Memo.
(略証)
nについての帰納法による。
a_{n+1} = A と略す。
まず s_n を固定して a_1 〜 a_n を動かしたときの最小値は、
Σ[k=1，n+1] s_k (a_k)^2 - μ(s_{n+1})^3
= Σ[k=1，n] s_k (a_k)^2 + (s_n + A)A^2 - μ(s_n + A)^3
≧ (M_n /n)(s_n)^3 + (s_n + A)A^2 - μ(s_n + A)^3 = f(A)
つまり a_1 〜 a_n の比はnの場合と同じでよい。
次に f(A) = 0 が重根をもつようにμを決めるのだが、言い換えれば
f(A) = 0 と f '(A) = 0 が共通根をもつことである。
f(A) = (M_n /n)(s_n)^3 + (s_n + A)A^2 - μ(s_n + A)^3 = 0,
f '(A) = 2(s_n)A + 3A^2 - 3μ(s_n + A)^2 = 0,
から A とμを決める。
まずμを消去すれば
A(s_n + A) - 3M_n /(2n･s_n) = 0,
∴ A = (1/2){√[1 + 6M_n /(n･(s_n)^3)] -1}s_n,
これを使うとμが求まり
M_{n+1} = (n+1)μ = {(n+1)/3}([1 + A/s_{n+1}]^2 - 1),
s_{n+1} = s_n + A,
と表わせる。
