地がない。すなわち、R−B_f が第一類集合としたのきの場合分けには、
「 R−B_f は R の中で稠密である 」は存在しない。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
↑お前が言っているのは、こういうバカげた主張なのである。
＞しかし、R−B_f は第一類集合なのだから、fはある開区間の上でリプシッツ連続なのであり、(2)は起こりようがない。
↑このように、証明の中で先に該当の定理を使ってしまったら、起こり得ない場合分けが先に排除できるのは
当たり前である。でも、それじゃあ循環論法であって、定理の証明にならないのである。
しかし、そのような芸当を定理Cの証明に対しては平気で使っているのがスレ主である。キチガイ。 さて、上記の理由により、定理C の証明の中で P1,P2 と場合分けした場合には、
"場合分けP2" を事前に排除することは不可能であることが確定した。従って、当初の予定通り
―――――――――――――――――――――――
P： f は原点で微分可能
Q： f は原点で連続
P1：f は原点で微分可能かつfは原点で連続
P2：f は原点で微分可能かつfは原点で不連続
P ＝ P1∨P2
―――――――――――――――――――――――
という場合分けになる。そして、お前は次のように主張するのである。
「 P2 の場合に「 P2 → Q 」を導くのは、なんか変。ゆえに、定理C は数学の命題としてふさわしい形ではない」
これは一体どういうことだね？ >>124
＞「Af(x) は x∈(a,b) を動かすごとに「有限値」」だから
＞最大値 max(Af(x)) = m (m∈R) とおけば、Af(x) ＜＝ m
＞それで終りでしょ？
ぜんぜん終わらない。息をするように間違えるゴミクズ。キチガイ。問題外。レベルが低すぎる。
x∈(a,b) を動かすごとに Af(x) が「有限値」であっても、
max_{x∈(a,b)} Af(x) が有限値で存在するとは限らないだろバカタレ。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
具体例：
f(x)＝0 (x＝0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0)
と置くと、f は任意の点で微分可能なので、特に B_f ＝ R が成り立つ。
従って、(a.b)⊂B_f なる開区間は取り放題である。
特に (-1, 1) ⊂ B_f という開区間を採用してみよう。このとき、
max_{x∈(−1,1)} Af(x)
は有限値として存在しない。このことを、グラフを書いて確かめてみよ。
原点の近傍にいくらでも傾きが大きい点が存在するので、(−1,1) 上では
有限値としての max は存在しない。にも関わらず、各点で Af(x) は有限値である。
――――――――――――――――――――――――――――――――――― もちろん、>>140 の場合は、(2, 3)⊂B_f とでもすれば max_{x∈(2,3)} Af(x) が
有限値として存在する。しかし、スレ主風に言えば、次のような疑問が生じることになる。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――
f の原点での振る舞いが、原点のみならず R 上で稠密に分布するような
別の関数 g であって、しかも B_g ＝ R が保たれたままであるような上手い g が
もし存在したとすると、(a,b)⊂B_g なる開区間は取り放題であるにも関わらず、
max_{x∈(a,b)} Ag(x) が有限値になるような (c,d) は1つも存在しないことになるし、
この g はどの開区間の上でもリプシッツ連続にならない。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――
このように考えると、B_f が開区間を含んでいるという条件下でも、
f がリプシッツ連続になる開区間が取れることは全く自明ではないことが分かるだろう。
あるいは、少し別の視点から考えてみると、
――――――――――――――――――――――――――――
A_f(x)＝ |p| (xは有理数で x＝q/p で p と q は互いに素),
A_f(x)＝ 有限値なら何でもよい (xは無理数)
――――――――――――――――――――――――――――
が成り立つような上手い関数 f：R → R がもし存在したとすると、
この f に対しても B_f＝R が成り立っているので、(a,b)⊂B_f なる開区間は取り放題であるが、
しかし max_{x∈(a,b)} Af(x) が有限値になるような (c,d) は1つも存在しないし、
この f はどの開区間の上でもリプシッツ連続にならない。
むろん、実際には、上記のようなヘンな関数は存在しない。すなわち、(a,b)⊂B_f なる開区間が取れるなら、
ある開区間の上で max Af(x) が有限値で存在するし、f はある開区間の上でリプシッツ連続になる。
ただし、そのことを証明するための方法は>>110なのであって、スレ主とかいうゴミクズが
考えているような単純な状況には決してなっていない。 >>129
＞２）の仮定Pが偽の場合は、結論Qが真であることが保証されません（論理学の基本）
間違っている。スレ主とかいうゴミクズは目的と手段をはき違えている。
・ 目的：「 P → Q 」という命題全体が真であることを証明したい。
・ 手段： P という仮定のもとで結論Qを導けばよい。
お前はここで、次のように勘違いしているのである。
「 P → Q が真であることを証明するには、P という仮定のもとで Q を導くしか方法がない 」
明らかに目的と手段をはき違えている。目的はあくまでも、「 P → Q 」という命題全体が真であることを
証明することである。もし仮定 P が偽であることが示せたなら、その時点で「 P → Q 」という命題全体が
真であることが確定するので、既に目的は達成されている。すなわち、この場合には Q を導く必要が無いのである。
Q を導くという方針は、あくまでも1つの手段に過ぎないのであり、「 Q を導くことが絶対に必要である」
ということにはならない。すなわち、次のようにすればいいのである。
―――――――――――――――――――――――――――――
P → Q が成り立つことを示したい。
P が成り立つとする。Q が成り立つことを示せばよい。
(〜〜何らかの議論〜〜)
ゆえに、¬P が成り立つ。すなわち、P ∧ ¬P が成り立つ。
従って、実は P は偽だったということになる。
よって、「 P → Q 」という命題全体は真であることが確定する。
―――――――――――――――――――――――――――――
↑このように、P が偽であることが判明した場合、もはや Q を導く必要がないのである。
目的と手段をはき違えて、「 Q を絶対に導かなければならない」と思い込んでいるバカタレがスレ主である。 ちなみに、P が偽であることが判明した場合、議論をそこでやめずに Q を導くことも
実際には可能である。次のようにすればよい。
――――――――――――――――――――――――――――――――
P → Q が成り立つことを示したい。
P が成り立つとする。Q が成り立つことを示せばよい。
(〜〜何らかの議論〜〜)
ゆえに、¬P が成り立つ。すなわち、P ∧ ¬P が成り立つ。
これは「矛盾」である。矛盾した命題からは無条件に任意の命題を導出してよいので、
特に「 Q 」を導出してよい。よって、Q が成り立つ。
以上より、P が成り立つという仮定のもとで Q が導出できたので、P → Q は真である。
―――――――――――――――――――――――――――――――― >>129
＞これを踏まえて、上記系1.8を見ると、有理数の点はR中稠密ですから
＞上記の１）又は２）のどちらの場合でも、その証明中の主張”定理1.7 が使えて,
＞f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である”は、言えないことになります
＞なので、系1.8の証明は成立していません
背理法を理解できないキチガイ。題意の関数が存在しないことを示すために、
そのような関数の存在性を仮定しているに過ぎないことが理解できないゴミクズ。
「リプシッツ連続になり得ない」関数を仮定しているのに、どういうわけか
「リプシッツ連続になる」という不条理が導かれるのだから、そのような関数は存在しないってこと。
この論法は背理法であり、証明として完全に成立している。すなわち、系1.8の証明は
完全に成立している。一方でお前は、
「リプシッツ連続になり得ない関数を仮定しているのだから、リプシッツ連続である、は決して言えない」
と勘違いしている。実際には、ある性質の組み合わせを仮定しただけでは、
「その性質の 否定命題 は決して導けない」
ということには な ら な い 。なぜなら、その性質の組み合わせは矛盾している可能性があるからだ。
もし矛盾しているなら、その性質の否定命題が導出できても何らおかしくはない。なぜなら、矛盾した命題からは
どんな命題も導出できるからだ。
実際、系1.8の証明を、証明の外からメタ的に見てみると、存在しない関数の存在性を仮定してから
議論を始めているのだから、矛盾した仮定から出発していることになり、ゆえに原理的にはどんな命題も
導出できるのであり、そして実際に「リプシッツ連続になる」という不条理が導出されているのであり、
ゆえに証明の中の世界では「背理法」によって「そのような関数は存在しない」ということになるのである。
なぜかお前は、このような背理法がらみの論法がいつまで経っても理解できないでいる。キチガイ。頭がおかしい。 >>129
＞これを踏まえて、上記系1.8を見ると、有理数の点はR中稠密ですから
＞上記の１）又は２）のどちらの場合でも、その証明中の主張”定理1.7 が使えて,
＞f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である”は、言えないことになります
＞なので、系1.8の証明は成立していません
お前のその屁理屈を、以下の正しい議論に適用してみよう。
――――――――――――――――――――――――――――――――
定理C3：
原点で微分可能かつ原点で不連続であるような関数は存在しない。
定理C3 の証明：
そのような関数 f が存在したと仮定する。…(*)
このとき、f は原点で微分可能だから、ご存知の「 定理C 」が適用できて、
f は原点で連続である。一方で、f の仮定から、f は原点で不連続なのだった。
これは矛盾。よって、(*)の仮定は間違っていたことになる。
すなわち、そのような関数は存在しない。
――――――――――――――――――――――――――――――――
[続く] [続き]
上記の正しい議論に対して、お前は次のように言うのである。
――――――――――――――――――――――――――
スレ主：
定理C3 の証明の中では、f は原点で不連続ですから、「 f は原点で連続 」は、
言えないことになります。なので、定理Cは適用できず、定理C3 の証明は成立していません。
――――――――――――――――――――――――――
実際には、「原点で微分可能かつ原点で不連続」という性質は矛盾しているので、そのような仮定を置いた時点で、
矛盾した命題から出発していることになり、そして矛盾した命題からは何でも導出できるがゆえに、
「 f は原点で連続」が導出できても何らおかしくはないのである。
つまり、f が原点で不連続という仮定があっても、その他の条件とのセットで仮定が矛盾していた場合には、
「 f が原点で連続」は言えるのである。今回の場合は、「fは原点で微分可能」という条件とのセットで
矛盾した状態から出発するので、「 f が原点で連続」は言えるのである。ただし、証明者の視点では、
仮定を置いた時点で既にその仮定が矛盾していることが分かるのではなく、不条理を導いた時点で初めて
「仮定が矛盾していた」ことが判明するのである(背理法)。ここで、なぜかスレ主は、不条理を導くことを
完全放棄し、「 f は原点で不連続 」という仮定に縛られて、
「 f は原点で微分可能 」
という条件があるにも関わらず定理Cを適用しようとせず、「 f は原点で連続、は決して言えない」と考え、
「定理Cは適用できない。定理C3 の証明は成立していない。」とほざくのである。証明者の視点から見ると、
スレ主のこのような行為は、背理法によって不条理を導くことを放棄しているだけの単なる愚行でしかない。
つまり、スレ主とかいうゴミクズは、背理法が全く理解できていないのである。キチガイ。 「 東京タワーが塔ならば、鍋料理は複数存在する。」は真。
こんな奇妙な世界が記号論理。一般論として使うと目も当てられなくなる。 >>147
今の議論にそういう頭を捻るような例は出てませんよ 背理法が理解できないなら高校一年生に教えてもらえばいい
数学板に来るのは時期尚早 >>130
>最大値があるとは言えませんよ
まあ、じゃ下記で
最大値 max(Af(x)) = m (m∈R) とおけば、Af(x) ＜＝ m
↓
最大値 lim sup (Af(x)) = m (m∈R) とおけば、Af(x) ＜＝ m >>133
おっちゃん、どうも、スレ主です。
お元気そうでなによりです（＾＾ 話題散らしのために、これ面白かったから貼る（＾＾
http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/nihongo/cft.pdf
類体論 田口雄一郎先生 「 整数論札幌夏の学校」( 2006年8月28日 〜 9月8日 ) 初日の講義ノート。
http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/
田口雄一郎先生関連
March, 1988 : Graduated from University of Tokyo
June, 1993 : Degree of Doctor (University of Tokyo)
September, 1993 -- August, 1995: Member of the Institute for Advanced Study
April, 1998 -- March, 2001: Associate Professor of Mathematics, Hokkaido University
April, 2001 -- February 15, 2016: Associate Professor of Mathematics, Kyushu University
February 16, 2016 --: Professor of Mathematics, Tokyo Institute of Technology
http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/nihongo/bunsho.html
数学関係の文章
http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/nihongo/cft.html
http://coe.math.sci.hokudai.ac.jp/sympo/060828/index.html
「 整数論札幌夏の学校」( 2006年8月28日 〜 9月8日 ) >>151 再訂正
すまん
これ、lim supの使い方間違っているな。院試だったら、大減点だな。
なので、
最大値 lim sup (Af(x)) = m (m∈R) とおけば、Af(x) ＜＝ m
↓
最大値 sup (Af(x)) = m (m∈R) とおけば、Af(x) ＜＝ m
とします
（余談だが、こういう基本的な用語を間違うと、採点官の心象が悪くなる。
要は、院試なんて、基礎的な勉強をしているか否かと基礎力を測るものだから、基本の標準用語の定義などは、間違わないことだ。
”数学は定義だ”などというが、基本的用語について、自分勝手な定義は（こいつ勉強不足だろうと）心象悪いだろう。
頭良すぎて、試験の現場で新定義作って「ホームラン答案」を狙うのは（頭良すぎる東大生にいそうだが）、（採点基準外の）大外しの可能性があるだろう）
http://web.cc.yamaguchi-u.ac.jp/~hiroshi/basic/basic.pdf
解析学の基礎 卒研ゼミ用のテキスト (柳原 宏) 山口大
(抜粋)
P37
最大値, 最小値はいつでも存在するとは限らないので, 条件(i) を
みたすかどうかは問題にしないことにして(ii) をみたす数をE の上界(upper bound) と呼ぶことにしよう.
P39
定義2.3.10 E が上に有界とする. このとき上界の最小値
b0 = minU(E)(= min{b 2 R : b はE の上界})
が存在すればb0 をE の最小上界(least upper bound), または上限(supremum)
といいsupE と表す.
(引用終り)
http://web.cc.yamaguchi-u.ac.jp/~hiroshi/index-j.html
卒研ゼミ用のテキスト (柳原 宏)
http://web.cc.yamaguchi-u.ac.jp/~hiroshi/
Hiroshi Yanagihara (柳原 宏) Department of Applied Science Faculty of Engineering Yamaguchi University
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8A%E6%A5%B5%E9%99%90%E3%81%A8%E4%B8%8B%E6%A5%B5%E9%99%90
上極限と下極限
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%AC%E8%B3%AA%E7%9A%84%E4%B8%8A%E9%99%90%E3%81%A8%E6%9C%AC%E8%B3%AA%E7%9A%84%E4%B8%8B%E9%99%90
本質的上限と本質的下限
(抜粋)
性質
inf f <= lim inf f <= ess inf f <= ess sup f <= lim sup f <= sup f
(引用終り) >>140
あなたのそういう具体例を作る力は認めるけれども、例示は論点を外していると思う
>具体例：
>f(x)＝0 (x＝0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0)
>特に (-1, 1) ⊂ B_f という開区間を採用してみよう。
（>>13 より）
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
(引用終り)
重箱の隅を突いても仕方ないので、簡単に
”f はある開区間の上でリプシッツ連続である”という主張だから、(-1, -δ+0)と(+δ+0, 1)と二つに分ければいいだけのこと（どちらか一つで定理の主張を満たす）
(-1, -δ+0)と(+δ+0, 1)とは、どちらも、”ある開区間の上でリプシッツ連続である”を満たしている。
ここに、δは「 1> δ >0 」の適当な実数とする
以上 >>155
これは、「ぷふ」さんだね
>>156と>>157とをご参照
>>157に書いたように
定理1.7より
”Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }”
を満たすある開区間(a,b)が存在するとして
その区間内どこも「リプシッツ連続ではない」と言えるんですかね？ はて？
まあ、また例によって、定理1.7を証明した人が、新しい例を示してくれるかも知れないが >>137-139
>間違っている。スレ主は、その場合分けが「証明の中での議論」であったことを忘れている。
>証明の中の場合分けで先に定理Cを使うことで特定の場合分けを排除してしまったら循環論法であり、
>それでは定理Cの証明にならない。
意味わからん
私スレ主が言っている”場合分け”は、普通に 命題論理 藤田聡 広島大学のPDFの”proof by cases”のこと
特別のことをいうつもりはない。”場合分け”は、多分古典論理学内で、古代ギリシャからあると思う
（>>157）定理1.7
”R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”の条件下で、
一つの典型例が、系1.8の「有理数＝R−Bf」の場合で、この場合、「有理数＝R−Bf」はR中で稠密だ。だから、その補集合たる「無理数＝Bf」内には、開区間は取れない
もう一つが、「整数＝R−Bf」で、稠密でないから、「Bf」内に、開区間が取れる
ところが、場合分けとして、「無理数＝R−Bf」とか、「超越数＝R−Bf」は、できない
”内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”の条件に、合致しないからだ
同様に、「定理C: f：R → R が原点で微分可能ならば、f は原点で連続である」 で、場合分け ”(1) f は原点で連続 (2) f は原点で不連続”は不可
命題論理 藤田聡 広島大学のPDFの”proof by cases”をご参照
http://home.hiroshima-u.ac.jp/fujita/Class/Kisoron/logic.pdf
命題論理 藤田聡 広島大学（2009年度版）
(抜粋)
＜証明手法＞
P85
proof by cases
(p１∨p２∨・・・∨pｎ)→q
を示すのに
(p１→q)∧(p２→q)∧・・・∧(pｎ→q)
を示す
(引用終り) >>141
これなんか、へんなことを書いていると思った
引用
「あるいは、少し別の視点から考えてみると、
――――――――――――――――――――――――――――
A_f(x)＝ |p| (xは有理数で x＝q/p で p と q は互いに素),
A_f(x)＝ 有限値なら何でもよい (xは無理数)
――――――――――――――――――――――――――――
が成り立つような上手い関数 f：R → R がもし存在したとすると、
この f に対しても B_f＝R が成り立っているので、(a,b)⊂B_f なる開区間は取り放題であるが、
しかし max_{x∈(a,b)} Af(x) が有限値になるような (c,d) は1つも存在しないし、
この f はどの開区間の上でもリプシッツ連続にならない。」
(引用終り)
>>157に書いたように
定理1.7より
”Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }”
この「 lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ 」は、過去スレで指摘したように、この条件はディニ微分可だったよね？
だが、上記で
A_f(x)＝ |p| (xは有理数で x＝q/p で p と q は互いに素),
A_f(x)＝ 0 (xは無理数)
とすれば、これはディリクレ関数と同じ性質を持つ。
つまり、すべての x∈Rで、不連続で微分も不可。微分不可だから、ディニ微分不可。
だから、B_fは空集合
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%8B%E5%BE%AE%E5%88%86
ディニ微分
以上 >>160 訂正
すべての x∈Rで、不連続で微分も不可。微分不可だから、ディニ微分不可。
↓
すべての x∈Rで、不連続で微分も不可。不連続だから、ディニ微分不可。
また、間違えてしまった。息をしたからか・・（＾＾ >>156
>最大値 sup (Af(x)) = m (m∈R) とおけば、Af(x) ＜＝ m
どう書いても存在するとは限りません >>144-146
>背理法を理解できないキチガイ。題意の関数が存在しないことを示すために、
>そのような関数の存在性を仮定しているに過ぎないことが理解できないゴミクズ。
違うよ。
場合分けを曲解していることによる誤解だな
定理1.7を場合分けして、その場合分けのR-Bfが稠密で、
系1.8の「有理数＝R−Bf」の場合で、この場合、「有理数＝R−Bf」はR中で稠密だ（>>159より）
この場合、Bf内に開区間など取れない。
稠密な場合は、開区間には、必ず「R−Bf」が入るから、定理1.7の「開区間がリプシッツ連続だ」という主張は、もともと無理でしょ？ >>158
あるいはBfの中に開区間(a,b)が存在する場合
その区間内にリプシッツ連続である区間が存在することを証明する必要があります
はて？というのはむしろあなたを批判している人が持つ疑問であり
あなたは上記を主張しているのですからそれを証明する必要があるわけです
しかもあなたは自明だとも言っているのですから
相当に単純な証明が示されて然るべきと期待しますよ
なお
件の証明を書いた人はそれを証明しています >>163
>場合分けを曲解していることによる誤解だな
というより
場合分けすることなく証明できているのに
なぜ場合分けをしなくてはいけないと思っているか解せないというのが
件の証明を書いた人の気持ちであろうと思いますね >>162
>>最大値 sup (Af(x)) = m (m∈R) とおけば、Af(x) ＜＝ m
>どう書いても存在するとは限りません
それでも結構だが
定理1.7の条件「 Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }」で、これを満たすある開区間（a,b)が存在するとして
その区間内全ての点で、「Af(x) ＜＝ m」を満たさない？
あるいは、「Af(x) ＜＝ m」の点はどこにも存在しない？
それでも、開区間（a,b）の中に、リプシッツ連続である開区間（a',b'）が取れる？
取れるというのが、定理1.7の主張ですよね？
余談だけれど、定理の証明というのは、一番成立し難い場合にも、その前提条件を付加してきちんと証明できないと、その証明は信用されませんよ
上記の定理1.7の補集合が稠密な場合とか、いまの場合の「その区間内全ての点で「Af(x) ＜＝ m」を満たさない？ あるいは、「Af(x) ＜＝ m」の点はどこにも存在しない？」場合とかを
易しい場合だけ証明して、「ＱＥＤ！」はないですよ >>166
>その区間内全ての点で、「Af(x) ＜＝ m」を満たさない？
>あるいは、「Af(x) ＜＝ m」の点はどこにも存在しない？
自明と書いたのはあなたですから
ぜひ証明してください >>161-160 訂正の訂正
念のため
すべての x∈Rで、不連続で微分も不可。不連続だから、ディニ微分不可。
↓
すべての x∈Rで、不連続で微分も不可。不連続だから、ディニ微分有限値不可。
とします。理由は、下記の「補完数直線上では、各ディニ微分は常に存在する」より。定理1.7の仮定は、「< +∞」ですので、元のままでも、「+∞ や ?∞」は除外されていますが。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%8B%E5%BE%AE%E5%88%86
ディニ微分
(抜粋)
注意
・補完数直線上では、各ディニ微分は常に存在する。しかし、それらの値は有限とは限らず、+∞ や ?∞ となることもある（すなわち、ディニ微分は「拡張実数値」の意味において、常に存在する）。
・f が局所リプシッツ連続ならば、ディニ微分 f'_{+} は有限である。もし f が t において微分可能ならば、その t における各ディニ微分は通常の意味での微分に等しい。
(引用終り) >>165
>>場合分けを曲解していることによる誤解だな
>というより
>場合分けすることなく証明できているのに
>なぜ場合分けをしなくてはいけないと思っているか解せないというのが
>件の証明を書いた人の気持ちであろうと思いますね
話は逆で、場合分けして、証明できない場合があれば、それは「定理が成り立たない」ってことですよ
定理1.7の場合、それは補集合R-Bfが稠密な場合で、その場合、集合Bf内に開区間なく、またリプシッツ連続な区間もない
「場合分けして、証明できない場合があれば、それは定理が成り立たない」は、反例による証明でも同じ理屈ですよ
反例は１つで良い。反例が成立する場合が１つあれば良いのです
例えば、「素数は全て奇数である」という定理には、反例素数の２があります。
だが、「２を除く素数は、全て奇数である」は、正しい定理です。
同様に、定理1.7においては、補集合R-Bfが稠密な場合は、集合Bfを満たす開区間は取れません。
「補集合R-Bfが稠密な場合は、集合Bfを満たす開区間は取れない」という仮定と、R内で「f はある開区間の上でリプシッツ連続である」という結論とは、両立しませんよ。 >>164 ＆ >>168
Bfを満たす開区間（a,b）が存在し→その開区間内にリプシッツ連続である開区間（a',b'）が取れる
という証明の流れと思います
証明は考えてみますが、結論「リプシッツ連続である開区間（a',b'）が取れる」の前提として、仮定「Bfを満たす開区間（a,b）が存在」するが必要と思っています
なので、ここを強調しておきます
なお、「Bfを満たす開区間（a,b）の存在」が否定される場合は、結論「リプシッツ連続である開区間（a',b'）が取れる」も否定されると思いますよ
もし、証明可能と言われるなら、逆にどうぞと申し上げておきます
なお、>>170をご参照ください >>167
（>>131より）
>>127
> >>２）稠密な場合は自明に定理1.7の仮定が、不成立（仮定が不成立の場合は、証明の必要さえない）
> >定理の仮定は
> >''R-Bfが可算個の疎な閉集合で被覆できる''
> >ですが
> >あなたの主張は
> >''R-BfがRで稠密ならばR-Bfは可算個の疎な閉集合で被覆できない''
> >ということですか？
>
> いいえ違います。
ではどういうことですか？上記で不成立とする仮定とはなんでしょう？
(引用終り)
回答します
１．（>>13）「系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.」に対し、定理1.7を適用するのは適切ではないと考えます
２．理由は、>>170-171に述べました（R-Bfが稠密な場合には、定理1.7は数学の定理として成り立っていない） >>147
>「 東京タワーが塔ならば、鍋料理は複数存在する。」は真。
>こんな奇妙な世界が記号論理。一般論として使うと目も当てられなくなる。
バートランド・ラッセルのこんな話かな？（＾＾
まあ、「裏庭に東京タワーがあれば、入場料を取って、大もうけができる」は真かな？
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%90%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%89%E3%83%BB%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%BB%E3%83%AB
バートランド・ラッセル
(抜粋)
記述理論
記述理論(Theory of Description)は指示対象が存在しない「現代のフランス王」や「ペガサス」といった語句を解釈する際に、フレーゲのようにそのような語句を含んだ文を無意味としたり、それら非存在者の指示対象としてなんらかの概念の「存在」を仮定することなしに、解釈を可能とするためにラッセルが発見した手法である。
1905年の『表示について』で初めて発表された。
記述理論とは、以下のような手法である。
「現代のフランスの王ははげである」
という文章の意味を考える場合、この文を、
「あるものが存在し、そのものは一つであり、フランスの王であり、かつはげである」
と翻訳する。すると、実在しない「現代のフランスの王」が示す指示対象として存在者をなんら仮定することなく有意味に文を解釈でき、その真偽を確定できる。
(引用終り) >>159
＞ところが、場合分けとして、「無理数＝R−Bf」とか、「超越数＝R−Bf」は、できない
＞”内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”の条件に、合致しないからだ
その場合分けは「仮定が偽」になることが明白なだけであって、その場合分け自体は可能である。
あるいは、次のように言ってもよい。お前がそこで言っていることはつまり、
「仮定が偽のケースは場合分けとしては不可能である」
という屁理屈である。だったら、その屁理屈を拝借すれば、全く同じように、
「 R−B_f は R の中で稠密」という場合分けも不可能である。
なぜなら、その場合「 R−B_f が第一類集合 」の条件に合致しないからだ(定理1.7により)。 >>159
＞同様に、「定理C: f：R → R が原点で微分可能ならば、f は原点で連続である」 で、
＞場合分け ”(1) f は原点で連続 (2) f は原点で不連続”は不可
その場合分けは やはり可能だし、どちらのケースでも、
「仮定が偽」になることは全く明白ではない。特に (2) のケースは、
「結論に合致しないケース」
なのであって、「仮定に合致しないケース」ではないので、スレ主の言い分である
「仮定が偽のケースは場合分けとしては不可能である」
という屁理屈にすら全く当てはまっていない。
あるいは、お前にとっては、(2)の場合に仮定が偽になることが明白に見えるかもしれないが、
それは 定理C を先に適用してしまっているからであって、既に述べたように循環論法である。
ゆえに、定理C の場合には、(1),(2)による場合分けは可能である。 さて、上記の理由により、定理C の証明の中で P1,P2 と場合分けした場合には、
"場合分けP2" を事前に排除することは不可能であることが確定した。従って、当初の予定通り
―――――――――――――――――――――――
P： f は原点で微分可能
Q： f は原点で連続
P1：f は原点で微分可能かつfは原点で連続
P2：f は原点で微分可能かつfは原点で不連続
P ＝ P1∨P2
―――――――――――――――――――――――
という場合分けになる。そして、お前は次のように主張するのである。
「 P2 の場合に「 P2 → Q 」を導くのは、なんか変。ゆえに、定理C は数学の命題としてふさわしい形ではない」
これは一体どういうことだね？ 追記。
＞ところが、場合分けとして、「無理数＝R−Bf」とか、「超越数＝R−Bf」は、できない
＞”内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”の条件に、合致しないからだ
繰り返しになるが、お前がここで言っていることはつまり、
「仮定が偽のケースは場合分けとしては不可能である」という屁理屈である。
その一方で、世の中には次のような定理が存在する。
定理：a^b が有理数になるような無理数 a,b が存在する。
この定理の証明として、次のような有名なものがある。
――――――――――――――――――――――――――――――
証明：c＝√2 と置くと、これは無理数であることが知られている。
そこで、c^c の値に注目し、以下のように場合分けする。
(1) c^c は有理数である (2) c^c は無理数である
(1) の場合、a＝b＝c と置けばよいことになるので、証明が終わる。
(2) の場合、a＝c^c と置けば、まず a は無理数である。
また、b＝c と置けば、これも無理数である。c＝√2 だったから、
a^b ＝ (c^c)^c ＝ c^{c^2}＝ (√2)^(√2^2) ＝ 2
となるので、a^b は有理数である。よって、(2) の場合も証明が終わる。
――――――――――――――――――――――――――――――――
[続く] [続き]
上記の証明はよく知られた証明であり、「正しい証明である」ことに注意せよ。
一方で、c^c すなわち √2^√2 は実際には「無理数」であることが
証明されている(簡単には証明できないらしいが)。となると、上記の証明における
(1) c^c は有理数である
のケースは、仮定が偽ということになる。従って、お前の屁理屈によれば、そもそも
＞(1) c^c は有理数である (2) c^c は無理数である
という場合分け自体が不可能ということになる。その一方で、上記の証明は
よく知られた証明であり、「正しい証明」なのである。たとえば、
https://ja.wikipedia.org/wiki/排中律
に全く同じ証明が載っている。にも関わらず、スレ主の屁理屈によれば、
そもそも (1),(2) による場合分け自体が不可能となってしまい、
上記の証明は「間違っている」ことになってしまう。
これは一体どういうことだね？ >>173
聞いていることに答えていただけますか？
``定理1.7の仮定が不成立''
のその``仮定''とは何のことでしょう？ >>171
あなたはそれを``自明''と書いたのですよ？
実のところ
その部分を証明するのが件の証明の``キモ''なのです
自明でないと認識できたのなら証明を読みましょう >>170
>話は逆で、場合分けして、証明できない場合があれば、それは「定理が成り立たない」ってことですよ
場合分けせずに証明できていますから
当然ながら
場合分けしても証明が出来ています
場合分けした条件を使う必要が無いというだけのことです >>163
＞この場合、Bf内に開区間など取れない。
＞稠密な場合は、開区間には、必ず「R−Bf」が入るから、
＞定理1.7の「開区間がリプシッツ連続だ」という主張は、もともと無理でしょ？
「R−B_f が第一類かつ R−B_f が R の中で稠密」という仮定は「偽」なので、
スレ主の屁理屈によれば、そもそもそのような場合分け自体が不可能である。
つまり、スレ主は自爆している。
あるいは、次のように言ってもよい。
「R−B_f が第一類かつ R−B_f が R の中で稠密」という仮定は「偽」なので、
矛盾した命題からはどんな命題も導出できるがゆえに、
「ある開区間の上でリプシッツ連続だ」という主張も導出できる。
スレ主は「導出できない」などとほざいているが、実際には導出できるのである(仮定が偽だから)。
では、なぜ「R−B_f が第一類かつ R−B_f が R の中で稠密」が偽であると分かるのか？
それは、定理1.7 から従う。 >>171
>なお、「Bfを満たす開区間（a,b）の存在」が否定される場合は、結論「リプシッツ連続である開区間（a',b'）が取れる」も否定されると思いますよ
当たり前です
証明をお考えください
件の証明よりも簡単なものになれば
それは件の証明をした人も喜ぶでしょうよ あるいは、同じことの繰り返しになるが、次のように言ってもよい。
＞この場合、Bf内に開区間など取れない。
＞稠密な場合は、開区間には、必ず「R−Bf」が入るから、
＞定理1.7の「開区間がリプシッツ連続だ」という主張は、もともと無理でしょ？
お前のこの屁理屈を定理Cに適用すると、次のようになる。
――――――――――――――――――――――――――――
P： f は原点で微分可能
Q： f は原点で連続
P1：f は原点で微分可能かつfは原点で連続
P2：f は原点で微分可能かつfは原点で不連続
P ＝ P1∨P2
スレ主：
P2 の場合には、f が原点で不連続であることが仮定されているのだから、
f が原点で連続であるという主張はもともと無理である。
つまり、P2 の場合には、定理C は証明できない。
ゆえに、定理C は数学の定理としてふさわしい形をしていない。
――――――――――――――――――――――――――――
お前はここで、「定理Cの場合は P1,P2 による場合分けが不可能だ」という屁理屈を
何度も述べているようだが、全く同じ屁理屈は定理1.7にも適用できるので、
お前の屁理屈はどちらに転んでも完全に破綻している。というか、もともと論理が滅茶苦茶。問題外。 >>160
＞だが、上記で
＞A_f(x)＝ |p| (xは有理数で x＝q/p で p と q は互いに素),
＞A_f(x)＝ 0 (xは無理数)
＞とすれば、これはディリクレ関数と同じ性質を持つ。
＞つまり、すべての x∈Rで、不連続で微分も不可。微分不可だから、ディニ微分不可。
＞だから、B_fは空集合
息をするように間違えるゴミクズ。俺は
f(x)＝ |p| (xは有理数で x＝q/p で p と q は互いに素),
f(x)＝ 有限値なら何でもよい (xは無理数)
と書いたのではない。
A_f(x)＝ |p| (xは有理数で x＝q/p で p と q は互いに素),
A_f(x)＝ 有限値なら何でもよい (xは無理数)
と書いたのである。すなわち、 f そのものをディリクレ関数っぽい値に設定したのではなく、
A_f の方をディリクレ関数っぽい値に設定したのである。もしそのような性質が成り立つ f が
存在したとすると、(a,b)⊂B_f なる開区間は取り放題なのに、f はどの開区間の上でも
リプシッツ連続にならないので、
「 (a,b)⊂B_f の場合はリプシッツ連続性が自明に分かる」
というスレ主の直観は破壊されることになる。
[続く] [続き]
ここでお前は、次のように言うかもしれない。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
A_f(x) がディリクレ関数っぽい状態なら、その前の f だってディリクレ関数っぽいはずであり、
ゆえに f はどの点でも微分不可能のはずで、B_fは空集合になるだろう。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
しかし、この意見は的外れであることを先に指摘しておく。
なぜなら、A_f(x) は おかしな挙動をある程度は取り得るからである。たとえば、
f(x)＝0 (x＝0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0)
という例の場合、A_f(x) は原点で 不 連 続 であることが確認できる。
もちろん、この f の場合は、A_f(x) は原点以外のところでは連続になっているが、
しかし原点では不連続なのである。
ところで、f の原点での挙動を、他の有限個の点 x_1, x_2, …, x_n に "移植" することは
明らかに可能であるから、そのように移植した新しい関数を g とするとき、A_g(x) は
x＝0, x_1, x_2, …, x_n において不連続ということになる。もちろん、A_g(x) は
各点で「有限値」のままである。
というように、少なくとも有限個の点で A_f(x) が不連続になることは実際に「ある」。
問題は、A_f(x) が R 全体でディリクレ関数っぽい状況になることがあり得るのかということであるが、
俺が書いた>>110の手法を使えば、そのような関数は「無い」ことが分かる。
しかし、それは>>110を使ったからこそ「無い」ことが分かるのであって、
「無いことは自明である」ということにはならないのである。 突然ですが、
平野、２大会連続の銀メダルか。おめでとう。金を狙っていて残念だが、若いからまだ次があるよね（＾＾
http://www.yomiuri.co.jp/olympic/2018/snowboard/20180214-OYT1T50006.html?from=ytop_top
平野、２大会連続の銀メダル…スノボ男子ＨＰ 2018年02月14日 >>175-179 & >>183 & >>185
>＞ところが、場合分けとして、「無理数＝R−Bf」とか、「超越数＝R−Bf」は、できない
>＞”内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”の条件に、合致しないからだ
>
>その場合分けは「仮定が偽」になることが明白なだけであって、その場合分け自体は可能である。
>あるいは、次のように言ってもよい。お前がそこで言っていることはつまり、
>
>「仮定が偽のケースは場合分けとしては不可能である」
>
>という屁理屈である。だったら、その屁理屈を拝借すれば、全く同じように、
>「 R−B_f は R の中で稠密」という場合分けも不可能である。
>なぜなら、その場合「 R−B_f が第一類集合 」の条件に合致しないからだ(定理1.7により)。
普通の証明論の場合分けを否定されてもね。それ無理筋ですよ
（”場合分け”は、私の独自説ではなく、ごく一般の数理です）
集合論で言えば、仮定で有理数Qを問題にしているときに、集合Qの中での場合分けは可能です
が、集合Qの外、つまり、「無理数＝R−Bf」とか、「超越数＝R−Bf」は、できない。それをやれば、プロレスの場外乱闘ですよ
それから、”「 R−B_f は R の中で稠密」という場合分けも不可能である。
なぜなら、その場合「 R−B_f が第一類集合 」の条件に合致しないからだ(定理1.7により)”という主張も無理筋でしょう
それをいうなら、（>>13）”系1.8 有理数の点で不連続”には、適用できないということですよね
「 R−B_f は R の中で稠密」という場合分けが、定理1.7で存在しないなら、「系1.8 有理数」には定理1.7は適用できませんね
以上 >>186
これは、どうも失礼。私の早とちりでしたね
あなたは、こういう例を考える力はすごくあるね〜（＾＾
「f(x)＝ |p| (xは有理数で x＝q/p で p と q は互いに素),
f(x)＝ 有限値なら何でもよい (xは無理数)
と書いたのではない。
A_f(x)＝ |p| (xは有理数で x＝q/p で p と q は互いに素),
A_f(x)＝ 有限値なら何でもよい (xは無理数)
と書いたのである。すなわち、 f そのものをディリクレ関数っぽい値に設定したのではなく、
A_f の方をディリクレ関数っぽい値に設定したのである。もしそのような性質が成り立つ f が
存在したとすると、(a,b)⊂B_f なる開区間は取り放題なのに、f はどの開区間の上でも
リプシッツ連続にならない」
(引用終わり)
なるほど。でもね、この例は、諸刃の剣というやつでしょ
（一般性を損なわず”A_f(x)＝0 (xは無理数)”とします）
１）∀p ∈Q を考えた場合、”Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }”で、
無理数x=irに収束するQ内のコーシー列が取れる。分母q→∞。だから分子もp→∞。
２）補足：1/2=0.5に近い無理数x=irを考えると、コーシー列pn/qnで、分母qn→∞のとき、分子p =〜 0.5q→∞となる
３）なので、「(a,b)⊂B_f なる開区間は取り放題」ではない
つづく >>190 つづき
以下参考
(>>13より)
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
(引用終わり)
http://yusuke-ujitoko.hatenablog.com/entry/2017/05/17/005434
リプシッツ連続 緑茶思考ブログ 2017-05-17
(抜粋)
定義:リプシッツ連続
関数f(x)が任意の実数x,yに対し、
?f(x)?f(y)??k?x?y?
を満たす0以上のkがとれるとき、関数f(x)はリプシッツ連続であるといい、kをリプシッツ定数という。
x=yのとき、任意の実数について上式は成り立つので、
「関数f(x)がリプシッツ連続」であることは、「x≠yとなる任意の実数x,yに対して
?f(x)?f(y)/(x?y)? ? k
を満たす0以上の定数kがとれることと同値である。
つまり関数f(x)がリプシッツ連続であるとは、関数y=f(x)のグラフ上の任意の異なる2点(a,f(a)),(b,f(b))を通る直線の傾きが、?k以上k以下である、
すなわち、関数f(x)の変化率の絶対値はkを超えないということである。
(引用終わり)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84%E9%80%A3%E7%B6%9A リプシッツ連続
以上 >>191 えらく文字化けしたが、原文見てください >>189
＞が、集合Qの外、つまり、「無理数＝R−Bf」とか、「超越数＝R−Bf」は、できない。それをやれば、プロレスの場外乱闘ですよ
「場外乱闘」などという言葉を使ってみても、お前が言っている内容は全く変わらない。
お前がそこで言っていることはつまり、
――――――――――――――――――――――――――――――――――
R−B_f が第一類集合なのに「 R−B_f＝無理数」としてしまえば、
R−B_f が第一類集合であることに矛盾するので、この場合分けは出来ない
――――――――――――――――――――――――――――――――――
ということである。この屁理屈を>>178-179に適用すると、次のようになる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――
c＝√2 とすると、c^c は無理数であることが知られている。すると、
c^c は無理数なのに「 c^c は有理数 」としてしまえば、
c^c が無理数であることに矛盾するので、この場合分けは出来ない。
――――――――――――――――――――――――――――――――――
つまり、スレ主は>178-179の証明が「間違いだ」と言っていることになるのである。
しかし、>178-179の証明は、よく知られた「正しい証明」である。
これは一体どういうことだね？ >>195
＞なぜなら、その場合「 R−B_f が第一類集合 」の条件に合致しないからだ(定理1.7により)”という主張も無理筋でしょう
＞それをいうなら、（>>13）”系1.8 有理数の点で不連続”には、適用できないということですよね
＞「 R−B_f は R の中で稠密」という場合分けが、定理1.7で存在しないなら、「系1.8 有理数」には定理1.7は適用できませんね
何度も同じことを言わせるな。定理1.7は系1.8の証明の中で適用可能である。
なぜなら、定理1.7 の主張は
「 R−B_f が第一類集合なら、f はある開区間の上でリプシッツ連続」
というものだからだ。系1.8 だけでなく、
一般に R−B_f が第一類集合でありさえすれば、定理1.7が適用可能。 >>190
＞（一般性を損なわず”A_f(x)＝0 (xは無理数)”とします）
＞１）∀p ∈Q を考えた場合、”Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }”で、
＞ 無理数x=irに収束するQ内のコーシー列が取れる。分母q→∞。だから分子もp→∞。
＞２）補足：1/2=0.5に近い無理数x=irを考えると、コーシー列pn/qnで、分母qn→∞のとき、分子p =〜 0.5q→∞となる
＞３）なので、「(a,b)⊂B_f なる開区間は取り放題」ではない
計算の仕方が意味不明。お前がそこでやっていることは、
「 1/2 に近い無理数 x を1つ取り、有理数列 pn/qn であって pn/qn → x を満たすものを取った」
ということに過ぎない。このときに pn → ＋∞, qn → ＋∞ が成り立つのは当たり前の話。
で？どうしてそこから 「(a,b)⊂B_f なる開区間は取り放題ではない」という結論が出るんだ？
(a,b) ⊂ B_f が "成り立たない" ためには、(a,b) 内のある点 z において Af(z)＝＋∞ が
成り立たなければならないんだぞ？どうやってそのような点 z を見つけるんだ？
お前の書き方だと、あたかも Af(x)＝＋∞ が成り立つかのように書かれているが、
pn/qn を取っただけでどうして Af(x)＝＋∞ が出るんだ？
｜(f(x)−f(pn/qn))/(x−pn/qn)｜
↑この式で n→∞ としてみても、Af(x)＝＋∞ は全く出て来ないぞ？ >>190
もしかしてお前、A_f(x)＝0 と f(x)＝0 を混同してるんじゃないか？
あるいは、A_f(q/p)＝|p| と f(q/p)＝|p| を混同してるんじゃないか？
お前は f(x)＝0, f(pn/qn)＝ |qn| として計算しているんじゃないか？
何度も言うけど、俺は
f(x)＝ |p| (xは有理数で x＝q/p で p と q は互いに素),
f(x)＝ 有限値なら何でもよい (xは無理数)
と書いたのではなくて、
＞A_f(x)＝ |p| (xは有理数で x＝q/p で p と q は互いに素),
＞A_f(x)＝ 有限値なら何でもよい (xは無理数)
と書いたのだぞ？あたま大丈夫？あるいは、
「 pn/qn → x かつ Af(pn/qn)＝|qn| → ＋∞ だから、Af(x)＝＋∞ 」
だと勘違いしてるんじゃないか？Af(z) は z の関数として連続ではないのだから、
pn/qn → x かつ Af(pn/qn) → ＋∞ でも Af(x)＝＋∞ なんて言えないぞ？ 準備
>>191 修正再録
http://yusuke-ujitoko.hatenablog.com/entry/2017/05/17/005434
リプシッツ連続 緑茶思考ブログ 2017-05-17
(抜粋)
定義:リプシッツ連続
関数f(x)が任意の実数x,yに対し、
|f(x)-f(y)|<= k|x-y|
を満たす0以上のkがとれるとき、関数f(x)はリプシッツ連続であるといい、kをリプシッツ定数という。
x=yのとき、任意の実数について上式は成り立つので、
「関数f(x)がリプシッツ連続」であることは、「x≠yとなる任意の実数x,yに対して
|f(x)=f(y)/(x-y)| <= k
を満たす0以上の定数kがとれることと同値である。
つまり関数f(x)がリプシッツ連続であるとは、関数y=f(x)のグラフ上の任意の異なる2点(a,f(a)),(b,f(b))を通る直線の傾きが、?k以上k以下である、
すなわち、関数f(x)の変化率の絶対値はkを超えないということである。
(引用終わり) 準備追加
（>>13より）f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
(引用終り)
「lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞」は、
下記の４つの Dini微分 (D^+ g)(c),(D + g)(c),(D^- g)(c),(D - g)(c)が
有限値で収まることを意味している。
https://www.amazon.co.jp/dp/0387984801
https://books.google.co.jp/books?id=MzQ6JA6SiHYC&;pg=PA215&lpg=PA215&dq=%22liminf+of+functions%22#v=snippet&q=%20&f=false
Fundamentals of Real Analysis 著者: Sterling K. Berberian 出版社: Springer; Softcover reprint of the original 1st ed. 1999版 (1998/11/1)
P220のパラグラフ5.3.6に４つの Dini微分 (D^+ g)(c),(D + g)(c),(D^- g)(c),(D - g)(c)
と、lim sup, lim inf との関係が載っている
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