①a,bを実数とする.方程式ax^2-2ax-b=0が0≦x≦3に実数解をもつような点(a,b)の範囲をab平面上に図示せよ.
②袋の中に1の数字が書かれたカードが1枚,2の数字が書かれたカードが2枚,3の数字が書かれたカードが3枚ある.
袋の中から1枚のカードを取り出し,カードに書かれた数字を確認し袋に戻すという操作を繰り返す.
n回操作を繰り返した後,取り出したカードに書かれた数字の総和が3の倍数となる確率を求めよ.
③点Oを中心とする半径rの球面Sがある.平面Fは球面Sと共有点をもち,その共有点全体は円Cをなす.Fが動くとき,円Cを底面,点Oを頂点とする塩水の体積の最大値を求めよ.
④pを素数,sをpの倍数でない整数とする.
(1)st-1がpの倍数となる整数tが存在することを示せ.
(2)s^2-1がpの倍数となるための必要十分条件は,sをpで割った余りが1またはp-1となることを示せ.
(3)(p-1)!+1はpの倍数であることを示せ.
⑤xy平面上に2点O(0,0),A(2,1)がある.点Pが曲線y=e^2上を動くとき,線分の長さの和OP+PAの最小値を求めよ.
⑥数列{a_n}をa_n=∫[0,1]x^n*e^xdx(n=0,1,2,...)で定める.
(1)n=0,1,2,...に対し,a_(n+1)をa_nで表せ.
(2)無限級数Σ[n=0,∞]1/n!の和を求めよ.
