同じ物をもう一つ用意してマイナス2だけずらして重ねて見る。
白と白が重なる所が双子素数のペアの小さい方になる。
これは双子素数の差が2のためだ。
素数の個数の求め方はx/ln(x)だが、
これはもともと、
x(1―1/2)(1―1/3)(1―1/5)…でこの中の―1/2や―1/3は
素数の倍数を次々と引いているという意味だ。
これに先の―2ずれた物を重ねると言うことは、
素数をPとすると、Pの倍数とPの倍数―2の所も引くことになる。
と言うことは、
素数3以上は引くところが2倍になるので、
x(1―1/2)(1―2/3)(1―2/5)… ①
となる。
これはx内の双子素数のペアの小さい方の個数を近似している。素数定理の様に十分大きなxでは誤差の割合も小さくなっていく。
と言うことは、x+2内の双子素数の個数を近似していると言うことだ。
そしてこの①の式のかっこ内を計算すると
x(1/2)(1/3)(3/5)(5/7)… ②
となるが、これは素数の差が2の時に前の分母と後ろの分子で約分できる。
②の式の素数の間の奇数を(奇数―2)/奇数
という形で掛けてみる。
すると、
x/2P
(Pは√(x+2)以下の最大の素数)
という式になる。
これはx個の自然数の中にx/2P個以上の双子素数が存在する事を意味している。
そこで、xを2当分して大きい方の範囲をyとします。yの中にある双子素数の個数は、
xの時の様に√(x+2)以下の素数全てで
y(1―1/2)(2/3)…(1―2/P)
という形で求める。
そして同じ様にy/2Pという形に変形します、yはx/2なので
y/2P=x/4Pとなり、yの中の双子素数の個数より小さい値を表すが、
この値はxが12以上で必ず1以上になる。
yがどんなに大きくなってもそこに双子素数が存在する事がわかる。
