不等式への招待 第９章 [無断転載禁止]©2ch.net
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>>513
〔Schurの不等式〕
F_m(x,y,z) = (x^m)(x-y)(x-z) + (y^m)(y-z)(y-x) + (z^m)(z-x)(z-y) ≧ 0,
文献[3] 大関(1987) p.28
文献[8] 安藤(2012) p.27～28
文献[9] 佐藤(訳)(2013) p.40 a, b, c >0 かつ abc=1 のとき、 (a^10 + b^10 + c^10)^2 ≧ 3*(a^13 + b^13 + c^13).
┏ ━ゝヽ''人∧━∧从━〆Ａ!ﾟ━━┓。
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┗〆━┷. Ｚ,..`"┷━''ｏ.ヾｏ┷+＼━┛,゛； ⊿_n = Σ[m=1,n-2] 2(n-m-2)! m!/(n-1)! Σ[a,b,c] F_m(a,b,c) S_{n-m-2}(A-{a,b,c}) ≧0,
A = {a_1，a_2，…，a_n}
納a,b,c] は C[n,3] = n(n-1)(n-2)/6 項の和。
S_j(B) は集合Bの要素で作ったj次の基本対称式
A = {a_1，a_2，…，a_n}
ついで乍ら
納a,b,c] F_m(a,b,c) = {m(m+1)2}Σ[k=1,n] (a_k)^(m+2) S_{n-m-2}(A-{a_k})
- m(n-m-1)納k=1,n] (a_k)^(m+1) S_{n-m-1}(A-{a_k})
+ {(n-m)(n-m-1)/2}納k=1,n] (a_k)^m S_{n-m}(A-{a_k}) >>513
⊿_n = Σ[m=1,n-2] 2(n-m-2)! m!/(n-1)! Σ[a,b,c] F_m(a,b,c) S_{n-m-2}(A-{a,b,c}) ≧0,
A = {a_1，a_2，…，a_n}
Σ[a,b,c] は C[n,3] = n(n-1)(n-2)/6 項の和。
S_j(B) は集合Bの要素で作ったj次の基本対称式
A = {a_1，a_2，…，a_n}
ついで乍ら
Σ[a,b,c] F_m(a,b,c) = {m(m+1)2}Σ[k=1,n] (a_k)^(m+2) S_{n-m-2}(A-{a_k})
- m(n-m-1)Σ[k=1,n] (a_k)^(m+1) S_{n-m-1}(A-{a_k})
+ {(n-m)(n-m-1)/2}Σ[k=1,n] (a_k)^m S_{n-m}(A-{a_k}) (1/2)*(3/4)*…*(999999/1000000) < 1/1000 を示せ。
∧＿∧
（ ´･ω･) 先月の数蝉に不等式の問題があったような…
（つ旦と）
と＿）＿） >>518
√((2k-1)(2k+1)) = √(4kk-1) < 2k,
(左辺) = {√(1･3)/2}{√(3･5)/4｝…｛√((2n-1)(2n+1))/(2n)} / √(2n+1)
< 1/√(2n+1)
< 1/√(2n)
= 0.001
(別法)
Stirling の公式から
(左辺) = (2n-1)!! / (2n)!!
= (2n-1)!! / {(2^n) n!}
= (1/4)^n・C(2n，n)
= 1/√(nπ)・{1 - 1/(8n) + 1/(128n^2) + 5/(1024n^3) - …… }
< 1/√(nπ)
= 1/√(500000π)
= 0.00079788456080
なお、（左辺) = 0.00079788436133 コレクションになかったのを拾い集めてきた。(A1)以外は、たぶん過去スレにもないと思ふ。
【絶対値絡み】
(A1) a, b, c >0 に対して、|(a-b)/(a+b)| + |(b-c)/(b+c)| ≧ |(a-c)/(a+c)|
(A2) [宜蘭 2007]
相異なる a, b, c >0 に対して、|(a+b)/(a-b) + (b+c)/(b-c) + (c+a)/(c-a)| > 1
(A3) [疑問]
a, b, c >0 に対して、|(a-b)/(a+b) + (b-c)/(b+c) + (c-a)/(c+a)| のとりうる値の範囲は？
【分数式とか】
(B1) [中国 2008]
a, b, c >0 に対して、ab/c + bc/a + ca/b ≧ 2*(a^3 + b^3 + c^3)^(1/3)
(B2) [宜蘭 2010]
a, b, c >0 に対して、1/(a^2) + 1/(b^2) + 1/(c^2) + 1/{(a+b+c)^2} ≧ (7/25)*{1/a + 1/b + 1/c + 1/(a+b+c)}^2
(B3) [IMO short list 2008]
a, b, c, d >0 に対して、(a-b)(a-c)/(a+b+c) + (b-c)(b-d)/(b+c+d) + (c-d)(c-a)/(c+d+a) + (d-a)(d-b)/(d+a+b) ≧ 0
(B4) [不等式bot]
a, b >0 に対して、
(ab)^3 + (bc)^3 + (ca)^3 + 9(abc)^2 + abc(a^3 + b^3 + c^3 + 9abc) ≧ 3abc(a+b)(b+c)(c+a)
不等式botってのを最近見つけたんだけど、何これ？ botって何ぞや？
同じ問題を繰り返し吐き出してるから、自動なのか？
登録してある問題をダブりなしに全部見てみたい。 【√がらみ】
(C1) [宜蘭 2008]
a, b, c >0 に対して、次式をみたす実数 k の最小値を求めよ。
a√b + b√c + c√a ≦ k√{(a+b)(b+c)(c+a)}
(C2) [香佐富斯坦 2010]
a, b >0 に対して、
√{(a^2-a+1)(b^2-b+1)} + √{(a^2+a+1)(b^2+b+1)} ≧ 2(x+y)
(C3) [スポック 2012]
a, b, c >0 に対して、
(a+b)√{(b+c)(c+a)} + (b+c)√{(c+a)(a+b)} + (c+a)√{(a+b)(b+c)} ≧ 4(ab+bc+ca)
(C4) [中国 2012]
a, b, c∈[0,1] のとき、√|a-b| + √|b-c| + √|c-a| の最大値を求めよ。
(C5) [波蘭 2004]
a, b, c∈R に対して、
√(2a^2+2b^2) + √(2b^2+2c^2) + √(2c^2+2a^2) ≧ √{3(a+b)^2 + 3(b+c)^2 + 3(c+a)^2}
(C6) [墺太利 2008]
a, b, c >0、a+b+c=1 に対して、
√{a^(b+c)*b^(c+a)*c^(a+b)} ≦ 1/3
(C7) [土耳古 2005]
a, b, c, d ∈R に対して、
√(a^4 + c^4) + √(a^4 + d^4) + √(b^4 + c^4) + √(b^4 + d^4) ≧ (2√2)*(ad+bc) 【微積分絡み】
(D1) [Putnum 1999]
実関数 f がC^3級で、任意の x∈R に対して、
0 < f'(x)、 0 < f''(x)、 0 < f'''(x) ≦ f(x)
をみたすとき、f'(x) < 2f(x) を示せ。
(D2) [AoPS]
f は [0,1] で単調増加な凸関数で、f(0)=0、f(1)=1 をみたす。
g を fの逆関数とするとき、x^2 ≧ f(x)g(x) を示せ。
(D3) [近大 2008]
実関数 f がC^2級で、任意の x∈R に対して f''(x)≧f(x) をみたすとき、
f(x) ≧ f(0)*{e^x + e^(-x)}/2 + f'(0)*{e^x - e^(-x)}/2
(D4) [山梨医改、不等式bot]
f(0) = f(1) = 0、f'は[0,1]で連続のとき、∫[0,1] {f'(x)}^2 dx ≧ (π^2)*∫[0,1] {f(x)}^2 dx
(D5) [京大院 2011]
実連続関数 f,φ は区間[a,b]上で狭義単調増加のとき、
∫[a,b] f(x)dx = 0 ならば、∫[a,b] f(x)φ(x)dx > 0 を示せ。
(D6) [羅馬尼亜 2004]
fが[0,1]で積分可能で、∫[0,1] f(x)dx = ∫[0,1] xf(x)dx = 1 のとき、∫[0,1] {f(x)}^2 dx ≧ 4 ;ヾ ;ヾ ;";ヾ;" ;ヾ ;ヾ ;
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;ヾ.;ヾ ';ヾ ;ヾ ;ヾ;ヾ ';ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ"ﾞ
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"';ヾ;ヾ ;ヾ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;//;ヾ;ヾ〃ﾞ;ヾ ;ヾ;ヾ"
""";ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ" ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ;ヾ"
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"" ;ヾ ;ヾﾞヾ ;ヾ ;ヾ;ヾ"ﾞ "iヾ;ヾ;ヾ" ﾞヾ;ヾ;ヾ"
"" 'ヾ;ヾ" || ｌ | ﾞ|/;ヾ" "
" |l ｉ ｌﾞｌ|
,,,, ",,,," ,,, " ∧ ∧ ,,, |l | ﾞ ｜| '' ,, " " ,, 春は不等式！
( ﾟ∀ﾟ)∬ ノﾉ 从ヾ ヽ、 ,,, '' やうやう白くなりゆく山際
'' ｀ ｀ ／ （＿）旦. ／ 少し明かりて、
／ ／ '''' "" 紫だちたる雲の細くたなびきたる
￣￣￣￣￣￣￣ >>520
(A2) [155]
(左辺) = |(p+q)/(p-q)|,
ここに p = aab+bbc+cca -3abc ≧ 0，q = abb+bcc+caa -3abc ≧ 0,
q-p = (a-b)(b-c)(c-a) = ⊿,
佐藤(訳) 問題3.103
(A3)
絶対値の中身 = (a-b)(b-c)(c+a)/{(a+b)(b+c)(c+a)},
-1 ～ +1
(B1) [96]
(ab/c + bc/a + ca/b)^3 ≧ 8(aaa+bbb+ccc) + 3abc,
bc/a=x，ca/b=y，ab/c=z とおく。
(B2) [198]
a+b+c = s，1/a+1/b+1/c = 3/h とおく。
s-3h ≧ 0,
(左辺) ≧ 3/hh + 1/ss,
(右辺) = (7/25)（3/h+1/s)^2,
(左辺) - (右辺) ≧ 6(2s-h)(s-3h)/(5hs)^2 ≧ 0,
等号成立は s-3h = 0，a=b=c.
(B3) [100]
a-c，b-d の2次形式として正定値。
(B4) [107]
(左辺) - (右辺) = (sssu+ttt+27uu) - 9stu ≧0 (←AM-GM）
ここに、s = a+b+c、t = ab+bc+ca、u = abc. >>521
(C1) [70]
コーシーにより、
(左辺)^2 ≦ (a+b+c)(ab+bc+ca) = (a+b)(b+c)(c+a) + abc ≦ (9/8)(a+b)(b+c)(c+a),
K = 3/√8．
佐藤(訳) 問題3.113
(C2) [114]
(左辺)^2 = 2{(aa+1)(bb+1) + ab + √(a^4+aa+1)√(1+bb+b^4)}
= 2{(aa+3ab+bb) + (ab-1)^2 + √(a^4+aa+1)√(1+bb+b^4)}
≧ 2{(aa+3ab+bb) + (aa+ab+bb)}
= 4(a+b)^2 (←コーシー）
等号成立は xy=1.
(C3) [16]
(a+b)√{(b+c)(c+a)} ≧ (a+b){c+√(ab)} ≧ (a+b)c + 2ab，
循環的にたす。
(C4) [62]
bはaとcの中間にあるとする。
√|a-b| + √|b-c| + √|c-a| ≦ (1+√2)|c-a| ≦ 1 + √2、
等号は（a，b，c）=（0，1/2，1)
(C5) [86]
2√{3(aa+bb+cc)} ≧ √(2aa+2bb) + √(2bb+2cc) + √(2cc+2aa) ≧ √{3(a+b)^2+3(b+c)^2+3(c+a)^2} ≧ 2(a+b+c),
(左辺)^2 = 4(aa+bb+cc) + 4√(aa+bb)√(bb+cc) + … + …
≧ 4(aa+bb+cc) + 2(a+b)(b+c) + 2(b+c)(c+a) + 2(c+a)(a+b)
= 3(a+b)^2 + 3(b+c)^2 + 3(c+a)^2
= (中辺)^2.
(C6) [49]
f(x) = (1-x)log(x) ≦ -(1-x)^2 は 0<x<1 で上に凸。
f(a) + f(b) + f(c) ≦ 3f((a+b+c)/3) = 2log(1/3)
(C7) [71]
√(xx+yy) ≧ (x+y)/√2 を使う。 >>522
(D1) [143]
未だ解けぬ～
(D2) [164]
{f(x)/x} ' = {xf '(x) - f(x)}/xx =∫[0→x] {f '(x) - f '(t)}dt/xx > 0（←fは凸）
f(x)/x は単調増加,
x < g(x) < 1,
f(x)/x ≦ f(g(x))/g(x) = x/g(x),
(D3) [144]
0 ≦∫[0，x] {f ''(t) - f(t)}sinh(x-t)dt = [ f(t)cosh(x-t)+f '(t)sinh(x-t) ](t=0，x) = f(x) - f(0)cosh(x) - f '(0)sinh(x).
(D4) [121] (Wirtingerの不等式)
g(x) = cot(x)とおく。
g '(x) + g(x)g(x) = -1,
[f(x)f(x)g(x)](x=0-π) = 0,
∴ 0 ≦∫｛f '(x)－f(x)g(x)}^2 dx
= ∫f '(x)f '(x)dx - [f(x)f(x)g(x)](x=0-π) + ∫f(x)f(x){g '(x) + g(x)g(x)}dx
= ∫f '(x)f '(x)dx - ∫f(x)f(x)dx,
大関・青柳「不等式」槇書店 p.204
(D5) [211]
中間値の定理から、a<c<b なるcがあって f(c)=0,
単調性から、(x-c)f(x)≧0、(x-c){φ(x)-φ(c)}≧0,
これを入れる。
(D6) [54]
0 ≦∫{f(x)+2-6x}^2 dx
= ∫f(x)^2 dx + 4∫f(x)dx -12∫f(x)･x dx +4∫(1-3x)^2 dx
= ∫f(x)^2 dx + 4 -12 +4.
[ ]内は Inequalitybot の番号ですぅ。 (C8) [月即別 2013] [187]
a≧b≧0 のとき、(a^2+b^2)^(1/2) + (a^3+b^3)^(1/3) + (a^4+b^4)^(1/4) ≦ 3a+b >>527
(C8) [187]
(a^2 + b^2)^(1/2) ≦ a + (√2－1)b,
(a^3 + b^3)^(1/3) ≦ a + {2^(1/3)－1}b,
(a^4 + b^4)^(1/4) ≦ a + {2^(1/4)－1}b,
辺々たす。
(左辺) ≦ 3a + 0.8633417b >>87
a^(2/3) = A，b^(2/3) = B，c^(2/3) = C とおくと、
aa+bb+cc - 2(ab+bc+ca) + 2abc+1
≧ A^3 + B^3 + C^3 - 2{AB(A+B) +BC(B+C) +CA(C+A)} + 3ABC
= ⊿_3（A，B，C) >>513
= F_1（A，B，C)
≧ 0, >>163
〔Turkevici の不等式〕 - 改
a^4 + a^4 + a^4 + a^4 + 2abcd - {ab(aa+bb) +ac(aa+cc) +ad(aa+dd) +bc(bb+cc) +bd(bb+dd) +cd(cc+dd)}/2
= a^4 + a^4 + a^4 + a^4 + 2abcd - {(a^3)(b+c+d) -(b^3)(c+d+a) -(c^3)(d+a+b) -(d^3)(a+b+c)}/2
= (1/2)⊿_4
≧ 0, >>513 >>163
〔Turkevici の不等式〕- 改
a^4 + b^4 + c^4 + d^4 + 2abcd - {ab(aa+bb) +ac(aa+cc) +ad(aa+dd) +bc(bb+cc) +bd(bb+dd) +cd(cc+dd)}/2
= {3(a^4 + b^4 + c^4 + d^4) -(a+b+c+d)(a^3+b^3+c^3+d^3) + 4abcd}/2
= (1/2)⊿_4
≧ 0 >>513 >>515
a^(10/3) = A，b^(10/3) = B，c^(10/3) = C とおくと本題は
(A^3+B^3+C^3)^2 ≧ 3(A^4+B^4+C^4)
〔補題〕
(A^3+B^3+C^3)^2 ≧ (AB+BC+CA)(A^4+B^4+C^4)
m = min{A，B，C} とおき、
{A，B，C} = {m，m+x，m+y} (x≧0，y≧0)
とする。
(左辺) - (右辺) = (A^3+B^3+C^3)^2 - (AB+BC+CA)(A^4+B^4+C^4)
= (m^4)(xx-xy+yy) + (2m^3)xy(x+y) + (2m^2){2xx(x-y)^2 +5xxyy +2yy(x-y)^2} + m(x+y){xx(2x-2.5y)^2 +(7/2)xxyy +yy(2.5x-2y)^2} + (x-y)(x^5-y^5) + 2(xy)^3
≧ 0, >>515 >>533
〔補題〕
(A^3+B^3+C^3)^2 ≧ (AB+BC+CA)(A^4+B^4+C^4)
(左辺) - (右辺) = F_0(A，B，C) F_0(AA，BB，CC) + (ABC)^2 F_{-2}(A，B，C) ≧ 0,
F_0(A，B，C) = (A-B)(A-C) + (B-C)(B-A) + (C-A)(C-B) = {(A-B)^2 + (B-C)^2 + (C-A)^2}/2 ≧ 0,
F_{-2}(A，B，C) = (A-B)(A-C)/AA + (B-C)(B-A)/BB + (C-A)(C-B)/CC = ABC F_1(1/A，1/B，1/C) ≧ 0, >>533 >>534
〔補題〕
1≦n≦3，A～C≧0 のとき
(A^n + B^n + C^n)^2 ≧ (AB+BC+CA) {A^(2n-2)+B^(2n-2)+C^(2n-2)} ≧ 3ABC {A^(2n-3)+B^(2n-3)+C^(2n-3)},
右側はチェビシェフなど。 >>533 >>534 >>535
〔補題〕
1≦n≦5，A～C≧0 のとき
(A^n + B^n + C^n)^2 ≧ 3ABC {A^(2n-3) + B^(2n-3) + C^(2n-3)},
(例)
n=3 のとき
(左辺) - (右辺) = (A^3 +B^3 +C^3) (A^3 +B^3 +C^3 -3ABC) ≧ 0,
n=4 のとき
(左辺) - (3/2) {(a^3)(b+c) + (b^3)(c+a) + (c^3)(a+b)}
= (1/2) {(aa-ab+bb)(a-b)^2 + (bb-bc+cc)(b-c)^2 + (cc-ca+aa)(c-a)^2}
≧ 0,
ここに、a=AA，b=BB，c=CC.
(3/2) {(a^3)(b+c) + (b^3)(c+a) + (c^3)(a+b)} - (右辺)
= (3/2) {(A^6)(B-C)^2 + (B^6)(C-A)^2 + (C^6)(A-B)^2}
≧ 0, 三角形の辺長 a、b、c に対して、
{√(a+b-c)}/(√a + √b - √c) + {√(b+c-a)}/(√b + √c - √a) + {√(c+a-b)}/(√c + √a - √b) ≦ 3 >>537 [6]
A = √b+√c-√a > 0,
B = √c+√a-√b > 0,
C = √a+√b-√c > 0,
とおく。
b+c-a = AA - (A-B)(A-C)/2,
√(b+c-a) ≦ A - (A-B)(A-C)/4A,
(左辺) = √(b+c-a) /A + √(c+a-b) /B + √(a+b-c) /C
≦ 3 - (A-B)(A-C)/(4AA) - (B-C)(B-A)/(4BB) - (C-A)(C-B)/(4CC)
= 3 - (1/4) F_{-2}(A，B，C)
= 3 - (ABC/4) F_1(1/A，1/B，1/C)
≦ 3.
IMOSL-2006 予選 A.6、JMO春合宿
文献[8] 安藤 (2012)，p.147 例題3.2.3(9)，
http://www.casphy.com/bbs/highmath/ 不等式1-307、434、437 ( ﾟ∀ﾟ) いつも素晴らしいデスネ。GWに精読させていただきます。 実数 a_k、b_k (1≦k≦n)) に対して、
1 + Σ[k=1 to n] (a_k + b_k)^2 ≦ (4/3)*{1 + Σ[k=1 to n] (a_k)^2}*{1 + Σ[k=1 to n] (b_k)^2} 任意の m、n∈N (m > n) に対して、
lcm(m, n) + lcm(m+1, n+1) > 2mn/{√(m-n)} >>540
A = Σ[k=1，n] (a_k)^2,
B = Σ[k=1，n] (b_k)^2,
C = Σ[k=1，n] a_k b_k,
とおく。
A+B-2C = Σ[k=1，n] (a_k - b_k)^2 ≧ 0,
AB-CC = Σ[1≦j<k≦n] (a_j b_k - a_k b_j)^2 ≧ 0 (←コーシー)
(右辺) - (左辺) = (4/3)(1+A)(1+B) - (1+A+B+2C)
= (1/3) (1+A+B+4AB-6C)
= (1/3) {(A+B-2C) + 4(AB-CC) + (1-2C)^2}
≧ 0,
等号成立は a_k = b_k，A = B = C = 1/2. >>541
gcd(m，n) | (m-n)
gcd(m+1，n+1) | (m-n)
左辺は互いに素ゆえ、 (←背理法で)
gcd(m，n)gcd(m+1，n+1) | (m-n)
lcm(m，n) + lcm(m+1，n+1)
= mn/gcd(m，n) + (m+1)(n+1)/gcd(m+1，n+1)
> mn{1/gcd(m，n) + 1/gcd(m+1，n+1)}
> 2mn/√{gcd(m，n)gcd(m+1，n+1)} (←AM-GM)
≧ 2mn/√(m-n), >>374 >>398 >>399 >>416 >>417
nΣ[k=1，n］ s_k （a_k)^2 ≧ M_n （s_n)^3,
とおく。
M_2 = 0.7377393811182 = 2(47-14√7)/27
(a，b) =（√7 -1，4-√7）（3+√7，2+√7)
M_3 = 0.6481616033162
(a，b，c) = (1.38436，1.13916，1)
M_4 = 0.60233351875
(a，b，c，d) = (1.52472，1.25465，1.10139，1)
M_5 = 0.574255
M_6 = 0.5551782
M = 0.444444 = 4/9 (n→∞), >>544
Memo.
漸化式は
a_{n+1} = (1/2) {√(2x-1) - 1} s_n,
s_{n+1} = s_n + a_{n+1},
M_n = (n/3) (x-1),
ここに
x = (1 + a_n/s_n)^2.
(例)
M_1 = 1
a_1 = s_1 = 1
M_2 = 2(47-14√7)/27 = 0.7377393811182
a_2 = (√7 -1)/2 = 0.8228756555323
s_2 = (√7 +1)/2 = 1.8228756555323
M_3 = 0.64816160331616
a_3 = 0.72235563718495
s_3 = 2.54523129271725
M_4 = 0.60233351872589
a_4 = 0.65585825517001
s_4 = 3.20108954788726
M_5 = 0.57425545264547
a_5 = 0.60768519695068
s_5 = 3.80877474483794
M_6 = 0.55517800140267
a_6 = 0.57066170678793
s_6 = 4.37943645162587
本題から逸れてしまった… >>374 (改)
Σ[k=1，n] (s_{k-1} + s_k)/2 ･ (a_k)^2 > (4/9n) (s_n)^3,
便宜上 s_0 = 0 とおいた。
* 中点 (s_{k-1} + s_k)/2 で接線を曳く。 >>544
>>545 Memo. の続き
M_10 = 0.51565443182467
a_10 = 0.47804498656917
s_10 = 6.41086198943751
M_100 = 0.45433807243808
a_100 = 0.21749813721698
s_100 = 32.0226683930223
M_1000 = 0.44575956171259
a_1000 = 0.10051892239154
s_1000 = 150.383787216053
M_10000 = 0.44460977509949
a_10000 = 0.04662595061307
s_10000 = 699.152499550131 >>545
Memo.
(略証)
nについての帰納法による。
a_{n+1} = A と略す。
まず s_n を固定して a_1 ～ a_n を動かしたときの最小値は、
Σ[k=1，n+1] s_k (a_k)^2 - μ(s_{n+1})^3
= Σ[k=1，n] s_k (a_k)^2 + (s_n + A)A^2 - μ(s_n + A)^3
≧ (M_n /n)(s_n)^3 + (s_n + A)A^2 - μ(s_n + A)^3 = f(A)
つまり a_1 ～ a_n の比はnの場合と同じでよい。
次に f(A) = 0 が重根をもつようにμを決めるのだが、言い換えれば
f(A) = 0 と f '(A) = 0 が共通根をもつことである。
f(A) = (M_n /n)(s_n)^3 + (s_n + A)A^2 - μ(s_n + A)^3 = 0,
f '(A) = 2(s_n)A + 3A^2 - 3μ(s_n + A)^2 = 0,
から A とμを決める。
まずμを消去すれば
A(s_n + A) - 3M_n /(2n･s_n) = 0,
∴ A = (1/2){√[1 + 6M_n /(n･(s_n)^3)] -1}s_n,
これを使うとμが求まり
M_{n+1} = (n+1)μ = {(n+1)/3}([1 + A/s_{n+1}]^2 - 1),
s_{n+1} = s_n + A,
と表わせる。 〔問題8〕
閉区間 [0,1] で定義された連続関数f(x)は、次の条件を満たすとする。
ある正の実数Lが存在して、[0,1] 上のすべての実数xにおいて
0 ≦ f(x) ≦ L∫[0,x] f(t)dt
が成り立つ。
このとき、[0,1] 上のすべての実数xにおいてf(x)=0であることを示せ。
http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai8.php
〔問題12〕
p_1，p_2，…，p_k を m 以下のすべての素数とする。
この時、以下の不等式が成り立つことを示せ。
log(m) - 1 ≦ (1/m)log(m!) < Σ[i=1,k] log(p_i)/(p_i - 1)
http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai12.php
〔問題18〕
正の実数 a,b,c が ab+bc+ca=1 を満たすとき
(b+c) {√(aa+1) +a} ≧ 2,
(c+a) {√(bb+1) +b} ≧ 2,
(a+b) {√(cc+1) +c} ≧ 2,
が成り立つことを示せ。
http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai18.php
〔問題32〕
nを2以上の整数とする。正の実数 a_1，a_2，…，a_n に対して不等式
Σ[k=1,n] (kk-2k+2)a_k + Σ[k=1,n-1] (1/a_k)(a_{k+1})^2 ≧ (n^2)a_n
が成り立つことを示せ。また、等号が成立する条件を求めよ。
http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai32.php >>548
訂正ｽﾏｿ
A (s_n + A) - (3M_n /2n) (s_n)^2 = 0,
∴ A = (1/2) {√(1 + 6M_n /n) - 1} s_n, [bot 5]
a, b, c≧0 のとき、a(a-b)(a-2b) + b(b-c)(b-2c) + c(c-a)(c-2a) ≧0
(1) この証明は？
(2) a(a-mb)(a-nb) + … とｲﾊﾟｰﾝ化できるでござるか？ >>552 [111]
(1)
min{a, b, c} = M, {a, b, c} = {M, M+x, M+y} とすると、
(左辺) = 2M(xx-xy+yy) + x(x-2y)^2 + (x-y)^2･y ≧0.
USA.ELMO-2009 day1-Q.3 >>552 [111]
(2)
m(m+1) ≦ 3 + 4√2 のとき
a(a-b)(a-mb) + b(b-c)(b-mc) + c(c-a)(c-ma) ≧ 0
m(m+1) = 3 + 4√2 の根は
m_1 = -{√(13+16√2) +1}/2 = -3.4844353317658568752
m_2 = {√(13+16√2) -1}/2 = 2.4844353317658568752
等号成立条件
・m_1 < m < m_2 のとき (a，b，c) = (1，1，1)
・m = m_1，m_2 のとき
(a，b，c) = (1，1，1)、(0，t1，1)、(0，1，t2) とそのrotation
t_1，t_2 は tt - (1+√2)t + 1 = 0 の根
t_1 = {1+√2 -√(2√2-1)}/2 = 0.531010056459569184633
t_2 = {1+√2 +√(2√2-1)}/2 = 1.883203505913525864169 >>549
〔問題18〕
(a+b)√{(c+b)(c+a)} ≧ (a+b)(c+√ab) ≧ (a+b)c + 2ab,
>>521 >>525 (C3) [16] と同じ。 〔問題〕
自然数nに対して
(1) Ｃ［2n，n] = (2n)! / (n!)^2 ≧ 4^n / (2√n),
(2) Ｃ［3n，n] = (3n)! / {n!･(2n)!} ≧ (27/4)^n ・4/(9√n),
等号成立は n=1
>>512 >>513
Janos Suranyi の不等式と云うらしい… >>556
(1) は >>474 >>476 >>495 と同様
(2) もnについての帰納法で
Ｃ［3n+3，n+1] / C［3n，n］ = {(3n+1)(3n+2)(3n+3)}/{(2n+1)(2n+2)(n+1)}
= (27/4) {(n+1/3)(n+2/3)} / {(n+1/2)(n+1)}
= (27/4) (N + 2/9) / {(n+1/2)(n+1)} ← N=n(n+1) とおいた。
> (27/4) (N + 1/8) / {(n+1/2)(n+1)}
≧ (27/4) √{N(N+1/4)} / {(n+1/2)(n+1)}
= (27/4) (n+1/2)√{n(n+1)} / {(n+1/2)(n+1)}
= (27/4) √{n/(n+1)},
により成立 >>556 の系
Ｃ［3n，2n] ≧ 4/(9√n)・(27/4)^n,
Ｃ［3n-1，2n-1] = (2/3)Ｃ［3n，2n] ≧ (2/√n)・(27/4)^(n-1), x^2 + y^2 + z^2 ≧ xy + yz + zx + (3/4)*(x-y)^2
これって既出だっけ？ >>569 [42]
(xx+yy+zz) - (xy+yz+zx) = (3/4)(x-y)^2＋(1/4)(x+y-2z)^2,
でござる。 >>549
〔問題8〕の解答
h(x) = e^(-Lx) ∫[0，x] f(t)dt とおくと題意により
h(x) ≧ 0 = h(0) …… (1)
また h(x) は（0，1) 上で微分可能で
h '(x) ≦ 0,
∴ h(x) = h(0) + ∫[0，x] h '(t)dt ≦ h(0) …… (2)
(1) (2) により [0，1] 上で h(x) = h(0) = 0 が成り立つ。
したがって、[0，1] 上のすべての実数xにおいて
0 ≦ f(x) ≦ L ∫[0，x] f(t)dt = 0,
より、f(x) = 0 である。 ■
http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai8.php >>549
〔問題12〕の解答
(左側)
任意の正の整数mに対し、
log(m!) = Σ[L=1，m-1] log(L+1) ≧ Σ[L=1，m-1] ∫[L，L+1] log(t)dt = ∫[1，m] log(t)dt = m{log(m) -1} +1,
∴ log(m) - 1 ≦ (1/m)log(m!)
(右側)
実数xに対し、x以下の最大の整数を [x] で表わす。
また、0でない整数nと素数pに対し、v_p(n) で、nの素因数分解に現れるpの回数を表わすものとする。
ここで、m! はm以下の素数しか素因数に持たないので、
log(m!) = Σ[i=1，k] v_pi(m!) log(p_i)
と表わされる。ここで、
v_p(m!) < m/(p-1)
が分かるのでこれを上の式と組み合わせて
(1/m)log(m!) < Σ[i=1，k] log(p_i)/(p_i -1)
が示された。（終)
http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai12.php >>549
〔問題32〕の解答
(a_{k+1})^2 / a_k ≧ 2k･a_{k+1} - kk･a_k,
辺々たして
Σ[k=1，n-1] (a_{k+1})^2 / a_k ≧ Σ[k=2，n] 2(k-1) a_k - Σ[k=1，n-1] kk･a_k
= nn･a_n - Σ[k=1,n] a_k - Σ[k=1,n] (k-1)^2･a_k
= nn･a_n - 1 - Σ[k=1,n] (k-1)^2･a_k
を導く。等号成立条件は、各 k=1,2,…,n-1 で a_{k+1} = k･a_k である場合だから、すべての i=1,2,…,n に対し
a_i = (i-1)! /{Σ[k=1，n] (k-1)!}
が成立することである。
http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai32.php (a^2 + b^2 + c^2)^2 - (ab+bc+ca)^2 ≧ (√6)(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) >>575 [192]
任意の実数a，b，cに対し、
(a-b)(a-c)(aa-bc)^2 + (b-c)(b-a)(bb-ca)^2 + (c-a)(c-b)(cc-ab)^2 ≧ 0,
を示せ。
//www.casphy.com/bbs/highmath/不等式２-188 （じゅー） >>574 [104]
s = a+b+c，t = ab+bc+ca，u = abc，⊿ = (a-b)(b-c)(c-a) とおく。
ss-3t≧0,
(左辺) = (ss-2t)^2 -tt
= (ss-t)(ss-3t)
= (1/3){2ss + (ss-3t)}(ss-3t)
≧ {(2√2)/3}|s|(ss-3t)^(3/2),
≧ (√6)|s⊿|,
∵ 4(ss-3t)^3 = 27⊿⊿ + {(a+b-2c)(b+c-2a)(c+a-2b)}^2 ≧ 27⊿⊿,
等号成立は等間隔かつ ss+3t = 0 より｛1-√6，1，1+√6｝
http://www.casphy.com/bbs/highmath/ 不等式２-197 >>572 (右側) 補足
自然数nと素数pに対し、v_p(n) で、nの素因数分解に現れるｐの回数を表わすものとする。
v_pi(m!) = ［ m/p ］+ [ m/p^2 ] + [ m/p^3 ] + … + [ m/p^d ]
ここに、d = [ log(n)/log(p) ].
これもルジャンドルの定理と云うらしい。
http://mathtrain.jp/legendretheorem
〔補題12〕
v_p(m!) < m/(p-1)
(略証)
d = [ log(n)/log(p) ] とおくと
v_pi(m!) ≦ m/p + m/p^2 + m/p^3 ＋ … + m/p^d < m/(p-1), a, b, c > 0 に対して、a/(b+c) + 20b/(c+a) + 17c/(a+b) > 8
best possible かどうか分からん B. 4931.
Prove that if a, b, c are the sides of a triangle then
{a^2(b+c) + b^2(a+c)} /(abc) > 3.
http://www.komal.hu/feladat?a=honap&;h=201802&t=mat&l=en
B. 4925.
http://www.komal.hu/feladat?a=honap&;h=201801&t=mat&l=en
B. 4953.
http://www.komal.hu/feladat?a=honap&;h=201804&t=mat&l=en
P.1, Problem 1.
https://archives.ust.hk/dspace/bitstream/9999/46212/1/math-02a-a109.pdf >>581
B.4925 (改) (KoMaL，h=201801)
0<a<n のとき
a/{a^(n+1) + (n-a)} ≦ 1/n
(略解)
a^(n+1) -(n+1)a + n
= (a-1){a^n + a^(n-1) + … + a -n}
= Σ[k=1，n] (a-1)(a^k -1)
≧ 0,
B.4931 （KoMaL，h=201802)
{aa(b+c) + bb(a+c)}/abc > 3,
(略解)
aa(b+c) + bb(a+c) = ab(a+b-c) + (a-b)^2･c + 3abc ≧ 3abc,
B.4953 (KoMaL，h=201804)
log(n) + Σ[k=2,n] √{(k-1)/k} < Σ[k=2,n] √{k/(k-1)},
(略解)
x>0 ⇒ x < sinh(x),
a>1 ⇒ 2log(a) < a - 1/a,
a = √{k/(k-1)} とおく。
log(k) - log(k-1) < √{k/(k-1)} - √{(k-1)/k},
k=2 から k=n までたす。
Math. Excalibur，Vol.21，No.4，p.1 (2018)
Problem 1.
a,b,c >0，a+b+c=1 のとき
a√(2b-1) + b√(2c+1) + c√(2a+1) ≦ √{2-(aa+bb+cc)},
(略解)
関数f(x) = √x は上に凸ゆえ、Jensenで
(左辺) ≦ √{a(2b+1) + b(2c+1) + c(2a+1)}
= √{(a+b+c) + 2(ab+bc+ca)} / (a+b+c)
= √{1 +2(ab+bc+ca)}
= (右辺)
等号成立は (a,b,c) = (1/3,1/3,1/3) および (1,0,0) など。 >>579
左辺が最小になる点では
(b+c)^2 ： (c+a)^2 ： (a+b)^2 = 1 ： 20 ： 17,
(b+c) ： (c+a) ： (a+b) = √1 ： √20 ： √17,
b+c = √1,
c+a = √20,
a+b = √17,
a = (-√1 +√20 +√17)/2,
b = (+√1 -√20 +√17)/2,
c = (+√1 +√20 -√17)/2,
(左辺) ≧ a√1 + b√20 + c√17
= √(1･20) +√(20･17) +√(17･1) -19
= 8.0343304952 >>579 >>583
b+c = A，c+a = B，a+b = C とおくと
(左辺) = 1･(B+C-A)/(2A) + 20(C+A-B)/(2B) + 17(A+B-C)/(2C)
= (1/2)(1･B/A + 20A/B) + (1/2)(20C/B + 17B/C) +(1/2)(1･C/A + 17A/C) - (1+20+17)/2
≧ √(1･20) + √(20･17) + √(17･1) - 19 (← AM-GM)
等号成立は A：B：C = √1：√20：√17 >>486 >>487 (3)
文献[9] 佐藤(訳) (2013) p.48 演習問題 1.101
・p=1，q=2 の例
文献[9] 佐藤(訳) (2013) p.48 例 1.6.7 及び p.131 問題 3.30
チェコ-スロバキアMO-1999 >>575 >>576 [192]
一次式：φ(x) = (a+b+c)x－(ab+bc+ca）により、
A = φ(a) = aa-bc,
B = φ(b) = bb-ca,
C = φ(c) = cc-ab.
A - B = (a+b+c)(a-b)、etc.
i）a+b+c≠0 のとき、
(左辺) = {AA(A-B)(A-C) + BB(B-C)(B-A) + CC(C-A)(C-B)}/(a+b+c)^2 = F_2(A、B、C)/(a+b+c)^2 ≧0、
ii）a+b+c=0 のとき、A=B=C.
http://www.casphy.com/bbs/highmath/ 不等式２-188 一松のじっちゃんが「大学への数学2018年6月号」に不等式の記事を書いておられる。
エルデシュの不等式とか 不等式と聞ゐちゃあ捨て置けねゑ…。このためだけに買ってきた。
タイトル 「三角形に関する不等式のいくつか」、４ページ
レムスの不等式と、求角不等式。
内角のcosの等式から、a^2+b^2+c^2 と8R^2の大小関係。
（中略）
エルデシュの不等式。
過去スレで見たことある不等式。
あと、「老人のグチだが、（中略）近年お数学検定で、不等式の証明問題は成績が悪い傾向が見られる。」
とあるが、検定問題で出題されている不等式を全て公開してほしい。 ここで不等式解いてる人って50後半の会社員だったりする？ >>589
数検専用スレ
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512773695/
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1479394767/
へどうぞ。
〔問題〕
a_n = (1 + 1/n)^n， b_n = (1 + 1/n)^(n+1) (nは正の整数）
とおくとき、nが増加すると a_n は増加し、b_n は減少することを証明せよ。
（数検2011-秋-1級-2次-Q2） >>589
(aa+bb+cc) - 8RR = 4RR {sin(A)^2 + sin(B)^2 + sin(C)^2 - 2}
= 4RR {1 - cos(A)^2 - cos(B)^2 - cos(C)^2}
= 8RR cos(A) cos(B) cos(C),
〔補題〕
A+B+C = π のとき
cos(A)^2 + cos(B)^2 + cos(C)^2 + 2cos(A)cos(B)cos(C) = 1,
〔ライプニッツの不等式〕
9RR - (aa+bb+cc) = 9(OG)^2 ≧ 0,
O：外心 G:重心
・文献[9] 佐藤(訳) 朝倉書店 (2013) p.87-89 定理2.4.4 定理2.4.5 >>591 は相加-相乗平均（AM-GM）で出るらしい。 （出題者・談）
{1，1，…，(n-1)/n} ⇒ a_n > a_{n-1} > … > a_1 = 2
{1，1，…，n/(n-1)} ⇒ b_n < b_{n-1} < … < b_1 = 4
しかし c_n = (1 + 1/n)^(n +1/2) が減少するのを出すのは難しい。
２項定理を使うか？ >>594
２項定理により、
(1 - 1/nn)^(2n+1) = 1 -2/n + 1/nn -1/(3n^3) +2/(3n^4) -3/(5n^5) +53/(90n^6) -…
< (1 - 1/n)^2 Crux PROBLEMS
(2012年のが公開された。5年以内のはパスワードがないと見れない)
3690, 3703, 3706, 3709
https://cms.math.ca/crux/v38/n1/Problems_38_1.pdf
3712, 3715, 3719(←破棄)
https://cms.math.ca/crux/v38/n2/Problems_38_2.pdf
3719(←Replacement), 3723, 3726, 3729
https://cms.math.ca/crux/v38/n3/Problems_38_3.pdf
3731, 3735, 3737, 3740
https://cms.math.ca/crux/v38/n4/Problems_38_4.pdf
3741, 3744, 3747, 3749
https://cms.math.ca/crux/v38/n5/Problems_38_5.pdf
3752, 3754, 3757, 3759
https://cms.math.ca/crux/v38/n6/Problems_38_6.pdf
3763, 3767, 3769
https://cms.math.ca/crux/v38/n7/Problems_38_7.pdf
3773, 3774, 3776, 3779
https://cms.math.ca/crux/v38/n8/Problems_38_8.pdf
(3781), 3783, (3784), (3786), 3788, 3789
https://cms.math.ca/crux/v38/n9/Problems_38_9.pdf
3793, 3795, 3797,
https://cms.math.ca/crux/v38/n10/Problems_38_10.pdf
（*ﾟ∀ﾟ）=3ﾊｧﾊｧ >>597 から
3690.(v38_n1)
Let a, b, and c be three distinct positive real numbers with a+b+c=s. Show that
(5xx-6xy+5yy)(a^3+b^3+c^3) + 12(xx-3xy+yy)abc > (x-y)^2･s^3,
3709.(v38_n1)
Let a, b, and c be non-negative real numbers, ｋ and Ｌ≧0 and define
(a+b)/2 - √ab = k^2， (a+b+c)/3 - (abc)^(1/3) = L^2.
Prove that
max(a,b,c) - min(a,b,c) ≧ (3/2)(k-L)^2.
3712.(v38_n2)
Prove that for any positive numbers a,b,c
√{a(aa+bc)/(b+c)} + √{b(bb+ca)/(c+a)} + √{c(cc+ab)/(a+b)} ≧ a+b+c.
3719.(v38_n3，Replacement)
Prove that if a,b,c>0, then
a/√{bb+(1/4)bc+cc} + b/√{cc+(1/4)ca+aa} + c/√{aa+(1/4)ab+bb} ≧ 2.
3723.(v38_n3)
Let a,b,c be positive real numbers such that a+b+c=s. If ｎ is a positive integer, prove that
(3a)^n /{(b+s)(c+s)} + (3b)^n /{(c+s)(a+s)} + (3c)^n /{(a+s)(b+s)} ≧ (27/16)s^(n-2).
3731.(v38_n4)
Let a,b,c be positive real numbers such that a+b+c=s. Prove that
a^(n+1) + b^(n+1) + c^(n+1) ≧ (aa+bb+cc)^n / s^(n-1),
for all non-negative integers n.
3737.(v38_n4)
Four non-negative real numbers a,b,c,d are given. Show that
1/(a^3+b^3) + 1/(b^3+c^3) + 1/(c^3+d^3) + 1/(a^3+c^3) + 1/(b^3+d^3) + 1/(a^3+d^3) ≧ 243/{2(a+b+c+d)^3},
Equality: {a,b,c,d} = {0,1,1,1}
3741.(v38_n5)
Find the largest value of ａ and the smallest value of ｂ for which the inequalties
ax/(a+xx) < sin(x) < bx/(b+xx)
hold for all 0<x<π/2.
3744.(v38_n5)
Let a,b,c be positive real numbers with sum ｓ. Prove that
(a^8+b^8)/(aa+bb)^2 + (b^8+c^8)/(bb+cc)^2 + (c^8+a^8)/(cc+aa)^2 ≧ (a^3+b^3+c^3-abc)s/4.
3752.(v38_n6)
Show that if ｎ≧2 is a positive integer then
(1/2)(1 +1/n -1/nn)^2 < (1 - 1/2^3)(1 - 1/3^3) … (1 - 1/n^3).
Crux mathematicorum, Vol.38 (2012)、一部改作 >>597 から
3763.(v38_n7)
Let a,b,c be positive real numbers. Prove that
a/(2a+b+c) + b/(2b+c+a) + c/(2c+a+b) ≦ a/(2b+2c) + b/(2c+2a) + c/(2a+2b).
3793.(v38_n10)
Let a, b, and c be positive real numbers such that
√a + √b + √c = 2014/√2.
Show that
2014 ≦ √(a+b) + √(b+c) + √(c+a) ≦ 2014√2,
Equality:(LHS) √a = √b = √c = 2014/(3√2)，(RHS) √a = 2014/√2，b=c=0,
・三角形関係
3726.(v38_n3)
Let a,b,c,s,r,R represent the angles (measured in radians)，the semi-perimeter，the in-radius and the circum-radius of a triangle，respectively.
Prove that
(A/B + B/C + C/A)^3 ≧ 2ss/(Rr).
3729.(v38_n3)
If a,b,c are the side lengths of a triangle，prove that
(b+c)/(aa+bc) + (c+a)/(bb+ca) + (a+b)/(cc+ab) ≦ 3(a+b+c)/(ab+bc+ca).
3757.(v38_n7)
Let A, B, C be the angles (measured in radians)，Ｒ the circum-radius and ｒ the in-radius of a triangle.
Prove that
1/A + 1/B + 1/C ≦ (9/2π)(R/r).
3767.(v38_n7)
Let Ｒ，ｒ be the circum-radius and in-radius of a right-angled triangle.
Prove that
R/r + r/R ≧ 2√2.
3776.(v38_n8) 別名「富士山」
In △ABC prove that
tan(A/2) + tan(B/2) + tan(C/2) ≧ (1/2){1/cos(A/2) + 1/cos(B/2) + 1/cos(C/2)}.
Crux mathematicorum, Vol.38 (2012)、一部改作 >>598
3690.
軸を45°回して (x+y)/√2 = u，(x-y)/√2 = v とおく。
5xx-6xy+5yy = 2uu +8vv,
12(xx-3xy+yy) = -6uu +30vv,
(x-y)^2 = 2vv,
これを入れて
(左辺) - (右辺) = (2uu+8vv)(a^3+b^3+c^3) + (-6uu+30vv)abc -2vv(a+b+c)^3
= 2(a^3+b^3+c^3 -3abc)uu + 6F_1(a,b,c)vv (←シューア)
≧ 0,
>>3723.
通分すると
(分子) = (a+s)(3a)^n + (b+s)(3b)^n + (c+s)(3c)^n
≧ (4s/3){(3a)^n + (3b)^n + (3c)^n} (←チェビシェフ)
= (4s)(3^n)(a^n + b^n + c^n)/3
≧ (4s)s^n,
(分母) = (a+s)(b+s)(c+s) ≦ (4s/3)^3, (← GM-AM)
(左辺) ≧ (27/16)s^(n-2),
>>3731.
コーシーの拡張より
(a+b+c)(a+b+c) … (a+b+c){a^(n+1) + b^(n+1) + c^(n+1)} ≧ (aa+bb+cc)^n,
(n-1)個 >>598
3741.
a = ππ/{2(π-2)} = 4.322734721
b = 6
cos(t) < 1 を [0，x] で逐次積分すると、
sin(x) < x, (x>0)
-cos(x) < -1 + xx/2!,
-sin(x) < -x + (x^3)/3!, (x>0)
cos(x) < 1 - xx/2! + (x^4)/4!,
sin(x) < x - (x^3)/3! + (x^5)/5!
= {x - ((14-xx)/720)x^5}/(1+xx/6)
< x/(1+xx/6), (0<x<π/2)
3752.
a_n = 1 +1/n -1/nn = (nn+n-1)/nn,
とおく。
a_n / a_{n-1} = (n-1)^2･(nn+n-1)/{nn(nn-n-1)}
= 1 - (nn-3n+1)/{nn(nn-n-1)}
≦ 1 - 1/(2nn) (n≧5)
∵ 2(nn-3n+1) - (nn-n-1) = n(n-5) + 3 ≧ 3 (n≧5)
(a_n / a_{n-1})^2 ≦ {1 - (1/2nn)}^2
= 1 - 1/nn + 1/(4n^4)
< 1 - 1/n^3, 正整数nと1より大きい正の実数xに対し、
Σ[k=1,n]{kx}/[kx]<Σ[k=1,n]1/(2k-1)
{kx}はkxの小数部分を表し、[kx]はkxの整数部分を表すものとする >>599
3763.
(左) HM-AM より
a/(2a+b+c) ≦ (1/4){a/(a+b) + a/(a+c)},
b/(2b+c+a) ≦ (1/4){b/(b+c) + b/(b+a)},
c/(2c+a+b) ≦ (1/4){c/(c+a) + c/(c+b)},
辺々たすと
(左辺) ≦ 3/4,
(右)
a/(2b+2c) = (a+b+c)/(2b+2c) - 1/2
b/(2c+2a) = (a+b+c)/(2c+2a) - 1/2
c/(2a+2b) = (a+b+c)/(2a+2b) - 1/2
辺々たすと
(右辺) = (a+b+c){1/(2b+2c) + 1/(2c+2a) + 1/(2a+2b)} - 3/2
≧ (a+b+c)･9/{4(a+b+c)} - 3/2 (← AM-HM)
= 9/4 - 3/2
= 3/4, (Nesbitt，Shapiro-3) >>593
〔Chapple - Euler の不等式〕
外接円の半径をR、内接円の半径をrとするとき
R(R-2r) = OI^2 ≧ 0
O：外心 I：内心 >>602
x → x+1 とすれば分母が k 増えるので左辺は減少する。1≦x≦2 で考える。
(m-1)/n ≦ {x} < m/n となるmをとる。
m = [nx] - n[x] +1， (1≦m≦n)
〔補題〕
Σ[k=1,n] {kx}/[kx] < Σ[k=1,m-1] 1/(2k-1) + ({x} - (m-1)/n)/(2m-1),
右辺は、(1，0) - (1+1/n，1) - (1+2/n，1+1/3) - …… - (1+m/n，Σ[k=1,m] 1/(2k-1)) - …… (2，Σ[k=1,n] 1/(2k-1)) を結んだ折れ線を表わす。 bot[195]
6(x^3 + y^3 + z^3)^2 ≦ (x^2 + y^2 + z^2)^3
これはシュワちゃんと関係あるん？ >>606 [195]
x+y+z = 0 より
x^3+y^3+z^3 = 3xyz,
xx+yy+zz = [(x-y)^2 + 3zz]/2,
xとyは同符号とすれば
0 ≦ 4xy ≦(x+y)^2 = zz,
(左辺) = 6(3xyz)^2 = 54(xy)(xy)(zz) ≦ (3zz/2)^3 ≦ {[(x-y)^2 +3zz]/2}^3 = (xx+yy+zz)^3.
蕪湖市数学競技会 以下、x、y、z∈R とする。
(1) (x^2 + y^2 + z^2)^3 ≧ 6(x^3 + y^3 + z^3)^2
(2) (x^2 + y^2 + z^2)^3 ≧(x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz)^2 + (ab+bc+ca)^3
(3) (x^2 + y^2 + z^2)^3 ≧ 2{(x-y)(y-z)(z-x)}^2
(4) 2(x^2 + y^2)(y^2 + z^2)(z^2 + x^2) ≧ {(x-y)(y-z)(z-x)}^2
(5) 合体 or 改造できるかな？
出典
(1) >>606、bot195、蕪湖市数学競技会
(2)(3)(4)は過去に扱ったと思うが、元ネタを記録していないので詳細不明
∧＿∧
( ;´∀｀) ＜ むむむ…、我慢できないでござる！
人 Y /
( ヽ し
（＿）＿） >>609 の続き
(6) (x^2 + y^2 + z^2)^3 ≧ 8(x^2 - yz)(y^2 - zx)(z^2 - xy) >>609
(1) x+y+z=0 のとき、…
(2)
xx+yy+zz = S2，xy+yz+zx = t,
とおく。
S2 - t = {(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2}/2 ≧ 0,
(S2)^3 - t^3 = {(S2)^2 + S2･t +tt}(S2-t)
≧ {(S2)^2 + S2･t - 2tt}(S2-t)
= (S2+2t)(S2-t)^2
= (x+y+z)^2･{(xx+yy+zz) -(xy-yz-zx)}^2
= (x^3+y^3+z^3 -3xyz)^2,
(3)
yはxとzの中間にあるとしてよい。
0 ≦ (x-y)(y-z) ≦ (1/4)(x-z)^2,
xx+yy+zz = (1/2)(x+z)^2 + (1/2)(x-z)^2 + yy ≧ (1/2)(x-z)^2,
(左辺) ≧ (1/8)(x-z)^6 ≧ 2(x-z)^2 {(x-y)(y-z)}^2 = (右辺), Asia Pacific Mathematical Olympiad APMO 2004
でググって５番目あたりに出てくるPDFの Problem 5。
模範解答がワケワカメ…。
これより強い不等式を、前スレでやったような排気ガス… 数学セミナーエレガントな解法2月号にある不等式の問題の正解率が異様に低かったらしい
そもそも問題すら理解してない回答が多かったって講評だった ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
