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771 名前:132人目の素数さん [sage] :2017/08/31(木) 10:24:16.51 ID:qb5hsQxt
行列式が正の 実n次行列全体が作る (その成分についての) n^2 次位相空間が連結である事を示してください。
かなり明らかに思えるのですがどうやって証明したらいいのか分かりません。
775 名前:132人目の素数さん [sage] :2017/08/31(木) 11:44:37.77 ID:MiVf/vmG
>>771
簡単に反例が作れるだろ
806 名前:132人目の素数さん [sage] :2017/09/01(金) 02:19:28.68 ID:q0AB+hds
>>779
固有値を考えてみろよ
938 名前:132人目の素数さん [sage] :2017/09/02(土) 12:36:50.31 ID:r5P5oyGU
>>775
なぜ固有値を考えたら簡単に反例を作れるのですか?
もしそれが正しいのなら、行列式が正の実n次正方行列全体が連結でなくなるようなnは例えばどんなものがあるのでしょうか?
941 名前:132人目の素数さん [sage] :2017/09/02(土) 13:04:06.41 ID:VuHmNbWo
>>938
n=2
「2つの固有値が正」と「2つの固有値が負」 >>4
スレ変わったしもう一回聞くね
なんでそれでGL+(2;R)が連結でないことが言えるの?
(-1,0,0,-1)と(1,0,0,1)はそれぞれ2つの固有値が負の行列と正の行列だけど,道f,gを
f(t)=(1-t,t,-t,1-t)
g(t)=(-t,1-t,-1+t,-t)
としたらfgは2つの行列を結ぶ道になるのだが 前スレ
981 自分:132人目の素数さん[] 投稿日:2017/09/02(土) 18:35:32.53 ID:oEmSQ6IS [1/5]
防災無線で調子に乗った内容
「かんこく卒業おめでとう。」
なんて言ってんじゃねーよ。糞Jap!
982 自分:132人目の素数さん[] 投稿日:2017/09/02(土) 18:36:01.78 ID:oEmSQ6IS [2/5]
黙れボケ
983 自分:132人目の素数さん[] 投稿日:2017/09/02(土) 18:37:40.11 ID:oEmSQ6IS [3/5]
どの糞放送局のラジオですか。
ここら辺のド田舎の糞ガキの声ですか、どちらですか?
984 自分:132人目の素数さん[] 投稿日:2017/09/02(土) 18:40:03.21 ID:oEmSQ6IS [4/5]
こんなふざけた、音声が流れる国は
無勉強で偏差値75の人間を学区4位の偏差値19下の
凡庸な高校に叩き込む国家のやることは違いますね。
985 自分:132人目の素数さん[] 投稿日:2017/09/02(土) 18:41:26.82 ID:oEmSQ6IS [5/5]
昨日書かなかったから、どうのこうの電話で話す声が聞こえてきましたが
残念でした。私を怒らせると何か、私以外の人間にメリットでもあるのでしょうか? 前スレの訂正
>>981 訂正
×防災無線
〇有線放送
>>983
×ラジオですか
〇ラジオかテレビか、それともただ放送を行っている家の中での音声
かは分からないが Jアラートに関して批判しても仕方がないという論調もあるようですが
某国のミサイルは最短で4分くらいでこの国に着弾することが
できそうですから、少なくとも発射から2分以内くらいには
作動しなければ、避難行動を取ることができず、効果が限定的になると
考えられると思いますが、そのような報道は一切なされていない
ように思いますが、何故でしょうか? >>5
トレースを考えれば正と負を結ぶ道は必ず0を通る
トレース0なら行列式は正でない 古典的名著に学ぶ微積分の基礎
高瀬 正仁
固定リンク: http://amzn.asia/5FfCweR
今、↑の本を読んでいます。
解析概論のこの部分は難しいだのなんだの単なる読書感想文ですね。 >>9
トレースを考えればってトレースを使って連続写像[0,1]→GL+(2;R)をどう定義するのか謎だし
弧状連結の定義は道が存在することなのだから>>5のfgが正と負の2つの行列を結ぶ道なのは変わらないし 一般フィボナッチ数列についてです
nを0以上の整数とし、
f(n)を
f(0)=0,f(1)は任意の整数, a×f(n)+b×f(n+1)=f(n+2)
と定義する
pを素数とする
b^2+4aがmodpで平方非剰余のとき、f((p+1)m) (mは0以上の整数)がpの倍数に、
b^2+4aがmodpで平方剰余のとき、f((p-1)m) (mは0以上の整数)がpの倍数に、
b^2+4aがmodpで0のとき、f(pm) (mは0以上の整数)がpの倍数になる
と予想しました
証明反例教えてくれる方いたらお願いします >>35
誰しもが最初そう思うのかもしれませんが,実際にはいくつかの教科書が読めれば十分と考えるようになります >>46
GL(n,R)の連結成分は2つで、行列式が正の行列全体と負の行列全体って
位相群少しかじった人にとっては常識だぞ
ちなみにGL(n,C)は連結な 計算機科学者と宇宙飛行士はどっちの方が頭がいいですか? 「パンと白飯どっちが好き?」くらい主観的で無意味な質問 >>60
>>59は「ヒマラヤ」という物理板の荒らしなのでスルーしてね >>34
a = 1
b = 1
p = 2
m = 1
f(1) = 1
とする。
b^2 + 4*a = 1 + 4 = 5 ≡ 1 = 1^2 (mod p)
f((p - 1)*m) = f(1) = 1 は p = 2 の倍数ではない。 訂正します:
>>34
p = 2
m = 1
f(1) = 1
とする。
b^2 + 4*a = 1 + 4 = 5 ≡ 1 = 1^2 (mod p)
f((p - 1)*m) = f(1) = 1 は p = 2 の倍数ではない。 あ、最初のほうが正しいですね。
訂正します:
>>34
a = 1
b = 1
p = 2
m = 1
f(1) = 1
とする。
b^2 + 4*a = 1 + 4 = 5 ≡ 1 = 1^2 (mod p)
f((p - 1)*m) = f(1) = 1 は p = 2 の倍数ではない。 >>64>>75>>78
……確かにそうですね
pが奇素数のとき、という条件が必要で、p=2のときは別に考えた方がいいみたいですね
p=2のときは、a,bが奇数のとき、f(3m)が2の倍数になる。とすればいいのでしょうか
あと、一般に、a,bはpと互いに素、という条件が必要なようですね。穴だらけの予想を書いてしまいすみませんでした
レスありがとうございます 間違いに気付けました カジノのルーレットで毎回赤にかけるのと
黒が連続3回続いたあとにだけ赤にかけるとではどちらが当たる確率は高いですか? すいませんめちゃくちゃ簡単な問題です
r^2-2ar-a^2=0
この方程式のrの値が知りたいです
解き方とかあればお願いします >>92
r=x,つまりrをxに置き換えて、
x^2-2ax-a^2=0
これを二次方程式の解の公式に当てはめて
x=(2a±√(4a^2+4a^2))/2
=(1±√2)×a
とかでどうでしょうか >>93
分かりました!
ありがとうございますm(__)m Serge Lang著『Undergraduate Analysis』を読んでいます。
↓の赤い線を引いたところを見てください。
これはひどい間違いですね。
ちょっと理解不能な間違いです。
https://imgur.com/z1bLEIR.jpg Lang の↓この本ですが、非常に記述にむらがあります。
馬鹿みたいに丁寧に書くところがあるかと思えば、
↓の周辺のように非常に雑な書き方のところがあったりします。
https://imgur.com/z1bLEIR.jpg 書き忘れましたが、
https://imgur.com/z1bLEIR.jpg
↑この周辺では、
m を正の整数として、
e^x / x^m → ∞
を証明しようとしています。 https://imgur.com/z1bLEIR.jpg
log(e^x / x^m) = x - m * log(x) = x * (1 - m * log(x) / x) = x * (1 - m * log(x) / e^log(x))
log(x) / e^log(x) → 0 (x → ∞)
だから、
x * (1 - m * log(x) / e^log(x)) → ∞ (x → ∞)
と書くのが正解ですよね。 ところで、なぜLangは、
e^x / x^m → ∞
の証明にこんなにこだわるんですかね?
1ページ以上使っています。 >>135
e^x をテイラー展開すればわかるとおり,どんなn次関数よりも早く発散する/収束するんだよ
それは e^x の本質なので,直接的に証明したかったんじゃなかったかな? >>135
ところで、なぜキミは、
書物の記述にこだわるんですかね?
何スレも使っています。 難関大学の理系に合格する程度の数学力はありますが、この程度でいきなり大学の統計学を学び始めても大丈夫ですか?
3ヶ月で大学院入試レベルの問題を解けることを目標にしています。 >>149
大学レベルの微積分の知識が必要となるので、まずはそちらから始めた方が良いでしょう
まあ受験の他の科目を詰めとくのが一番良いかと思いますが >>160
回答してくださってありがとうございます。
まずは受験科目で比較的苦手な国語と英語を詰めようと思います。
余裕があれば、仰ってくださったように大学微積分を少しずつやっていきます。 全宇宙に値段を付けるとしたら幾らぐらいになるのでしょうか? 自分は生まれつきもの凄く頭が悪いのですが、東京大学理学部数学科に入って数学を学びたいという目標があります。
生まれつきもの凄く頭が悪い人でも、人並み外れた努力を積み重ねれば、その目標を実現することはできると思いますか?
どうでしょうか? >>123
>>135
e-1=h>0, B>0 とする。
x >0 に対して n を、n ≦ x/m < n+1 で定める。
e^(x/m)/(x/m)≧ e^n /(n+1)
=(1+h)^n /(n+1)
≧ C[n,2] hh /(n+1) (←2項公式)
≧(n-2)/2・hh
> m B^(1/m),
ここに、N ≧ 2 + 2m B^(1/m)/hh とおいた。
n>N ⇒ e^x / x^m ={e^(x/m) / x}^m ≧ B, >>193
無理だと思います。物凄く頭が悪いなら努力をしても身に付かないと思われるからです。 以下の問題
Y= X^3 + ax^2 + 9x + bのグラフが、X=1で極大値2をとるとき
Y=(@)において極小値(A)である
計算
微分して Y'= 3X^2 + 2ax + 9
ここから a = -5, b = -3
つまり元の式は Y= X^3 -5x^2 + 9x - 3
導関数は Y' = 3X^2 -10x + 9 である
判別式の公式から、この解は 5±2 / 3
→ @ = 7/3
元の式に代入して
A = (7/3)^3 -5(7/3)^2 +9(7/3) -3
= -(392/27) + 19
= 121/27
これ多分間違いなんですけど
どこが間違いなんでしょうか?
解けなくて自殺を考えています >微分して Y'= 3X^2 + 2ax + 9
>ここから a = -5, b = -3
X=1で極大値2を取るから、
3+2a+9=0、1+a+9+b=2、
∴ a=-6、b=-2
で計算間違い。後は殆ど同じように考えればいい。 >>216
この本に>>36の証明が書いてあるということでしょうか?
図書館で取り寄せてもらいます ありがとうございます >>36じゃなくて>>34の証明でした すみません 微分積分
吉田 伸生
固定リンク: http://amzn.asia/0XkBuW9
いよいよ発売ですね。 >>292
何故微積分の簡単な本ばかり読んでいるのですか? https://imgur.com/GcGax9t.jpg
↑の問題6の(c)のグラフの例をMathematicaで描きました↓。
a = -2
b = 2
δ = 1
です。
https://imgur.com/bmOiJXO.jpg >>294
Serge Lang著『Undergraduate Analysis』の問題です。 前スレで
(n,r)+(n,r+1)=(n+1,r+1)
のよくわからない説明をしていた者がいたが、普通に
Xを含むn+1個からr+1個選ぶとき
Xを選ぶ場合→残りはn個からr個選ぶ
Xを選ばない場合→Xを除くn個からr+1個選ぶ 入れるくらいになったら入っても続ければ普通に大丈夫だろ 元利均等返済の支払総額 > 元金均等返済の支払総額を証明したい。
月利rでNヶ月で返済のとき
N*r*(1+r)^N/((1+r)^N-1) > ( 1 + r*(N+1)/2)
が常に成り立つことの証明に帰着することまではわかった。 >>193
頭が悪いなら医学部を選べ
本当に頭のいいやつは理学部か工学部にいく。
本当に頭の悪いやつは底辺私立医大にいく。 https://imgur.com/JkPH9FY.jpg
↑は、
An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1, 3rd Edition
by William Feller
Link: http://a.co/e0qCus2
です。
昔の人の本なので、実験結果の数値が間違っているのではないかと思いましたが、
↓Mathematicaで計算した結果とぴったり一致しました。
https://imgur.com/F7faVnZ.jpg An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1, 3rd Edition
by William Feller
Link: http://a.co/e0qCus2
↑の本を読んでいて、 n^n と n! の大きさはどれくらい違うかを感覚的に分からせる
説明を思いつきました↓。
n 個のボールをランダムに n 個の箱に入れる場合、全部の箱の中にボールが入る
確率は、 n! / n^n であるが、直観的に、この確率は非常に小さいことが分かる。 確率の多寡の直感なんてアテにならんし、その直感的説明はどの程度のオーダーになるか何も言ってない この問題が分かりません。(1)は不定形になって、それをどう解消するかで詰まっています。
√n=a_n、√(n+1)=b_nとする。
また一般に数列c_nの、c_1からc_kまでの積をp(c_n)と表すこととする。
(1)q_n=p(b_n)/p(a_n)とする。以下の極限値を求めよ。
lim[n→∞] q_n
(2)(1)の極限値をrとする。以下の極限を求めよ。
lim[n→∞] {q_(n+1)-r}/{q_n-r} >>306
また一般に〜のところは、c_1からc_kまでの積をp(c_k)と表すこととする。
が正しいです。 >>316
q_n=√(n+1)なので極限値は∞となります
(2)は問題文が不適切なので解なしです >>335
あなたが問題文を書き間違えているからです 簡単な問題ですいません
(xlogr+1)r^x=0
これをxについて求めたとき
x=ー1/logr
になるそうなのですが解き方がわかりません
お願いしますm(_ _)m >>354
x log(r) + 1 = 0 or r^x = 0
The latter is false because r > 0,
and x = -1/log(r) a, b, c > 0で、互いに素な3つの自然数による組(a, b, c)って、素数なんでしょうか?
互いに素なので、(1, 1, 1)を素因数に持って、(1, 1, 1) * (x, y, z) = (x, y, z) = (a, b, c).
よって、(a, b, c)は1と自分のみを約数に持つ素数っぽいので(この示し方が適当です)。
こうなると、素数を自然数の組で解析している事になりますが、
互いに素って概念は、そんなに凄い物なんですか? ×この示し方が適当です
○この示し方は投げやりです An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1, 3rd Edition
by William Feller
Link: http://a.co/e0qCus2
↑の本を読んでいます。バースデーパラドクスについてですが、
p
=
(1 - 1/365) * (1 - 2/365) * … * (1 - (r - 1)/365)
≒
1 - (1 + 2 + … + (r - 1)) / 365
という近似式を使っています。
(1 / 365)^2, (1 / 365)^3, …, (1 / 365)^(r-1)
の項を全部無視したものですが、これはどうやったら正当化できるのでしょうか?
いくら (1 / 365)^2 が小さいとはいっても、その係数が大きければ無視できないかと思います。
フェラーさんは非常にいい加減な人ですね。 >>366-367に追加
かの組を(a, b, c)-tripleとすると、それをカテゴリ分けできた場合、
素数の性質を突き止めた、と言う解釈で良いでしょうか?
つまりABC予想は、素数の性質についてですよね? 「rが小さいのに確率は意外に大きい」という意味でのパラドックスだからな
文脈無視すればどんな近似も意味をなくすわな 問:
f(x)=2X^3+aX^2+bx は、原点以外の点でX軸に接し、x=-1 で極小値をとる
a,bを求めよ
計算
上の導関数はY'=6X^2+2ax+b
極大値の座標は (?, 0)
極小値の座標は (-1, ?)
1 導関数と座標からaとbの式を出す
極小値の座標 (-1, ?)を導関数に代入すると 0=6-2a+b -> b=2a-6
Y'=6X^2+2ax+2a-6
2 導関数の解を出す
公式にあてはめると -a±√a^2 - 6(2a-6)/ 6
√の中は a^2 - 6(2a-6) = a^2-12a + 36 = (a-6)^2
-> -a±(a-6)/6= -1, -1/3a +1
X=-1 及び -1/3a +1 である
3 f(x)と座標からaとbを出す
X=-1 というのをf(x) に代入すると
-2+a-(2a-6) これが(?, 0) を通るから
0 = -2+a-(2a-6) -> 0+2-6=a-2a -> a = 4
b=8-6 =2
しかしこれ間違いっぽいのですが・・・
アドバイスお願いします 異なる複素数a、b、rが2a^2+b^2+r^2-2ab-2arを満たすとき
a、b、rがxの三次方程式x^3+kx+20(kは実数の定数)の解であるとき、a、b、rおよびkの値を求めよ
これ45分解いても分からなかったのでどうしても答えを知りたいです
解ける方教えて下さい ↓この問題の解答をお願いします。
f(x) = x^x (x > 1/e)
とする。
f には、その逆関数 g が存在することを示せ。
g(y) = {log(y) / log(log(y))} * ψ(y)
であり、
ψ(y) → 1(y → ∞)
であるような関数 ψ が存在することを示せ。 g(y) を十分大きな実数に対して定義された連続関数とする。
g(y) → ∞(y → ∞) とする。
このとき、
f(g(y)) → a(y → ∞) ⇒ f(x) → a(x → ∞)
が成り立つ。
これって成り立ちそうですね。 >>392 ちょっとスタンバイモードだったので、考えてみた
「原点以外の点でX軸に接し」→重根を持つ→x=cで重根 と考える。これ、チャートとかに書いてあると思うが、頻出テクだな
(解法)
重根を持つので
f(x)=2x(x-c)^2 と置くことが出来る
f'(x)=2{(x-c)^2+2x(x-c)}
=2{(x-c)(3x-c)}
x=-1 で極小値をとるから、x=-1 で(x-c)=0 又は (3x-c)=0。つまり、c=-1 又は c=-3
(「(-1-c)(-3-c)=0 から、c=-1 又は c=-3」 と書くのが普通だよ。が、ここでは、ちょっと分かり冗長に易く書いただけでまねしないようにね)
c=-1のとき、f(x)=2x(x+1)^2
これを展開して、f(x)=2x^3+4x^2+2x よって、a=4,b=2 (これはあなたの解の通り。かつ、x=-1 で極小値かつX軸に接する解)
c=-3のとき、f(x)=2x(x+3)^2
これを展開して、f(x)=2x^3+12x^2+18x よって、a=12,b=18 (これは、x=-1 以外(x=-3)でX軸に接する解)
(補足)
1.解は二つ。c=-1とc=-3と。>>392のように、一つだけの解だと減点大だろう。
2.”「原点以外の点でX軸に接し」→重根を持つ→x=cで重根 と考える”ことで、パラメータが1つになる。(a,b)二つで考えるより見通しが良くなるし、解2つも見やすい
だから、是非この頻出テクはマスターしておくべしだと思うよ
以上 >>404
1行目の条件式と2行目の3次方程式が、式になってないんだけど… >>438
ご回答ありがとうございまます
ただ、オンラインで答え合わせしたらそれでも不正解っぽいです
正解と解説は明日聞いてきてここに上げます >>392 >>438 >>450
x=-1 で極小だから、x>-1 では単調に増加
∴ f(-1)< f(0)= 0,
∴ x=-1 ではx軸に接しない。
∴ x=c<-1 でx軸に接する(極大値0)
計算の結果 c=-3,a=12,b=18
>>404
b+r=-a,br = -20/a を使って bとrを消す。
0 = 2aa +(b+r)2 -2br -2a(b+r)= 5aa + 40/a = 5(a^3+8)/a = 5(a+2)(aa-2a+4)/a,
a=-2 または 1±(√3)i
しかし
k = a(b+r)+ br = -aa -20/a = -(a^3 +20)/a = -12/a
が実数ゆえ aも実数。
a=-2,{b,r}={1+3i, 1-3i},k=6
46分考えてやっと分かった。
>>415
f(x)は連続ゆえ、中間値の定理より、
y ≧(1/e)^(1/e)に対して f(x1)=y となる x1 が存在する。
ところで、log{f(x)}= x・log(x)
を微分すると
1 + log(x) = log(ex)> 0 (← x>1/e)
∴ f(x)は x>1/e で単調に増加。
上記の x1 は1つだけ。x1=g(y) とおく。 >>451
ID変わったかも知れませんが>>404です
本当にありがとうございます >>438
改めて正解見たらそれで正解でした。食い違ってたのは別の問題のせいです
ありがとうございます (- -) ペコシ ちなみに問題ってのは
「a=4,b=2 だと間違い」でした
(それだとx = -1 で極小じゃなく極大になるから) あ
>>451 に書いてくれてた
重ね重ねありがとうごぞいます 全宇宙一頭の良い生命体は、どの程度の知力なのでしょうか?
全宇宙の真理を知っているのでしょうか? >>451>>455-456
438です
すまん、間違ったな(^^
増減表を書かないといけないんだったね(下記)
そういえば、昔「増減表を書け!」とうるさく言われたことを思い出したよ
「増減表」も入試頻出だったね(^^
https://juken-mikata.net/how-to/mathematics/zougenhyou-kyokudai-kyokusyou.html
増減表の書き方と符号の調べ方!一度読めばすぐ書ける! 受験のミカタ 2015.10.9 >>478 補足
”極値の定義と落とし穴”(下記)なんてあるね
落とし穴にハマらぬようにご用心だな(^^
http://examist.jp/mathematics/differential/kyokuti/
極値から係数決定(極値の定義と落とし穴) 受験の月 >>415
>>427
の結果を使えば以下のように証明できますね。
g(y) / {log(y) / log(log(y))}
=
x / {(x*log(x)) / (log(x) + log(log(x)))}
=
{log(x) + log(log(x))} / log(x)
=
1 + log(log(x)) / log(x)
→
1 (x → ∞)
よって、
>>427
の結果より、
g(y) / {log(y) / log(log(y))} → 1 (y → ∞) https://imgur.com/RsCWTim.jpg
↑は、Rami Shakarchiによる解答です。
よく読んでいませんが、これってあっているんですか?
分かりにくそうですよね。
>>490
の解答のほうがすっきりしていて分かりやすいですよね。 ../::::::::ソ::::::::: :゛'ヽ、
../:::::::-、:::i´i|::|/:::::::::::ヽ
/::::::,,、ミ"ヽ` "゛ / ::::::ヽ / ̄ ̄ ̄ ̄\
./::::::== `-::::::::::ヽ / .\
::::::::/.,,,=≡, ,≡=、、 l::::::l | // / | |
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今、↑のRami Shakarchiによる解答を読んでみましたが、やっていることは
>>490
と同じですね。
ただし、これじゃ、0点ですよね。
>>427
の結果を暗黙に使っているわけですから。 哲学を理解できない馬鹿が、数学や物理に逃げるというのは本当ですか? 文転して哲学の教授になった人はいても、その逆はいないんだよなあ >>502
合ってるも何も
本質的に同じじゃないの?
…よく見てはないけどさ
同じだとしたら
本の方がすっきりしてるな。
アンタのはちょっと粘っこい。 >>504
そんなの普通に使うでしょ。
自明だもの。
馬鹿じゃないの? y→∞ のとき g(y)→∞
かつ y→∞ のとき f(g(y))→∞
が成り立つとき、仮に
x→∞ のとき f(x)→∞でない
としたら、実際に y→∞ のときに
何が起こるんだ!? 無限大の空間に、無限大のロボットがあったらどんな感じになりますか?
また、そのロボットが、無限の速度で走ったり無限の高さをジャンプしたりしたらどうなりますか? こんな風に次々に円を作るときn番目の円はどうなりますか?
一番外側のは単位円の上半分です
ほかの要素は図から判断して下さい
言葉で説明するのはややこしいので
日本の「哲学」は西洋哲学の焼き直し、「哲学者」なんて思想史学者か論理学者か宗教学者の間違い
事実、日本の哲学が世界に影響を及ぼしたことがあるか?(京都学派がそれに近いかもしれないが) コギトエルゴスムと100回唱えるのじゃ。さすれば、答えはおのずとあきらかになる。 >>564
一番下に2つある円と、最後に書いた円に外接するように n番目というのは縦に並ぶ円列だけ考えて下さい
図であれば3番目まで書かれたことになります
この3つを除いた3つの半円は最初からあるものです >>571
数列の問題のようにして出来ますか?
半径をr_nとするか中心y座標y_nとおく、みたいな解法です
それで簡単には解析できないことを知りたいのです
というのもこれを複素数反転を利用して簡単に解けるのですが、普通にやって解けても面白くないというわけです https://imgur.com/8fKcv1N.jpg
↑は杉浦光夫著『解析入門I』です。
赤い線を引いたところを見てください。
完全に間違っていますね。 書籍の画像をアップロードし続けてるガイジって、著作権法違反でしょっぴけないの? 古典的名著に学ぶ微積分の基礎
高瀬 正仁
固定リンク: http://amzn.asia/5FfCweR
↑の本を読んでいます。
高瀬さんは、なぜ、厳密に数学書を書くことに対して、否定的なのでしょうか?
デデキントの切断などの実数の基礎的な部分を軽視しすぎではないでしょうか? >>609
それと『解析概論』の全く難しくない箇所を頭では分かるが分かった気がしないなどと
度々書いています。信じられない話です。
そういった箇所は大抵、実数の基礎的な部分が関係する箇所です。 >>609
それと誤字脱字が多すぎます。
自分が書いたものをもう一度見直すということをしない人なのでしょうか?
p.81に
「あくまでも実数の連続性のひとつの表現として承認された公理であることは
忘られません。」
などという文があります。
高瀬さんは、有名な歌手の影響を受けているのでしょうか? 実数の基礎的な部分についてですが、高瀬さんは、何度も
「障害は消滅したのではなく、国境に移されたにすぎない」
というポアンカレの言葉を引用しています。 「板」を焼却・撲滅するとコレコレこうなりますわ。
¥ PGと書いて、"ペログリ"と読む
これ、マメとして知っといてね >>609
何故簡単な微積分の本ばかり読み、難癖を付けることしかできないのですか? 哲学難しすぎる・・・・・・。
存在と無を読んでるけど一ミリも理解できない・・・・・。 >>639
この人難癖つけるだけの人だからコミュニケーション取ろうとしても無駄だよ 正項2重級数について質問です。
任意の自然数 p, q に対して
0 ≦ a_{p, q}
と仮定します。
任意の自然数 P, Q に対して、
Σ(Σa_{p, q} from p = 1 to p = P) from q = 1 to q = Q
≦
S
となるような実数 S が存在するとき、
Σ(Σa_{p, q} from p = 1 to p = ∞) from q = 1 to q = ∞
は収束することを証明するにはどうすればいいのでしょうか?
本には、 「S は P, Q には関係しないので、収束する」とだけしか書いてありません。 Σ(Σa_{p, q} from p = 1 to p = P) from q = 1 to q = 1
=
Σa_{p, 1} from p = 1 to p = P
≦
S
であり、単調増加で上に有界な数列は収束するから、
Σa_{p, 1} from p = 1 to p = P
は収束する。
Σ(Σa_{p, q} from p = 1 to p = P) from q = 1 to q = 2
=
Σ a_{p, 1} + a_{p, 2} from p = 1 to p = P
≦
S
であり、単調増加で上に有界な数列は収束するから、
Σ a_{p, 1} + a_{p, 2} from p = 1 to p = P
は収束する。
収束数列の差である
Σa_{p, 2} from p = 1 to p = P
=
Σ a_{p, 1} + a_{p, 2} from p = 1 to p = P
-
Σa_{p, 1} from p = 1 to p = P
も収束する。 以下同様にして、任意の自然数 Q に対して、
Σa_{p, Q} from p = 1 to p = P
は収束する。
Σ(Σa_{p, q} from p = 1 to p = P) from q = 1 to q = Q
≦
S
だから、
Σ(Σa_{p, q} from p = 1 to p = ∞) from q = 1 to q = Q
≦
S
が任意の自然数 Q に対して成り立つ。
単調増加で上に有界な数列は収束するから、
Σ(Σa_{p, q} from p = 1 to p = ∞) from q = 1 to q = Q
は収束して、
Σ(Σa_{p, q} from p = 1 to p = ∞) from q = 1 to q = ∞
≦
S >>653-654
は合っていますか?
もし、合っているとして、
「S は P, Q には関係しないので、収束する」
だけで済ませるのはどうなんでしょうか? 無限大の空間に無限大の物体があったらどんな感じになるのでしょうか?
また、無限大の空間で、無限大のロボットが無限の速度で走ったり無限の高さをジャンプしたりしたらどうなるのでしょうか? 周の長さがamの正三角形の一辺の長さは何センチですか?
次の数量を式で表しなさい
X人のy%
a円のb割 >>667
上から順に
a/3(m)
x*y/100(人)
a*b/10(円) >>666
無限に広がるユークリッド空間で、あなたは点(0,0,1)にいる。
xy平面には放物線 P:y=x^2+1 のグラフが描かれている。
あなたがy軸の彼方を眺めた時、曲線Pはどのように見えるか? 誰か教えてくださーい٩( ᐛ )و
一個xキログラムの品物三個をyグラムの箱につめたときの全体の重さは何グラムですか? >>680
非常に興味深い。
もう少し詳しく教えてくれませんか? 100a/3 cm
Xy/100 人
ab/10 円
3000x+y g >>680 >>703
放物線Pは、円錐C
(1/20)(2y-z+1/2)^2 =(1/5)(y+2z-9/4)^2 + xx,
を xy平面(z=0)で切った断面である。
切り口が放物線 ⇒ y軸に平行な準線をもつ。
また頂点はQ(0,1/4,1)にあり、主軸の向きは、y軸から-z側に arctan(1/2)だけ傾いている。
∴点Qから眺めれば円周(y軸方向の無限遠点を抜いたもの)に見えるはず。 >>655
{(p, q) | p = 1, 2, 3, ...; q = 1, 2, 3, ...} に
p + q < p' + q'
あるいは (p + q = p' + q' かつ q < q')
ならば (p, q) < (p', q')
として順序を入れれば
この順序に関して Σ a_{p, q} は単調増加で
上から S で抑えられることもすぐ分かるから
収束する
そちらの求めたい和は
2つの上記の順序に基づく和で挟めるから
やっぱり収束する
とすれば手短に示せる
示し方は色々あるが
S が P, Q に依存しないから収束する
というのは事実だし
解析の感覚が備わっている人にとっては自明
なのでその記述で十分だ
ところで
>>523 に対する >>538 を無視し続けるのは
どうしてなのかね?
恥ずかしくて反応できないのか? >>716
横からですが、イプシロンデルタで一行で済む話を、ほぼ質問文と同内容の質問を繰り返すのは、あなたが分かっていないからだと結論せざるを得ません >>716
>そちらの求めたい和は
>2つの上記の順序に基づく和で挟めるから
>やっぱり収束する
↑意味不明です。
任意の自然数 Q に対して、
Σa_{p, Q} from p = 1 to p = P
が収束することをまず示さないといけないと思いますが、
それはどうやって示すのでしょうか? Σ(Σa_{p, q} from p = 1 to p = ∞) from q = 1 to q = ∞
が存在することを示すには、
まず、任意の自然数 Q に対して、
Σa_{p, Q} from p = 1 to p = P (P → ∞)
が存在することを示さないといけないですよね。 「全」と、アメリカ合衆国大統領はどっちの方が凄いですか? >>705 は視点がずれてましたね。スマソ
放物線Pは、楕円錐E
{1/(4√2)}{y-(√2 -1)(z-1)}^2 ={1/(4√2)}{y+(1+√2)(z-1)}^2 + xx,
を xy平面(z=0)で切った切り口でもあります。
(0,0,1)から放物線の底(0,1,0)を見る俯角はy軸からπ/4 なので、
主軸の向きはy軸からπ/8だけ-z側に傾いています。
つまり、(0,0,1)から眺めれば楕円に見えるはず。 >>754
「神」でも「全」や「無」には勝てませんよね? >>778
「神」でも「全」や「無」には勝てません。 >>739
収束するなら絶対収束だから
その限りではない s.a.t.u.r.d.a.y.night!!
s.a.t.u.r.d.a.y.night!!
s.a.t.u.r.d.a.y.night!!
s.a.t.u.r.d.a.y.night!!
Saturday Night !!!! 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:0be15ced7fbdb9fdb4d0ce1929c1b82f) 1行でお願いします >> ¥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/08(金) 21:57:08.31ID:6ibQhXIy
「x=aでf(x)は微分可能でない、x=aでg(x)は微分可能とする。h(x)=f(x)/g(x)とする。
このときx=aでh(x)は微分可能でない」という命題は真でしょうか。
>>807
真。
x=aでh(x)が微分可能と仮定すると、f(x)=g(x)h(x) の右辺はx=aで微分可能となる(積の微分)ので、
f(x)もx=aで微分可能となるが、これは仮定に矛盾する。よって、x=aでh(x)は微分可能でない。 ありがとうございます!
思考がεδに凝り固まっていました・・・。
背理法による証明鮮やかですね 1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234 1行で半角384文字も書けるようだね
大体の証明が1行 スマホはおろかpcでさえ画面上では改行
されてると思うが、それでも1行と言い張る
おつもりのようですなwww 杉浦光夫著『解析入門I』を読んでいます。
s := Σa_{m, n} from m, n = 0 to m, n = ∞
t := Σ(Σa_{m, n} from n = 0 to n = ∞) from m = 0 to m = ∞
r := Σ(Σa_{m, n} from m = 0 to m = ∞) from n = 0 to n = ∞
a_{m, n} ≧ 0 だからこれらは R∪{±∞} の元として確定する。
と書かれています。
例えば、任意の自然数 k に対して、
Σa_{k, n} from n = 0 to n = ∞
となる場合に、
t := Σ(Σa_{m, n} from n = 0 to n = ∞) from m = 0 to m = ∞
は、
Σ∞ from m = 0 to m = ∞
となってしまいますが、 ∞ 同士の演算は定義されていません、
∞ を無限回足すということも定義されていません。
これは、
∞ + ∞ = ∞
Σ ∞ from m = 0 to m = ∞ = ∞
と解釈するということなんでしょうが、書いていないというのは問題ではないでしょうか? 訂正します:
杉浦光夫著『解析入門I』を読んでいます。
s := Σa_{m, n} from m, n = 0 to m, n = ∞
t := Σ(Σa_{m, n} from n = 0 to n = ∞) from m = 0 to m = ∞
r := Σ(Σa_{m, n} from m = 0 to m = ∞) from n = 0 to n = ∞
a_{m, n} ≧ 0 だからこれらは R∪{±∞} の元として確定する。
と書かれています。
例えば、任意の自然数 k に対して、
Σa_{k, n} from n = 0 to n = ∞ = ∞
となる場合に、
t := Σ(Σa_{m, n} from n = 0 to n = ∞) from m = 0 to m = ∞
は、
Σ∞ from m = 0 to m = ∞
となってしまいますが、 ∞ 同士の演算は定義されていません、
∞ を無限回足すということも定義されていません。
これは、
∞ + ∞ = ∞
Σ ∞ from m = 0 to m = ∞ = ∞
と解釈するということなんでしょうが、書いていないというのは問題ではないでしょうか? ↓買った人いますか?
微分積分
吉田 伸生
固定リンク: http://amzn.asia/0XkBuW9 ある監獄にA、B、Cという3人の囚人がいて、それぞ
れ独房に入れられている。罪状はいずれも似たりよっ
たりで、近々3人まとめて処刑される予定になってい
る。ところが恩赦が出て3人のうち1人だけ助かること
になったという。誰が恩赦になるかは明かされておら
ず、それぞれの囚人が「私は助かるのか?」と聞いて
も看守は答えない。
囚人Aは一計を案じ、看守に向かってこう頼んだ。「
私以外の2人のうち少なくとも1人は死刑になるはずだ
。その者の名前が知りたい。私のことじゃないんだか
ら教えてくれてもよいだろう?」すると看守は「Bは死
刑になる」と教えてくれた。それを聞いた囚人Aは「
これで助かる確率が1/3から1/2に上がった」とひそか
に喜んだ。果たして囚人Aが喜んだのは正しいか? >>865
P(Ao Bx Cx ∧ B) = 1/3 * 1/2 = 1/6
P(Ax Bx Co ∧ B) = 1/3 * 1 = 2/6
(2/6)/(1/6 + 2/6) = 2/3 ちなみに
lim[y→∞]g(y)=∞
lim[y→∞]f(g(y))=∞
のとき
lim[x→∞]f(x)≠∞
と仮定すると
g(y)=x とおいて
lim[y→∞]x=∞
lim[y→∞]f(x)=∞
より
lim[x→∞]f(x)=∞
となって矛盾 唐突に失礼させていただきます
一次不等式の問題に関してなのですが
「x≧-6であるすべてのxに対し、不等式2ax≦6x+1が成り立つような定数aの範囲を求めろ」とのことなのですが
場合分けでa>3の時、不等式2ax≦6x+1の解はx≦1/2a-6、となるのは分かります
問題なのは答えでのこの部分の解説が「a>3の時、2ax≦6x+1の解はx≦1/2a-6。よってx≧-6の範囲に成り立たないxが存在する」と書いてあるのです
a>3の時、aが3に近づけば近づくほど1/2a-6は大きくなりますし、当然、この範囲ではx≦1/2a-6なのでマイナスの値も取りますし
この時にxがとる範囲はx≧-6を満たしているように思います
恐らく私が間違っているのでしょうがどこがおかしいかご教授願います >>868
1/(2a-6)は小さくなるんですよ
マイナスですから
x≧-6はプラスの値も取りますから、答えではないですね
あなたの言う場合はマイナスの値しかとらないのですから >>869
回答ありがとうございます
しかし、a>3のとき、xの範囲はx≦1/(2a-6)というのをはじめに見たときは私自身もそう思ったのですが
aの値を3.1のとき、3.01の時…等徐々に3に近づけていくと1/(2a-6)の値は上昇していくので上限に限りがなくおかしいなと思いまして
問題ではaは整数である等は書いておりませんし、もっと極端に言えば反例が欲しいのです >>870
a>3でしたね
aが近づくにつれて上限に限りがなくても、a一つに対して上限は存在するんです
x≧-6はxに上限がないことを要求しますから、ダメというわけです >>868
A=1/(2a-6) はaの値によっては
いくらでも大きくなるが、
Aがいくら大きくてもx≤Aである限り、
x≥-6であるすべてのxまでは収まらない。
例えばx=A+1はx≥-6の範囲にあるが
不等式の解x≤Aには含まれない。 >>871
なるほど、一つのaに対しては確かに上限は存在しますね、分かりました。
しかし問題ではa>3なので特定の数を表しているわけではなく、上記の数値は誠に勝手ながら私がやりやすいように示したものの流用なので
a>3におけるx≦1/2a-6で表されるxは実質数値に限りがないとなると思うのですが、大変図々しい申し出ですがどこがいけないのかより詳しくお願いします >>872
こんな質問に2人も親切な回答者が…感謝します
例えの部分が少し分からなくて申し訳ないのですがですが、要はいくらでも大きい値をとるAがあり
x≦Aの場合、確かにxはどんな値でも取りますが、Aという上限以下という制限があるため当てはまらない数があると処理される、という解釈でよかったでしょうか? 各定数aに対して不等式の解があって
その解がx≥-6を満たすようにaの値を
決めなさいという問題。
a>3のときはそのaの値に対して
不等式の解はx≤1/(2a-6)であって
解に上限が必ずある。 >>873
問題文を誤解している気がします
「x≧-6であるすべてのxに対し、不等式2ax≦6x+1が成り立つような定数aの範囲を求めろ」
aを定めるごとに不等式2ax≦6x+1が定まります
この不等式の答えはaの値ごとに異なってくるわけです
このような状況で、x≧-6が不等式の解になる場合のaを全て求めろ
こういう問題です
xについての不等式を考える際は、a自体は固定して考えなければなりません
上の条件を満たすaを全て箇条書きにでもできればいいのですが、それができないので答えはaに関する不等式として表します >>875
回答ありがとうございます
つまり、不等式の解x≦1/2a-6では、xは1/2a-6「以下」なのだから
どんな数字が上限になるかは不明だが「以下」という制限がある以上上限が必ずあると処理する、という解釈でよかったのでしょうか?
重ね重ね失礼しますがお願い申し上げます >>874
> x≦Aの場合、確かにxはどんな値でも取りますが、
いや、xはA以下の値しかとらない。
どんな値でもとるわけではない。
不等式はあるaの値で解いたもの。
例えばa=3.0001の場合、
不等式の解はx≤5000となるから、
x=5001はx≥-6の範囲にあるにも関わらず
不等式の解ではない。
a=3.00001ならx=500001が、
a=3.000001ならx=5000001が、
a=3.0000001ならx=5000001が、
a=3.0000001ならx=50000001がはみ出る。 >>878
引用させていただきますが>>876の「a自体は固定して考えなければならない」というところですかね。
つまり、xの不等式を解く際、aはそのまま定数として固定された数字として考えるのであって幾ら大きくなろうと幾らの値をとろうと
解く際にはある一点で固定されているものと考えるために、仮に定められた値としてaは機能するためそれより大きい値を含むことができない
こういう解釈でよかったでしょうか? あまり長引かせると別の利用者にも迷惑ですので、誠に勝手ながら切り上げさせていただきます
返答も聞かず自分勝手で自己満足ではありますが、御二方の回答により足りない部分が補われ私は大変納得することが出来ました
回答してくださったID:HtFP9MlYさん、ID:H1c/CZJRさん、ありがとうございました z ∈ C
z_n = 1 + z/n
lim |z_n|^2
を求めよ。
この問題を解いてください。 >>881
解答ですが、以下になります。
z = x + y*i
とおく。
log(1 + t) = t + o(t) (t → 0)
|z_n| = |1 + z/n| = |(1 + x/n) + (y/n)*i| = sqrt(1 + 2*x/n + |z|^2/n^2)
|z_n|^n = sqrt(1 + 2*x/n + |z|^2/n^2)^n = (1 + 2*x/n + |z|^2/n^2)^(n/2)
= exp(n/2 * log(1 + 2*x/n + |z|^2/n^2))
= exp(n/2 * (2*x/n + o(1/n)))
= exp(x + o(1)) → exp(x) = exp(Re(z)) (n → ∞) 訂正します:
>>881
解答ですが、以下になります。
z = x + y*i
とおく。
log(1 + t) = t + o(t) (t → 0)
を利用する。
|z_n| = |1 + z/n| = |(1 + x/n) + (y/n)*i| = sqrt(1 + 2*x/n + |z|^2/n^2)
|z_n|^n = sqrt(1 + 2*x/n + |z|^2/n^2)^n = (1 + 2*x/n + |z|^2/n^2)^(n/2)
= exp(n/2 * log(1 + 2*x/n + |z|^2/n^2))
= exp(n/2 * (2*x/n + o(1/n)))
= exp(x + o(1)) → exp(x) = exp(Re(z)) (n → ∞) >>883
= exp(n/2 * log(1 + 2*x/n + |z|^2/n^2))
= exp(n/2 * (2*x/n + o(1/n)))
↑この式変形ですが、確かに確かめると成り立つ等式です。
でも、
log(1 + t) = t + o(t) (t → 0)
をそのまま利用してはいないですよね。
どういう考えで↑のような式変形をしているのでしょうか? log(1 + t) = t + o(t) (t → 0)
より、
log(1 + 2*x/n + |z|^2/n^2)
=
log(1 + 2*x/n + o(1/n))
=
2*x/n + o(1/n) + o(2*x/n + o(1/n)) (n → ∞)
f(n) := o(2*x/n + o(1/n))
とおく。
f(n) / {2*x/n + o(1/n)} → 0 (n → ∞)
x ≠ 0 のとき、
f(n) / (1/n) = [{2*x/n + o(1/n)} / (1/n)] * f(n) / {2*x/n + o(1/n)} → 2*x * 0 = 0 (n → ∞)
x = 0 のとき、
f(n) / (1/n) = {o(1/n) / (1/n)} * f(n) / o(1/n) → 0 * 0 = 0 (n → ∞)
よって、
f(n) = o(1/n)
以上より、
log(1 + 2*x/n + |z|^2/n^2) = 2*x/n + o(1/n) + o(1/n) = 2*x/n + o(1/n) >>885
o(t) の意味考えたら判るだろwww
log(1+t)=t+o(t) (t→0) そのものを使ってるよ で、1行証明はまだなの?www
>>538に答えたけど反応してくんないの? >>887
>>886
のように考えなくては駄目だと思います。 Σ[k=0,n](k*C(n,k)^2)ってどうやって解けばいいんでしょうか?
Wolframalphaで計算させると
n*C(2n,n)/2になるらしいです
とりあえず
Σ[k=0,n](k*C(n,k)^2)
=n*Σ[k=1,n](C(n-1,k-1)*C(n,k))
まで式変形しましたがここから手がとまってしまいました
Σ[k=0,n](C(n,k)^2)=C(2n,n)を使えるような形にもっていければいいと思うのですが… 問題ではないのですが、陸上短距離100m走において、低身長より高身長の方が追い風の恩恵が大きいという理屈は成り立ちますか?
空気の状態(高度、湿度、温度などによる)は平均的なものとして、
風速追い風2mで、195cmと175cmが同時に走った場合、追い風の影響に差があるのか、あるならどの程度なのかを
論理的に軽く説明していただきたいです
知りたいのは具体的数値というよりは影響の差の有無です 数値的なものでないなら、論理も何も、次の台風の時
背の低い友達と一緒に走ってみればわかるでしょう。
もちろんマイケルソン・モーレーの実験を参考にw >>896
背が高い方が恩恵が大きいと言ったら、背が高いと空気抵抗も大きくなるから恩恵は同じと言われました
そんなわけないと思うのです
空気抵抗は無視できるほどに小さいのに対して、追い風は影響が大きいと考えてます
風より速く走る場合だけ恩恵が変わるとかよくわからないことも言われました
数学的に高身長が追い風の恩恵が大きいということの説明が欲しいと思っています 間違えました
正しくは、風の方が人より速かった場合だけ、です >>897
数学ではなく物理の問題なので他の板で聞きましょう
こういう問題は具体的な数値とか調べないといけないので結構めんどくさいんです 推進力は背中だけで長足は乱流で抵抗がおおきくなるだろう
最初はクラウチングだから関係ないな
スラリとした体型が有利だよな >>890
o(t) 初心者で慣れてないだけ。
アンタのチマチマした計算は
暗算で済むんだよwww >>890
1行証明と>>538の続きもよろしくwww >>892
C(n-1,k-1)*C(n,k) を
横k-1、縦n-kの格子状道路の最短経路の総数と
横n-k、縦kの格子状道路の最短経路の総数との積
と考えれば、k=1,2,3,...,nの和をとることで
横n-1、縦nの格子状道路の最短経路の総数
と一致することがわかる。その最短経路を
n-1ステップ目の位置で場合分けして
足したものと捉える。
だから和は C(2n-1,n)=(2n-1)!/n!/(n-1)!
分子分母に2nをかけて
(2n)!/n!/(2*n!)=C(2n,n)/2 >>890
親切に教えてやると
o(o(1/n))=o(1/n)なんだよ〜
簡単だろwww >>892
>Σ[k=0,n](k*C(n,k)^2)
>=n*Σ[k=1,n](C(n-1,k-1)*C(n,k))
から出発する。C(n,k)=C(n,n-k) だから、Σ[k=1,n] C(n-1,k-1)*C(n,n-k) について
考えればよい。
( Σ[k=1,n] C(n-1,k-1)x^{k-1} ) * (Σ[k=1,n] C(n,n-k)x^{n-k} )
を展開したときの x^{n-1} の係数は Σ[k=1,n] C(n-1,k-1)*C(n,n-k) である。一方で、
( Σ[k=1,n] C(n-1,k-1)x^{k-1} ) * (Σ[k=1,n] C(n,n-k)x^{n-k} )
=(1+x)^{n-1} * ((1+x)^n−x^n)=(1+x)^{2n-1}−x^n(1+x)^{n-1}
だから、x^{n-1} の係数は C(2n-1,n-1) である。よって、
Σ[k=1,n] C(n-1,k-1)*C(n,n-k)=C(2n-1,n-1)
となるので、求める答えは n*C(2n-1,n-1) となる。
C(2n,n)=2C(2n-1,n-1) を使えば、求める答えは n*C(2n,n)/2 とも表せる、 >>903
>>905
ありがとうございます。ちょっとC(2n,n)にとらわれすぎていたようです。
Σ[k=0,n](C(n,k)^2)=C(2n,n)と考え方は同じですね >>892 蛇足気味ですが、一応アップしておきます
C[n,k](C[n-1,k-1]-C[n-1,k])=C[n,n-k] C[n-1,n-k] - C[n,k] C[n-1,k]
第一項と第二項は、k=1からn-1まで和を取ると、同じ物になるので、
Σ[C[n,k](C[n-1,k-1]-C[n-1,k]),{k=1,n-1}]=0
他方、C[n,k](C[n-1,k-1]-C[n-1,k])=((2k/n)-1)C[n,k]^2 なので、
Σ[k C[n,k]^2,{k=1,n-1}]=(n/2)Σ[C[n,k]^2,{k=1,n-1}]
左辺に 0*C[n,0]^2 + n*C[n,n]^2 = n、右辺に (n/2)C[n,0]^2 + (n/2)C[n,n]^2 =n を加えて
Σ[k C[n,k]^2,{k=0,n}]=(n/2)Σ[C[n,k]^2,{k=0,n}]=(n/2)C[2n,n] 以下の入試問題(2009早大教育)で、(1)(2)が誘導となってf(n)=(n/2)+f(n/4)を
導かせているのは分かります。
しかし不等式2つから等式を導くという技法は初めて見ました。
この技法は何かの分野ではよく使うものなんでしょうか?大学入学後の参考にした
いので、ご教授ください。
しかしこの問題は(1)からノーヒントでてこずりました。
【問題】正の整数nに対して、集合{1,2,...,n}の部分集合Mで条件
「m∈M ならば 2m∉M」
をみたすものを考える。
このような集合Mに対して、Mの要素の最大数をg(M)とするとき、
g(M)の取りうる最大値をf(n)と表す。
(1)nが4の倍数のとき、f(n)≧(n/2)+f(n/4)が成り立つことを示せ。
(2)nが4の倍数のとき、f(n)≦(n/2)+f(n/4)も成り立つことを示せ。
(3)f(3*2^125)を求めよ。 >>909
この出題者の日本語能力には問題がありますね。
「M の要素の最大数」というのはあいまいな表現です。
#M の最大値
の意味なのか、
max M
なのかがあいまいです。 >>909
a = b ⇔ a ≦ b かつ a ≧ b
なので
普通に使われるのではないでしょうか?
A = B ⇔ A ⊂ B かつ A ⊃ B
なんかも似たようなものですよね。 >>910
お久しぶり〜
相変わらず
細かいイチャモンつけるの
得意だねえwww
そんなに言葉に細かいなら
曖昧くらい感じで書いたらいいのにぃ〜 >>912
あ、ゴメンゴメン
「感じ」じゃなくて「漢字」ね! >>911
かなりの数の受験問題をこなしましたし、大学の微積分の基本的な本、線形代数の基本的な本には目を通しました。
ですがこのやり方を見たのはこの1回だけで、これがよく登場する方法なのか分かりません。
集合論だと頻繁に使われるのでしょうか? >>910
しかし、
集合の要素の(最大)数
つまり「集合の要素の数」と言ったら
前者じゃないかね?
後者だったら「集合の要素の最大値」
とでも表現するところ。
ということは、
日本語能力に問題があるのは、
キミだということになるなwww >>914
大学レベルの数学では>>911は頻出テクだよ
数学科で特にかもしれないが
要は、
a = b ⇔ a ≦ b かつ a ≧ b
A = B ⇔ A ⊂ B かつ A ⊃ B
と、右側のように分割して、一つずつ処理する方が、簡単になる場合が多いということ
高校レベルでは、あまり出ないかも知れないが たとえば、
{m * z1 + n * z2 | z1, z2 ∈ Z} = {gcd(m, n) * z | z ∈ Z}
を証明するときに、
A ⊂ B かつ A ⊃ B
を示して、
A = B
を示します。 >>909
無機質に不等式で書かれると
面食らう気持ちはわかります。
でも次の思考に基づくものだと理解すれば、
自然な流れに感じられるのでは?
試行錯誤してとりあえず a 個の例を見つけた
⇔ 少なくとも a 個あることは確認した
⇔ f(M) ≥ a を示した
では f(M) = a を示すにはどうする?
f(M) > a ではないことを示せばよい
⇔ f(M) ≤ a を示せばよい f(4)=3のようだから要素数のようだけどMの要素数は一つに決まるから
>Mの要素の最大数をg(M)とするとき
はおかしい。 >>909
「M の要素の最大数」の意味を #M の最大値と解釈する
とまず宣言して、
M = {n}
は条件を満たすから、
f(n) = n
である。
よって、
n ≧ (n/2) + (n/4) = (3/4)*n は成り立たない。
n ≦ (n/2) + (n/4) = (3/4)*n も成り立たない。
よって、
(1)、(2)は出題ミスである。
(3) f(3*2^125) = 3*2^125
である。
とすれば、簡単に満点をもらえたはずですね。 訂正します:
>>909
M の要素の最大数 = max M 解釈する
とまず宣言して、
M = {n}
は条件を満たすから、
f(n) = n
である。
よって、
n ≧ (n/2) + (n/4) = (3/4)*n は成り立たない。
n ≦ (n/2) + (n/4) = (3/4)*n も成り立たない。
よって、
(1)、(2)は出題ミスである。
(3) f(3*2^125) = 3*2^125
である。
とすれば、簡単に満点をもらえたはずですね。 訂正します:
>>909
M の要素の最大数 = max M と解釈する
とまず宣言して、
M = {n}
は条件を満たすから、
f(n) = n
である。
よって、
n ≧ (n/2) + (n/4) = (3/4)*n は成り立たない。
n ≦ (n/2) + (n/4) = (3/4)*n も成り立たない。
よって、
(1)、(2)は出題ミスである。
(3) f(3*2^125) = 3*2^125
である。
とすれば、簡単に満点をもらえたはずですね。 >>919
M={1} も条件を満たす。
M の要素の最大数で問題ない。 >>922
>>915 の通り。
曲解して答案を書くのは自由www
だが、まったく評価されず零点だな。 出せる答えに合わせて問題のほうを改変するのは、
実社会では普遍的な「問題解決」の技法だよ。
象牙の塔に浸って、現実から解離してないか? >>924
g(M)がそれぞれのM毎に決まるものならMの要素数であって最大という言葉は不要。
g(M)がMを動かしたMの要素数の最大値ならg(M)とf(n)は同じものだから二つ定義する意味がない。 訂正します:
>>909
M の要素の最大数 = max M と解釈する
とまず宣言して、
M = {n}
は条件を満たすから、
f(n) = n
である。
よって、
(1)
n ≧ (n/2) + (n/4) = (3/4)*n である。
(2)
n ≦ (n/2) + (n/4) = (3/4)*n は成り立たない。
よって、
(2)は出題ミスである。
(3) f(3*2^125) = 3*2^125
である。
とすれば、簡単に満点をもらえたはずですね。 >>914
ユークリッドの互除法の証明をするのに使われたりします
それは、教科書に載ってるはずです オリジナルの問題を確認した。
正の整数 n に対して、
集合 {1, 2, ..., n} の部分集合 M で条件
m ∈ M ならば 2m ∉ M
をみたすものを考える。
このような集合 M に対して
M の要素の個数を g(M) とするとき、
g(M) の取りうる最大値を f(n) と表す。
次の問に答えよ。
>>909 が誤って書いたのが真実。 kを奇数として2^mkと表すとこのラインナップの中ではk,4k,4^2k,,,,を含むのが最大個数ということか >>922
書き間違えられた問題に
意気揚々とイチャモンつけて
エヘンと偉ぶる様の滑稽さよwww 斎藤正彦著『齋藤正彦微分積分学』のp.143命題4.1.11ですが、おかしいですね。
「Σ a_n が和 s に収束すれば、部分和数列 <s_k> は単調増加で、 lim s_k = s だから
有界である。」
などと書いていますが、収束する数列は明らかに有界ですから無駄な記述です。
4.1.11【命題】
正項級数 Σa_n が収束することと、その部分和数列 <s_k> が有界なことは同値である。
【証明】
Σ a_n が和 s に収束すれば、部分和数列 <s_k> は単調増加で、 lim s_k = s だから
有界である。逆に <s_k> が有界なら、それは単調増加だから、定理2.2.4によって収束
する。 斎藤正彦著『齋藤正彦微分積分学』のp.143命題4.1.13のコーシーの判定法の
証明もおかしいです。 >>938
何故簡単な微積分の本ばかり読んでいるのですか? >>944
「有」=「全」=「無」=「永遠」=「神」
なのでしょうか? 斎藤正彦著『齋藤正彦微分積分学』を読んでいます。
p.145 定理4.1.15の記述がひどすぎます。
---------------------------------------------------------------------
4.1.15【定理】
正の範囲で定義された連続関数 f があり、広義単調減少かつ
lim_{x → ∞} f(x) = 0
とする(当然 f(x) ≧ 0)。
このとき、正項級数 Σ f(n) が収束するためには、 +∞ での広義積分
∫ f(x) dx from x =1 to x = +∞
が収束することが必要十分である。
---------------------------------------------------------------------
などと書かれていますが、当然、
lim_{x → ∞} f(x) = 0
という仮定は不要です。 加えて、
k を自然数として、
lim_{k → ∞} ∫ f(x) dx from x = 1 to x = k が存在すれば、
広義積分
∫ f(x) dx from x = 1 to x = +∞
が存在すると結論していますが、ギャップがありますね。 >>947
何故簡単な微積分の本ばかり読んでいるのですか? >>948
>>727 の後始末をして下さい。
1行証明よろしく〜
もちろん >>867 よりも
簡単に示せるんでしょうねwww ε‐δ論法の質問です
関数の連続性についてになります
y=f(x)=(2x^2-2)/(x-1)は分母がx−1なので、x≠1になるのですが、
x=1の場合を(ε‐δ論法で)定義すると連続な関数とみなせる
と教科書には書いてあります
言っている意味はわかるのですが
x=1を定義して作ってしまったら、元のy=f(x)=(2x^2−2)/(x−1)
とは別の関数になってしまうと思って
そんなことをしたらいけないように思ってしまって
わからなくなっています
「〇」の場合には特例でやってしまってもよいということでしょうか?
https://i.imgur.com/WSKGPAA.jpg >>951
その教科書の該当部分を自分の言葉を使わずにそっくりそのまま書き写すか、写真を貼ってください >>953
少々わかりづらいかもしれない書き方ですが
>>951
>x=1の場合を(ε‐δ論法で)定義すると連続な関数とみなせる
(ε‐δ論法で)とは言っていませんね
x=1のときそのように定義をすれば連続となる、とだけ言っています
そして、このような一見すると変な連続性もε‐δ論法を使って証明すること「も」できる、と言っています
高校生風に素朴に考えても十分成り立つことを、ε‐δを使って再確認することができる、と言っています
もちろんそんなことをすればできる関数は異なります
元の関数は連続でないけど、新しくできた関数は連続となるのです >>954
返答ありがとうございます
それで少し疑問が出てきたのですが
例えばですけれども三角関数の極限公式に
lim(x→0)sinx/x = 1
というのがありますが
f(x) = sinx/x は本来は0で割れないのでx≠0は定義できずに
不連続になってしまいますが、今まで通り極限を求めて連続する関数として
扱ってしまってもよいということでしょうか? ∫ sin(x) / x dx from x = 0 to x = ∞
=
π/2
という積分の被積分関数などはそういう扱いだと思います。 >>956
ありがとうございます
独学でやっているので質問できるところがあると助かります
アップロードした画像についてですが
流石に教科書を1ページそのまま上げたままはマズイと思うので
20:00前後に削除依頼を出すことにします >>947
書名紹介から化学系の気持ち悪さを感じる >>955
数式は単なる記号であって、それ自体には意味を持たない、ということを意識しましょう
sinx/xは通常、x=0では定義されません
f(x)=sinx/x(x≠0)
1(x=0)
こういう関数なら全てのxで定義されます
もしかしたら、f(x)を定義せずsinx/xがx=0でも定義されているかもしれませんが、その場合はfのことを指しているのだと解釈しましょう
sinx/xの定義域はR\{0}で、fの定義域はRです
sinx/xはx=0でそもそも定義がされていないのですから、連続となるはずがないのです
sinx/xをfと扱う場合ももしかしたらあるのかもしれませんが、そのときはそのときです
sinx/xの定義によるわけですね
>>956
は広義積分の扱いだと思うので、今回の話は無関係です >>959
定義・・・ですか
今までは「0で割ってはいけない」や範囲についての「−π≦θ<π」程度しか
意識してませんでしたが、これからは注意してみることにします
解釈については今の段階ではできるかどうかわからないですが
チャレンジしてみます
丁寧にありがとうございました ∫ sin(x) / x dx from x = 0 to x = ∞
=
π/2
は普通、
f を
f(x) = sin(x) / x (for x ≠ 0)
f(x) = 0 (for x = 0)
として、
∫ f(x) dx from x = 0 to x = ∞
のことだと考えるのではないでしょうか?
そして、 ∞ のところだけ広義積分と考えるのではないでしょうか? >>961
そのように教科書に書いてあったのですか? >>961
そんなものが普通なのだとしたら、
f(x) = sin(x) / x (for x ≠ 0)
f(x) = 10000000000 (for x = 0)
としても
∫ f(x) dx from x = 0 to x = ∞ = π/2
となることはどう説明するおつもりですか?? ↑これが数学板の実力です
専門板なのに異常にレベルが低い
せいぜい数学の少しできる高校生レベル 訂正します:
∫ sin(x) / x dx from x = 0 to x = ∞
=
π/2
は普通、
f を
f(x) = sin(x) / x (for x ≠ 0)
f(x) = 1 (for x = 0)
として、
∫ f(x) dx from x = 0 to x = ∞
のことだと考えるのではないでしょうか?
そして、 ∞ のところだけ広義積分と考えるのではないでしょうか? あ、
f(x) = sin(x) / x (for x ≠ 0)
x = 0 のときの f(x) の値をどう定義しようが、
x = 0 で広義積分にはなりませんね。 数学の力に難があるんだから
書かなきゃいいのにwww 笠原晧司著『微分積分学』
の第3章が無限小解析というタイトルです。
そこで扱われているような内容を扱っている本がきわめて少ないのは
なぜでしょうか? 物理の教科書とか演習書とかに,よく,
f: (-∞, ∞) → (-∞, ∞)で,
1点x = aでf(a) = ∞,他ではf(x) = 0なる関数であって,
∫(-∞, ∞) f(x) dx = 1
となるものが…
とか書いてあることがありますが,そんな関数(超関数を含む)はないと思うんですが,
ぼくは間違っていますか? そんなことで文句言ってたら概念の拡張なんて受け入れられないだろうに 概念の拡張,とかいう問題ではなく,
「定義」に当てはめると,そんなものは存在しないのでは,と思うのですが
という質問です 関数という概念の拡張に逆らいたい気持ちがあるからそう見える
もしもここで集合論の教科書に載ってる一般的な用語としての「関数を思い浮かべたのなら、ただの馬鹿だぞ 超能力が能力でないと同様、超関数は関数ではない。それだけのことだよ。 存在しませんよ
頭大丈夫?
京大のYI教授もそのネタを授業で使ってました >>977
煽ってもダメよ
ちゃんと勉強したらいいだけのこと 集合論の術語に拘泥していたら解析学における関数と写像のニュアンスの違いも理解できないだろう >>974
言葉の定義の及ぶ範囲をいつでもグローバルだと、全数学だと考えるのが間違い
同じ言葉が分野により異なる意味で用いられるのは特別なことではない
集合論には数学の基礎という役割があるから全数学に通用する術語だと勘違いしやすいだけ >>978
アナタが勉強したら?
大学レベルは難しいようだから、
義務教育の復習からね >>969
杉浦光夫著『解析入門I』の参考文献のところを見てみたら、
ブルバキの本とディユドネの『無限小解析』という本に書いてあるみたいですね。 オイラー・マクローリンの公式を扱っている本が極めて少ないのはなぜでしょうか? >>984
笠原さんの本での無限小解析は、ランダウの記号とかの話のことです。 簡単な微積分の本ばかり読んでいる人には分からないかもしれないですが、扱われていないということは重要でないということなのでは? Mathematicaで
Series[Tan[x], {x, 0, 3}]
などと入力すると、出力される
O[x]^4
というような記号の意味を教えてください。
O[x^4] ではなく O[x]^4 と書くのはなぜでしょうか? 999を自然数の和として表す方法は何通りありますか
ただし1+2と2+1は同じと見なします。 このスレッドは1000を超えました。
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