探検
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長さが1の線分だけを使って図形を描きます。
描かれた図形によって、線分どうしの相対的な位置関係が一意に決まる部分があるとき、
その部分は「作図できた」と考えることにします。
(1) 8本で 90°を作図してください。
(2) 8本で 20°を作図してください。
点Oを頂点にもつ2つの正3角形OAB, OCD を描く。
AとC、BとDが近いとき、点O以外の3点E,F,Gで交差する。
AD // BC // EG ⊥ OF
2点A,Bを結ぶ、右に凸な折線L1 と 任意の曲線L2 がある。
L1が内側(左)に、L2が外側(右)にあり、交差しないとする。
このとき
L1の長さ < L2の長さ
(略証)
最初に L=L2とする。
L1の第一辺を延長し、L2と交わったところでL2に乗り換える。
→ △不等式により、L2より短くなる。
L1の第二辺を延長し、L2と交わったところでL2に乗り換える。
････
これを繰り返すと、単調に短くなり、最後には L=L1 に至る。(終)
〔系〕
2点A,Bを結ぶ、右に凸な曲線C'がある。
C'に内接する折線L1 と C'の外側の任意の曲線L2 も2点A,Bを結ぶとする。
このとき
L1の長さ < L2の長さ
ぬるぽ
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1429353046/224
解析概論スレ５
△ABCに対し、同じ平面上の点Pからその3辺BC,CA,ABまたは延長上に引いた垂線の足(垂線と辺との交点)を D,E,F とします。
3直線AD,BE,CFが同一点で交わるとき、点Pを垂足チェヴァ点と呼ぶことにします。
問1 △ABCの3頂点、外心O、垂心Hが垂足チェヴァ点であることを示せ。
問2 Pが垂足チェヴァ点ならば、外心Oに関してPと対称な点P~も垂足チェヴァ点であることを示せ。
とおく。ここで3点 D,E,F は問題文のように定める。
チェヴァの定理より
Pが垂足チェヴァ点 ⇔ f(P)=1
問1
外心Oから辺BCまたは延長上に引いた垂線の足Mは、辺BC中点。
∴ (BM/MC) = 1, 他の2辺についても同様。
∴ f(O) = 1,
チェヴァの定理の逆より、外心Oは垂足チェヴァ点である。
Pが△ABCの垂心Hのとき、HはAD,BE,CFの交点。
∴ 垂心Hは垂足チェヴァ点である。
問2
3点 P,O,P~ から辺BCまたは延長上に引いた垂線の足を D,M,D~ とする。
P, P~は点Oに関して対称。
∴ D, D~ は中点Mに関して対称。
∴ BD = D~C, DC = BD~
∴ (BD/DC)(BD~/D~C) = 1, 他の2辺についても同様。
∴ f(P)f(P~) = 1,
なお、外心Oに関して垂心Hと対称な点はド・ロンシャン点と呼ぶらしい。。。
エレ解 出題１
HG：GO：OL = 2：1：3
外接三角形の垂心である。
この折り紙を縦に３等分する折り方を示せ。
ある正方形の四辺上の点であるという。
その正方形を作図せよ。
△ABCの各辺を等しい比に内分する点をP、Q、Rとすると、
△ABCの重心と△PQRの重心は一致する。
但し初等幾何で証明すること。
その内側に任意の点Pが与えられている。
Pを通る直線を引き、それがAX、AYと交わる点をB、Cとする。
△ABCの面積を最小にするB、Cの位置を求めよ。
これは、たぶん、フツーの人は、解けない。
これが解けたら、相当な上級者。
任意の△ABCの面積を、AB、BCを切る直線で二等分したい。
その直線とAB、BCとの交点をD、Eとするとき、
DEの長さが最小となるのは、BD＝BEのときであることを証明せよ。
但し初等幾何で証明すること。
これは△ABCのことを忘れて、
角Bを同面積に切る直線たちの中でBとの距離が最も遠いものは二等辺三角に切る直線であることを示せばよい
なぜなら直線に切り取られる面積は
(直線とBの距離)×(切り取られた線分DEの長さ)÷2
であり、後者を小さくすることは前者を大きくすることだからである
以下、二等辺三角に切る直線をDE、角BからDEへの垂線(これは角Bの二等分線)の足をHとしておく
これとは別の傾きで同面積を切る直線ℓを考えよう
ℓと平行でHを通る直線ℓ'が切り取る面積はBDEよりも大きい
なぜならℓ'の角Bとの交点をD',E'(仮にD'H<E'Hとしておく、逆でも同様)とすると△DD'HはBDEの内側、△EE'HはBDEの外側にあり、それらの面積比はD'H:E'Hだからである
よってBDEと同じ面積を切り取るℓはℓ'よりも角B側に近くなければいけない
よって直線ℓとBとの距離は直線DEとBとの距離(=BH)より小さい
>角Bを同面積に切る直線たちの中でBとの距離が最も遠いものは二等辺三角に切る直線であることを示せばよい
という発想は面白い。
しかしℓは必ずHより内側にあるはずだから、
ℓ'が作る△BD'E'が、ℓが作る△BDEより大きいことは明白だから、
△DD'Hと△EE'Hの面積比較は意味がない。
そもそもなぜ△DD'Hと△EE'Hのような変な部分を比較するのかが分らない（笑
何はともあれ回答が寄せられたことはうれしい。
そこで今日の問題。
円があり、その周上に定点Aがあり、円内に定点Bがある。
Bを通る弦をPQとするとき、AP×AQが最大となるようなPQを引け。
あれ、ℓがHより内側にあるってそんなに明らかですかね？
どんな証明を自作されていたかも良ければ教えてください
僕は僕の本の次の改訂版で「幾何小問」と題して、
いくつかの初等幾何の問題を扱う予定で、
この問題の証明もそこに書くつもりだから、ここには書かない（笑
しかしHを通る直線で切ると、その三角形が
二等辺三角形BDEより大きくなることは明白である。
だからℓは必ずHより内側になければならない。
ついでにいうと、>>47の問題も、
初等幾何による証明は知られていない(?)ようなので、
次の改訂版で初等幾何による証明を書く予定だ。
もしかしたら2chの人間が初等幾何による証明を知っているかもしれない、
と思い、出題してみたのだが、今のところ回答がない。
数学塾を経営しているという某数学ブログの作者にも出題してみたが、
今のところ回答がないのだ。
本を書かれてる方だったんですね
Hを通る直線で切ると二等辺三角の面積より大きくなることはどうやってわかりますか？
(そのために自分はDD'HとEE'Hの面積を比べてしまいましたが…)
僕は君の>>51のレスを誤解していたようだ。
君がD、Eと書いているのはℓで切ったときの交点かと思っていた(笑
まさに君が>>51に書いている通りの理由によって、
△DD'Hと△EE'Hのどちらかが片方より大きくなるのだから、
Hを通る直線で切ると二等辺三角の面積より大きくなるのである。
ちなみに僕が出した本は次の本。
「相対性理論はペテンである／無限小数は数ではない」
「卑弥呼は満鮮にいた」
「馬韓も百済も満州にあった」
いずれもアマゾンのみの販売で、百部限定の自費出版本。
「相対性理論はペテンである／無限小数は数ではない」は
一部に不備があるので、来年改訂版を出す予定。
AB=ACの二等辺△ABCがある。
BからABに、CからACに、垂線を立て、それらの垂線の交点をPとする。
BC上に任意の点Qがあり、Qを通りAC、ABに平行線を引き、
それらがAB、ACと交わる点をM、Nとする。
このときPQの延長とMNは直交する。
これは、直交条件の知識がないと、たぶん、解けない。
対角線の交点をEとするとき、EA>EDであることを示せ。
Pを通る直線がAX、AYと交わる点をB、Cとするとき、
△ABCの周の長さが、与えられた長さｓに等しくなるように、直線PABを引け。
円周上に任意の四点A、B、C、Dがある。
それらの円弧AB、BC、CD、DAの中点をP、Q、R、Sとすると、
PRとQSは直交する。
中点より
弧PQ=(弧AB+弧BC)/2
弧QR=(弧BC+弧CD)/2
弧RS=(弧CD+弧DA)/2
弧SP=(弧DA+弧AB)/2
よって
弧PQ+弧RS=弧QR+弧SP=半円
Sの向かいの円周上の点をS'とすると
弧PQ=弧S'Rとなるから
中心角QS'を二等分する線ℓは弦PRと直交する
中心角と円周角の関係により弦QSは二等分線ℓと平行になり
弦PRは弦QSとも直交する
では次の問題。
丸山良寛の定理を証明せよ。
実は>>60を利用すると、丸山良寛の定理が、
wikipedia記載の方法とは別の方法で、証明できる。
ヒント。円に内接する四角形をABCDとすると、
たとえば△ABCの内心は、AとQを結ぶ線上にある。
22.5°
△ABCがあり、その外接円の直径PQが、BCと垂直に交わっている。
QPの延長とBAの延長との交点をR、PQとACとの交点をSとすると、
R、P、S、Qは調和点列をなす。
30°かもしれないな。
DE^2 = |↑DE|^2
= |↑BD - ↑BE|^2
= |↑BD|^2 + |↑BE|^2 - 2(↑BD･↑BE)
= BD^2 + BE^2 - 2 BD BE k(B)
= (BD - BE)^2 + 2 BD BE (1-k(B)),
= (BD - BE)^2 + 2 AB BC (△DBE/△ABC)(1-k(B)),
= (BD - BE)^2 + 2 AB BC (1/2)(1-k(B)), (←題意)
右辺第2項は一定だから
DE は BD=BE のとき 最小になる。
…とやるのは初等的ぢゃないねぇ････
ぬるぽ
任意の△ABCの内心をIとする。
△ABCの外接円の周上の任意の点PとIを結び、
その延長が外接円と交わる点をDとする。
Dを中心とし、半径DIの円を描き、
それが△ABCの外接円と交わる点をQ、Rとすると、
△PQRの内心もIである。
Aから円に割線を引き、円との交点をP、Qとする。
△PQBの面積が最大となるように、割線APQを引け。
ちなみに>>67の問題は、ある本に、
「容易に証明できる」とだけ書かれていて、証明は書かれていなかったので、
問題として出してみたのだが、誰も答えなかったな（笑
ま、誰も解く気がないのだろうから、それはそれでかまわないが（笑
OX上に定点Aが、OY上に定点Bが与えられている。
二つの円が、AとBで接し、かつPで外接しているとき、
点Pの軌跡を求めよ。
>>69
Pの軌跡はA,O,Bを頂点とする平行四辺形内に偏平な楕円の1/4を描き、A,BにおいてOX,OYと直交する。
ペケ（笑
ガイジよ、脳みそを幼稚園からつくり直してこい。
お前、もしかして、はい論破男か（笑
そんなに僕が憎いのか（笑
僕はこのスレで一度もお前らに対して嘲笑的な投稿はしていないぞ（笑
お前がガイジではないなら僕が出した問題くらい簡単に解けるだろう（笑
0.99999……は１ではないことくらい簡単に分かるだろう（笑
ところがお前は初等幾何の問題すら解けないし、
0.99999……は１ではないということすら分っていない（笑
どんなに利口ぶってもお前らがアホであることはとっくに分っている（笑
大学レベルの高度な問題をすらすら解けても
0.99999……は１ではないということすら分らないならアホ以外の何物でもない（笑
カントールはもちろんヒルベルトも高木貞治もその程度のアホだったのである（笑
分るか？（笑
お前、もしかしてイナの答えを正解だと思ったのか？（笑
しかしイナの答えは不正解である（笑
イナは当てずっぽうで書いているだけだ（笑
その証拠に、証明を書いていない（笑
>>74
嘲笑しながら「嘲笑していない」と嘘をつくなクズ。
「0.99999……は１ではないということすら分らない」などと捏造して我々や数学者らを中傷するな。
偽の命題には「分かる」という現象も「分からない」という現象も存在しない。それらはお前の捏造だ。
偽の命題に対して存在するのは「偽であると分かる」「偽であると分からない」という現象だ。
お前は中傷やヘイトスピーチのために命題だけでなく存在しない現象すら捏造している。
さらに「分かる」の「か」をわざと削除し、「分る」「分らない」という言葉まで捏造している。
例えばアメリカ人に対して「LとRの発音を違うと思っているアホ」とか「同じ発音であることすら分らないアホ」とか言ったらヘイトスピーチだし、逆に嘲笑されるか袋叩きに逢う。
安達がやってるのはそれと同じで数学者に対するヘイトスピーチであり、すなわち安達は数学差別主義者である。
偽の命題Aと、「Aが分る」「Aが分らない」という現象を捏造し、Aが偽であると分かる数学者を「Aであることすら分らない」と捏造し中傷する。
それが安達によるヘイトの手口であり、常套手段である。
安達のヘイトは愛知トリエンナーレなんぞより遥かに悪質で深刻だ。なぜならあっちは県のイベントだが安達の数学ヘイト本は国会図書館という国の施設に置かれているからだ。非常に由々しき事態だ。
>>56
一部に不備？
お前の本は全部不備だろ。
どうせ数学に対する中傷とヘイトスピーチしか書かれてないんだろ。
ガイジ注意
お前は第四のバカか（笑
0.99999……に関しては僕のスレに書くように（笑
ここに書くのはスレ違い（笑
ちなみに0.99999……は１ではないことは、
聡明な人はもちろん、聡明ではない一般大衆も分っているのである（笑
0.99999……＝１などと思っているのは
大学でインチキ現代数学を学んだ連中だけである（笑
>>76
こいつはただの池沼（笑
大体、僕に対してこういうレスを書いてくるのは
2chの中でもアホの部類に入る連中である（笑
お前のスレなどない。
5ちゃんねるを私物化するな。
ヘイトスピーチもいい加減やめろ。
お前の存在自体がスレチだ。
お前が先にそのスレチなヘイトスピーチを>>73で始めておいてスレチを理由に反論を封殺するのは身勝手すぎる。
そもそもお前自体が数学版において場違いなんだからな。
ガイジ注意
自分を頭良いと思いこんでるただのガイジ。
とおそらくいう。
返答すれば、そこはそういう意味ではない。と問題をすり替える。多解釈可能な曖昧性を残した問題をここに置く。
ガイジは言う
「証拠はどこにあるんですか。問題文が曖昧であるという証拠は？」
と。
このスレの良識ある民は直ちに安全な場所へ避難してください。
>>78
>>72のバカの投稿はヘイトスピーチではないのか（笑
お前らが僕に対して書いていることはヘイトスピーチではないのか（笑
お前らの僕に対する投稿は全部ヘイトスピーチだ（笑
お前らが僕に対してヘイトスピーチをしないなら、
僕もお前らたいしてアホとかバカとは書かないのだ（笑
分るか？（笑
実際僕はこのスレで>>73以前に
お前らを嘲笑するようなレスは一度も書いていない（笑
そもそもお前らは僕に対して何でそれほど敵意剥き出しなのか（笑
僕はただ0.99999……は１ではない、
という当り前のことを書いているだけなのに（笑
お前らがこのスレでやっていることは荒らしだ（笑
↓僕に対する嘲笑や攻撃はこれらのスレに書け（笑
0.99999……は１ではない その11
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595025887/l50
現代数学はインチキのデパート
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570145810/l50
ガロア第一論文について語るスレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1553954860/l50
お前らが僕に対して書いていることはヘイトスピーチではないのか（笑
お前らの僕に対する投稿は全部ヘイトスピーチだ（笑」
↑自分はいくらでもヘイトスピーチするが、被害者の反論だけをヘイトスピーチと見なし弾圧。泣き寝入りを強要。他人を奴隷視する身勝手な思想。
「お前らが僕に対してヘイトスピーチをしないなら、
僕もお前らたいしてアホとかバカとは書かないのだ（笑
分るか？（笑」
↑と嘘をついているが、安達は0.999...のスレのパート1の>>1から相手の態度に関係なく中傷とヘイトスピーチしかしてないない。
「実際僕はこのスレで>>73以前に
お前らを嘲笑するようなレスは一度も書いていない（笑」
↑これも嘘。実際は>>52から嘲笑している。
「そもそもお前らは僕に対して何でそれほど敵意剥き出しなのか（笑」
↑お前が中傷ばかりしているからだ。知らばっくれるな。
「僕はただ0.99999……は１ではない、という当り前のことを書いているだけなのに（笑」
↑などと嘘をついてやがるが、安達はこの主張をするより一万倍以上の頻度でこの主張とは無関係な中傷ばかりしている。まあ、この0.9999...は1ではないという主張自体が数学に対するヘイトスピーチだがな。
お前がこのスレに限らず数学版でやっていることこそ荒らしだ
他人に対する嘲笑や攻撃はどのスレにも書くな
が現れました。
「ガイジ警報」発令します。
このスレの良識ある民は直ちに安全な場所へ避難してください。
ガイジは、おそらく「この問題文のどこに問題が得るんでしょうかね」
と言うことが懸念されます。
返答すれば、そこはそういう意味ではない。と問題をすり替える。多解釈可能な曖昧性を残した問題をここに置く。
ガイジはまた以下のような発言もするでしょう。
「証拠はどこにあるんですか。問題文が曖昧であるという証拠は？」
間違っても返事などしないようにくれぐれもご注意下さい。
先程お伝えしましたガイジは、
>>85 ではなく、>>83 となります。
失礼いたしました。
>実際は>>52から嘲笑している。
バカ（笑
>>52の（笑、は嘲笑ではない（笑
微笑の意味の（笑である（笑
そもそも僕は基本的に微笑の意味で（笑と書いているのだ（笑
分るか？（笑
たとえばお前らがｗと書いても、
必ずしも嘲笑の意味ではないのと同じだ（笑
ただ単に微笑ましいという意味でｗと書くことだってあるだろ（笑
それと同じだ（笑
分るか？（笑
とにかくスレチなことを書くな（笑
僕を叩きたいなら>>84のスレに書け（笑
ここは数学板であって中傷板ではない。
反論を許さず好き勝手に中傷だけさせろなんて我儘が通ると思うな。
あと嘲笑しておいて「微笑」などと知らばっくれるようだが、
数学板において今後一切他人を不快にする嘲笑用語でしかない「（笑」「分る」「分らない」の使用を禁止する。
俺もそう思うわ
と書いただろ（笑
誰が見ても荒らしをしているのはお前らだ（笑
アホはこれだから困る（笑
自分には中傷権があり、相手には反論権はなく、泣き寝入りし黙って中傷される義務があると思っている傲慢な思想。
アニメとかのアンチと変わらない。
と書いただろ（笑
誰が見ても荒らしをしているのはお前らだ（笑
アホはこれだから困る（笑
AB = 8, AC = 72/7, ∠A = 2∠C のとき ⊿ABCの外接円の半径Rを求めよ。
という問題です。
中学数学の範囲で解けるでしょうか。
（三平方の定理、円周角の定理、トレミーの定理は使えます。）
計算上、28/√21
但し計算ミスしているかもしれない（笑
三平方の定理、円周角の定理、トレミーの定理だけで解ける問題だ。
円周上に点A、B、C、Dがあり、ACとBDが直交しているなら、
A、B、C、Dに於ける円の接線の交点をP、Q、R、Sとすると、
P、Q、R、Sは同一円周上にある。
あるいは、同じことだが、
四角形PQRSが円に内接し、かつ、
点A、B、C、Dで円に外接しているなら、
ACとBDは直交する。
注意：Rを求めるためには、ほうベキの定理を使う必要あり。
但し、もっと簡単な方法があるかも。
>>61の名解答を読んで、僕は非常に感心した。
なるほど、こういうのをエレガントな解法というのだな、と。
しかし先日、僕はもっと簡単な解法を発見した。
但し、それは通俗的で、面白味がない。
しかし、面白味はないが、簡単といえば簡単である。
ちなみに>>100の問題は、
>>60の問題と、やや似た問題である。
正解です!
>>257
∠A の2等分線と外接円の交点をDとする。
∠BAD = ∠DAC = ∠C
円周角の定理により
BD = CD = AB = 8,
対称性より
AD = BC
四角形ABDC は円に内接するから
トレミーの定理より
AD･BC = AB･CD + AC･BD,
AD = BC = 32/√7,
半径ODは弦BCを垂直に2等分する。
その交点をMとおく。
BM = MC = 16/√7,
三平方の定理より
OM^2 = RR - BM^2,
これと
OM = R - MD,
より
R = (BM^2+MD^2)/2MD,
さらに
BM^2 + MD^2 = BD^2,
だから
R = (BD^2)/{2√(BD^2-MB^2)}
= 28 /√21,
>>98トレミーってなんだ？ そんなの聞いたこともないやつ使っていいなら正弦定理と加法定理はいいってことだよね。円周角の定理？ 中心角の半分てやつか？
2R=8/sinC=72/7sin(180°-3C)
=72/7(sin180°cos3C-cos 180°sin3C)
=72/7｛0×cos3C-(-1)sin3C｝
=72/7sin3C
=72/7(3sinC-4sin^3C)
9=7(3-4sin^2C)
28sin^2C=12
sinC=√(3/7)
∴R=4/sinC=4√7/√3=4√21/3
普通はsin(180°-3C)=sin(3C)でいいよ。図書いてみな。
>>105図を書いたら角B=180°-3Cだとわかった。
>>105なるほどsin(180°-3C)=sin3Cだから加法定理は省ける。
>>98
>>98トレミーってなんだ？ そんなの聞いたす正弦定理と加法定理はいいってことだよね。円周角の定理？ 中心角の半分てやつか？
2R=8/sinC=72/7sin(180°-3C)
=72/7(sin180°cos3C-cos 180°sin3C)
=72/7｛0×cos3C-(-1)sin3C｝
=72/7sin3C
=72/7(3sinC-4sin^3C)
9=7(3-4sin^2C)
28sin^2C=12
sinC=√(3/7)
∴R=4/sinC=4√7/√3=4√21/3
>>105なるほどsin(180°-3C)=sin3Cだから加法定理は省ける。
>>98
図を書くとB=180°-3C
正弦定理より2R=8/sinC=72/7sin(180°-3C)
=72/7sin3C
=72/7(3sinC-4sin^3C)
9=7(3-4sin^2C)
28sin^2C=12
sinC=√(3/7)
∴R=4/sinC=4√7/√3=4√21/3
三次元空間内の曲面として
(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)-(z^2)/(c^2)=1
によって記述される一葉双曲面は直線の合併集合である。
x = a{cosφ + (z/c)sinφ},
y = b{sinφ - (z/c)cosφ},
0≦φ<2π, (パラメータ)
を含む。
もう少し簡単な計算方法もある。
直径をDEとすると、BD^2＝DM・DE
これを利用すると、直径DEをすぐに計算できる。
それは気付きませんでした
∠DBE = 90°= ∠DMB,
∴ ⊿DBE ∽ ⊿DMB,
∴ DE：DB = DB：DM,
また
DB = AB = 8,
BM = BC/2 = 16/√7,
DM = √(DB^2 - BM^2) = (8/7)√21,
>>109そうだね。加法定理は許可すべきだよね。
直線
x = a{cosφ + (z/c)sinφ},
y = b{sinφ - (z/c)cosφ},
0 ≦ φ < 2π,
と直線
x = a{cos(φ-ζ) - (z/c)sin(φ-ζ)},
y = b{sin(φ-ζ) + (z/c)cos(φ-ζ)},
-π < ζ < π,
の交点 (x,y) と (φ,ζ) が対応する。
(x/a)^2 + (y/b)^2 = 2/(1+cosζ),
z = c tan(ζ/2),
AとBを通り、かつ円Oと内接する円を作図せよ。
>>117
ABの垂直二等分線上に円Oについての当該内接円の中心がある。
>>117
ABの垂直二等分線上に円Oについての当該内接円の中心がある。
学コン・宿題ボイコット実行委員会@gakkon_boycott 9月1日
#拡散希望
#みんなで学コン・宿題をボイコットしよう
雑誌「大学への数学」の誌上で毎月開催されている学力コンテスト(学コン)と宿題は、添削が雑で採点ミスが多く、訂正をお願いしても応じてもらえない悪質なコンテストです。(私も7月号の宿題でその被害に遭いました。)このようなコンテストに参加するのは時間と努力の無駄であり、参加する価値はありません。そこで私は、これ以上の被害者を出さないようにするため、また、出版社に反省と改善を促すために、学コン・宿題のボイコットを呼び掛けることにしました。少しでも多くの方がこの活動にご賛同頂き、このツイートを拡散して頂ければ幸いです。
https://twitter.com/gakkon_boycott/status/1300459618326388737
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)
点Aから円に引いた接線の接点をBとし、ABの中点をMとする。
Mから円に割線を引き、円との交点をC、Dとする。
ACの延長と円との交点をE、ADと円との交点をFとすると、
ABとEFは平行である。
平面上の△ABCの辺BC上に点Dをとり、
AB^2 + AC^2 = 2AD^2 + BD^2 + CD^2,
をみたすようにします。
このときDは辺BCの中点Mに限るでしょうか。
数セミ増刊「数学の問題」第２集, 日本評論社 (1978)
●116改
AB^2 = AH^2 + BH^2,
AC^2 = AH^2 + CH^2,
辺々たせば与式となる。
点Dは辺BCの中点Mと垂足Hに限るでしょうか。
とおけば
AH = h,
AB^2 = hh + BH^2 = hh + (b-a)^2,
AC^2 = hh + CH^2 = hh + (c-a)^2,
AD^2 = hh + DH^2 = hh + (x-a)^2,
BD = |x-b|,
CD = |x-c|,
AB^2 - AD^2 - BD^2 = -2(x-a)(x-b),
AC^2 - AD^2 - CD^2 = -2(x-a)(x-c),
辺々たすと
0 = -2(x-a)(2x-b-c),
x = a または x = (b+c)/2,
D = H または D = M.
定点P、Qがあり、定三角形ABCが、
辺ABがPを通り、辺ACがQを通るように動くなら、
辺BCは、ある定円に接す。
底辺BCの長さが最小なものを求めよ。
但し証明その他は初等幾何によって行うこと。
>>126
あやとりの紐を壁か板か柱の一点Aに
釘かピンかネジを刺して引っ掛け、
つまり△ABCの頂点を固定し∠Aを決めると、
△ABCが二等辺三角形のとき、
まるで点Aの釘かピンかネジとあやとりをしてるかのように、
辺BCは必然的に最小になる。
∴示された。
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