面白い問題おしえて～な 二十四問目 [無断転載禁止]©2ch.net
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>>843
M距離の和を最小にするなら、、
y =（1/4)x + 1 のとき M距離の和 = 11/2 >>835 >>836 補足
a ≡ a+3 ≡ ±1 （mod 3)
とすると、
aa +（a+3)^2 ≡ 1 + 1 ≡ 2 （mod 3)
一方、
cc ≡ 0，1 （mod 3)
となるので不成立。
a ≡ a+3 ≡ c ≡ 0 (mod 3）に限る。 作用素Hについて、固有値E_k（E_0<E_1<E_2<…）と対応する固有関数ψ_kが存在するとする
であるとする
ここで、固有値Eをもつ関数Ψが存在するとき、NE≧E_0となることを示せ。
ただしN=√(1/(∫|Ψ|^2 dx)) ↑訂正
作用素Hについて、固有値E_k（E_0<E_1<E_2<…）と対応する固有関数ψ_k（∫|ψ|^2 dx=1）が存在するとする
ここで固有値Eをもつ関数Ψが存在するとき、NE≧E_0となることを示せ。
ただしN=√(1/(∫|Ψ|^2 dx)) 中学生でも解ける問題を一つ
半径rの円が３つあり、残り二つの円と互いに外接している。
それぞれの円の周上にP,Q,Rを取る時、三角形PQRの重心Gの動きうる範囲の面積を求めよ。 >>857
HP0=E0P0
P=2P0
N=1/4
E=E0
1/4E0≧E0
？？ P=2(p_0)だと固有値Eは2(E_0)
NE=(1/2)2(E_0)=(E_0) >>861
>P=2(p_0)だと固有値Eは2(E_0)
なんで？ H(2(p_0))=2H(p_0)=2(E_0)(p_0) 2の倍数または3の倍数または5の倍数でない自然数について
50番目の数字は何？ 1-100
100-(50+33+20-16-6-10+3)=100-74=26
1-200
200-(100+66+40-33-13-20+6)=200-146=54
187,191,193,197,199
187？ >>858
どうやって解いたものかと思ったが
点Ｐ、Ｑ、Ｒの属する円の中心をそれぞれ点Ａ、Ｂ、Ｃとする。
三角形ＡＢＣの重心をＦとする
ベクトルＦ→Ａ、Ｆ→Ｂ、Ｆ→Ｃの和は
1/3(Ｆ→Ａ+Ｆ→Ｂ+Ｆ→Ｃ)=Ｆ→Ｆとなるので零ベクトル。
一方、ベクトルＦ→Ｇを考えると
Ｆ→Ｇ=1/3(Ｆ→Ｐ+Ｆ→Ｑ+Ｆ→Ｒ)
=1/3((Ｆ→Ａ+Ａ→Ｐ)+(Ｆ→Ｂ+Ｂ→Ｑ)+(Ｆ→Ｃ+Ｃ→Ｒ))
=1/3(Ａ→Ｐ+Ｂ→Ｑ+Ｃ→Ｒ)
ベクトルＡ→Ｐ、Ｂ→Ｑ、Ｃ→ＲとＦ→Ｐ'、Ｆ→Ｑ'、Ｆ→Ｒ'がそれぞれ等しくなるように点Ｐ'、Ｑ'、Ｒ'をとると、
それらは点Ｆを中心とする半径ｒの円(以下円Ｆとする)の周にある。
Ｆ→Ｇ=1/3(Ｆ→Ｐ'+Ｆ→Ｑ'+Ｆ→Ｒ')なので、点Ｇは円Ｆに内接する三角形Ｐ'Ｑ'Ｒ'の重心であり、円Ｆの内部または周にある。(周にあるのは点Ｐ'、Ｑ'、Ｒ'が一致するとき)
次に、
円Ｆの内部に任意の点Ｈをとるとき、線分ＦＨのＨ側の延長と円Ｆの交点に点Ｐ'をとり、
Ｈ'→Ｈ＝1/2(Ｈ→Ｐ')となるような点Ｈ'をとると、点Ｈ'は円Ｆの内部にあるので点Ｈ'における直線ＦＨとの垂線は円Ｆと２箇所で交わり、
各々の交点に点Ｑ'、Ｒ'をとると、三角形Ｐ'Ｑ'Ｒ'の重心である点Ｇは
Ｆ→Ｇ=1/3(Ｆ→Ｐ'+Ｆ→Ｑ'+Ｆ→Ｒ')=1/3(2(Ｆ→Ｈ')+Ｆ→Ｒ')=1/3((Ｆ→Ｈ+Ｈ→Ｐ')+2(Ｆ→Ｈ-Ｈ'→Ｈ))=Ｆ→Ｈとなるため
点Ｈと点Ｇが一致するように点Ｐ、Ｑ、Ｒを取ることができることがわかる。
同様に円Ｆの周に点Ｇをとるには、ベクトルＡ→Ｐ、Ｂ→Ｑ、Ｃ→ＲのすべてがＦ→Ｇと等しくなるように点Ｐ、Ｑ、Ｒをとればよい。これらの点は各円の周にある。
以上のことから、点Ｇの存在範囲は円Ｆ、すなわち三角形ＡＢＣの重心を中心とする半径ｒの円の周および内部の全域と一致する。
面積はπｒ^2 >>867
という数列の一般項を求めるような問題が昔数検にあったかな >>871
kは非負整数とする。
a_{8k｝= 30k -1,
a_{8k+1｝= 30k + 1,
a_{8k+2｝= 30k + 7,
a_{8k+3｝= 30k + 11,
a_{8k+4｝= 30k + 13.
a_{8k+5｝= 30k + 17,
a_{8k+6｝= 30k + 19,
a_{8k+7｝= 30k + 23, 周期30(8個)
1,7,11,13,17,19,23,29 >>865
なら当たり前じゃんｗ
固有値の中でE0が最小って
最初に書いてる 正三角形ABCの中に点Dをとる
三辺の長さがAD,BD,CDである三角形を作ったとき、その3つの角度はどうなるか？
元のA,B,C,Dで表せ 2円が2点で交わっているとき、2円に引いた接線の長さが等しいような点の軌跡を求めよ。（1行問題） 直線 2ax+2by=a^2+b^2+r^2-R^2 田舎だから、ろくな高校なくて県内トップの高校だが高校偏差値60、俺の数学の偏差値は進研模試70、駿台模試68な俺。数学に割と自信あって来てみたらレベル高すぎて挫折。みんなは大数とか解いてるのかな( ´･ω･` ) >>876
中心o、半径rの円と、中心O、半径Rの円があり、2点 A，B で交わるとする。
中心間の距離oO = d とおく。
oOとABは点Cで直交する。
oC =（dd+rr-RR)/2d,
OC =（dd+RR-rr)/2d,
AB = 4⊿(r,R,d）/d,
直線AB上の点Pから
円oへの接線の長さは
√(Po^2 - r^2）= √(PC^2 + Co^2 - r^2）= √{PC^2 -（AB/2)^2},
円Oへの接線の長さは
√(PO^2 - R^2）= √(PC^2 + CO^2 - R^2）= √{PC^2 -（AB/2)^2},
ゆえ一致する。
答え 直線ABのうち、線分ABを除く部分。 差がnになるような立方数と平方数
みたいな問題に一般解ある？ >>880
yy =（重根をもたない3～4次多項式）
楕円曲線と云うらしい。（楕円ではない。）
数論の中心的課題の一つ。
有理数解についての構造定理（モーデルの定理）がある。
整数解は有限個しか存在しない。 >>880 訂正
yy = f(x） （ｆは重根をもたない3～4次多項式） nを3以上の自然数とする
円に内接するn角形で、面積が最大となるものは正n角形であることを示せ. >>883
面積最大となる内接ｎ角形が、大きさの異なる中心角(=外接円の中心における辺の両端のなす角度)を隣り合わせに持つと仮定すると、
それらに挟まれる頂点を「中心角の和の二等分線と円との交点」に置き換えた内接ｎ角形は元の内接ｎ角形より面積が大きいため、仮定と矛盾する
よって面積最大の内接ｎ角形はすべての中心角の大きさが等しい
そのようなｎ角形は正ｎ角形である >>884
なるほど
イェンゼンの不等式を使う解法を想定してたけどこんなにシンプルに解けるのか >>886
n角形の中心角をθ_1,...,θ_nとすれば、
Σ(i=1,n)θ_i=2πで、
0≦x≦πのとき、f(x)=sinxは上に凸
したがってイェンゼンの不等式から
n角形の面積=(1/2)Σ(i=1,n)sin(θ_i)
=(n/2)*(1/n)Σ(i=1,n)sin(θ_i)
≦(n/2)sin((1/n)Σ(i=1,n)θ_i)
=(n/2)sin(2π/n)
で等号成立はθ_1=...=θ_nのとき
みたいなのを想定してました >>887
その方法もありかな
ただθiの取りうる範囲が０＜θi＜２πで、sinθiが上に凸でない区間を含むのでイェンゼンの不等式を使う前にもうひと工夫要る >>888
中心角がθ_i＞πとすると辺が反対側になるからθ_i＜πとしても問題無いと思う >>884
この方法で言えることは、
「正n角形でないn角形は面積最大になり得ない」
ということに過ぎなくて、正n角形が面積最大なのかは、この方法からは分からない。
つまり、正n角形が他のn角形と比較して必ず大きくなっているのかは、
この方法からは分からない。
ただし、面積最大の多角形が「存在する」ことが別途証明してあるなら、
この方法と合わせることで、正n角形が面積最大だと分かる。 >>890
円周の1点P0と、点P0と中心角2πk/nをなす円周上の点Pk(1≦k＜n)を順に結んでできるn角形は円に内接する正n角形となる(存在性)
円に内接するn角形で、正n角形より面積の大きいものが存在すると仮定する。そのようなn角形は>>884の主張により正n角形でなければならない
円に内接するn角形は、円の中心から頂点までの距離が円の半径に等しい
円の中心と内接正n角形の各辺の両端を頂点とする三角形は中心角2π/nとそれを挟む辺が等しいため互いに合同である
この三角形の面積をS1とすると、同一の円に内接する正n角形はいずれも等しい面積nS1をもつこととなる。この性質は元の正n角形についても成立する
同一円に内接する正n角形の面積が互いに等しい事実は元の仮定と矛盾する(背理法)
円に内接する正n角形は存在し、正n角形より面積の大きいn角形は存在しない。よって正n角形は条件を満たす最大のn角形である >>891
間違っている。
(1) 円に内接するn角形で、正n角形より面積の大きいものが存在すると仮定する。
(2) そのようなn角形は>>884の主張により正n角形でなければならない
この2行について、(1)から(2)への推論の仕方が間違っている。
(1)では、正n角形より面積の大きいn角形(面積最大とは限らないn角形)を
仮定しているだけなので、そのn角形に対しては >>884 は適用できない。
>>884 を使って(2)を推論するためには、もともとの(1)を
(1)' 円に内接する面積最大のn角形は正n角形でないと仮定する。
としなければならない。しかし、これでは面積が最大のn角形の「存在性」を
最初に仮定してしまっているので意味が無い。 面積最大のn角形が「存在する」ことを証明するには、たとえば >>887 を拝借して、
A ＝ { (θ_1,...,θ_n)｜θ_i≧0, Σ(i=1,n)θ_i=2π }
S：A → R
S(θ_1,...,θ_n) ＝ (1/2)Σ(i=1,n)sin(θ_i)
として関数 S を定義すればよい。このとき、S は A 上の連続関数であり、
かつ A はコンパクトなので、S は最大値を持つことが分かる。
すなわち、面積最大のn角形は「存在する」ことが分かる。
……というように、面積最大のn角形の「存在性」を言うには、
それなりの抽象論が必要になって、なかなか初等的にはいかない。
初等的に済むのは、>>887 のように、ある種の不等式を使って、
直接的に「正n角形が面積最大」を示すことである。
そういう方法ではない、>>884 のような方針を使う場合には、
面積最大のn角形の「存在性」を示す必要があって、
そうすると上記のように それなりの抽象論が必要になる。 >>892
＞としなければならない。しかし、これでは面積が最大のn角形の「存在性」を
＞最初に仮定してしまっている
していませんよ >>894
もともとの(1)では仮定していないが、その(1)では(2)が推論できずに失敗するので、
(2)を推論したければ (1)' に修正しなければならない。しかし、(1)' では
面積が最大のn角形の「存在性」を仮定してしまっているので、これでは意味が無い。
結局、>>891のやり方はいずれにしても失敗する、ということ。 それじゃ>>884を引用せずにやりますかの
円周の1点P0と、点P0と中心角2πk/nをなす円周上の点Pk(1≦k＜n)を順に結んでできるn角形は円に内接する正n角形となる(存在性)
円に内接するn角形で、正n角形より面積の大きいものが存在すると仮定する。そのようなn角形は辺ごとに中心角が異なっていてはならないため正n角形でなければならない
円に内接するn角形は、円の中心から頂点までの距離が円の半径に等しい
円の中心と内接正n角形の各辺の両端を頂点とする三角形は中心角2π/nとそれを挟む辺が等しいため互いに合同である
この三角形の面積をS1とすると、同一の円に内接する正n角形はいずれも等しい面積nS1をもつこととなる。この性質は元の正n角形についても成立する
同一円に内接する正n角形の面積が互いに等しい事実は元の仮定と矛盾する(背理法)
円に内接する正n角形は存在し、正n角形より面積の大きいn角形は存在しない。よって正n角形は条件を満たす最大のn角形である >>896
(1) 円に内接するn角形で、正n角形より面積の大きいものが存在すると仮定する。
(2) そのようなn角形は辺ごとに中心角が異なっていてはならないため正n角形でなければならない
(1)から(2)への推論が間違っている。(1)に>>884と同じことをしても、(2)は出て来ない。 ＞円に内接するn角形で、正n角形より面積の大きいものが存在すると仮定する。そのようなn角形は辺ごとに中心角が異なっていてはならないため
そうはならないね。中心角が異なるn角形よりさらに大きなn角形が存在することしかいえない わかりました
結局は>>884の論法を拝借しても証明できないということですね。残念 >>893
n角形の面積が頂点の位置の連続関数かつ有界
ってことが言えれば>>884のやり方でも良いの？ >>900
面積最大のn角形が「存在する」ことが別途証明できているなら、>>884のやり方でよい。
で、面積最大のn角形が「存在する」ことの証明法の1つが>>893。
＞ n角形の面積が頂点の位置の連続関数かつ有界
「連続かつ有界な関数」は最大値を持つとは限らないので、その条件ではダメ。
「コンパクト集合上の連続関数」は最大値を持つので、チェックすべきはこっち。
>>893 の設定だと、A はコンパクトで S：A → R は連続なので、S は最大値を持ち、
よって面積最大のn角形が存在することになる。 >>874
リッツの変分原理を回りくどく出題したんだよね… >>875の答え
新しい三角形の3つの角は
∠ADB-60°
∠BDC-60°
∠CDA-60°
元の正三角形を2つくっつけると容易に導ける
https://youtu.be/dF67AJH9mjM >>902
新旧リッツの変分は、ルヴァンに忠実に含まれている。 >>888-889
θ_i > πの辺があるとき
・n=3 のとき
その辺の長さ ＜2，高さ ＜1 面積 ＜１
一方、正△の面積は（3/2)sin(2π/3）=（3√3)/4 ＞ 1
・n≧4 のとき
n角形は半円の内部に収まるから、面積 < π/2
一方、正n角形の面積は（n/2)sin(2π/n）≧ 2 （←（sinθ)/θ ≧ 2/π）
いずれの場合も面積最大ではない。
>>903
△ABCを頂点Aのまわりに60°回す。
B→C，C→E，D→F
△ADFは正△ (12371^56 + 34)^28 を 243 で割った余りを求めよ。 自然数nの各位の数字の和をS(n)とおくとき、S(n^2) = S(n)-7をみたすnの最小値を求めよ。 番外編第2問 完全なるネタ問です。暇な時にでもどうぞ。
[2'］（オリジナル）
x，yを自然数とする。
x^2 - y^2 =（x+y)(x-y)
を、「xy」を出現させずに示せ。
>>906
12371 ≡ -22 （mod 243)
(-22)^56 ≡ -83 （mod 243)
(-83+34)^28 ≡ (-49)^28 ≡ 130 （mod 243)
（twitter.com/perfectly08641086/） >>907
n=149， S(149）= 14， S(22201）= 7 >>879
遅くなったが○（必要性(AB上の点だけである)を言ってないが）
2交点を通る直線の、円の外部にある部分（1行解答） [5]
n，k を自然数とする。
次の条件を満たす k の値をすべて求めよ。
「n，n+k がともに平方数となるような n がただ一つに定まる。」
（日本ジュニア数学オリンピック2014年、予選 第6問 他 ｱﾚﾝｼﾞ）
（http://twitter.com/perfect08641086/） >>912
以下、自然数とは正整数のこととする。
n=NN,n+k=MMである自然数N,Mが存在する場合、k=(n+k)-n=MM-NN=(M+N)(M-N)となる
よって、kに対してkがM+NとM-Nの積となるような自然数の組(M,N)が１通りに定まる場合を求める
M+NとM-Nはともに異なる奇数であるか、ともに異なる偶数である
1)M+NとM-Nがともに異なる奇数である場合
kは奇数である。
kが3以上の異なる奇数K,L(K＞L＞1)の積KLである場合、
(M,N)=((KL+1)/2,(KL-1)/2),((K+L)/2,(K-L)/2)の少なくとも2通りの解がある
k=1の場合、M+N=M-N=1のため題意を満たさない
これらを除くとkが奇素数または奇素数の平方である場合のみ、単一解(M,N)=((k+1)/2,(k-1)/2)をもつ
2)M+NとM-Nがともに異なる偶数である場合
kは4の倍数である。
kが4以上の異なる偶数2K,2L(K＞L＞1)の積4KLである場合、
(M,N)=(KL+1,KL-1),(K+L,K-L)の少なくとも2通りの解がある
k=4の場合、M+N=M-N=2のため題意を満たさない
これらを除くとk/4が素数または素数の平方である場合のみ、単一解(M,N)=(k/4+1,k/4-1)をもつ
上記より、kは奇素数、奇素数の平方、素数の4倍、素数の平方の4倍のいずれかである。 >>268の解答
(1)
k=(aa+a+1)/(a+8)=a-7+57/(a+8)
57/(a+8)が整数になる自然数aはa=11,49
(2)
kが自然数ならば2kも自然数
2k=2(2aa+a+2)/(4a+9)=a-1+(-3a+13)/(4a+9)
a≧1で-1<(-3a+13)/(4a+9)<1かつaが整数のとき(-3a+13)/(4a+9)≠0だから、
aが自然数のとき2kが自然数になることはない。
よってkが自然数になることはない。
(3)
(i) b(aab+a+b)=aabb+ab+bb≦aabb+ab+abb<aabb+ab+7a+abb+b+7=(a+1)(abb+b+7)
∴(aab+a+b)/(abb+b+7)<(a+1)/b
(ii)
(a-1)(abb+b+7)/b=aab+a+7a/b-ab-1-7/b=aab+a-a(b-7/b)-1-7/b<aab+a-1-7/b<
=aab+a+b
∴(a-1)/b<(aab+a+b)/(abb+b+7)
(iii)
(a/b-1/b)<k<(a/b+1/b)より(a-1)<bk<(a+1)
a-1,a+1,bkはいずれも整数だからbk=a
(iv)
元の式よりk=(bbbkk+bk+b)/(bbbk+b+7)
∴bbbkk+bk+7k=bbbkk+bk+b⇔b=7k
確かに(a,b)=(11,1),(49,1),(7kk,7k)のときkは自然数である。
出典：IMO1998-4
誘導は勝手につけた で、本題なんだが、前スレで268を出題するつもりが、ミスにより
(a^2+a+b)/(ab^2+b+7)が自然数となるような自然数の組を求めよ
という問題文になってしまった（分子の第1項が違う）。
仕方なく解いてみたのだが、色々やってもa,bを上から抑えられずうまくいかなかった。
誰か挑戦してみてください。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【途中経過】
あるbを与えられたとき、aは次のように求められる。
kを自然数として
(a^2+a+b)/((b^2)a+b+7)=k
⇔a^2+(1-(b^2)k)a+b-bk-7k=0 …★
aが自然数解を持つための必要条件は判別式が平方数だから、mを非負整数として
(1-(b^2)k)^2-4(b-bk-7k)=m^2
⇔…
⇔((b^4)k-b^2+2b+14+m)((b^4)k-b^2+2b+14-m)=4(b^5-b^3-6b^2+14b+49)
例えばb=1のとき、右辺は228
素因数分解して左辺の候補を絞ると(k,m)=(7,16),(43,56)
★にkを代入すると
k=7のときa=11,-5
k=43のときa=49,-7
よって(a,b)=(11,1),(49,1)を得る。
これらは確かに与式を満たす。
この方法でb=10まで確認したところ、(a,b)=(11,1),(49,1),(17,2),(27,3)を得た。 >>915
(1-(b^2)k)^2-4(b-bk-7k)=m^2
⇔…
⇔((b^4)k-b^2+2b+14+m)((b^4)k-b^2+2b+14-m)=4(b^5-b^3-6b^2+14b+49)
のところがわからない
(1-(b^2)k)^2-4(b-bk-7k)≡((b^4)k-b^2+2b+14)^2-4(b^5-b^3-6b^2+14b+49)
と言ってるように見えるけどそうなの？ いや
最初に両辺にb^4かけてM=(b^2)mで置き換えてた
すまんな
(b^4)((1-(b^2)k)^2-4(b-bk-7k))=M^2=((b^4)k-b^2+2b+14)^2-4(b^5-b^3-6b^2+14b+49) >>918
わかりました
(1-(b^2)k)^2-4(b-bk-7k)=m^2 を k の2次方程式と見たときの判別式が
4(b^5-b^3-6b^2+14b+49)+((b^2)m)^2
ですが、これが平方数であって、
((b^4)k-b^2+2b+14)^2に等しいという言い方もできるわけですね >>915
a,bを自然数として、k=f(a,b)=(a^2+a+b)/(ab^2+b+7)とする
1) bが一定のとき、a≧bの範囲でf(a,b)はaについて単調増加であることを示せ
2) b≧4、n≧1のとき、f(nb^2-1,b)＜nを示せ
3) b≧4、n≧1のとき、f(nb^2,b)＞nを示せ
4) a≧1、b≧4の自然数について、f(a,b)は自然数とならないことを示せ
こんな感じですかね 球面上でランダムに選んだ4点からなる四面体が球面の中心を含む確率を求めよ。
厳密でなくてよい。エレガントな解答がある。 >>922
１/８かな
四面体のどの２頂点を選んでも、その２頂点を通る大円で分けられたそれぞれの半球面に残りの２頂点が１つずつ含まれることが、四面体が中心を含むための必要充分条件となる
３つの頂点をランダムに選んだとき、４つ目の頂点はそれら３つの頂点から２つを選んでできる３通りの大円について、１/２の確率で頂点のない半球に置かれる
点の選び方がランダムなので、大円の取り方は互いに独立と考えてよく、結果、四面体が円の中心を含む確率は(１/２)^３=１/８となる >>924
>> 四面体のどの２頂点を選んでも、その２頂点を通る大円で分けられたそれぞれの半球面に残りの２頂点が
>> １つずつ含まれることが、四面体が中心を含むための必要充分条件となる
必要条件だけど、十分条件ではないよ >>924
1/8正解
前半の必要十分条件については、特に反例は思い付かない
3本の直径と1個の点Pをランダムに選ぶ
それぞれの直径の端点を1つずつ選ぶ方法は2^3=8通りあるが、出来上がった四面体が球面の中心を含むのは1つのみ（選ばれなかった端点からなる球面三角形上にPがあるとき）
よって1/8
パトナム競争の問題
https://mks.mff.cuni.cz/kalva/putnam/psoln/psol926.html
この動画でも解説されている（円と三角形の場合から始めている）
https://youtu.be/OkmNXy7er84 互いに素なa、b∈Zと、任意のn∈Zに対して、ax+bとnが互いに素であるようなx∈Zが存在することを示せ。 >>930
任意のn∈Zというが、n=0は除く必要がある オイラーのφ関数について、gcd(a,b) = d >1 ならば、φ(ab)φ(g) = φ(a)φ(b)・d を示せ。 >>932
gcd(a,b）= d > 1 というが、a，bの一方だけを割り切るような素数がある場合は除く必要がある >>932
g=dと考えていい？
正整数a,bについてgcd(a,b)=dのときφ(ab)φ(d)=φ(a)φ(b)・dを示す。
正整数nについて、その素因数を{Pm}とするとき、φ(n)=n・Π{Pm}(1-1/Pm)
bと素である最大のaの約数をa1とする。
aと素である最大のbの約数をb1とする。
a1の素因数を{Ax}、b1の素因数を{By}、dの素因数を{Dz}とすると、
aの素因数は{Ax}∪{Dz}、bの素因数は{By}∪{Dz}である。
a1,b1はそれぞれdと素である。つまり、{Ax}∩{Dz},{By}∩{Dz}はいずれも要素を持たない。
a1とb1は素である。つまり、{Ax}∩{By}は要素を持たない。
a2=a/a1、b2=b/b1となる整数a2,b2があり、それぞれはdの倍数であるから、
a3=a2/d、b3=b2/dとなる整数a3,b3がある。
a=a1・a3・d、b=b1・b3・dとなる。
以上のことから、n=d,a,b,abについてφ(n)は以下となる。
φ(d)=dΠ{Dz}(1-1/Dz)
φ(a)=φ(a1・a3・d)=a1・a3・d・Π{Ax}(1-1/Ax)Π{Dz}(1-1/Dz)=a1・a3・φ(d)・Π{Ax}(1-1/Ax)
φ(b)=φ(b1・b3・d)=b1・b3・d・Π{By}(1-1/By)Π{Dz}(1-1/Dz)=b1・b3・φ(d)・Π{By}(1-1/By)
φ(ab)=φ(a1・a3・d・b1・b3・d)=a1・a3・d・b1・b3・d・Π{Ax}(1-1/Ax)Π{By}(1-1/By)Π{Dz}(1-1/Dz)
=(φ(a)/φ(d))(φ(b)/φ(d))φ(d)・d=(φ(a)φ(b)・d)/φ(d)
よって、φ(ab)φ(d)=φ(a)φ(b)・d lim[n→+∞] (1+(1/n))^n ≡ e (★)
lim[n→-∞] (1+(1/n))^n = e
lim[n→+0] (1+(1/n))^n = 1
lim[n→-0] (1+(1/n))^n = 1
lim[n→+∞] (1-(1/n))^n = 1/e
lim[n→-∞] (1-(1/n))^n = 1/e
lim[n→+0] (1-(1/n))^n = 1
lim[n→-0] (1-(1/n))^n = 1
lim[n→+∞] (1+n)^(1/n) =1
lim[n→+0] (1+n)^(1/n) = e
lim[n→-0] (1+n)^(1/n) = e
lim[n→-∞] (1-n)^(1/n) =1
lim[n→+0] (1-n)^(1/n) = 1/e
lim[n→-0] (1-n)^(1/n) = 1/e
★を定義として残りの式を示せ オイラーのφ関数は乗法的だから、素数pごとに分けて考えてよい。
（ab/d)・d = a・b
より
φ(ab/d)・φ(d) = φ(a)・φ(b)
φ(n) = n・Π{p_m｜n} (1-1/p_m) を使う。
>>937
lim [n→+∞] (1 + 1/n)^(n + 1/2) ≡ e (☆)
の方がカコイイ >>939
乗法的？
φ(2)=φ(3)=1
φ(6)=2≠φ(2)φ(3) >>940
間違えた
φ(2)=1
φ(4)=2≠φ(2)φ(2) >>941
φ(3)=2ね
φ(9)=6≠φ(3)φ(3) >>942
数論的関数の乗法性の定義を知らないのか >>942
実に実に実に実に実にぃ～怠惰デスネ！ 一から、いえゼロから勉強し直してくるのです！ 思いついた問題はあるんだけど
出題するタイミングが分かんないんだよね
ここ2,3日に出た問題にレスが付かなそうだったら投下する >>932
d｜(ab/d）
つまり、ab/d は d の素因数をすべて含んでいる。
φ(ab/d）= φ(ab）/d,
>>939 にこれを使えば出るらしいよ。 暇なときにでもどうぞ
例えば8だと転置しても基本変形後の行列が変わらない事、及びσが置換全体を走る時σ^(-1)が置換全体を走る事使えば良いんですかね？
13は固有値使うと早いのかな？
17は基本変形を施す行列が正則であることから示せるね
...のような感じで答えてくださって構わないです
https://i.imgur.com/mMPwhK0.jpg >>932
φ(a)=a(1-1/p1)...(1-1/pi)(1-1/q1)...(1-1/qj)
φ(b)=b(1-1/p1)...(1-1/pi)(1-1/r1)...(1-1/rk)
φ(d)=d(1-1/p1)...(1-1/pi)
φ(ab)=ab(1-1/p1)...(1-1/pi)(1-1/q1)...(1-1/qj)(1-1/r1)...(1-1/rk)
φ(ab)φ(d)/φ(a)φ(b)=d レス数が950を超えています。1000を超えると書き込みができなくなります。
