はぁーなるほどー。
そんな証明の仕方もあるのか。
すっかり感心してしまったよ。



自然数系の定義について書き直すなら、

(f,s)の組に対して以下の性質を持つ集合が存在し、
1.1. f∈N
1.2. ∀n∈N[ s(n) ∈ N ]
1.3. ∀S∋f[ ∀n∈S[s(n)∈S] ⇒ N∈S ]

さらに以下の性質を持つならば(f,s)は自然数系である。
2.1. ∀n∈N[s(n) ≠ f]
2.2. ∀n,m ∈N[ n=m ⇔ s(n)=s(m) ]


こうなるわけだ。
俺はこの場合でもこっちを使いたいけど人によるのかな。
ペアノシステムとどっちが綺麗な定義なのかって俺的には微妙な線だけど。