0001132人目の素数さん
2017/10/26(木) 10:17:43.03ID:1czx1ktVx^n + y^n = z^n となる自然数の組 (x, y, z) は存在しない.
◎奇数(素数)の場合
奇数は、全部、素数の倍数になっているので、
素数の場合だけ、証明すればいいので。
(A^Pは、AのP乗という意味)
フェルマーの小定理より
Pを素数とするとき、
α^P − α ≡ 0 (mod P)
(ただし、αとPは、互いに素、つまり、P を素数とし、α を P の倍数でない整数とする)
nが素数のとき
n = P として
x^n + y^n = z^n を変形すると
X^P + Y^P = Z^P を変形して下の式のように変形する。
X^P − X + Y^P − Y + X + Y = Z^P − Z + Z
フェルマーの小定理より、
Pが素数の場合、
α^P - α の形のものは、Pで割り切れるので
Pの倍数になる。
(ただし、αとPは、互いに素、つまり、P を素数とし、α を P の倍数でない整数とする)
ゆえに
X^P - X = PA , Y^P - Y = PB , Z^P - Z = PC とおくと、
PA+PB+X+Y = PC + Z
P(A+B−C) = Z -X -Y
A+B−C = Z/P -X/P -Y/P
フェルマーの小定理より
X≠P,Y≠P,Z≠pで、XもYもZもPの倍数ではない。
ゆえに
(A、B、Cは、自然数なので、Z, -X, -Y,がPで割れないと 自然数にならないので、
式が成り立たない。)
∴
3 以上の自然数 n について、
x^n + y^n = z^n となる自然数の組 (x, y, z) は存在しない、
という定理の証明。
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