ではないでしょうか？
探検
大学学部レベル質問スレ 9単位目
レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
ではないでしょうか？
N|=AならばN|=B
↑の「ならば」というのは、メタの意味で、数学で通常定義される「ならば」と同じです
すなわち、あなたの解釈で合っていますが、本が間違っているわけではありません
-1はR+の要素ではないので
(-1,1)はR+×Rの要素ではない
つまり
log(-1)=1
は偽の命題です
i∈R
が偽の命題だという認識を持つと良いでしょう
写像も只の集合なのですから
集合の要素であるかどうか
定義域や値域に入っていようが居まいが
真偽が定まります
私にですね？
その上に書いたではありませんか
(-1,1)∈log
が偽であるということです
すんません
>>276
それ、述語論理での話だろ？
数学でならばと言ったら、述語論理のこの意味しかあり得ません
あなたは何だと思ってたんですか？
この意味ではないと思っていたような雰囲気ですね
正しくはＡ→Ｂ⇔ Ａの否定∨Ｂ.
そういう話ですか？
あなたのそれは、あくまで統語的な定義ですよね
今は意味論的な話をしているわけで、>>276でも問題ないかと思います
N-構造における論理式の解釈の話ですから
実無限を導入するかしないかで変わってくる。
自分の知っている言葉を並べるだけでは、わかっていることになりませんよ？
今関係ないですよね、そんなこと
納得しました。ありがとうございました。
それを使えば数学の不完全な部分が指摘できる笑というひとが書き込みを続けているみたいだな。マルチで。
I = φ のとき、
Π_{i ∈ I} X_i := {(x_i)_{i ∈ I} ∈Map(I, X) | ∀i ∈ I x_i ∈ X_i}
はどう考えればいいのでしょうか？ 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:0be15ced7fbdb9fdb4d0ce1929c1b82f)
は命題ですか？
このとき、
log(-1) > 0
は命題でしょうか？
とする。
log(x) > 0
を論理記号で書くと以下でOKですか？
∃y (y ∈ R ∧ (x, y) ∈ Γ ∧ (∃y' ((x, y') ∈ Γ)) ⇒ y = y') ∧ y > 0)
とする。
log(x) > 0
を論理記号で書くと以下でOKですか？
∃y (y ∈ R ∧ (x, y) ∈ Γ ∧ (∃y' (y' ∈ R ∧ (x, y') ∈ Γ) ⇒ y = y') ∧ y > 0)
とする。
∀x (x ∈ φ ⇒ ∃y (y ∈ R ∧ (x, y) ∈ Γ ∧ (∃y' (y' ∈ R ∧ (x, y') ∈ Γ) ⇒ y = y') ∧ y > 0)
一般的な述語論理において、関数とは任意の対象において定義されなければなりません
従って、そのような定義域を定めることは、通常の述語論理の範囲外ということになります
多ソート述語論理などでは、このような定義域の設定を行えるようですが私は詳しくはわかりません
まずXiはどのように定義されましたか
それはあるXにおいての
ξ:I->2^X
のことでしたね
てすから
ΠXi={f:I->X|fi∈Xi}
とは
ε⊂X×2^X
を
ε={(x,A)|x∈A⊂X}
と定義したとき
ΠXi={f:I->X|∃g:I->ε(g=(f×ξ)Δ)}
と定義されるのです
I=φ
のときは
まずξやfは空集合の包含写像0しかあり得ず
空集合の包含写像をgとして条件成立しますので
ΠXi={0}
です
>はR×Rの
部分集合ですね？
logx>y
とは
∃z((x,z)∈log∧(z,y)∈>)
ということですので
log-1>1
は偽の命題です
そのようなxが
存在しませんので
真の命題です
NGです
なにもわかっちゃいないなぁ
明確な目的ってあるんですか？
実無限が関係あるとするならば、直感主義的な量化の話になるかと思いますけど、そんなこと関係ないですよね
今は古典論理の話なんですから
まあ、とにかく量化が絡まなければ実無限云々が関係ないということは確かなわけですから同じことですね
ありがとうございました。
Δ : I ∋ i → (i, i) ∈ I × I
f×ξ : I × I ∋ (i, i) → (f(i), ξ(i)) ∈ X × 2^X
(f×ξ) 〇 Δ : I ∋ i → (f(i), ξ(i)) ∈ X × 2^X
Π X_i = {f : I → X | ((f×ξ) 〇 Δ)(I) ⊂ ε}
ということですね。
I = φ のとき、空集合の包含写像 0 ∈ Π X_i = {f : I → X | ∃g : I → ε (g = (f × ξ) 〇 Δ)}
(0 × ξ) 〇 Δ = 0 の左辺はどう考えればいいのでしょうか？
Δ : φ ∋ i → (i, i) ∈ φ × φ は 0
0 ×ξ : φ = φ × φ ∋ (i, i) → (f(i), ξ(i)) ∈ X × 2^X も 0
なんかよくわからないのですが。
0です
を確かめるにはどうすればいいのですか？
f : φ → X
の候補は 0 だけです。
よって、
Π X_i = {f : φ → X | ∃g : φ → ε (g = (f × ξ) 〇 Δ)} ⊂ {0}
です。
Π X_i = {f : φ → X | ∃g : φ → ε (g = (f × ξ) 〇 Δ)} ⊃ {0}
を確かめるには、
∃g : φ → ε (g = (0 × ξ) 〇 Δ) が真であることを確かめればOKです。
∃g : φ → ε
の候補は 0 だけです。
なので、
0 = (0 × ξ) 〇 Δ
が真であることを確かめればOKです。
(0 × ξ) 〇 Δ = 0
ということでいいのでしょうか？
(0 × ξ) 〇 Δ がどんなものなのかは一切考えずに定義域が φ だから
ということでそれは 0 であると言っていいのでしょうか？
>(0 × ξ) 〇 Δ がどんなものなのかは一切考えずに
結局それでいいんだけど
ちゃんと考えてよ
元に依らない写像の合成の定義は？
Ａ→Ｂ、この言明はＡが真であって、Ｂが偽であるとき、そのときに限って偽である。
で？
それと実無限に何の関係があるんですか？
集合論を何の批判もなしに用いるのが実無限。述語論理とはそういうもの。
メタと対象の区別がつかない人にはそう見えますね
で、それと>>326は何の関係があるんですか？
ラマヌジャンのτ関数のこと？L関数
Σ_n=1 to ∞(τ(n)/(n^s))
=Π_p：素数 (1 - τ(p)/(p^s) + 1/(p^(2s-11)))^(-1)
というように、オイラー積にp：素数の２ｓ乗の項が出てくるのは
数学史上 τ関数のL関数が初めてで
（ゼータ関数を無限積展開してもp^sまでしか出てこないよね）、
これがいろんなL関数をいろんな角度から分析しようという流れの一因に
なったのは間違いないと思う
専攻してたわけじゃないから詳しくは知らないが
分からない人だな。Ａ→ＢはＡの否定∨Ｂと等値であることしか言えないのは述語論理の中だけだ。
古典論理の間違えですよね？
述語論理とは、ある、や、全て、を表現する論理全般を指す用語です
ならば、は述語論理ではなく命題論理の範疇です
直感主義論理では、A→Bと¬A∨Bは同じではありません
って、もしかして、ならば、は必ず変数含まれてないとダメとか思ってたりしますか？
つまり、変数の概念のない命題論理では扱えないものだと思ってますか？
いよいよ、あなたのレベルの低さがどの程度なのかわからなくなってきましたね
知ったかぶりもそれくらいにしときましょうよ
今ならごめんなさいで許してあげますよ
玄孫のハイレベルな出来栄えが気にかかる。記号がよくわからないから、記号の説明もつけといてね。速読すればいいわけだったけど。記号 サイン もこだわってくれてどうも。
．．．．．．。
私の話についていけなくなりましたか？
早く認めたらどうです？
0 = (0 × ξ) 〇 Δ
(0 × ξ) 〇 Δ のグラフ Γ_(0 × ξ) 〇 Δ は、
Γ_(0 × ξ) 〇 Δ = {(x, z) | (x, z) ∈ φ × (X × 2^X) ∧ ∃y ∈ φ × φ ( (x, y) ∈ Γ_Δ ∧ (y, z) ∈ Γ_(0 × ξ) )}
(x, z) ∈ φ × (X × 2^X) となるような x は存在しないので、
Γ_(0 × ξ) 〇 Δ = φ
である。
よって、
0 = (0 × ξ) 〇 Δ
が成り立つ。
∃y ∈ φ × φ ( (x, y) ∈ Γ_Δ ∧ (y, z) ∈ Γ_(0 × ξ) )
すなわち、
∃y (y ∈ φ × φ ∧ (x, y) ∈ Γ_Δ ∧ (y, z) ∈ Γ_(0 × ξ) )
についてですが、存在しない x を使っていますが、こういうのはありなんでしょうか？
∃y (y ∈ φ × φ ∧ (x, y) ∈ Γ_Δ ∧ (y, z) ∈ Γ_(0 × ξ) )
は
x, z についての条件ですね。
は、
∃y (y ∈ φ ∧ (x, y) ∈ φ ∧ (y, z) ∈ φ )
で、
∃y (y ∈ φ)
∃y ((x, y) ∈ φ)
∃y ((y, z) ∈ φ )
はすべて偽ですね。
=
{(x, z) | (x, z) ∈ φ × (X × 2^X) ∧ ∃y ∈ φ × φ ( (x, y) ∈ Γ_Δ ∧ (y, z) ∈ Γ_(0 × ξ) )}
=
{(x, z) | (x, z) ∈ φ ∧ ∃y (y ∈ φ) ∧ ∃y ((x, y) ∈ φ) ∧ ∃y ((y, z) ∈ φ)}
Γf={(x,y)∈X×Y|y=f(x)}
Γg={(y,z)∈Y×Z|z=g(y)}
としたとき
(X×Γg)∩(Γf×Z)⊂X×Y×Z
を
π:X×Y×Z-> X×Z
で落とした像が
Γgf=π ((X×Γg)∩(Γf×Z))
となります
X=φ
のときは
f=0
Γf=φ
(X×Γg)∩(Γf×Z)=φ
より
Γgf=φ
gf=0
となりますので
空集合からの写像は必ず存在ししかも0しかないわけですので考えやすいのです
このことを空集合はinitialだとも言います
．．．．．．。
それ以外言えなくなっちゃったんですね
どれほど知能が低いのでしょうか
もう少し述語論理がどういうものかを勉強したほうがいい。
あなたが、ということですよね？
今でのレスの流れ無視してるの？
今までのレスの流れ無視してるの？
あなたが無視してるということですね？
稚拙なトリックだな。
ではあなたの意見をお願いします
もう一度
「レスの流れ無視してるの？」「稚拙なトリックだな。」だってさｗｗｗ
＞劣等感婆の相手して何が面白い？
述語論理を「ある、や、全て、を表現する論理全般」としている理由を知りたくてね。
＞荒らしはスルーしろ、他の人の迷惑だ。勉強したければ自分でやれ
は？もしかしてお前もそう信じているのか？
古典論理における述語論理しか知らないからわからないんでしょうねー
少なくともこの件に関してはアホはおまえだけだぞ
バカはすっこんどれや？
．．．．．．。
述語論理では言明は主語と述語に分解されているんだよ。
∀xP(x)=P(x1)∧P(x2)∧P(x3)∧…
でしょ？もちろんx1x2x3…xnのように有限で済まないから全称記号を使うんだけど
P(x)のxとして考えうるものって原理的にはすべての数学概念だし
実質的にもどんな多くの無限でもあり得るところを
実際書き出すことが出来ないのを``有限の立場''って言って良いものか
実数の濃度がアレフ2だってことで
実数にはアレフ1の部分集合があるってことだけど
具体的に``これがそれ''って書き出せないんだよな
それでも述語論理でその集合を使うことに問題はないとされるわけだけど
ホントにそれでいいの？
すみません、数理論理のちゃんとした言葉で話していただけますか？
曖昧なことしか知らないなら、やめてくださいね
>>367
実際に書き出すことは不可能でも、書き出す手順が具体的に記述できるならば、それは有限の立場だと言えます
もっと抽象化すれば、自然数との対応が取れれば良いのです
立場の問題になるでしょうね
ストイックに行くならば、そのような集合は扱わないということになるでしょう
対象となる集合はどれだけ大きくても構わない、として、証明を記述する際においてのみ有限の立場を取る、とすれば実数を扱うことができかつ有限の立場を取ることもできるでしょうね
無限個の互いに異なる対象を構成することは不可能。
自然数は有限個なんですかねw
>>369 が正答してんだから馬鹿言うんじゃねーよ
数学的帰納法の必要性を論じろ。
メタな意味では数学的帰納法は認められていますから、自然数論を形式化したいならば、数学的帰納法も形式化しておく必要があります
可能無限て知ってるか？
前後の文脈による、と言っているのを理解して欲しい。
知ってます
>>381
>>272のならばは、命題論理でも述語論理でもないメタな意味での記述です
知ったかぶりはいい加減にしましょうよ、もう
知ったかぶりをしているのはオマエｗ
メタの概念がわからない人に言われたくはないですねー
おまいさん、多勢に無勢だな
X = { { } }
2^X = { { }, { { } } }
X ∩ 2^X = { { } } ≠ { }
確かに例になっていますね。
もっと「普通の」集合 X で例はないでしょうか？
明らかに X が有限集合のときには
X ∩ 2^X = φ
ですから、 X は無限集合になるかと思いますが。
X = { { } }
は有限集合ですね。
>>388
の質問をしたかというと、斎藤毅著『集合と位相』に、以下の記述があったからです：
「X ∩ 2^X ≠ φ のときは、 X の部分集合 A が、 X の元であることもありうる。
この場合には、記号 f(A) の意味は A を X の部分集合と考えるか X の元と
考えるかで違うので、気をつける必要がある。」
↑こんな風に書くということは、そういう X が数学において頻繁に現れるということ
ですよね？めったに現れないならば、こんなことを注意する必要はないはずだから
です。
≠ではなく＝だと思ってました
そんなの当たり前ですよね
2^XにはX自身が含まれるんですから
2^X の要素はすべて集合ですから、
X ∩ 2^X ≠ φ ならば、X は少なくとも１つの集合を要素に持ちます
「普通の」集合とは何を指しているかわかりませんが、集合論で集合を集合の要素にすることは珍しくありません
普通の数学で自然に登場するそのような X の例を挙げてください。
あなたが集合論をまるで理解していないことがわかりました
これ以上の説明は無意味と考えます
普通の数学では代数的・位相的構造にだけ注目して、それをどうやって構成したかを意図的に忘れるようにしているので、
X ∩ 2^X ≠ φであるかどうかを気にせずに済んでいるだけ
実際はX ∩ 2^X ≠ φであることは特別なことではない
X=
普通の数学では代数的・位相的構造にだけ注目して、それをどうやって構成したかを意図的に忘れるようにしているので、
X ∩ 2^X ≠ φであるかどうかを気にせずに済んでいるだけ
実際はX ∩ 2^X ≠ φであることは特別なことではない
例えばX＝ω（最も標準的な自然数全体のモデル）が該当する
{0,1,2,…n}＝n+1∈X ∩ 2^X
2^ω ∋{0, 1, 2, …, n} = n + 1 ∈ ω
ということですね。
ところで、
「記号 f(A) の意味は A を X の部分集合と考えるか X の元と考えるかで違うので、気をつける必要がある。」
と書いていますが、 X ∩ 2^X ≠ φ であるような状況では、誰でも、言われなくても自然に気をつけるのでは
ないでしょうか？
この注意が必要であるとは思えません。
「X ∩ 2^X ≠ φ のときは」などとさらっと書かれているのを見たとき、
そんな X は存在するのだろうか？と思うのではないでしょうか？
斎藤毅さんの『集合と位相』の演習問題は非常に簡単なものが多いです。
そんな本に「X ∩ 2^X ≠ φ のときは」などとさらっと書くのはバランスが
悪いのではないでしょうか？
言いようがないですね。
いないのではないでしょうか？
もし、いないとするとこの必要のない注意は単なる斎藤毅さんの自己満足ですね。
n={0,1,.,.n-1}って構成だとn∩2^n=n-1よ
この場合には、記号 f(A) の意味は A を X の部分集合と考えるか X の元と
考えるかで違うので、気をつける必要がある。」
と書いていますが、本当は、
「X ∩ 2^X ≠ φ のときは、 X の部分集合 A が、 X の元であることもありうる。
この場合には、記号 f(A) の意味は A を X の部分集合と考えるか X の元と
考えるかで違う。ちょっと面白い話でしょ？」
ということではないでしょうか？ 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:0be15ced7fbdb9fdb4d0ce1929c1b82f)
じゃないですか？
n ∩2^n = n
じゃないですか？
違う
∀n ∈ N - {0} に対して、
n ∩ 2^n = n ≠ φ
ですね。
1 ∩ 2^1 = { φ } ∩ { φ, { φ } } = { φ } = 1
2^n={φ,{0},...,{n-1},....,{0,1,...,n-2},....,{0,1,...,n-1}}={0,1,....,n}⊃n+1⊃n
f : X → Y
∀i ∈ I(A_i ⊂ X)
とする。
f(∪_{i ∈ I} A_i) = ∪_{i ∈ I} f(A_i)
を証明せよ。
斎藤毅さんは以下のように証明しています。
非常に奇妙な証明ではないでしょうか？
こんな解答を書く人は稀ではないでしょうか？
こんな奇妙な証明を書いた意図は何でしょうか？
「y ∈ Y に対し、 y ∈ f(∪ A_i) は、 f^(-1)(y) ∩ ∪ A_i ≠ φ
と同値である。 f^(-1)(y) ∩ ∪ A_i = ∪ (f^(-1)(y) ∩ A_i) だから、これは、
f^(-1)(y) ∩ A_i ≠ φ となる i ∈ I が存在することと同値であり、 y ∈ f(A_i)
となる i ∈ I が存在することとも同値である。これはさらに y ∈ ∪_{i ∈ I} f(A_i)
と同値だから、 f(∪_{i ∈ I} A_i) = ∪_{i ∈ I} f(A_i) が示された。」
y ∈ f(∪_{i ∈ I} A_i)
⇔
∃x(x ∈ ∪_{i ∈ I} A_i ∧ f(x) = y)
⇔
∃x, ∃i(x ∈ A_i ∧ f(x) = y)
⇔
∃i, ∃x(x ∈ A_i ∧ f(x) = y)
⇔
∃i(y ∈ f(A_i))
⇔
y ∈ ∪_{i ∈ I} f(A_i)
その証明もふつー
「R ⊂ X × Y とする。 A ⊂ X に対して、
R | A = { (x, y) : ∃x ∈ A (x, y) ∈ R }
を( R の） A への制限（restriction）とよぶ。」
などと書かれていますが、ナンセンスですよね。
正しくは、
R | A = { (x, y) : x ∈ A ∧ (x, y) ∈ R }
ですよね。
第1章ですが、クリアじゃないですね。
「命題関数 F(x) を < x は F である> と読むとすれば、 F( ) は <…は F である>という部分に相当します。」
意味不明です。
己の読解力の無さを著者に転嫁するのはやめよう
>「命題関数 F(x) を < x は F である> と読むとすれば、 F( ) は <…は F である>という部分に相当します。」
その通りよ
「F である」の F とは一体何でしょうか？
F(x) が 「x は正の実数である」の場合 F は何になるのでしょうか？
<…は F である>
は、おそらく
<…は正の実数である>
になるということが言いたいのだとは推測しますが、前原さんの説明は
全く意味不明です。
F とは何でしょうか？
命題関数p(x)は「xは命題pを満たす」「命題pを満たすx」と読むのが普通だし教科書に書かれてるというか、まさにその本に書かれてある通りなんだが
条件もしくは述語Pを満たす、はまだわかりますが、命題Pを満たす、はありえない表現です
述語と命題の区別もつかないような人が数理論理を語るべきではありません
対象によって変わる命題が述語だって言いたいのが>>424だろう
別にふつーのことよ
>になるということが言いたいのだとは推測しますが、前原さんの説明は
>全く意味不明です。
推察できればいいでしょ
説明はごくふつー
そうだとしても、命題pを満たす、という言い方はしません
そうして出来た命題の真偽や証明可能性については何も言ってない。
命題を満たすという表現はどう考えても命題と述語を混同してるわな。
割とするけどな
レベルの低い人たちはするのかもしれませんね
イヤ普通に
だから、レベルの低い人の普通なんでしょうね
P(x)でP()のことを云々するより
P(x)の成立するxについて話するのがほとんどだから
つまり
xはP(x)を成立させる特定のxをイメージ
λx. P(x)は命題関数だけどP(x)は命題ってイメージ
反論も出来なくなりましたか
おやおやｗ
図星というところなんでしょう
第2章ですが、この章もクリアではないですね。
定義がちゃんと書いてありません。
例に頼りすぎています。
君のハイレベルな学歴を是非伺っておきたい
証拠つきで
ある無矛盾な公理系τの任意のモデルに対してある論理式φが常に真となるならば、τからφがLKにおいて証明可能となることを示せ
私はこれがわかります
もう止めたら？
http://leia.5ch.net/test/read.cgi/poverty/1519308757/
証明図に書く
[ ]
という記号の定義は何ですか？
前原さんは、この場合は、こういう意味というような説明しかしていません。
どのように用いられていますか？
まあ特に意味はないんだと思いますけど
[ ]
という記号は一般的ではないということですか？
じゃないですかね多分
[A]
B
--------------
A → B
みたいな感じで使われています。
∨ 除去：
A ∨ B C C
----------------------------
C
の二つ並んだ C の上にも [A] [B] と書かれています。
仮定をまとめているのではないでしょうか？
[A]
B
--------------
A → B
[A] と書きましたのは、 B を導く演繹に用いられている仮定のうちの A という仮定は、 A → B を
導く演繹に対して除いて考えよ、ということであります。
と書いてあります。
A → B が成り立つということでしょうか？
小野寛晰著『情報科学における論理』のほうがいいですかね？
とりあえずその説明は無視して、A,Bは仮定である、と考えれば良いかと思います
Cが成り立つのであれば、仮定Aを用いてA→Cを導いても良い
A∨B⊂Cという推論が成り立つのてあれば、A,Bを仮定すればCを導いても良い
私もその本ちょっとだけ読んだ気がするんですけど、難しくてよくわからなかった記憶がありますね
ありがとうございます。
前原さんの本はやめて、小野寛晰さんの本を読もうと思います。
この形式の証明図の変形を記述する記法です
仮定を結論の前提に組み入れることを表してる
上に前提を置き、下に結論を置く。推論規則にしたがって前提を加えたり消去したり、結果、すべての前提が消去されたとき、下に残った結論は前提なしに真といえる
論理和∨の消去則によって A├C と B├C から (A∨B)├C を導くことができるが、
この過程は前提 A と前提 B の代わりに前提 A∨B をもって結論 C を導くことなので、前提 A∨B を線の上に置き、それまで線の上方にあった前提 A と前提 B を消去して線の下に結論 C を置く
含意→導入則は A├B から ├(A→B) を導く
前提 A とその結論 B から、前提なしに結論 A→B を導くのだからそれまであった前提 A は消去してよい
推論法則は「式ＡとＡ→Ｂが真ならばＢも真」という事をお忘れなく。
>>462
仮定をカギ括弧で囲むことについての質問ですよ
推論規則の操作は、命題や述語の真偽値を仮定せずに推論を進めるもの。「Ａが真」ではなくあくまで「Ａ」
真理値を仮定しないところから「直感主義論理」のような一見すると直感に反するような論理学も出てくる
A, A→B├B で表される推論規則は含意→消去則といい、AとA→Bの２つの前提からBを結論とできるというもの
書き方はなんでもいいのよ
板書では横線で消し込んだりしてましたからね
＞[A] と書きましたのは、 B を導く演繹に用いられている仮定のうちの A という仮定は、 A → B を
＞導く演繹に対して除いて考えよ、ということであります。
この文を素直に読めば、「A → B を導いたときに除くべき仮定が A である」と言っているのは明らかじゃないですかね
なんですかそれは
>>470
なんか日本語としておかしくないですか
私よくわからないんですけど
だから証明図の変形に関する記法だってばさ
>>470とかは仮定を除くとか書いてますけど？
最初の真なる式（公理） から 新しい真なる式が証明される
「基本的な命題を記号化、形式化したものとして命題変数を定義する。
ここで「基本的な命題」という言葉の意味は、複文に対する単文の
ようにこれ以上分解することのできない文の最小単位ということである。」
などと書かれています。
これ以上分解することができない文の最小単位というのが分かりません。
なんかいきなりいい加減な感じの書きっぷりで戸惑っています。
演習問題でもやってみるといい
たとえば（¬Ｐ∨¬Ｑ）→¬（Ｐ∧Ｑ）の証明
使う規則は以下。横位置ずれてたらスマン
［Ａ］［Ｂ］
Ｃ Ｃ Ａ∨Ｂ
──────────∨消去
Ｃ
Ａ∧Ｂ
───∧消去
Ａ
Ａ∧Ｂ
───∧消去
Ｂ
［Ａ］
Ｂ
─── →導入
Ａ→Ｂ
［Ｂ］
Ａ ¬Ａ
───── 背理法
¬Ｂ
あくまでイメージですからそんなもんなのかーというくらいで流してしまって構わないでしょう
まず真なる式が定義される（公理）。これらから新しい真なる式を得る法則が定義される（推論法則）。それらが与えられて「真なる式」が定義される。
気持ちとしてそうだという程度の話で厳密な話ではないと考えて良いですか？
恒真式。
公理は恒真式なんですか？
そうです。
そ
それで結論がA->Bに変わるでしょ
公理とはA→Aのことですか？
>>484
>>461
＞仮定を結論の前提に組み入れることを表してる
これはなんですか？
Ａ→（Ｂ→Ａ）
（Ａ→（Ｂ→Ｃ））→（（Ａ→Ｂ）→（Ａ→Ｃ））
Ａ∧Ｂ→Ａ
Ａ∧Ｂ→Ｂ
（Ａ→Ｂ）→（（Ａ→Ｃ）→（Ａ→Ｂ∧Ｃ））
Ａ→Ａ∨Ｂ
Ｂ→Ａ∨Ｂ
（Ａ→Ｃ）→（（Ｂ→Ｃ）→（Ａ∨Ｂ→Ｃ））
（Ａ→Ｂ）→（¬Ｂ→¬Ａ）
Ａ→¬¬Ａ
¬¬Ａ→Ａ
ヒルベルトの流儀なんでしょうか
＞ヒルベルトの流儀なんでしょうか
まぁ無矛盾である事が証明されていますのでね。
開示請求してみていい？
>これはなんですか？
前原さんの本に詳しく書かれてますよ
ありがとうございました。
>>478
流すことにします。ありがとうございました。
「S ⊂ X が R に関する完全代表系ならば、商写像の制限 q | S : S → X / R
によって S と X / R を同一視することができる。しかし、包含写像 S → X は
X への写像であるのに対し、商写像 q : X → X / R は X からの写像だから、
完全代表系で商集合を代用するのは、よい方法とはいえない。 」
と書かれています。
何が言いたいのか分からないので、解説をお願いします。
この流儀だと公理はなくてそれを担うのが推論規則
推論規則を2つにして後全部公理化してもいいけど
全部推論規則にした方が対称性もあって美しい感じ
>ヒルベルトの流儀
¬と→しかなくて公理は3つだけよ
「x, y ∈ R^2 に対し x - y ∈ Z^2 で定まる R^2 の同値関係 R による商集合を、 R^2 / Z^2 で表わす。
R^4 の部分集合 T^2 を、 T^2 = {(x, y, u, v) ∈ R^4 | x^2 + y^2 = u^2 + v^2 = 1} で定める。
写像 f : R^2 → R^4 を、 f(s, t) = (cos(2*π*s), sin(2*π*s), cos(2*π*t), sin(2*π*t))
で定める。 f の標準分解は可逆写像 R^2 / Z^2 → T^2 を定めることを示せ。」
f の標準分解は可逆写像 R^2 / Z^2 → T^2 を定めることは明らかだと思いますが、
解答はどのようになるのでしょうか？
以下の解答ではダメですか？
f(R^2) = T^2
f が定める同値関係は明らかに、 R と等しい。
よって、 f の標準分解は、
R^2 → R^2 / Z^2 → T^2 → R^4
となる。
仮定を除くのか追加するのかどっちなんですか？
正しいことは分かるのですが、なぜそのような解答なのかが分かりません。
非常に回りくどい感じがします。
自分が知っている一般的な方法論を、ある特定の問題に適用するとこうなる
という解答を書いているから正しいことは分かるが意味不明ということになる
のではないかと推測します。
なぜそう書いたのかが分からない
という場合に似ていると思います。
そのような解答はいかがなものでしょうか？
リーマン計量gを局所的に成分で表示するとき、開集合U上の正規直交枠をとることから始めればU上で標準的な表示ができる(つまりテンソルgの成分がクロネッカーのδで書ける)けど、
まず座標からスタートしたらその座標方向の微分作用素がU上で正規直交になるようには必ずしも出来ないからU上でgを標準的に表示することが出来ず、正規座標を取ることにより一点でのみそういう表示ができる
っていう認識だけど合ってますか？
ちゃんと読んでないね
仮定を削除して前提に加える
>そのような解答はいかがなものでしょうか？
それが当たり前になるように勉強するよろし
前提とはなんですか？
？
A・A^(-1) = I
A・A^(-1) = - I
X A^(n) X^(-1) = I
X A^(n) X^(-1) = - I
どれかに当てはまればおｋ？
知とは対称性または可換性を得るためのツール
相手に対称性を推定させるためのツールではない
それは自己愛のツール
ディープマイニングは大量のデータから対称性を得るツール
A＾(n) B = B
になるでいいの？
自己愛は非対称性が大好きだし、自分も非対称
更に面白いことは、両者の間にはどうも作用が起こるらしいこと
つまり異なる対称性の相互で物理的な力が働くらしいことである
AB＝BA
B^(-1)AB = A
A^(n)B = BA^(n)
B^(-1)A^(n)B = A^(n) = A
は、可換かつ対称であることになるの？
nが変わると対称性が変わる
この世の中はいろんなｎの集合体
どうなってるのかはマルチフラクタル解析でわかる
ｎが違うから量子力学を人間の世界には当てはめられない
スケール普遍性が成り立っていないのに無視するイミフな科学者多すぎ
系に存在する次元数はその系の自己裁定能力を示している
それは対称性の分布と関係があるかもしれない
計算量の対称性の問題
こうかな
∧除去を使って
P∧Q
----
P
背理法を使って仮定P∧Qを消去
[P∧Q]
P ¬P
--------
¬(P∧Q)
同様にして
[P∧Q]
Q ¬Q
-------
¬(P∧Q)
∨除去で仮定¬Pと¬Qを消去
[¬P] [¬Q]
¬(P∧Q) ¬(P∧Q) ¬P∨¬Q
----------------------------
¬(P∧Q)
→追加で仮定¬P∨¬Qを消去
[¬P∨¬Q]
¬(P∧Q)
--------
(¬P∨¬Q)→¬(P∧Q)
前半は開集合Uが平坦という前提が必要だね
それ以外は合ってる
Uが平坦っていうのはgから定まるリーマン曲率がU上恒等的に0ってことですか？
別にそうでなくても接続とか考える以前にU上でグラムシュミットの直交化で正規直交フレーム得てそれで表示すればいいと思ったのだけど
これと同じ感じで(小林昭七の曲面論)
https://i.imgur.com/5YXitHt.jpg
まあ開集合って言ったけど必要に応じて十分小さくして単連結領域として良いというこで
あなたの中ではR^3の中の任意の曲面は平坦なのですか？
Let L/K be a Galois extension with Galois group Gal(L/K).
Let R⊂ L be a subring such that r(R) = R for all σ∈Gal(L/K).
Then the minimal polynomial (over K) of any element of R has coefficients in R∩K.
PROOF. Let a ∈ R. Let H := {σ ∈ Gal(L/K) ｜ σ(a) = a}. The element a
has s := #(Gal(L/K)/H) distinct conjugates in L, say a i , . . . , a s .
と続いていくのですが、なぜaの相異なる共役の数が上で定義したｓになるのかがわかりません
ガロアの基本定理の中間体に関する部分をK(a)に適用させればいいのかと考えています
具体的には
Gal(K(a)/K)≅Gal(L/K)/{K(a)において動かないようなK準同型｝
=Gal(L/K)/{σ(a)=aなるK準同型｝
これを使うには「K(a)/K がガロア拡大」を言う必要があると思うのですが、そこがわかりません
方針があっているか、また最後の「。。。」についてわかる方教えてください
よろしくお願いします
ガロア理論以前の話
解決しました
的確な指摘ありがとうございました
ちなみにですが、僕の書いた方針でうまくいくのでしょうか？
作用を考えた方が圧倒的にシンプルですが
では質問を変えます
R^3内の球面S^2を考え、そこから北極を取り除いた曲面をMとする
立体射影を考えれば、この球面はR^2を定義域としてパラメータ付けできる
この曲面MからR^3への包含写像を考え、その写像によりR^3のユークリッド計量を引き戻し、Mに計量gを定める
Mにgより定まるLevi-Chivita接続∇を入れる
さて、このMは単連結領域R^2と微分同相なのでM上の正規直交枠を取れるわけだが、このMの∇に関する曲率は0であるか？
もちろん、答えは0ではない
自然数に関する定理2.2の証明で分からないところがあります。
A ∩ N(m) が有限集合であることはどうやって証明するのでしょうか？
「m ∈ N に対して N(m) = {n ∈ N | n < m} と置く。集合 A から N(m) の
上への一対一写像（全単射（附録1））が存在するとき、 A は m 個の元を
持つという。ある m ∈ N に対し m 個の元を持つ集合を総称して有限集合という。
(2.4)
N の任意の有限部分集合 A ≠ φ は、最小限 min A を持つ。
定理2.2
N の空でない任意の部分集合 A は、最小元 min A を持つ。
証明
m ∈ A を取る。 A ∩ N(m) = φ ならば、 m = min A である。
A ∩ N(m) ≠ φ ならば、(2.4)により min (A ∩ N(m)) = n があり、 n = min A である。」
(注意)
Mの計量gをR^2への微分同相写像による引き戻しで定めればMは平坦なのだが、今はR^3への包含写像による引き戻しを考えている
この場合Mの曲率は球面の曲率と一致する
最初の質問>>504を読んでくれ
リーマン計量は初めから与えられている
>>522が言う「Uが平坦」という条件は、最初に与えられたリーマン計量のリーマン接続について平坦でないといけないということを意味する(でないと意味不明)
>>529の例は平坦でなくても正規直交枠取れるよねってこと
もし>>522が言うことが、U上でのみ別の計量を考えそれについてUが平坦だと言いたいのであってもそれも意味不明
任意の座標近傍はユークリッド空間の開集合と微分同相なのだから、そのユークリッド計量を引き戻して局所的な計量を定めればそりゃ平坦になる
つまり全く意味のない主張になる
この本では、まず、実数を定義する公理が17個与えられています。
自然数は、 「R のすべての継承的部分集合に含まれる実数」として定義されています。
なぜ、 1 を有限回足した結果の実数を自然数と定義していないのでしょうか？
注意しよう
N(m) の部分集合が有限集合であることを証明してください。
問題について質問です。
以下の問題のロ）の仮定が分かりません。
n ∈ A のとき、 m は A の最小数ですから、 n ≧ m は当然成り立つはずです。
なぜ、ロ）を
ロ） n ∈ A ⇒ n + 1 ∈ A
と書かなかったのでしょうか？
「
N ∋ m ≧ 1 とする。
A ⊂ N が、
イ） m は A の最小数、
ロ） n ∈ A, n ≧ m ⇒ n + 1 ∈ A
をみたすとき、
A = {n ∈ N | n ≧ m} であることを証明せよ。
」
繰り返さないのですから、円周率みたいなものでしょうか？
問題について質問です。
「n が自然数ならば n < k < n + 1 となる自然数 k は存在しないことを証明せよ。」
ヒントとして、「A = { 0 } ∪ { n ∈ N | n ≧ 1 } は継承的」と書かれています。
意味不明です。解答をお願いします。
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12103362447
lim n = +∞
と
lim 2^n = +∞
が同値だという記述があります。
これはなぜですか？
どうやって示すのでしょうか？
(n)_{n ∈ N} は単調増加列だから
lim 2^n = +∞
から
lim n = +∞
が導かれる。
自然数の定義はありますが、自然数のいろいろと重要な性質を
書いていませんね。
たとえば、
n ∈ N ⇒ n ≧ 0
ということを書いていないにもかかわらず、使っています。
{x ∈ R | x ≧ 0} が継承的であることから
n ∈ N ⇒ n ≧ 0
であることが分かりますが、やはりこのような基本的な性質は列挙すべきであった
のではないでしょうか？
2^nを定義した時点でそれが自然数ということは当然了解されているはずだろう
あ、勘違いしていました。
任意の実数 M に対して、
n ≧ n0 ⇒ 2^n > M
となるような n0 が存在する。
2^n0 ∈ N
であり、
n ≧ 2^n0 ⇒ n ≧ 2^n0 > M
よって、
lim n = +∞
ということですね。
田中一之・鈴木登志雄著『数学のロジックと集合論』に理由が書いてありました。
「1 を自然数回足した結果の実数を自然数という」
という定義は、循環論法になってしまうためダメなんですね。
それは少々おかしな議論ですね
「1 を自然数回足した結果の実数を自然数という」
最初の自然数は、メタな記述です
それに対して、後の自然数は対象を指しています
数理論理的にはこうなるでしょうね
メタな記述すら認めないとなれば、数学において何も記述することなどできないでしょう
その方法で定義した自然数モドキは数学的帰納法を満たすことを証明できない
証明する必要なんてないですよね
メタに明らかです
実数の十進小数展開についてですが、杉浦さんの記述はおかしくないですか？
「
定理3.9
任意の実数 x に対し、
a_n = [x] + x_1 / 10 + x_2 / 10^2 + … + x_n / 10^n,
0 ≦ x_i ≦ 9,
x_i ∈ N
の形の有理数列 (a_n)_{n ∈ N} で x に収束するものが存在する。
…
このような実数 x を、
x = [x]. . x_1 x_2 x_3 …
で表わす。
」
x が負の実数のとき、例えば、 -π のとき、
x = -4.8584
などと表示しないですよね。
任意の実数ではなく、0 以上の実数について10進小数展開を定義し、
x が負の実数のときには、 -x の10進小数展開をまず求め、
その先頭にマイナス記号をつけたものが x の10進小数表示ですよね。
中途半端な知識でテキトー言わないように
「Nの任意の部分集合」をメタレベルで表現できないので、
「理論内部の自然数が完全な形の数学的帰納法を満たすこと」はメタレベルの自然数からは明らかでない
メタに明らかだから公理に付け加えればいいですね
言葉が足りませんでした
>>556
＞「Nの任意の部分集合」をメタレベルで表現できないので、
Nの任意の部分集合、はメタな表現だと思いますけど？
根本的にやり直せ
劣等感婆を煽るつもりが逆に恥かかされて、今と同じ状況
私はその人に集られてた側ですけど？
日本語で書かれている以上、形式的言語で書かれた形式的記述ではないんですから、明らかにメタですよね
メタってなんだかわかりますか？
あのなあ…
「Nの任意の部分集合」と言ったら
∀x(x⊂N→ … )
という論理式のことに決まってるだろ
おまえの自然数モドキ達をnで表すとしても
∀n(n⊂N→ … )
という論理式を表すための言語がないし、
（有限個の文字による）自然数モドキの定義がない、したがって「自然数モドキ全体の集合」を定義することもできず、
新たに言語を追加しても意味がない
何を言っているのか理解できませんね
私は、あなたがペアノの公理とかは認めないという立場なのかと思ったわけです
ペアノ算術において、自然数とは0およびsuc(*)で定義されていますね
あなたはこれを認めないんですか？認めるんですか？
まずそこからお願いします
それを公理に付け加えるということは、自然数に関する全ての真なる命題を公理に付け加えるのと同じなので、あまりにも馬鹿げてる
それと、>>557の「メタに明らかだから公理に付け加えればいい」というやつな
それを公理に付け加えるということは、
「メタレベルで真と考えられる自然数に関する全ての命題」を
形式的体系の公理に付け加えるのと同じなので、あまりにも馬鹿げてる
数学的帰納法を仮定しない自然数論の例を教えてください
私は知りません
おまえは「メタレベルの数学的帰納法」と「理論内部でこれから証明されるべき数学的帰納法」の区別が付いてない
自然数モドキは元々理論内部の言語にないので、
自然数モドキに関する数学的帰納法を理論内部の公理に追加しようとするなら、
まず自然数モドキ全体の集合が定義されなければならない
さあ、有限個の文字数で定義してみなさい
意味不明です
これに答えてください
たとえば、ペアノ算術において定義される自然数は理論内部の言語に含まれてるんですか？
>>570の質問もそうだが、どのレベルのペアノ算術なのか区別できていないのも全く同じ問題
数学的帰納法が証明されるべきもの、としているのが理解できないんですよ
証明なんてできませんから、普通の自然数論では
あなたの言ってることも全体的によくわからないですね
自然数が言語に含まれないってどういうことですか？
理論内部の数学的帰納法は単なる論理式の一つだ
杉浦の解析入門にあるように、集合論では証明可能な論理式
理論内部の自然数はある特定の集合Nの元のことだ
そのため∀x(x⊂N→ … )という論理式で任意の自然数について語ることができる
自然数モドキではこれができない
そのため∀x(x⊂N→ … )という論理式でNの任意の部分集合について語ることができる
どのように証明するんですか？
このレスに回答がない場合、あなたは知ったかぶりをして逃げたのだと判断します
自然数 N の部分集合 A が空でないとき、A に属する最小の自然数が存在する。
これを「仮定」することにより、数学的帰納法を証明できる
確かに私の勉強不足は認めますが、これはあなたのいうメタに真な命題、と何が違うんですか？
集合論でωを最小の推移的集合と定義するときと同じ
杉浦ではRの特定の部分集合で定義してあるはず
全く見当違い
整列集合は関係ないし、実数体Rの存在以外に新たに何かを仮定する必要はない
0を含み、+1の操作で閉じたRの部分集合のうち、最小のものをNとすれば、これが数学的帰納法の原理を満たす
集合論で最小の推移的集合ωを考えるときと同じ
非負実数全体は0を含み、+1の操作で閉じているから、無限公理（推移的集合が少なくとも一つ存在する）に相当する条件は自明に成り立つ
実数はどうやって構成するんですか？
ペアノ算術以外の構成方法もあるんですね
わかりました
でもペアノ算術においては数学的帰納法を公理として付け加えるのが一般的です
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この度、高木先生の「代数学講義」を頂いたのですがこの本に予備知識はどの程度必要ですか？
当方、高校卒業程度の知識しかもっていません。
行列に関しては課程に含められていないため、その方面の知識が皆無であることに留意してお願いいたします。
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読んでみて分からなくなったら調べたら良いんじゃないの？
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「球面は一つの座標系で空間のすべての点を表示できません。」
みたいな記述を目にするのですが、地球上の任意の地点は経度緯度で表わせるのでひとつの座標系で事足りるように思えるのですがどこが間違ってるのでしょうか？
よろしくお願いします。
南極点の経度は？
1対1にってことでしょうな
>>983
なーるほどたしかに北極南極を考慮すゆと1対1で表現できませんな
ありがとうございました！
もう終わりか？(笑)
そうします。ありがとうございました。
0点
メタレベルと対象レベルの区別が付いていない
知識不足なんてかわいい失敗ではなく、おまえのは完全にトンデモの所業
ペアノ算術も学んでみましょうねー
私が勉強不足だったように、あなたもペアノ算術は知らないようですね
>>550-551で定義した自然数モドキには理論内部で量化子を適用できないので、数学的帰納法の原理を記述することすらできない
もちろん今は解析学を視野に入れているのでこの限りではない
非可算個ある自然数の集合を網羅しなければ、完全な形の数学的帰納法とは呼べない
おまえの誤解は不完全性定理のトンデモ解釈に典型的な症例と同根なのかもしれない
ペアノ算術知らないんですか？
余談だが、ω無矛盾な一階の算術なら量化子を使わずに数学的帰納法は表現できる
ペアノ算術を知らないようですね
新しいスレッドを立ててください。
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