＞算数では非負の数を扱うから「環」にならない。すなわち有理整数環ではない
有理整数環または有理数体を非負数に制限して扱っているだけで、
それと異なることは何もしていない。
よって、「有理整数環ではない」は間違い。
＞「無理数はおろか、分数の乗法すら説明できない」と言い出したのは
君であり対象は有理整数環ではない
整数環の演算を教えた後、有理数体、代数体、実数体に進むだけだ。
実数体の演算も、整数の加法乗法については整数環の演算にすぎない。
＞君の定義で「5/7 × 2/3」「√2 × √3」が計算できなかった
と言っている
できなかったのは、君の計算練習が足りなかったためだ。
できることは、既に >>466 に示した。
整数 a,b,c,d に対し (a/b)(c/d)=(ac)/(bd) を示すには、
結合則と交換則によって
(a/b)(c/d)(bd)=a(1/b)c(1/d)bd=ac{b(1/b)}{d(1/d)}=ac、
よって (a/b)(c/d)=(ac)/(bd)。
(√a)(√b)=√(ab) を示すには、
やはり結合則と交換則によって
{(√a)(√b)}^2=(√a)(√b)(√a)(√b)={(√a)(√a)}{(√b)(√b)}=ab。
ただし、√ が一価可逆な関数として定義されている必要あり。
これだけだ。
計算に用いる等式変形は、公理から証明されるものであって、
それ自体が計算の定義なのではない。
あと、群に関する中途半端な知識を振りかざしているようだが、
二項演算を全てproductと呼んでしまっては、環や体において
加法のproductと乗法のproductが混乱してしまうだろうよ。
何のための「和差積商」かね？
それに、これも既に書いたが、群演算を積と呼ぶのは
乗法の積から転用された言葉で、語源はその逆ではないよ。
