人工知能とかではなく日々の動機付けに利用する予定です
ベイズの統計学を学び始めたんだけど
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人工知能とかではなく日々の動機付けに利用する予定です
直感的怪答
AかCのいずれか1/2に上昇します。
ベイズ改訂で1/3から1/2になります。
模範解答
もともと3人だし、1/3のままである。
ワシの主観的快答
Aの恩赦確率は1ぢゃ。
快説しよう
看守は、
「Bは死刑」と言ったが、
「Aは死刑」とは言ってないし、
「Cは恩赦」とも言ってない。
ぢゃから、おそらく絶対100%、
B=死刑 、A=恩赦、 C=死刑ぢゃ。
証明オワリぢゃ
死刑と恩赦が隣り合っているシュレティンガーな状態が正解
ある監獄にA、B、Cという3人の囚人がいます
3人のうちランダムに選ばれた1人に恩赦が出ます
誰が恩赦になるかは看守は答えない
囚人Aに看守が「Bは死刑になる」と教えてくれます
この時、看守は嘘は言いません
囚人Aに恩赦が与えられる確率は何％でしょうか？
「Cは恩赦」と言わない≠Cが死刑
恩赦(onsha)を受けるをo,死刑執行されると告(tsuge)げられるをtで表す。
Aが恩赦を受ける確率P(A=o)=1/3
Bが恩赦を受ける確率P(B=o)=1/3
Cが恩赦を受ける確率P(C=o)=1/3
求めたいのは、Bが死刑執行されると告げられた後のAが恩赦を受ける確率P(A=o|B=t)である。
ベイズの公式により
P(A=o|B=t) = P(B=t|A=o)*P(A=o) / P(B=t)
P(B=t) = P(B=t|A=o)*P(A=o) + P(B=t|B=o)*P(B=o) + P(B=t|C=o)*P(C=o)
P(B=t|B=o)=0 Bが恩赦を受けるときBが死刑執行されると告げられる確率=0
P(B=t|C=o)=1 CBが恩赦を受けるときBが死刑執行されると告げられる確率=1
問題は P(B=t|A=o)
恩赦を受けるのがAであるときに看守がCではなくBが死刑執行されると告げる確率は示されていない。
この確率をｐとすると
P(A=o|B=t)は p/(p+1)となる。
もちろんp=0.5であれば、P(A=o|B=t)=1/3と看守に告げられる前と同じである。
ここでｐが一様分布からさまざなβ分布に従うとするとどうなるか、グラフにしてみた。
http://i.imgur.com/vIzIabU.png
左の緑が看守がBとCが死刑執行予定であるときにBを選んで答える確率分布。
右の青が看守がBと告げたときのAが恩赦を受ける確率の分布。
Aが恩赦を受ける確率の期待値（平均値）は
> 1-log(2)
[1] 0.3068528
となる。
p/(p+1)を [0,1]で定積分すれば求まる。
前述のJAGSでシミュレーションしたグラフに表示したもほぼ一致。
死刑囚A,B,CでAが看守に尋ねてBは死刑執行されると告げられたと設定。
恩赦(onsha)を受けるをo,死刑執行されると告(tsuge)げられるをtで表す。
Aが恩赦を受ける確率P(A=o)=1/3
Bが恩赦を受ける確率P(B=o)=1/3
Cが恩赦を受ける確率P(C=o)=1/3
求めたいのは、Bが死刑執行されると告げられた後のAが恩赦を受ける確率P(A=o|B=t)である。
ベイズの公式により
P(A=o|B=t) = P(B=t|A=o)*P(A=o) / P(B=t)
P(B=t) = P(B=t|A=o)*P(A=o) + P(B=t|B=o)*P(B=o) + P(B=t|C=o)*P(C=o)
P(B=t|B=o)=0 Bが恩赦を受けるときBが死刑執行されると告げられる確率=0
P(B=t|C=o)=1 Cが恩赦を受けるときBが死刑執行されると告げられる確率=1
問題は P(B=t|A=o)
恩赦を受けるのがAであるときに看守がCではなくBが死刑執行されると告げる確率は示されていない。
この確率をｐとすると
P(A=o|B=t)は p/(p+1)となる。
もちろんp=0.5であれば、P(A=o|B=t)=1/3と看守に告げられる前と同じである。
ここでｐが一様分布からさまざなβ分布に従うとするとどうなるか、グラフにしてみた。
http://i.imgur.com/vIzIabU.png
左の緑が看守がBとCが死刑執行予定であるときにBを選んで答える確率分布。
右の青が看守がBと告げたときのAが恩赦を受ける確率の分布。
Aが恩赦を受ける確率の期待値（平均値）は
> 1-log(2)
[1] 0.3068528
となる。
Cが恩赦を受ける確率の期待値（平均値）は
> log(2)
[1] 0.6931472
当然、Bが恩赦を受ける確率は０
看守は一人。
まあ、確率分布を何人もいたときの複数の看守意見の分布と考えてもいいけどね。
俺が高校生の頃に聞いた問題だと
本人には死刑になると教えない
という設定だった。
何も知らないとAは死刑になる確率が2/3。
B、Cのうち少なくともどちらかは死刑になるので本人じゃないAに死刑になる人を一人教えてくれと看守に頼んでBと教わった。
それでAは自分かCのどちらかが死刑になるが確率は1/2に減ったと喜んだ。
これは正しいか？
という問題だったな。
２種類の小切手があり、１つの小切手には
他方の４倍の金額が書き込まれています
中身が分からないように、それぞれ封筒に入れます
あなたは、どちらか１つの封筒を選ぶことができます
封筒を開けると１０万円の小切手が入っていました
もし不満なら、残りの封筒と交換できます
あなたは交換しますか？しませんか？
1万と100万が入っているのはそれぞれ1/2
よって、期待値は50万となるため、入れ替えが良い
>>441の有難い話が本当なら、
10万円が交換するだけで
期待値が、5倍にupぢゃ。
きっとさらに、交換すれば5倍の5倍
ぢゃから、10倍にupするハズぢゃ
スナワチ、100万円ぢゃ！
ワシなら2回交換するぞ。
100万/10万なのか10万/1万なのか、前者の確率をpとして
pの確率分布を考えるのがベイズ流だろね。
ｐの確率分布を事前分布として
B_kokan <- function(p,A=10^5,n=10)p*A*n+(1-p)*A/n
がどう変わるかみればいい。
グラフにしてみた。
http://i.imgur.com/jPAinUE.png
ベイズ統計だと
1/10
10/100
100/1000
1000/10000
はみなちがいますね
恩赦を受けるのがAであるとき（＝BとCに死刑執行されるとき）に看守が、死刑執行されるのはBであると告げる確率 P(B=t|A=o) を横軸
死刑執行されるのはBであると告げられたときに恩赦を受けるのがAである確率 P(A=o|B=t) を 縦軸に グラフにしてみる。
http://i.imgur.com/xg0Ya0V.png
看守が嘘を答える確率はｑで一定である。
但しBとCが死刑執行予定であるときどちらを答えても嘘にならないのでBと答える確率をｐとする。
この看守がBが死刑執行される予定であると答えたとき、Aが恩赦を受ける確率はいくらか？
ABCの殺人件数をa,b,c とする。
看守がBが死刑執行されると告げたときのAの恩赦の確率はどうなるか？
これでいいと思う。
p*(a/(a+b+c))/ ( p*(a/(a+b+c)) + q*(b/(a+b+c)) + (1-q)*(c/(a+b+c)) )
これだと恩赦確率が殺人件数比例になってしまうな。
考え直そう。
間違えてない気もしてきた。
ご意見募集。
P(A=o|B=t) = p*((1/a)/(1/a+1/b+1/c))/ ( p*((1/a)/(1/a+1/b+1/c)) + q*((1/b)/(1/a+1/b+1/c)) + (1-q)*((1/c)/(1/a+1/b+1/c)) )
だろな、たぶん。
p*((1/a)/(1/a+1/b+1/c))/ ( p*((1/a)/(1/a+1/b+1/c)) + q*((1/b)/(1/a+1/b+1/c)) + (1-q)*((1/c)/(1/a+1/b+1/c)) )
}
> Onsha(10,10,10,0.5,0)
[1] 0.3333333
> Onsha(10,10,10,0.5,0.3)
[1] 0.3333333
> Onsha(10,20,30,0.5,0.3)
[1] 0.5660377
恩赦確率が同じときは、看守の嘘つき確率の影響は受けないね。
つぎに６が出る確率はどうなる？
１ 低くなる
連続で６が出る可能性はひくい
２ 変わらない
６が出る確率は前に何が出たか影響を受けない
３ 高くなる
さいころがいかさまの可能性があるから
囚人A,B,Cの殺人件数を３，６，９人とする。
罪状の重さに逆比例して恩赦が受けられるという。
恩赦の受けられる確率分布はディリクレ分布に従うとして
最小母数が１となるようにして母数alphaは3,1.5,1とする。
BとCが死刑執行されるときに看守がBが死刑と答える確率は一様分布に従う
看守が嘘をつく確率も一様分布に従うとする。
JAGSのスクリプトだとこんな感じ
alpha=c(1/3,1/6,1/9)*9
modelString='
model{
abc ~ ddirch(alpha)
poa=abc[1] # probability of onsha of A
pob=abc[2] # probability of onsha of B
poc=abc[3] # probability of onsha of C
p ~ dbeta(1,1)
q ~ dbeta(1,1)
onsha= p*poa/ ( p*poa + q*pob + (1-q)*poc )
}
この条件のもとで
Aが恩赦を受ける確率分布は
http://i.imgur.com/KHbXlhe.png
となる。
まあ、殺人件数が一番少ないAが恩赦を受ける確率が
1/3から上昇したのは納得できる結果である。
こういうのがベイズ推計の面白さであるね。
誰よりも完璧な模範解答を探るべく
>>435 の pの分布 について
一様分布ではなく
f(p) = (2/3)p + 2/3 という確率分布で
p/(p+1) の期待値は1/3になるか?
自分勝手にチャレンジしかし挫折。
一応、チャレンジ内容を説明すると
A=恩赦、B=C=死刑の時の
看守が「B死刑」と告げる確率を
P(B=t|A=o) とか、簡単にpとおく
看守が「B死刑」と告げた時の
A=恩赦、B=C=死刑の確率を
P(A=o|B=t) とおく。
すると、確かに
P(A=o|B=t) = p/(p+1) となると思う。
さて、
pの確率分布 f(p) = (2/3)p + 2/3
pの範囲[0,1] で積分値は1となるが
p/(p+1) の平均(期待値)を求めたい
でも数学得意なワシぢゃが
計算が分からん。
ここでGiveUp。
事象の発生確率の予測が全くできない場合に、
全ての事象の発生確率が等しいと仮定する
p*f(p)を[0,1]で積分すれば5/9が得られる。
横着をしてWolframにやってもらって
https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral(x*(+2%2F3*x+%2B+2%2F3),0,1)
期待値は原点周りの一次モーメント。
ベイズ流にアプローチしてみた。
(1)
６の目のでる確率の分布を一様分布とすると
６の目が一回でたから事後分布はbeta(2,1)なので次に６の目がでる期待値は2/3
(2)
６の目の出る確率p6を1/6としてp6=1/6が正しい確率分布を一様分布とすると
Y=c(1)
dataList=list(Y=Y)
modelString='
model{
Y ~ dbern(p6)
p6=1/6*q+5/6*(1-q)
q ~ dbeta(1,1)
}
'
でJAGSを走らせて
Lower95 Median Upper95 Mean SD Mode MCerr
p6 0.24522133917 0.600436 0.8333064 0.5731115 0.1781004 NA 0.001329018
を得て 平均 0.5731115
(3)６の目の出る確率が1/6を最頻値とする標準偏差0.1のβ分布に従うとすれば
β分布のパラメータは
a b
3.260234 12.301170
となるので
平均は0.2095077
すまん、
pの平均値じゃなくて
p ~ f(p)のときのp/(p+1)の平均値
だな。
integral(x/(x+1)*(2/3x+2/3),0,1)=1/3
stanで検証
functions{
real jisaku_log(real y){
real temp;
temp = 2/3.0*y+2/3.0;
return log(temp);
}
}
data{
}
parameters{
real<lower=0,upper=1> p;
}
transformed parameters{
real q;
q = p/(p+1);
}
model{
p ~ jisaku();
}
mean se_mean sd 2.5% 25% 50% 75% 97.5% n_eff Rhat
p 0.5626 0.0074 0.2836 0.0366 0.3364 0.5874 0.8107 0.9839 1464 1.0006
q 0.3364 0.0035 0.1325 0.0353 0.2517 0.3701 0.4477 0.4959 1418 1.0007
lp__ -2.0063 0.0336 0.9343 -4.5941 -2.2177 -1.6547 -1.4262 -1.3608 773 1.0030
どのアプローチでも６の目がでたというデータは
事後確率分布を６の目がでる方向に歪めるね。
von Neumann法で 2/3*x+2/3を密度関数とする[0,1]の乱数を発生させる。
Rのコードはこれ
http://egg.2ch.net/test/read.cgi/hosp/1493809494/352
発生させた乱数ｐからp/(p+1)をつくってその分布を表示すると
http://i.imgur.com/PFTeZ77.png
平均値1/3が確認できる。
(2)のアプローチをstanでやってみた。
data=list(Y=1)
stanString='
data{
int Y;
}
parameters{
real<lower=0,upper=1> q;
}
transformed parameters{
real<lower=0,upper=1> p6;
p6=1/6.0*q+5/6.0*(1-q);
}
model{
Y ~ bernoulli(p6);
q ~ beta(1,1);
}
mean se_mean sd 2.5% 25% 50% 75% 97.5% n_eff Rhat
q 0.3901 0.0030 0.2661 0.0157 0.1602 0.3512 0.5910 0.9289 7827 1.0003
p6 0.5733 0.0020 0.1774 0.2141 0.4393 0.5992 0.7265 0.8229 7827 1.0003
lp__ -2.6057 0.0103 0.8248 -4.9881 -2.8346 -2.2830 -2.0537 -1.9902 6400 1.0002
６の目のでる事後確率の平均値は 0.5733 でJAGSと同じ結果。
暇つぶしネタを与えてくれた>454に感謝
つぎに６が出る確率はどうなる？
１ 低くなる
連続で６が出る可能性はひくい
２ 変わらない
６が出る確率は前に何が出たか影響を受けない
３ 高くなる
さいころがいかさまの可能性があるから
＃当然さいころがいかさまの可能性をかんがえるならば
６の出る可能性が１/６より小さいいかさまさいころで
たまたま６がでた場合も含めるとする
サイコロE1 = 6の目がでる確率は1/12
サイコロE2 = 6の目がでる確率は2/12
サイコロE3 = 6の目がでる確率は3/12
事前分布
P(E1) = P(E2) = P(E3) = 1/3
とまずは、勝手に設定し計算してみた
直感的怪答
1/6
単なる条件付確率ぢゃし、
事前分布はE1,E2,E3同じぢゃろ。
ぢゃから、
1/12、2/12、3/12 の単純平均で
2/12 約分すれば、1/6ぢゃ
模範解答
7/36 である。
1/12 , 2/12 , 3/12 の
1:2:3 の重み付き平均は7/36です。
ワタシの超怪答
1/6で良い
事前分布、P(E1) > P(E3) にすべきぢゃ
∵ 1/6ぢゃないのは、奇妙ぢゃ
ちなみに、
P(E1) = P(E3) = 0、P(E2) = 1 ぢゃダメ
イカサマぢゃなくても
1/6より微かにずれるものぢゃ
６の目の出る確率がどの範囲ならイカサマでないとすんの？
(1)
６の目のでる確率の分布を一様分布とすると
６の目が一回でたから事後分布はbeta(2,1)なので次に６の目がでる期待値は2/3
p<1/6の確率は
> pbeta(1/6,2,1)
[1] 0.02777778
(2)
６の目の出る確率p6を1/6としてp6=1/6が正しい確率分布を一様分布とすると平均 0.5731115
p<1/16の確率は0
(3)６の目の出る確率が1/6を最頻値とする標準偏差0.1のβ分布に従うとすれば
> pbeta(1/6,3.260234,12.301170)
[1] 0.3785766
離散量で一様分布の真似なら
サイコロE4 = 6の目がでる確率は4/12
...
サイコロE4 = 6の目がでる確率は12/12
も考えなくちゃだめだろ？
直感的かつナナメな怪答
ちょっとでも1/6からずれてたら
数学的にイカサマぢゃ∴
サイコロの100%はイカサマぢゃ
でも、しかし、試験なら、
6の目確率は、常に1/6で計算ぢゃ。
ナナメな模範解答
そっか、鋭い質問
ちょっとなら1/6からずれても
良いことにしないと、
サイコロの100%はイカサマになるか
>>471
直感的かつナナメな怪答
そんなことより、6の確率が
事前分布の平均 ≧ 1/6
事後分布の平均 ≦ 1/6
となる事前分布どっかにないかな！?
誰かそんな事前分布で計算しないかな
模範解答擬き
P(E4) = P(E5) = … = P(E12) = 0
にしないと計算が大変 (^_^;)
自分で気付いたけどこのスクリプトは間違いだね。
死刑囚の話に戻るけど
f(p) = (2/3)p + 2/3 という確率分布
って何の意味があるの？
確率分布を事前分布とした理由は
今考え直したら支離滅裂な直感でした。
意味は、概ね何でもない。ので
気にしないで下さい。
あえて意味を言えば、
P(A=o|B=t) の平均が1/3となるような
P(B=t|A=o) の確率分布というだけ
支離滅裂な内容ですが説明すると、
pが定数1/2とするなら、
P(A=o|B=t) = p/(p+1)より、
P(A=o|B=t) = 1/3 となる。
だから、
pの平均が1/2の確率変数なら、
P(A=o|B=t)の平均も1/3だろうと確信。
しかし、計算すると、
pの平均が1/2の連続一様分布なら、
P(A=o|B=t)の平均はln(2)=0.30685のようだ
では、P(A=o|B=t)の平均が1/3となる
pの分布はどんな分布なのか知りたくなる
そう、
f(p=0) : f(p=1) = 1 : 2 な確率分布かな
だから、
f(p) = (2/3)p + 2/3 という確率分布 を
事前分布とする。
まっ、今見直と、支離滅裂です。(^_^;)
確率密度関数がa*x+bの形なら
integral(x/(x+1)*(a*x+b),0,1)=
a *(log(2) - 1/2) + b*(1- log(2)) = 1/3
を満たすときでしょうね。
あらゆる可能性考えて
具体的な数字をださなくてもいいなら
①古今東西振られたサイコロのうちそれがいかさまであるという確率は相当ひくいとおもう
②いかさまである場合に
６の出る確率が６分の１超である場合と
６分の１以下である場合が打ち消しあうことになるが
６分の１以下である可能性はそんなにたかくないしだろうし、ふれ幅も小さいから
若干の打消しが生じるくらいだろう
③いかさまである場合に
６の出る確率が６分の１超であるときにおいては
あからさまないかさまをしてる可能性はひくいので
１/６と１の間くらいの0.6前後くらいが期待値になるのではないかな
総合的に考えれば
６が出た後に６が出る確率は6分の１よりおおきくなるだろうが
①の影響がかなりおおきくて
ほとんど無視できるれレベルだとおもう
http://i.imgur.com/UUwhw8K.png
事後確率分布を６の目がでる方向に歪めるね。
サンプル数が増えると極端な値が減って回帰するというのが頻度主義かな？
最新の書式だとこう書くみたい
target+=ってC言語ぽいね
functions{
real jisaku_lpdf(real y, real a, real b){
real temp;
temp = a*y + b;
return log(temp);
}
}
data{
real a;
real b;
}
parameters{
real<lower=0,upper=1> p;
}
transformed parameters{
real q;
q = p/(p+1);
}
model{
target += jisaku_lpdf( p | a, b);
}
pbeta(1/6,x,y,lower.tail = FALSE)=0.6の陰関数のグラフ化となる。
http://i.imgur.com/cWVHUgZ.png
>そんなことより、6の確率が
> 事前分布の平均 ≧ 1/6
> 事後分布の平均 ≦ 1/6
> となる事前分布どっかにないかな！?
ベータ分布では存在しない。
ベータ分布の形状母数をa,bとするとa,bとも正の数なので
事前分布の平均=a/(a+b) > 1/6
から
6a>a+b
5a>b
b<5a (1)
事後分布の平均=(a+1)/(a+b+1) < 1/6
から
6a+6<a+b+1
5a<b-5 (2)
(1)(2)からb<b-5と矛盾する。
BとCの恩赦確率が同じときは看守が嘘つきであっても
Aの恩赦確率はp/(p+1)のまま。
pはP(B=t|A=o)、Aが恩赦のとき死刑になるのはBと看守が答える確率。
よくみたらこれは間違い。
嘘つき確率の影響はないが
Aを含む事前恩赦確率の影響は受ける。
満室の状態だと思って下さい
そこに1人の客が泊まりにきました
そこで、既に泊まっている全員に隣の部屋に
移動してもらうことで、その人を泊めることができました
∞ ＋ １ = ∞
節操ねえなアフィカス
p:P(B=t|A=o)Aが恩赦（BとCが死刑執行される）とき看守がBと答える確率
q:看守が嘘をつく確率
P(B=t|B=o) Bが恩赦を受けるときBが死刑執行されると告げられる確率 = q
P(B=t|C=o) Cが恩赦を受けるときBが死刑執行されると告げられる確率 = 1-q
P(A=o|B=t) = P(B=t|A=o)*P(A=o) / P(B=t)
P(B=t) = P(B=t|A=o)*P(A=o) + P(B=t|B=o)*P(B=o) + P(B=t|C=o)*P(C=o)
= p * P(A=o) + q * P(B=o) + (1-q) * P(C=o)
P(A=o|B=t) = p*P(A=o) / ( p*P(A=o) + q * P(B=o) + (1-q) * P(C=o) )
P(A=o)= P(B=o)= P(C=o) = 1/3ならば
P(A=o|B=t) = p /(p+1)
t=(1/∞)x∞=∞/∞=1
へえ
根拠を問うたら答えられるのかな
1の代わりに勝手に
ワシが非ベイズアプローチで怪説しよう。
新情報>>492の「確か」を96%とし、
帰無仮説☆ : 1はカスなんかではない。
帰無仮説☆が正しい確率は、4%
2シグマのP値はモピロン2.5%な訳ぢゃから
帰無仮説☆の廃棄は、ダメ。スナワチ、
帰無仮説☆は採択ぢゃ。
結論
非ベイズアプローチにより、
特段、カスでない! 以上ぢゃ
歩兵２ 騎兵２ 象２ 将軍１ 王１ （王が一番強く歩兵が一番弱い）
妃１ （王にだけ勝つ）
インドラ１ （すべての駒に勝つが使えるのは一度だけ）
二人のプレーヤはそれぞれこの１０個の駒を持つ
二人のプレーヤは互いに駒をひとつだけ選び、
ゲーム版の中央に置く
この時、相手から駒が見えないようにドアがある
互いの駒が決まったらドアオープン
勝った駒は自陣に戻り何度でも使える
負けた駒はゲームから除外される
王を失うと負け
引き分けの時は残った駒の多いほうが勝ち
1手目インドラぢゃ
相手が王を出せば、いきなり勝ちぢゃ✌
真剣にやりましょう
インドラに歩兵をぶつけられたら目も当てられない
インドラって奴
・すべての駒に勝つ★
・使えるのは一度だけ☆
すべてのに勝つ と謳ってるが☆より
・王にだけ勝つ
・王以外、妃とか歩兵でも相打ち
と同値ぢゃないか。
かなりヨワッチー奴ぢゃった。
よし、作戦を練り直しぢゃー
妃は歩兵相手でも負け
確率と戦術を基本として相手の考えを予測するゲーム
https://youtu.be/rt7RVDMUhPM?t=530
王１ 将軍１ 象２ 騎兵２ 歩兵２ （王が一番強く歩兵が一番弱い）
妃１ （王にだけ勝つ）
インドラ１ （すべての駒に勝つが使えるのは一度だけ）
二人のプレーヤはそれぞれこの１０個の駒を持つ
二人のプレーヤは互いに駒をひとつだけ選び、
ゲーム版の中央に置く
この時、相手から駒が見えないようにドアがある
互いの駒が決まったらドアオープン
勝った駒は自陣に戻り何度でも使える
負けた駒はゲームから除外される
相打ちの時はともにゲームから除外
王を失うと負け
引き分けの時は残った駒の多いほうが勝ち
ただし、インドラと妃は含めない
Swarajya-2015/05/25
Nash is mostly known for his equilibrium concept called as
“Nash Equilibrium”. For many years before his seminal paper,
legends like von Neumann were working on the theory of
games with a special focus on Zero-sum games.
>>1はユーチューバーって判明してるwww
https://twitter.com/genkuroki/status/783660733066125312
> モンティホール問題とベイズ統計は関係ないよね。
「ベイズ更新」≒「サンプルサイズ増えた」
で選び直すじゃないの？
これ意味わからん
ベイズの定理でも解けるってだけやろ
何が言いたいのかよく分からん
ざっと見ただけだが
「ベイズ＝主観確率って思ってる人多いよね」ってかいてるから
そのながれで「モンティホールと主観確率は関係ないよね」って言いたいんじゃないの?
その本もってるけど不十分理由の原則にはふれてるけど
主観確率なんてことばは説明の中でつかってないけどな。
この本は殆どがベイズ定理の説明で
中身すっからかんでベイズ統計についてはほとんど説明してない印象だけどな。
ベイズでやってみた。
Aがアタリ(atari)の確率をP(A=a)、Aがハズレの確率をP(A≠a)
司会者がBを開ける(open)確率をP(B=o)と表すことにする。
残った箱Cがアタリである確率P(C=a|B=o)は
ベイズの公式から
P(C=a|B=o) = (P(B=o|C=a)P(c=a)) / P(B=o)
P(B=o) = P(B=o|C=a)P(C=a) + P(B=o|C≠a)P(C≠a) = 1*1/3 + 1/2*2/3 = 2/3
ゆえに
P(C=a|B=o) = (P(B=o|C=a)P(c=a)) / P(B=o) = (1/3) / (2/3) = 1/2
P(A=a|B=o) = P(B=o|A=a)P(A=a)/P(B=o)
P(B=o) = P(B=o|A=a)P(A=a) + P(B=o|A≠a)P(A≠a)
P(B=o|A=a)はAがアタリであるときにBがハズレとして開けられる確率pは問題で示されていない。
不十分理由の原則に準じてpを０．５とするか一様分布に従うとするのが一般的だと思う。
P(B=o|A=a)=pとおくと
P(B=o) = P(B=o|A=a)P(A=a) + P(B=o|A≠a)P(A≠a) = p*1/3 + 1/2*2/3 = p*1/3 + 1/3
ゆえに
P(A=a|B=o) = p*1/3 / ( p*1/3 + 1/3 ) = p/(p+1)となる。
p=0.5ならBがハズレというデータはAがあたりの確率に影響を与えず1/3である。
これは間違いだな。
P(B=o|A=a)=pとおくと
P(C=a|B=o)= 1/(p+1)
になると思う。
こちらが正しい。
プレーヤーが選んだ箱をA、司会者モンティーホールが開けたハズレの箱をB、残った箱をCとする。
Aがアタリ(atari)の確率をP(A=a)
司会者がBを開ける(open)確率をP(B=o)と表すことにする。
残った箱Cがアタリである確率P(C=a|B=o)は
ベイズの公式から
P(C=a|B=o) = (P(B=o|C=a)P(c=a)) / P(B=o)
P(B=o) = P(B=o|A=a)P(A=a) + P(B=o|B=a)P(B=a) + P(B=o|C=a)P(C=a)
= P(B=o|A=a)*1/3 + 0*1/3 + 1*1/3 ここで P(B=o|A=a)=pとおくと
= p*1/3 + 1/3
ゆえに
P(C=a|B=o) = (P(B=o|C=a)P(c=a)) / P(B=o) = (1*1/3) / (p*1/3 + 1/3) = 1/(p+1)
P(A=a|B=o) = p/(p+1) Bが開けられた後、Aがアタリの確率 (1)
P(C=a|B=o) = 1/(p+1) Bが開けられた後、Cがアタリの確率 (2)
(1)/(2) = p なので (2)は(1)以上である。(∵0<= p <=1)
ゆえに
残った箱Cの方がアタリの確率は高い。
二人零和有限確定完全情報ゲーム
残りの扉からランダムに1つを選んで開けるとするという条件は、
頻度確率では何の意味も持たないことに留意すべきである
もっとも、ベイズ確率の計算においても、
理由不十分の原理を適用すれば、
「Aが当たりである場合に司会者が Bを開ける確率P(B | A) 」を
1/2とすることに合理性がある
『ある事象が起きる頻度の観測結果に基づいて、
無限回繰り返した際の極限値』として定義される
『一回』は繰り返すことができない
したがって、一度きりの出来事に頻度主義の極限値を
当てはめることはできない
その確率は一様分布でもよくね？
一様分布を前提にすれば
無情報分布として一様分布を考えると
Aが恩赦を受ける確率の期待値（平均値）は
> 1-log(2)
[1] 0.3068528
となる。
Cが恩赦を受ける確率の期待値（平均値）は
> log(2)
[1] 0.6931472
当然、Bが恩赦を受ける確率は０
恩赦が複数回与えられる条件でないと成立しない
ベイズでの確率はcredibilityなので問題なし。
囚人Aの目線では、
看守が、「Xが死刑」と告げても
Xは、Aでないというだけで、
Xが、BかCなのか囚人Aは判断できない。
囚人Aの主観的確率は、
P(B=o | 看守からの情報ゲット前) = 1/3
P(B=o | 看守からの情報ゲット後) = 1/2
∴
P(A=o | 看守からの情報ゲット前) = 1/3
P(A=o | 看守からの情報ゲット後) = 1/3
となり、確変しないかと。
Aが難聴でない限り
Xが、BかCなのか囚人Aは余裕で判断できる
>435の結論でよくね？
完璧か本気で検証してみた。
なお、看守は10人で、検証ぢゃ。
まずは、主観的な事前確率分布ぢゃ
P(B=t | A=o)をpとおき、
E1 ≡ 看守1 は、p = 19/20
E2 ≡ 看守2 は、p = 17/20
E3 ≡ 看守3 は、p = 15/20
E4 ≡ 看守4 は、p = 13/20
E5 ≡ 看守5 は、p = 11/20
E6 ≡ 看守6 は、p = 9/20
E7 ≡ 看守7 は、p = 7/20
E8 ≡ 看守8 は、p = 5/20
E9 ≡ 看守9 は、p = 3/20
E10 ≡ 看守10 は、p = 1/20
P(E1) = P(E2) = … = P(E9) = P(E10) = 0.1
P(A=o│B=t ) = p / (1+p) より、
P(A=o│B=t∧看守1 ) = 19/39 …(1)
P(A=o│B=t∧看守2 ) = 17/37 …(2)
P(A=o│B=t∧看守3 ) = 15/35 …(3)
P(A=o│B=t∧看守4 ) = 13/33 …(4)
…
P(A=o│B=t∧看守9 ) = 3/13 …(9)
P(A=o│B=t∧看守10 ) = 1/11 …(10)
(1)～(10) の平均を計算すると、0.3072ぢゃ
ちなみに、1 - log(2) = 0.3069 ぢゃ
差は微かぢゃ、ぢゃからOKぢゃ 疲れた。
改訂後、
P(A=o│B=t∧看守9 ) = 3/23 …(9)
P(A=o│B=t∧看守10 ) = 1/21 …(10)
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