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０は自然数か？ [無断転載禁止]©2ch.net
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0001１３２人目の素数さん
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2017/09/05(火) 01:18:09.63ID:bR+O9p/X
自然数では無いはず
0514１３２人目の素数さん
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2017/12/15(金) 14:02:53.82ID:G5v7erv5
0は自然数じゃないと思う。
数学科だと基本ペアノの公理で自然数を導入するが、其のとき求める自然数に0は含まれ無い
整数にするときに0を導入した。
其れで、整数は自然数から定義されるから自然数を説明するときに整数を使うのは問題が起こる。
高校までなら正の整数で良いと思うが。
色々やってみたが余り問題は起こら無いね。
1に対応するものを0に変えればそれで問題起こらないこと確認できるし。

序でにノイマン式の自然数の構成(集合論を用いるもの)では通常自然数は0から始める。
0516１３２人目の素数さん
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2017/12/15(金) 19:48:04.76ID:lo5Y1242
二進法は0,1のみである
0517１３２人目の素数さん
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2017/12/15(金) 19:52:29.14ID:Iyf4ElEy
一進数てないの？
0518１３２人目の素数さん
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2017/12/15(金) 23:07:39.91ID:yGL6lMZQ
>>514
＞数学科だと基本ペアノの公理で自然数を導入するが
そうだね。賛成。

＞其のとき求める自然数に0は含まれ無い

ダウト。一部に1から始める教授もいるが、
0から始めるほうが主流。流儀というか趣味の差に過ぎないが。

＞整数は自然数から定義されるから

ダウト。整数は代数上の概念で、
加減乗除が満たす公理から定義される。
それを自然数から構成して見せるのは、
面白い余興ではあるが整数にとって重要ではない。

＞高校までなら正の整数で良いと思うが。

中学の教科書は、自然数が1から始まる流儀を
とっているからね。逆らう理由も特に無いし、合わせてあげたらいい。
0519１３２人目の素数さん
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2017/12/16(土) 16:22:31.72ID:29wTfMth
２つの「全ての自然数の集合」が、一方の全ての元を含んでいないと、帰納法の公理に反する。
0520１３２人目の素数さん
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2017/12/20(水) 07:24:12.63ID:tctI43Ps
>>518
教授に聞いてみたところ、0は含んでも含まなくてもいいみたいな感じでした
0を含むと都合が悪いときは含まないで、含んだほうが都合がいいときは含むものとしてやることがあるみたいでどっちじゃないといけないみたいなことはないみたいです

自然数を使わずに整数が定義できるのはかなり興味深いんですが、なにかそれについて詳しくかかれてる参考書とか教えてもらってもいいですか？
0521１３２人目の素数さん
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2017/12/25(月) 16:47:21.33ID:Fp12EBAn
整数環の単位元は自然数１。
0522１３２人目の素数さん
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2017/12/25(月) 17:19:47.38ID:Yuo09ydY
■モンティホール問題（空箱とダイヤ）

このゲームができるのは1回だけです

ダイヤモンド1個を外からは中が見えない空箱100個の
中のどれかひとつに入れます

その中から1個の箱を選びます

98個の空箱を取り除きます

最後に残った2個の箱の中から1個の箱を選びます

ダイヤモンドが当たる確率は何％でしょうか？
0524１３２人目の素数さん
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2017/12/27(水) 02:06:28.15ID:oB3+VADq
0を含めるかは流儀によるってのじゃなくて
なんで片一方を別の名前にしようとか思わなかったんだ
いちいち断わらないとでめんどくせーったらありゃしないわ。
0525１３２人目の素数さん
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2017/12/27(水) 17:41:46.83ID:nSA9suNt
>>524
なんでそんな自由度の無い糞堅苦しい世界を望むのか
工学屋はJISだISOだ何だとよくそんなこと言ってた印象があるけど
ローカルなスコープを好む数学屋には理解できないよ
0528１３２人目の素数さん
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2017/12/27(水) 18:41:19.24ID:/BavyLbc
名称なら好きにすればいい
0を含むかどうかで分けるのであれば、それぞれ一意になるような構造を見つければいい

少なくとも今の数学では「自然数とは何か」を構造論的に考えると0を含むかどうかは本質的でないと考えられているだけで、0の有無による構造の差異が本質的に効いてくる事実を示せれば状況は変わる(可能性はある)
0529１３２人目の素数さん
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2017/12/27(水) 19:16:25.44ID:W7tdg+qq
広義自然数
狭義自然数
0531１３２人目の素数さん
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2017/12/29(金) 20:39:06.00ID:rHwVJTu1
空間の次元や多項式の次数のように0もあり得る離散量は多い
また、連続関数をC^0級と呼ぶように0の場合を便宜上含めることも多い
0532１３２人目の素数さん
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2017/12/29(金) 23:51:23.91ID:FZBCcLtg
520の質問について俺も聞きたいのだが
0533１３２人目の素数さん
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2017/12/30(土) 00:05:52.09ID:LvZUJbb9
公理で定義するここと、その公理を満たす対象を構成することは別物
ってだけだぞ
それぞれ抽象的定義／構成的定義と呼ぶこともある
0534１３２人目の素数さん
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2017/12/30(土) 00:46:19.73ID:Swdov7O+
>>533
>>532に言ってるの？
0535１３２人目の素数さん
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2017/12/30(土) 09:48:27.92ID:Kph6jccf
こことことは別物といい隊員だよ
0536１３２人目の素数さん
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2017/12/31(日) 17:57:42.51ID:t2s3ffvn
おちんちんびろーん
0547１３２人目の素数さん
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2018/03/03(土) 01:47:07.32ID:OzHPA5t4
ペアノの公理は、どんな数のつぎにもこない数１が存在する、と言っている。
0548１３２人目の素数さん
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2018/03/03(土) 01:48:51.13ID:o8prdHaI
ペアノの公理は、どんな自然数のつぎにもこない自然数が一個存在する
とは言っているが、それが１だとは言っていない。
0553１３２人目の素数さん
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2018/03/03(土) 15:21:11.70ID:p0yI9Zx1
ペアノが1という記号を使ったと言っても
ペアノの公理の5条件だけではその記号1が指すものが
加法単位元か乗法単位元かあるいはそれ以外になるかは定まらない
>>120の言うように加法の定義次第

>>547は記号1と数1を混同している
0554１３２人目の素数さん
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2018/03/12(月) 06:44:57.43ID:DEMrHDxX
まあでも、自然数は１から始まると覚えておいたほうがいいよ。
0556１３２人目の素数さん
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2018/03/12(月) 22:21:34.87ID:1tX+PjU3
>>5の方針で論じるのは諦めたのか？
とにかく１から始まるんだと繰り返すだけ？
0558１３２人目の素数さん
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2018/03/13(火) 00:43:23.24ID:fSkkpm9a
まあ自然数の公理主義的構成について理解してないの丸出しだね。
0560１３２人目の素数さん
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2018/03/13(火) 21:37:00.96ID:2y1j/gPY
>>559
なぜ？
0561１３２人目の素数さん
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2018/03/14(水) 23:27:53.45ID:obtom+aK
今日は、おっΠの日。
　３月１４日１５時９２分６５秒　　→　　３月１４日１６時３３分０５秒
0562１３２人目の素数さん
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2018/03/15(木) 00:27:53.79ID:t8vfSRvQ
hoa-----
0563１３２人目の素数さん
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2018/03/21(水) 17:45:15.31ID:TbKTGfyp
ペアノの公理の最初の要素を非負整数以外にすると加法と乗法について閉じていなくなるので「自然」ではないと思う
では、2以上の整数にすることで不自然になることってあるかな？
0564１３２人目の素数さん
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2018/03/24(土) 05:30:30.99ID:rX8TWO/i
ペアノの公理は自然数の順序構造しか定めていないから、
「自然」もなにも、加法も乗法も存在しないがな。
最初が0でも1でも2でも１０でも−１でも、同じこと。
0565１３２人目の素数さん
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2018/03/24(土) 07:01:14.17ID:ucdOtpAk
ペアノの公理で定義される集合の上で加法と乗法を定義して、
最初の要素が何であるかを定める、というべきだったか
それで、例えば最初の要素が-1になるように加法を定義すると
(-1)+(-1)があるから閉じていなくなる
0566１３２人目の素数さん
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2018/03/24(土) 11:41:11.96ID:pIzLq3ST
ペアノの公理だけじゃ加法も乗法も定義できないから、自然数の公理といえば普通はPAになる
0568１３２人目の素数さん
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2018/03/24(土) 23:49:48.90ID:ucdOtpAk
>>567
>>563でも言ってる通り、非負整数スタートなら閉じている
では、2スタートにすることで何か「不自然」なことはあるだろうか？
0570１３２人目の素数さん
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2018/03/26(月) 06:56:27.17ID:dOPRwKBy
バカばっかだなｗ
0592１３２人目の素数さん
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2018/05/13(日) 14:50:49.15ID:E7bnfRCz
ペアノシステムってさ、要するに(台集合,先頭,後者)の組が下の性質を満たしてるものの事を言うの？
1. 先頭は台集合に属する
2. nが台集合の元ならnの後者も台集合の元
3. 先頭は台集合の元の後者ではない
4. n,mが台集合の元でn≠m ならば nの後者 ≠ mの後者
5. 先頭がある集合に属しnがそのある集合に属するならnの後者も属するならば台集合はある集合の部分集合

思ったんだけどペアノシステムって(先頭,後者)の組だけで十分じゃない？
5を満たす集合はこの組から一意に定まるしこっちの方がしっくりくると思う
この集合はペアノシステムからの写像って事で
0593１３２人目の素数さん
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2018/05/13(日) 15:03:11.82ID:E7bnfRCz
言っちゃえば (1, ÷2) だってペアノシステムだよね。
自然数が0からなら{0, 1, 2 ... }
自然数が1からなら{1, 2, 3 ... }
みたいな感じで
{1, 0.5, 0.25 ... }だってペアノシステム(1, ÷2)の台集合な訳よ。

ここでこの台集合って、{x|2^-n(nは自然数)}と等しくなるよってしたいなら自然数は0から始まる事にしなくちゃならんよね。
だから0は自然数に属するって方がしっくりくると思う。

今までとは違うアプローチの仕方だけどどう思う？
0594１３２人目の素数さん
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2018/05/13(日) 15:20:59.60ID:r7KSqVuU
＞思ったんだけどペアノシステムって(先頭,後者)の組だけで十分じゃない？

集合論では「後者」は後者関数という写像として定義するのだから、
その写像の定義域すなわち台集合をセットで指定しなければ定義にならない。
別の言い方をすれば、台集合を使わずに「後者」の概念を定義する場合、
写像ではない何らかの形で「後者」を定義しなければならない。

＞5を満たす集合はこの組から一意に定まるしこっちの方がしっくりくると思う

台集合を使わずに「後者」の概念を定義する場合、写像ではない何らかの形で
「後者」を定義しなければならない。そのような新しい定義のもとでは、
1〜5に相当する新しい公理が必要である。また、1〜4に相当する公理だけが
満たされているのでは全くペアノの公理系として機能せず、結局は5に対応する公理まで必要になる。
つまり、「5を満たす集合はこの組から一意に決まる」というのは無条件で実現されるのではなくて、
一意になることが保証されるような、5に相当する公理を最初から盛り込まなければならない。
0595１３２人目の素数さん
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2018/05/13(日) 15:28:04.94ID:r7KSqVuU
＞言っちゃえば (1, ÷2) だってペアノシステムだよね。

論理が滅茶苦茶。台集合を使わずにペアノシステムに相当する概念を
定義しようとする君が、その具体的な定義を与えずに台集合なしの対象を持ってきて

「言っちゃえばこれもペアノシステムだ」

と言ったところで1ミリも意味をなさない。まずは

「台集合を使わないペアノシステム」

の具体的な定義を与えるべし。
0596１３２人目の素数さん
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2018/05/13(日) 17:49:20.25ID:E7bnfRCz
>592 で主張したい事と >593 で主張したい事は全く別物なんだ。
分かりにくくてスマン。
>592 で示したいのはペアノシステムが２つ組で十分って事で
>593 で示したいのは先頭が1で後者が÷2であるような体系も自然数と同じように議論できるって事
0597１３２人目の素数さん
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2018/05/13(日) 17:50:25.66ID:E7bnfRCz
{ 2^-n(nは自然数) }, 1, ÷2 )
この組がペアノシステムであるっていうのならokなの？
0598１３２人目の素数さん
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2018/05/13(日) 17:57:33.36ID:E7bnfRCz
写像を定義するならその定義域と値域も定義しなくちゃいけないってのもようわからん。
それは慣習とかではなく何か理由があるの？
否定してるのはその部分だよね？
a = b ⇒ f(a) = f(b)
写像の定義ってこれだけじゃダメなんかね？
定義域、値域ってのは議論の見通しを立てるために定めてるだけだと思ってたけど何かなくちゃ困るような事があるのかね？
0599１３２人目の素数さん
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2018/05/13(日) 19:51:36.51ID:r7KSqVuU
>>596
＞>592 で示したいのはペアノシステムが２つ組で十分って事で

台集合がない「2つ組」だけで どうやってペアノシステムを定義するのかと聞いているのだが？
なんで具体的に定義しないの？

>>597
＞{ 2^-n(nは自然数) }, 1, ÷2 )
＞この組がペアノシステムであるっていうのならokなの？

それはオーケー。台集合が { 2^-n(nは自然数) }, 先頭が 1, 後者関数が "÷2" の
ペアノシステムになっている。
0600１３２人目の素数さん
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2018/05/13(日) 20:06:17.81ID:r7KSqVuU
>>598
＞a = b ⇒ f(a) = f(b)
＞写像の定義ってこれだけじゃダメなんかね？

ぜんぜん定義になってない。それで何を定義したつもりになっているのだ。
「ペアノシステム」についてはキチンと定義込みで調べているくせに、
「写像」については全く調べることをせずに自己流のトンデモ解釈で
写像を定義しようとする体たらく。やっていることの順番が滅茶苦茶。

A,Bを集合とする。A×B の部分集合 f ⊂ A×B が

・ ∀a∈A, ∃b∈B [ (a,b)∈f ],
・ ∀a∈A, ∀b_1,b_2∈B [ (a,b_1),(a,b_2)∈f ⇒ b_1＝b_2 ]

を満たすとき、f のことを A から B への写像と呼び、f：A→B と表記する。
また、各 a∈A に対して、(a,b)∈f を満たす b∈B は(上記の定義により)1つしかないので、
この b のことを f(a) と表記する。

これが集合論における写像の定義。ご覧のとおり、
この定義では A,B が先に与えられなければ写像は定義しようがない。
0601１３２人目の素数さん
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2018/05/13(日) 20:19:33.48ID:r7KSqVuU
>>596
＞>592 で主張したい事と >593 で主張したい事は全く別物なんだ。
＞分かりにくくてスマン。

>593の後半部分は>592と違うことを言っているが、
>593の前半部分は明らかに>592の続きである。

>592では、「ペアノシステムは2つ組だけで十分」という内容が主張されている。
続く>593の前半部分では、「その具体例として(1,÷2)が考えられる」と言っている。
なぜなら、>>593の1行目は

＞言っちゃえば (1, ÷2) だってペアノシステムだよね。

であり、文脈上は明らかに >592 の続きとして >593 が書かれており、
しかも (1, ÷2) という2つ組のことをペアノシステムと称しているからだ。

これに関して俺が言っているのは、2つ組でペアノシステムに相当する概念を定義しようとする君が
その具体的な定義を与えずに いきなり2つ組の具体例を持ってきて「言っちゃえばこれもペアノシステムだ」
と言ったところで1ミリも意味をなさないということ。
まずは「台集合を使わない2つ組のペアノシステム」の具体的な定義を与えよ。
0602１３２人目の素数さん
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2018/05/13(日) 21:14:56.83ID:E7bnfRCz
>台集合を使わない2つ組のペアノシステム」の具体的な定義
こんな感じでどうだろう。
写像を使わずに定めてみようと思う。
３つ組のペアノシステムと混同しないように、ここでは「自然数系」と定義する事にする。

(f, s)という二つ組から{f, (s f), ((s (s f)), ... }という台集合を作った時、以下の２つの性質を持つならば、この(f,s)を「自然数系」と呼ぶ。
1. f=(s n) となるようなnが台集合の元に存在しない。
2. 任意の台集合の元nに対して、nと(s n)が一対一の関係である。


(f,s)が自然数系である ⇔ (台集合,f,s)がペアノシステムである
ってなってれば成功だけどどうだろう。
0603１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/13(日) 21:29:33.34ID:E7bnfRCz
> a = b ⇒ f(a) = f(b)
> ぜんぜん定義になってない。それで何を定義したつもりになっているのだ。

少なくとも「一意的に定まる」という意味の定義はこれでいいんじゃないの？
それを写像と同じ意味だと俺は解釈してたって事だけど。
教科書にもそう書いてあったし教授もそう言ってたしそう解説してるサイトもあったからそこは流儀によるんじゃない？
ちなみにその教授は数学専門でもないしその教科書もその教授が書いてるから結局信用しきれる訳ではないけど。
でも少なくとも特殊な解釈ではないんじゃないかな。宗教論みたいなもんだと思うけど。
0604１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/13(日) 21:42:16.55ID:r7KSqVuU
>>603
＞少なくとも「一意的に定まる」という意味の定義はこれでいいんじゃないの？

a,b は何を指すのか？その a,b に対して 「f(a)」「f(b)」という記号列は何を指すのか？
これらを指定しなければ何も定義してないのと同じ。
そして、きちんと指定し出すと、結局は>>600になってしまう。

＞それを写像と同じ意味だと俺は解釈してたって事だけど。

間違った解釈なので今すぐに改めましょう。

＞教科書にもそう書いてあったし教授もそう言ってたしそう解説してるサイトもあったからそこは流儀によるんじゃない？

それはどんな教科書だ？それはどんな教授だ？
f：A→B における A と B すら無いような写像の定義なんぞ聞いたことがないし、
そんな流儀の写像なんぞ存在し得ない。なぜなら、写像と言えば必ず f：A→B の形をしており、
もうこの時点で A,B が登場するからだ。今すぐ「写像」で検索してみろ。必ず A,B がセットで出てくるから。
にも関わらず、写像の定義に A,B が必要ないというのは、君のトンデモ解釈による勘違いに過ぎない。

＞ちなみにその教授は数学専門でもないしその教科書もその教授が書いてるから結局信用しきれる訳ではないけど。

数学専門ではないならそこでこの話は終わり。その教授が完全に間違っている。
あるいは、教授の話を君が勘違いしているかのいずれかだ。
0605１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/13(日) 21:43:20.98ID:wztBZEU9
自然数が先に与えられてたら2つ組で十分な気はする
自然数を使わずに定義しようとするには台集合を与える必要がありそう
0606１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/13(日) 21:48:07.37ID:r7KSqVuU
>>602
問題点1： (s f) や (s (s f)) といった対象を集合論の中でどのように定義するつもりなのか？

問題点2： {f, (s f), ((s (s f)), ... } という表現における「…」には大きなゴマカシが入り込んでいる。
単に「…」と書いただけでは、「超限回」の繰り返しが許されているのと論理的に区別がつかず、
それではペアノシステムにならない。君は {f, (s f), ((s (s f)), ... } と書くことで、いわゆる

(s(s(s 〜 (s(s(s (s f)))) 〜 ) ) )　　(s は有限個しか登場しない)

に相当する対象のみを集めた集合を表現したつもりでいるのだろうが、
単に {f, (s f), ((s (s f)), ... } と書いただけでは

(s(s(s 〜 (s(s(s (s f)))) 〜 ) ) )　　(s は "超限個" 登場する)

という対象まで含まれてしまう可能性がある。また、このような対象が {f, (s f), ((s (s f)), ... } の中に
含まれているとしても、君が提示した 1,2 は成り立ってしまうので、結局、君の定義ではペアノシステムの代替にならない。
0607１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/13(日) 23:01:07.92ID:E7bnfRCz
問題2の方は確かにそうだなあ。
これは投稿してからすぐに気づいた。さすがに鋭いね。
「...」の部分をちゃんと定義するとしたら結局ペアノシステム1.2.3.5.と同じ事やらないとダメそうだし。
それやるとこの議論の振り出しに戻るって感じになっちゃう。

問題なのは本来ならば関係ってのは常に対象がどの集合なのか気にしなくちゃいけないのに俺がそれをおろそかにしてるって事だよね？
確かに大体の書とか解説サイトだとほとんどそれを明示してる。

でもそれってただの慣習であって別に形式主義的には間違ってないと思うんだけども。
この集合が対象ですと明示してる訳じゃないんだから論理学でいう「項」全てが対象になってるって事。

対象をある集合に限定するってのはだいぶ前から自分の中で腑に落ちてないんだよね。
今回みたいにペアノシステムを２つ組で定義できたら正誤は置いといて綺麗な定義だと思うんだけどどう？
だって直感的には先頭が1で後者が÷2だと台集合になりそうなのは一つに定まりそうだし。
先頭と後者が違うのでも同じ事。台集合は一つに定まりそう。
正誤を抜きにしてもこの考え方に賛同してもらえないかな。
これは論理じゃなく貴方の感覚に聞きたい。

>(s f) や (s (s f)) といった対象を集合論の中でどのように定義するつもりなのか？
これの対象は任意の項って事にしたい。
(1, ÷2)で言えば数じゃないものに対しては「未定義」というだけ。０除算と同じ事。
どれが未定義なのかは自然数系の中では興味がない。ただそれだけの事。
日本語じゃなくて述語論理で定義すれば一応そういう意味になるでしょ？
0608１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/13(日) 23:43:21.26ID:r7KSqVuU
>>607
＞今回みたいにペアノシステムを２つ組で定義できたら正誤は置いといて綺麗な定義だと思うんだけどどう？
＞だって直感的には先頭が1で後者が÷2だと台集合になりそうなのは一つに定まりそうだし。

より少ない記述で済むならそちらの方が綺麗であるのは当然であり、正誤は置いておいて そのこと自体は賛成する。

そして、君がやろうとしている「2つ組」の感覚が分かってきた。しかし、結局は「問題2」により破綻する。
大雑把に言って、既存のペアノの公理系では、1〜4が「先頭」及び「後者」に関する素朴な性質を述べていると考えられる。
そして、5 では「台集合」に関する性質を述べていると考えられる。1〜4から5は証明できないので、
結局、「2つ組」の素朴な性質のみを考える限り、台集合に関する性質は記述できそうにないと予想され、
ペアノの公理系の代替物は得られないことになる。また、「2つ組」から台集合の性質を無理して述べようとしても、
結局はペアノの公理系と変わらないシロモノが出来上がると予想される。つまり、君が察している障害そのものに出くわす。

＞先頭と後者が違うのでも同じ事。台集合は一つに定まりそう。
＞正誤を抜きにしてもこの考え方に賛同してもらえないかな。
＞これは論理じゃなく貴方の感覚に聞きたい。

君が「2つ組」にこだわるのは、

「2つ組さえあれば台集合の一意性が言えそうに見えるから、本質的には2つ組だけで十分なんじゃないか」

という感覚から来ていると思われる。しかし、そこでの「台集合の　一　意　性　」は、
既存のペアノの公理系における「5」に ほとんど完全に対応しているわけで、となれば君は

「既存のペアノの公理系の1〜4がありさえすれば 5 が証明できそう(ゆえに5は必要ない)」

と言っているのと大差ないように見える。むろん、1〜4から5は証明できない。
つまり、「2つ組」からは君が思い描くような形でのペアノの公理系は得られないように見える。
0609１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/14(月) 02:06:26.72ID:GD0FVGhL
ちなみにだけど、後者を写像と言っていいか微妙な感じだから、ペアノシステムに5つの性質を挙げたけどここに６つ目の性質、
6. n,mが台集合の元でn=m ならば nの後者 = mの後者
を追加したい。
(あるいは、4. を nとnの後者は一対一 というふうにするだけでもok)

> 君が「2つ組」にこだわるのは、「2つ組さえあれば台集合の一意性が言えそうに見えるから、本質的には2つ組だけで十分なんじゃないか」という感覚から来ていると思われる。
そう。まさにその通り。

つまり、2つ組さえあれば台集合の一意性が言えそうに見えるけど、果たして本当にそうなのかというのが議論の的だと言える。


方針としては、２つ組から一意的な台集合の作り方を決めて、そこにまだ足りない性質を付け足して完成というやり方。
例えば、先頭が1で、後者が(+1 mod3) という場合は台集合{1,2,0,1,2,0 ... } = {1, 2, 0}は一意的に決まるけど3.を満たさなくなっちゃう。
そういったもののために台集合の作り方を決めるのとは別に足りない性質を付け足す必要がある。

>602で付け足したのが今の例を防ぐためのもの(3.)と、4. と 6. 。
つまり、台集合を一意的に決めるという事は、1. 2. 5. が満たされる事と同義だと思ったって事。

>「台集合の一意性」は、既存のペアノの公理系における「5」にほとんど完全に対応している
というのは納得しているけど、俺の考えだと5.だけでなく、1. 2. 5. の３つに対応している。
592では 5. とだけ言ったけど、その時は適当に考えてたから許してほしい。

さっき602では「...」で誤魔化したけど、「(先頭, 後者)から1. 2. 5. を満たすような台集合を作る」ってふうにすれば問題ないように思える。
1. と 2. は分かりやすいけど、 5. が何の制約になってるかというと、先頭と、その次と、 ... では作れないような元が入れ込めないようにしていると解釈してる。
つまり、1. 2. だけだと(1, ÷2)の組の台集合に2とか∞とかが入ってる事が否定できないけど、これを5. が防いでくれてる。
この３つの性質があれば、台集合が一意に定まる事は証明できると思うんだけどどう？
0610１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/14(月) 02:54:31.68ID:VokO0nCc
>>609
＞方針としては、２つ組から一意的な台集合の作り方を決めて、そこにまだ足りない性質を付け足して完成というやり方。
＞…(中略)…
＞さっき602では「...」で誤魔化したけど、「(先頭, 後者)から1. 2. 5. を満たすような台集合を作る」ってふうにすれば問題ないように思える。

やっていることがズレてないか？何の話をしているんだ？
「2つ組だけあればペアノの公理系としては十分」ということを主張しようとしているのだろう？
にも関わらず、結局は「5」を満たすような台集合をセットで構成しなければ公理系の記述が完成しないのであれば、
君が得ようとしている公理系は「2つ組だけあれば十分」ということになっておらず、「台集合込みの3つ組」という、
既存のペアノの公理系でしかない。君の場合、台集合をその場で構成することで、

「台集合を公理系から追い出して、2つ組だけで公理系を記述した」

と錯覚しているように見える。ここで大事なのは、その場で構成した台集合が公理系の記述に必須なのか否かということである。
もし公理系の記述に必須ではないなら、その場で構成した台集合は、実際には公理系を記述しきった後で構成を始めても
問題ないはずである。この場合、この台集合は「公理系の後で定義される便利な道具」という扱いになるので、
確かに「2つ組」だけで良いことになり、台集合を公理系から追い出すことに成功したことになる。
しかし、実際には、君の方針だと「5」を満たす台集合の構成が公理系の記述に必須であり、その構成がなければ公理系の記述が完成しない。
となれば、君は台集合を公理系から追い出せていない。より詳しく言うと、

・ 現状の「2つ組」だけでは台集合に∞みたいなヘンな元が入ってる可能性が否定できない。
・ そこで、そういうことが無いように、台集合の構成の仕方まで細かく指定する。

……という、そこまでやって初めて公理系の記述が完成することになる。
言い換えれば、「5」を満たす台集合の構成が公理系の記述に必須になっている。
だったら、君は台集合を公理系から追い出せていない。
0611１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/14(月) 04:07:57.09ID:GD0FVGhL
まあ俺はそれでも良いと思ってるよ。
てか最初から台集合をその場で構成せずっていう制約は考えてなかったしね。
(先頭,後者)の組だけからそれが自然数を構成できるかどうか判定するのに充分だろうって事を知りたかった。
どっちにしろ自然数の体系を表すのに今までは３つ必要だったのが２つで済むわけだし。

> 公理系
公理系ってなんの事だかよく分からんけど、この場合こういう性質を持つものをこう呼ぶよと定義しているだけで公理系を作っているわけじゃないと思う。
どこから何を追い出せば良いのかよう分からんけど俺はこれで満足って感じ。

> 「5」を満たす台集合の構成が公理系の記述に必須
さっきから「5」を重要視してるけど、俺が >609 で言った5の解釈は間違ってる？
俺は 1. 2. 5. と 3. 4. 6. で線引きして区別し始めてるんだけど何かおかしいかな？

もう一回「自然数系」についてまとめてみる。

(f,s)の組から、以下の性質を持つ集合Nを唯一つ導ける。
1.1. f∈N
1.2. ∀n∈N[ s(n) ∈ N ]
1.3. ∀S∋f[ ∀n∈S[s(n)∈S] ⇒ N∈S ]

この時、以下の性質を持つならば(f,s)は自然数系である。
2.1. ∀n∈N[s(n) ≠ f]
2.2. ∀n,m ∈N[ n=m ⇔ s(n)=s(m) ]
0612１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/14(月) 04:25:19.29ID:VokO0nCc
>>611
＞(先頭,後者)の組だけからそれが自然数を構成できるかどうか判定するのに充分だろうって事を知りたかった。
＞どっちにしろ自然数の体系を表すのに今までは３つ必要だったのが２つで済むわけだし。
＞…(中略)…
＞どこから何を追い出せば良いのかよう分からんけど俺はこれで満足って感じ。

既存の 1〜5 の公理系とは本質的に違う形で「2つ組」による記述が可能なのであれば、台集合が追い出せたと言えるが、
君が現状でやっていることは 1〜5 の単なる並べ替えであり、しかも実質的には「5」を満たす台集合をそのまま再現しており、
しかもその作業が公理系の記述に必須であるため、それでは「2つ組だけで記述できた」とは言わない。

あるいは、次のように言ってもよい。
「2つ組だけを用意して、台集合はその場で構成する」ことを以って「台集合は公理系から追い出せた」と考えるのであれば、
同じことを「2つ組」に適用することで、「2つ組」すら公理系から追い出せることになる。実際、何でもいいから2つ組を
その場で構成してみせればいい。君の立場では、このことを以って「2つ組は公理系から追い出せた」と考えなければならない。

極端な例を出すと、ペアノの公理系とは全く無関係に、ZF集合論の中で標準的に構成される "いつもの自然数" を持ち出せばよい。
すると、君の立場によれば、「ペアノの公理系から全ての公理を追い出した」ことになる。また、「3つ必要だったのが2つで済む」
という君の価値観によれば、ペアノの公理系から全ての公理を追い出した この状態こそが理想的である。

実際問題として、"いつもの自然数" さえあれば、ペアノの公理系で得られる性質は全て利用可能であるから、
「ペアノの公理系から全ての公理を追い出した」という考え方は間違いとも言いきれない。
しかし、それは何というか、やっていることがズレている。
0613１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/14(月) 04:49:13.80ID:GD0FVGhL
まあ主張したい事は分かる。
けどやっぱり貴方が言ってる事は今俺がした事とは違う。
(先頭,後者)の組から任意のペアノシステムを表す事はできるけど、
そこから先頭を追い出して後者だけでは任意のペアノシステムを表す事はできない。

二つ組なら( { 2^-n(nは自然数) }, 1, ÷2 ) とか ( {0,1,2}, 1, (+1 mod3) ) とかのあらゆるペアノシステムを表せるけど後者だけじゃ無理。

なぜなら台集合が一つに定まらないから。

後者が(+1)だとして、先頭は0でも1でも2820でもペアノシステムを満たす。
だから唯一つに定まってない。

一方で先頭と後者の二つが定まってれば自然数を構成するのに必要な台集合は唯一つに定まる。
(ちょっと語弊はあるけど)
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