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>＞一方で、１）の場合については、補集合が「R中稠密でない」から、
>＞“Q”（開集合の存在）を含意しているから、証明の必要もない。

>「稠密でないケースでは証明の必要がなく、自明に Qa が従う」
>と勘違いしている。稠密でないケースでさえも、証明が難しいのであり、
>そのときの証明法は定理1.7とほとんど同じなのである。

稠密集合：位相空間 X の部分集合 A が X において稠密であるとは、X の各元 x に対し、x の任意の近傍が A の元を少なくとも一つ含むことをいう。（下記）
なので、稠密でないケースでは、「X のある元 x に対し、x のある近傍で ”A の元を一つも含まないもの”が存在する」
その近傍内は、全てBf であり、性質G：＝“Bf ：={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }”を満たす
この近傍内に、定理1.7のある開区間を取れば良い
QED

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A8%A0%E5%AF%86%E9%9B%86%E5%90%88
稠密集合
(抜粋)
厳密な定義
位相空間 X の部分集合 A が X において稠密であるとは、X の各元 x に対し、x の任意の近傍が A の元を少なくとも一つ含むことをいう。
(引用終り)