φ(0), φ(1), φ(2), ....,,, が全て個々に証明可能だとしても
∀n φ(n)が証明可能だとは限らない。
(例えばφ(n)を、nは矛盾の証明のゲーデル数ではない、
などとすればその例になる。)
∀n φ(n)を証明するには、φ(x)をxの値によらない
“一様な”方法で示してから全称量化しないといけない。
だから上に書いてある議論はおかしい。
busy beaver関数が計算可能じゃないのは、
実際には停止しない或るチューリングマシンTについて、
その非停止性が証明できないからだよ。
だからPeano算術なり何なりのベースの理論に
このTがm stepで停止する、という公理を付け加えると
ノンスタンダードな理論になる。
この理論のモデルの中では、Tが或る超準自然数mについて
m stepで停止するように見えている。