この展開はBinetの第一積分
∫[0,∞]((1/2)-(1/u)+1/(e^u-1))e^(-uz)/udu = logΓ(z)-(z-1/2)log(z)+z-(1/2)log(2π)
から示すのが素直です（wikipediaの表示はBinetの第二積分で、
これらの積分が等しくなることは検索で出てきます）。
以下導出：ベータ関数の積分から階乗冪を積分で表し
1/(z+1)^{(n)}=Β(n,z+1)/(n-1)! = (1/(n-1)!)∫[0,1]t^(n-1)(1-t)^zdt
これをcnの展開式に代入
Σ[n=1,∞]cn/(z+1)^{(n)}
= Σ[n=1,∞](1/n!)∫[0,1]x^{(n)}(x-1/2)∫[0,1]t^(n-1)(1-t)^zdtdx
↓ 二項級数 Σ[n=1,∞](1/n!)x^{(n)}t^n = (1-t)^(-x)-1 より
= ∫[0,1]∫[0,1](x-1/2)((1-t)^(-x)-1)dx(1-t)^z/tdt
= ∫[0,1](-2t+(t-2)log(1-t))(1-t)^z/(2t(1-t)log^2(1-t))dt
↓ 1-t=e^(-u), dt=(1-t)du と置く
Binetの第一積分
