cos x /x =a の逆関数を求めよという問題だから
初等関数にはならない、存在することはわかる

逆関数についてどこまで解析的な性質が必要かはそれを必要とする人の問題
複素関数論的に解くほうがいいこともある

細かい性質を知りたいなら微積分の範囲で理解できるかもしれないが
もう教科書のレベルの問題ではないね