数理論理学(数学基礎論) その12
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数学基礎論は、数学の基礎づけを目的として誕生したが
現在では、数理論理学として、証明論、再帰的関数論、
構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、 多くの分野
に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
(「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも
若干の個人差があるようです。)
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、
代数幾何学、 英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
(数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化
などを参照)
前スレ
数学基礎論・数理論理学 その11
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1325247440/ >>770
キューネン+超冪+超フィルターで必要十分ですか? 知らんけど大抵の事はどうにかなりそうだよ。
分野によっては記述集合論を深く知るには再帰理論を
もっと知ってたほうが良いとか、
モデル理論の知識で知ってた方が良いものがあるとか、
そういうことはあるけど。
というか集合論はロジックの分野の中では
あまりロジックの細かい知識は要らない方だと思う。 日本人の著者の中には、“恒真命題”なんて用語を使っているアホがいるぜw。
ーーーーー>『ゲーデルと20世紀の論理学1〜4』 >>791
>“恒真命題”なんて用語を使っているアホ
? 12回生になったある日、Dibbie が言った;−「小さなサークルを作って、論理学の研究をしない?」と。
「今、学校で教えられている論理学の理論はどうもオカシイ」というのだった。
彼女が言うには、「”PがQを内含(imply)する”の解釈が現行の論理学ではどうも変だ」
とのことだった。「”PがQを内含する” は ”Pでないか又はQである” と実質的に同値である
とされているのだが、Pに”ライオンは哺乳動物である”を代入し、Qに”ライオンとクジラは共に哺乳動物
である”を代入すれば、”PはQを内含する” は 偽であるのに、 ”Pでないか又はQである”
は真である。一方が偽で他方が真であるような二つの命題が同値である筈はない!」
Dibbie の主張は明解だった。 P ∨ Q は否定と論理積を用いた ¬(¬P ∧ ¬Q) と同じである
P ∨ Q ⇔ ¬(¬P ∧ ¬Q)
P ∧ Q ⇔ ¬(¬P ∨ ¬Q)
この二つをド・モルガンの法則という
二つの命題 P, Q に対する論理積を P ∧ Q と書き、
「P かつ Q」や「P そして Q」などと読む >>796
>PはQを内含する” は 偽であるのに
真だよ P→P∨Q
はPが真であれ偽であれ必ず真になるので恒真命題ですが
Pが真であれば
P∨Q→P
は真です >>798
”ライオンは哺乳動物である” は ”ライオンとクジラは共に哺乳動物である” を
内含しはしない。 P→P∧Q
∀x(P(x)→P(x)∧Q(x))
これの区別ができないんですね
または、で解釈する際は上使ってるのに、ならば、になると下になってしまってるんです P ならば Q である(前提 -- 実質含意)
Q でないならば P でない(その対偶)
Q でない(前提)
従って、P でない(モーダスポネンスによる帰結) >>802
命題論理は意味を省いた真理値だけで論理を解釈するもの
ライオンが鯨が
ではなく
真理値が内包するかどうか
真理値の内包とは
偽は偽を内包し
真は真と偽を内包すると
それだけ >>803
これなんですよ結局
異なる論理式の真偽が違うじゃないかーって言ってるわけです 内含(implication)の意味が分かってない香具師がいるようだなw。
”俺は大阪に住んでいる” は ”俺は日本に住んでいる” を内含する。
しかし、
”俺は日本に住んでいる” は ”俺は大阪に住んでいる” を内含しない。 >>807
”俺はライオンであり哺乳動物である”
”俺はライオンでありとあいつはクジラであり、俺もあいつも共に哺乳動物である”
”ライオンは哺乳動物である”
”ライオンとクジラは共に哺乳動物である”
この違いですよ P”俺は大阪に住んでいる” Q”俺は日本に住んでいる”
P ならば Q である(前提 -- 実質含意)
Q でないならば P でない(その対偶)
Q でない(前提)
従って、P でない(モーダスポネンスによる帰結) >>808
なんか変でしたね
とにかく、またはをならばに読み返るとき、あなたは勝手に量化してるんです 安倍昭恵さんの件といい、
新井敏康先生の奥さんの件といい、
最近の日本では偉い人の妻が夫の威光を傘に来て
偉そうにするのがトレンドなのかねえ…
ぶっちゃけあの人ロジックの研究者でも
数学者でも何でもないしなあ。
あの人がいっぱしの研究者みたいな顔して
議論に参加してる段階で半分勝ちみたいなものだし。
あの人が数学者ならダグラス・ホフスタッターなんか
20世紀の大数学者になってしまう。 かつて C I Lewis は、material implication(実質的内含)は真の implication ではない
ことを次の例によって示した:−
(P⊃Q)v(Q⊃P)は恒真式である。と言うことは、任意の二つの命題P、Qについて、
一方が他方を内含(materially imply)するということである。真の内含であるかぎりそんな
ことはありえない! ∀x(P(x)→Q(x)) ∨ ∀x(Q(x)→P(x))は成り立たない、というだけです >>807
>内含(implication)の意味が分かってない香具師がいるようだなw。
お前がその香具師な >>813
>真の内含
とか云うものを定義できなければどうにもならない "if P(x) then Q(x)" is defined to mean ∀x(〜P(x)vQ(x)) . >内含(implication)の意味が分かってない香具師がいるようだなw。
述語論理の限量子の意味がわからないヤツがいるようだなw 「アライNさんがもしトリイロさんに喧嘩とか
吹っかけて行ったら面白いだろうけど、
彼女は賢いから、彼女が若手研究者のホープみたいなに
絡んでいく場面なんか見られないだろうな」、
とか何となく思ってたら、
アライさんtwitterを鍵アカにして
盤外戦術を仕掛けていっててワロタ
彼女の政治力は凄いけど、
流石にそりゃ無茶だと思うけどなあ、、 ゲーデルの(第二?)不完全性定理の証明への途上でゲーデルのベータ関数ってどうしてなくちゃならないんですか?
殆どどの教科書でもゲーデルのβ関数定義して議論を進めてますよね?
議論のどこかで帰納法を使うことは許されないんですかね
で、さっき廣瀬健の帰納的関数ではゲーデルのβ関数を定義してなかったのですが
ますます混乱してしまいます >>827
いや面白すぎるでしょコレ
ただ、他の数学者(夫含む)の数学の邪魔はして
欲しくないなとは思うけど。 >>826
再帰的定義のコーディングが必要なのが
第二の方なのか第一なのかは証明の方針を理解してりゃ
明らかにわかるでしょ。知りたいならちゃんとした
教科書を読むしかないよ。
中国剰余定理を使うコーディングが主流なのは、多分
多分それが一番サクッとコーディング出来るから、
というだけだと思う。
使わないやり方の本は、Peano算術より弱い
限定算術に対して不完全性定理を証明してる本とか、
説明の都合上最初は指数関数の記号が入ってて
コーディングが楽にできる体系で本筋を進みたいという
方針の本とか、
割と話題を証明論の一部に特化した本になる。
基本的に表現力が強い体系の方がコーディングは楽で、
弱い体系になればなるほど、地道で微妙なコーディングが
必要になって来る。 >>830
僕の質問はコーディングに際して
素因数分解の一意性に基づいて議論を進めるのか
可逆写像φ:N*N→N の存在に基づいて議論を進めるのか
に関わっているということですか そもそも素数が無限個あることを前提としている
限定算術だとかなり微妙な問題 direct limitって直極限と訳されてるけど、
明らかにdirected setと関わりの深い概念なんだから
有向極限と呼ぶべきな気がする ああでも逆極限と同時に考える場合はそれじゃ困るか
今のなしで 純粋数学で議論・構築されている数学って形式的体系内における数学なのか外における数学なのかどっちですか? ということは形式的体系外で議論している内容を体系内へ表現することって意識はすると思うのですが、
数論的関数を形式的体系へ表現したのと同様に
ZFCにおける論理式を形式的体系へ表現するとか言う議論ってあるんですか? ZFCにおける術語が帰納的かどうかで分類して形式的議論においてどこまでの違いを生むのかとか気になりますが 形式的体系外とか内とかいっても、やってることは
ZFCの宇宙Vの中で、ZFCのモデルMとか
その意味論や証明論をやってるだけ。
そう考えるのが一番簡単だし、それが集合論の人の
普段の思考に最も即すと思う。
別にZFCじゃなくても良いけど、
公理系を変えて考えるときにもそれがVの性質なのか
Mの性質なのかの二つの場合がある。
非ユークリッド幾何のモデルをユークリッド幾何の中で
作ったりする事とまったく同じ。
Vがambient spaceで、Mがその中に埋め込まれた空間。
独立性証明は、原理的にはもっと弱い算術の上で
行われてると考える事も出来るけどね。そう考える場合、
実際の証明の流れを多少modifyしたような事が
算術の上でemulateできる、みたいね感じになって
あまり直感的に分かりやすいとは言い難いよね。 >>840
>ということは形式的体系外で議論している内容を体系内へ表現することって意識はすると思うのですが、
そんなの意識するのは
食い詰めた基礎論屋だけ 船上に26匹の羊と10匹のヤギがいる
このとき、船長は何歳でしょう?
40年前、数学教育を専門とするフランスの研究者が
この問いを小学低学年の子どもたちに投げかけた
すると、大多数の子どもが「36」と答えたそうだ
もちろん、船の上に動物が何匹いようが、
船長の年齢と関係はない
解けるはずのないナンセンスな問いだが、
子どもたちは反射的に、文中に出てきた数を足し合わせ、
もっともらしい「解」を導き出した A「ピザって十回言ってみて」
B「ピザピザピザピザ…」
A「じゃあここは?」
B「ひざ」 P,Qをそれぞれ
p:「ケネディ大統領は暗殺された」
Q:「ケネディ大統領もリンカーン大統領もあんさつされた」
とする。
「PはQを内含する」は、明らかに偽。
他方、「PはQを実質的に内含する(即ち、not-PvQ)」は真。
一方が偽で他方が真であるような2つの命題が同義である筈がない! P,Qをそれぞれ
p:「ケネディ大統領は暗殺された」
Q:「ケネディ大統領もリンカーン大統領も暗殺された」
とする。
「PはQを内含する」は、明らかに偽。
他方、「PはQを実質的に内含する(即ち、not-PvQ)」は真。
一方が偽で他方が真であるような2つの命題が同義である筈がない! だから
命題論理の内包ってのは
命題の「真偽」だけに着目してるんだって
PQいずれも真なら
P→QもQ→Pも真 material inplucationは質料と形相とかいうときの
質料のmaterialなので実質と訳すのはどうなのかなあ >>826は私ですけど、廣瀬健の帰納的関数 p117-p118に気持ちいいぐらいのドストライクな回答がありましたね
初等的述語が算術的述語であることを証明するのに必要でした 今、廣瀬健の「帰納的関数」を黙読してますけどこれいい本ですよ
説明・証明が丁寧で議論の筋道がわかりやすい
今日、一般枚挙可能定理まで黙読しました >>850 P Qいずれも真なら P→QもQ→Pも真
P,Qをそれぞれ
p:「ケネディ大統領は暗殺された」
Q:「ケネディ大統領もリンカーン大統領も暗殺された」
とすると、 P→Q は明らかに偽。
P Qいずれも真であるが、 >>850 P Qいずれも真なら P→QもQ→Pも真
P,Qをそれぞれ
p:「ケネディ大統領は暗殺された」
Q:「ケネディ大統領もリンカーン大統領も暗殺された」
とすると、P Q いずれも真であるが、 P→Q は明らかに偽。 明らかに真だが…
もちろん、項にいかなる人物を入れても、P→Qと¬P∨Qの真理値は一致する。
技術的用語を、定義を追わず、見た目から自分勝手に表面的に解釈し、その解釈に惑わされて全く無用の思考を延々とくり返し、あまつさえそれを世の中に公表しまくってしまう、ご苦労なおバカさんっているよね。
アインシュタインは間違っている!とか言いだしちゃう手合いも、そういうタイプなんだろうなあ。 849132人目の素数さん2018/06/10(日) 03:19:10.66ID:ATVzbBYJ
哲学板でやってれば
いいや、ここに留まる。
”if ..., then ...” の解釈を誤った上に構築されている現行の論理学理論は、根本的に間違っているのだ。 >>856 いかなる人物を入れても、P→Qと¬P∨Qの真理値は一致する
P→Qを¬P∨Qと定義したのならならそのとおりだ。
問題は、P→Qを¬P∨Qと定義すべきではないと主張しているのだ、w P→Qを∀x.P(x)→Q(x)としか思えないヤツは頭が悪い >アインシュタインは間違っている!とか言いだしちゃう手合い
そういうヤツは現実ではなく自分勝手な前提に基づく馬鹿だな
現実の現象は絶対時刻と矛盾する
物理学は現実を扱う学問 アタマの中の”事実”を扱う学問ではない >>859
まだ言ってる
ではどう定義するべきかは何も考えてない P→Qを∀x.P(x)→Q(x)と考える香具師は、一歩進んでいる。 >>862
>ではどう定義するべきかは何も考えてない
のではなくて、何も教えていない。w なお
背理法が使えるような定義でなくては誰も興味持たないよ >>866
>背理法が使えるような定義でなくては誰も興味持たないよ
勿論、使えるさ。 何度言えばわかるんですかねー
あなたのならばは、自由変数を含まない原始命題に対しては定義することすらできない欠陥品だと ケネディ大統領が暗殺された→1+1=2である
これはどうですか?
命題ではないですか?
真偽が定義できないですか? >>866
どういう話の流れか把握してないけど、
俺は背理法が使えない矛盾許容論理に興味あるぞ >>874
数理論理的に言うなら、命題とは、アトミックな論理式、すなわち原始命題から構成される論理式のことですね
複雑な論理式は、原始命題や他の命題を論理結合子で結びつけることによって作ることができます
前提とは、A→BにおけるAのことですね
つまりですね、ならば命題を作ると言う段階は統語の範疇であり、意味はまだ付加されていないんですよ
少なくとも数理論理においては
ここまでの説明がわからないのであれば、あなたは意見をするレベルにないと言うことです
勉強し直してくださいね マジレスすると
「象は動物である」を命題って言うのは
何でも集合だってしてた素朴集合論同様の「素朴命題論理」ってやつね
命題論理は真偽のみに着目して
「何が真」「何が偽」という真偽以前の「素朴命題」(って呼ばせてもらうね)には関知しない
あくまで投射された真偽の真偽そのものにしか注視しないのよ だので
「象が植物であるならばケネディは90歳で死んだ」は真(に投射される) 874 名前:132人目の素数さん :2018/06/13(水) 23:44:56.08 ID:DMPVOmLK
>>870
前提は命題って言うにはちょっと甘いな
これは統語と意味論の区別がついていないから書き込めるレスですね >>878
「意味」を考えることはないってことが分かってないのね >>880
そこで言ったのは
ケネディ
暗殺
ケネディが暗殺された
定義を明確に出来ないからだよ >>881
数理論理学において、意味とは、命題記号、述語記号、定数記号、関数記号に具体的な命題、述語、対象、写像をマッピングすることを言います 定義を明確にしようとすればするほど無限後退になってしまうからね >>884
数学的には、意味とは厳密に数学的に定義された用語です >>883
どうぞ
ケネディ
大統領
暗殺
をマッピングしてね >>870
>ケネディ大統領が暗殺された
さあ
ドンドン「意味」をマッピングしてね ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています