プレーヤーの前に閉まった3つのドアがあって、プレーヤーが1つのドアを選択した後、司会のモンティが残りのドアのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる。
プレーヤーはドアを変更すべきだろうか？
(wikiより)
モンティーホール問題を高校生にわかるように説明してくれ [無断転載禁止]©2ch.net
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プレーヤーの前に閉まった3つのドアがあって、プレーヤーが1つのドアを選択した後、司会のモンティが残りのドアのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる。
プレーヤーはドアを変更すべきだろうか？
(wikiより)
① P(当A ∩ 開C)＝1/3*1＝1/3
② P(当B ∩ 開C)＝1/3*1/2＝1/6
③ P(開C)＝①＋②＝(1/3)＋(1/6)＝1/2
P(当A｜開C)＝①/③＝(1/3)/(1/2)＝2/3
P(当B｜開C)＝②/③＝(1/6)/(1/2)＝1/3
ドア四枚からドア三枚になる時には
プレイヤーがBのドアに必ずチェンジするので
P(B)＝１
したがって、上記の式をドア四枚で行うと
最初に選択したドアの確率が上がるという
不自然な答えが出るのです
というのも拗らせ君たちの頻出勘違いだよな
状況が変わっても全部P(～～)と書いてしまうので
P(B)＝1とP(B)＝1/3が併記されてても間違いでないと思い込むｗ
他の問題でよくある例だと
確率が1/2の確率みたいなのを考えるときにP(P(X)=1/2)という馬鹿表現を用いたりとかｗ
正しい書き方示さないと詭弁になります(*´▽｀*)
同問題の中なのに未知数は全部xとおく
みたいな間違いする子が稀に居る
同じ問題の中なのにx=1だったりx=1/3して
本人は見分けがついてるつもりらしいが、そのうち自分でも混乱して間違う
ただし、そういう子に「別物は別の記号で置いて表そう」と教えれば
大抵はちゃんと理解して従ってくれる
そこが馬鹿な拗らせ君とは決定的に違う所
三倍大きく見積もられた数値ですので
１／３で補正すると
P(当A｜開C)＝（４／７）ｘ（１／３）＝４／２１
早く更正文を書きましょう
P(当A｜開C)＝（４／７）ｘ（１／３）＝４／２１
悪くない感じではある
事象Xが起こる確率を P(X) と表すならば ０≦ P(X) ≦１ にしかならない
なのに P(A)＝10 とか書いちゃってるから
「確率が１超えてるねw」 とつっこまれてるわけ
トランプ問題は P(A)：P(B)＝10：39 と表現すれば問題はない
B＝３９
A＋B＝４９
A／（A＋B)＝１０／４９
＞これは確率１で必ず起きる
前提条件を確率１と同等視するのは、よくある典型的な勘違い
前提条件が起こる確率を(新たな全体)と考えて
それを分母にして計算しなさいというのが条件付き確率の問題
突風でドアＣが開いたという問題の場合
ドアCが開いたということは確定で大前提だから
P(開C)＝１ である、というのは典型的な間違った解釈
突風はドア３枚の中からランダムに開けるので P(開C)＝1/3
トランプ問題は三枚のカードの生起確率が１だから
A＝１０
B＝３９
A＋B＝４９
A／（A＋B)＝１０／４９
が導けたんだろう
個別の確率の積を計算してもいいけど
結果は同じになる
条件付確率の式の見た目をよくする効果しかない
トランプ問題の本質は三枚のカードの個別の確率の
計算は必要ないことに気付けるかが問われている
ドア100枚 ステイ連続96回 → 97枚目のハズレのドアを開けた
P(A)＝1/100 P(B)＝99/200 P(C)＝99/200
再選択97回目にドアＢにチェンジ → 98枚目のハズレのドアＣを開けた
① P(当A ∩ 開C)＝1/100*1＝1/100
② P(当B ∩ 開C)＝99/200*1/2＝99/400
③ P(開C)＝①+②＝103/400
P(当A｜開C)＝①/(①＋②)＝(1/100)/(103/400)＝4/103
P(当B｜開C)＝②/(①＋②)＝(99/400)/(103/400)＝99/103
ドアN枚 連続(Nー4)回ステイ → ドアＡからドアＢにチェンジ
P(A)＝1/N P(B)＝(Nー1)/２N P(C)＝(Nー1)/２N
① P(当A ∩ 開C)＝ 1/Ｎ*1＝1/Ｎ
② P(当A ∩ 開C)＝(Nー1)/２N*(1/2)＝(Nー1)/4N
③ P(開C)＝(1/Ｎ)＋(Nー1)/4N＝(N＋3)/4N
P(当A｜開C)＝①/③＝(1/Ｎ)/{(N＋3)/4N }＝4/(N＋3)
P(当B｜開C)＝②/③＝{(Nー1)/4N}/{(N＋3)/4N }＝(N－1)/(N＋3)
当たり確率が変動するのは、ドアが開けられた時であり
ドアが選ばれた時ではない
P(A)＝1/N P(B)＝(Nー1)/２N P(C)＝(Nー1)/２N
ドアＡからドアＢにチェンジ → ドアＡが開けられた
① P(当B ∩ 開A)＝{(Nー1)/２N}*1/2
② P(当C ∩ 開A)＝{(Nー1)/２N}*1
①：②＝(1/2)：1＝１：２
P(当B｜開A)＝①/(①＋②)＝1/3
P(当C｜開A)＝②/(①＋②)＝2/3
ある特定のケースでは
(残り３枚になるまでステイＡ、直後にチェンジＢ、最後にドアＡを開けられる)
当たり確率がドアの枚数とは関係がなくなる、というところが面白い
ただし、最後にドアＡが開けられる確率はドアの枚数と関係がある
P(開A)＝①＋②＝3(Ｎ－1)/4Ｎ
P(当B｜開A)＝①ｘ(①＋②)
P(当C｜開A)＝②ｘ(①＋②)
だろ
何で割り算をする
事象Ｘ ドアＢが当たり
事象Ｙ ドアＣが当たり
事象Ｚ ドアＡが開けられる
事象Ｚが起こったと分かったもとでの、事象Ｘが起こる確率
P(X｜Z)＝P(X∩Z)/P(Ｚ)
(分子)＝P(X∩Z)＝(当たりがドアＢ かつ ドアＡが開けられる確率)
(分母)＝P(Z)＝ (当たりがドアＢ かつ ドアＡが開けられる確率)
＋(当たりがドアＣ かつ ドアＡが開けられる確率)
①最後に手付かずのドアが開けられる確率 (N＋3)/4N
②最後に最初に選んだドアが開けられる確率 3(N－1)/4N
①の場合に、最初に選んだドアが当たりの確率 4/(N＋3)
②の場合に、手付かずのドアが当たりの確率 2/3
(平均勝率)＝{(N＋3)/4N}*{4/(N＋3)}＋{3(N－1)/4N}*(2/3)
＝(1/N)＋{(N－1)/2N}
＝(N＋1)/２N
P(A)＝１／４ P(B)＝３／８ P(C)＝３／８
ここからプレイヤーは確率１でBのドアを選ぶ
最後にドアAにチェンジする戦略では
モンティがドアAを開けざる負えない確率は５／８
なので、ドアAが当たりの時の確率１／４をこれで割ると
P(A)／P(C)＝２／５……①
プレイヤーがドアAにチェンジで当たりを引く確率は
２／５に上がる
しかし、プレイヤーは必ず最後にチェンジするので
ドアBが当たりの時でもチェンジする
①にこの確率をかけると（２／５）ｘ（５／８）＝１／４
チェンジｘ２戦略でもP(A)＝１／４は不変である
>>112
何を言っているのか今頃になってやっと分かった
P(A)＝1/11 P(B)＝4/11 P(C)＝6/11
ドアＣを選択 → ドアＡを開ける
① P(当B ∩ 開A)＝(4/11)*(１)＝4/11
② P(当C ∩ 開A)＝(6/11)*(1/2)＝3/11
①：②＝4：3
P(当B｜開A)＝4/7
P(当C｜開A)＝3/7
Q(A)＝1/11 Q(B)＝4/11 Q(C)＝6/11
ドアBを選択 → ドアＣを開ける
① Q(当A ∩ 開C)＝(1/11)*(１)＝1/11
② Q(当B ∩ 開C)＝(4/11)*(1/2)＝2/11
①：②＝１：２
Q(当A｜開C)＝2/3
Q(当A｜開C)＝1/3
× Q(当A｜開C)＝2/3 ○ Q(当A｜開C)＝1/3
× Q(当A｜開C)＝1/3 ○ Q(当B｜開C)＝2/3
P(A)／P(C－)＝２／５……①
ドアＣを選択 → ドアＡを開ける
① P(当B ∩ 開A)＝(4/11)*(１)＝4/11
② P(当C ∩ 開A)＝(6/11)*(1/2)＝3/11
の式にある*(1/2)の部分は固定値ではなくて
０＜ｎ＜１の範囲を取る
①当たり扉はランダムかつ等確率に設定される
②ホストは挑戦者の選んだ扉を開けない
③ホストは必ず残りの扉を一枚開ける
④ホストはハズレの扉しか開けない
⑤ホストは挑戦者の選んだ扉が当たりのとき、ハズレ扉をランダムかつ等確率に選んで開ける
⑥ホストは扉を開けた後に必ずswitchの機会を挑戦者に与える
① P(当B ∩ 開A)＝(4/11)*(１)＝4/11
② P(当C ∩ 開A)＝(6/11)*(１)＝6/11
①：②＝4：6
P(当B｜開A)＝２／５
P(当C｜開A)＝３／５
になる
＞P(A) = 65/100, P(B) = 2/100, P(C) = 33/100とおく．
＞あなたが A を選ぶと司会者は B がハズレだと示した．
＞あなたは扉を C に変更すべきだろうか？
① P(当A ∩ 開B)＝(65/100)*(１)＝65/100
② P(当C ∩ 開B)＝(33/100)*(1/2)＝66/100
①：②＝65：66
P(当A｜開B)＝①/(①＋②)＝65/131
P(当C｜開B)＝②/(①＋②)＝66/131 (答え) 変更すべき
× ①P(当A ∩ 開B)＝(65/100)*(１)＝65/100
× ②P(当C ∩ 開B)＝(33/100)*(1/2)＝66/100
○ ①P(当A ∩ 開B)＝(65/100)*(1/2)＝65/200
○ ②P(当C ∩ 開B)＝(33/100)*(１)＝33/100
P(A)＝１／４ P(B)＝３／８ P(C)＝３／８
ここからプレイヤーは確率１でBのドアを選ぶ
モンティがドアAを開けるのは
ドアCに当たりがある時のみとする
ドアAまたはドアBに当たりがある時、
モンティは必ずドアCを開ける
P(A∪B)＝P(C－)
この時、プレイヤーは必ずドアAを選択する
プレイヤーがドアAを開けた時の当たりの割合は
ドアBのハズレの確率と等しい
P(B－)＝５／８
ドアAの当たりの確率にこれらを係数としてかけると
∵P(A)｛P(B－)／P(A∪B)｝＝P(A)
ドアN枚 連続(Nー4)回ステイ → (N－3)枚目のドアを開ける
P(A)＝1/N
P(B)＝(Nー1)/２N
P(C)＝(Nー1)/２N
ドアＡからドアＢにチェンジ → ドアＣを開ける
① P(当A ∩ 開C)＝ (1/Ｎ)*(１)＝1/Ｎ
② P(当B ∩ 開C)＝{(Nー1)/２N}*(1/2)＝(Nー1)/4N
①：②＝4：(N－1)
P(当A｜開C)＝①/(①＋②)＝4/(N＋3)
P(当B｜開C)＝②/(①＋②)＝(N－1)/(N＋3)
Ａが当たりの確率を(ａ)、Ｂが当たりの確率を(ｂ)、Ｃが当たりの確率を(ｃ)とする
ドアＡを選択 → ドアＣを開ける
① P(当A ∩ 開C)＝ａ*(1/2)＝ａ/2
② P(当B ∩ 開C)＝ｂ*(１)＝ｂ
①＋②＝(ａ/2)＋ｂ＝(ａ＋2ｂ)/2
P(当A｜開C)＝①(①＋②)＝(ａ/2)/{(ａ＋2ｂ)/2}＝ａ/(ａ＋2ｂ)
P(当B｜開C)＝②(①＋②)＝ｂ/{(ａ＋2ｂ)/2}＝2ｂ/(ａ＋2ｂ)
③ ピック → チェンジ → ステイ ３／８
④ ピック → チェンジ → チェンジ ５／８
④はP(A)＝１／４ P(C)＝３／８という事ね
つまり、(チェンジ×２)戦略でもP(A)は不変じゃん(*´▽｀*)
>>112が正しい
P(A)＝1/4 → Q(A)＝4/7
P(B)＝3/8 → Q(B)＝3/7
P(C)＝3/8
P(A)＝１／４ P(B)＝３／８ P(C)＝３／８
ここからプレイヤーは確率１でBのドアを選ぶ
ピック→チェンジ→ステイ戦略における
ドアBの当たりの確率をQ（B）とおく
Q（B）はドアAとドアCが共にハズレで、どちらかのドアが
開けられた状況下でのドアBの当たりの確率なので
∵Q（B）＝P(B)／｛０．５P(A－∪C－)｝＝６／１１
でも求められる
∵Q（B）＝１－P(A－∩C－)＝１７／３２
１７／３２＝０．５３１２５
６／１１≒０．５４５４５４５４
＞Q（B）はドアAとドアCが共にハズレで、どちらかのドアが
＞開けられた状況下でのドアBの当たりの確率なので
共にハズレでなくても、どちらか一方は必ず開けられる
共にハズレだったら、Q(B)＝１
０．５P(A－∪C－)＝１１／１６
式が正しいならピッタリ一致しないとおかしいだろ
個別ケースの勝率が正しく算定できていることが絶対条件
最初に間違ってたら、後は計算するだけ無駄になるので
適当なところで区切りをつけて、あまり深入りしないことをオススメする
とりあえず、標準仮定の条件なら
Ｃが開けられる確率7/16、Ａが開けられる確率9/16
までは異議がないだろうから、あと一息
(チェンジ×２)戦略の平均勝率が、P(A)+P(C)
になるのは、よく考えたら当たり前だな
16回ゲームをすると考えたら、当たりの配置は４：６：６
16回のうち７回は、Ｃが開いてＡにチェンジして、４回当たり、３回ハズレ
16回のうち９回は、Ａが開いてＣにチェンジして、６回当たり、３回ハズレ
P(A)＝１／４ P(B)＝３／８ P(C)＝３／８
ここからプレイヤーは確率１でBのドアを選ぶ
ピック→チェンジ→チェンジ戦略における
ドアAの当たりの確率をQ（A）
ドアCの当たりの確率をQ（C）とおく
プレイヤーがドアAのみにチェンジした時
∵Q(A)＝P(A)｛P(B－)／P(A∪０．５B)｝＝５／１４
プレイヤーがドアCのみにチェンジした時
∵Q(C)＝P(C)｛P(B－)／P(C∪０．５B)｝＝５／１２
プレイヤーはBのドアの６回当たり分は
決してとることができない
この分の確率が計算されていない
P(B)＝３／８ であるから
プレイヤーがAかCどちらかのドアにチェンジしても
取り分は５／８になる
P(A)P(B－)とP(C)P(B－)は
プレイヤーがドアAかドアCにチェンジした時の
自分の取り分を示している
Ｃが開いてＡにチェンジした場合の、３回ハズレ
Ａが開いてＣにチェンジした場合の、３回ハズレ
として、ちゃんと計算に入れている
これはドアBが当たりでAかCどちらかのドアを開けた時と
ドアAが当たりの状況下での、ドアAの当たりの確率という意味で
まだチェンジしていない！
つまり、Q(A)≠P(A)／P(A∪０．５B)
Q(A)＝P(A)／P(A∪０．５B)＝４／７
だと理解しているわけか
これだとまだプレイヤーはチェンジした事にならないよ
Q(C)＝P(C)／P(C∪０．５B)＝２／３
で理解している
これだとまだプレイヤーがドアCにチェンジしたという
部分が計算されていない
∵Q(A)＝P(A)／P(A∪０．５B)＝４／７
プレイヤーがドアCのみにチェンジした時
∵Q(C)＝P(C)／P(C∪０．５B)＝２／３
こういう解釈なわけね(*´▽｀*)
P(A∪０．５B)＝P(ドアCを開ける)
＝(1/4)*(１)＋(3/8)*(1/2)
＝7/16
チェンジしてません
最後にステイしようがチェンジしようが、残り２枚になった時点で
Q(A)＝4/7 Q(B)＝3/7 であることに違いはないだろ
事象Aと事象Bがともに起こるという事象を
積事象と言います
論理的に考えて積事象以外で
どうやってチェンジしたことになるの？
P(A)P(B－)とP(C)P(B－)は
プレイヤーがドアAかドアCにチェンジした時の
自分の取り分を示している
最終選択は残り２枚になっている状態の
Ｑ(A)とＱ(B)には、全く影響を及ぼさないという話
最後にチェンジしなかったら
ゲームが成立しないだろう
確率がチェンジで２／３に変わるだろう？
チェンジｘ２でもプレイヤーが最終チェンジをすれば
確率は変わるのです(*´▽｀*)
ちゃんと計算しましょう
P(A)＝1/3 → Q(A)＝2/3
P(B)＝1/3 → Q(B)＝1/3
P(C)＝1/3
最後にステイしようがチェンジしようが
Ｑ(A)＝2/3 Q(B)＝1/3 は変わりません
Q(X)＝P(開C)*Ｑ(A) ＋ P(開A)*Q(C)＝5/8
P(開C)＝7/16 Q(A)＝4/7
P(開A)＝9/16 Q(C)＝2/3
∵Q(A)＝P(A)／P(A∪０．５B)＝４／７
プレイヤーがドアCのみにチェンジした時
∵Q(C)＝P(C)／P(C∪０．５B)＝２／３
これは標準モンティホール問題からの解釈
しかし、チェンジｘ２の変形問題だと
モンティがプレーヤーの最初に選択したドアを開ける
という特殊性があるため
P(A)P(B－)とP(C)P(B－)の計算が必要になる
標準モンティホール問題に強引にチェンジｘ２戦略を
当てはめたと仮定すると、最初に１／３だった確率が
プレイヤーの取り分２／３とチェンジした側のドアの確率
２／３との積で４／９に変わる
チェンジｘ２でもプレイヤーが最終チェンジをすれば
確率は変わるのです(*´▽｀*)
② ドアＣが開いた場合の、ドアＢが当たりである確率
①②は、司会者がドアＣを開けた瞬間に決まるものであり
その後に、挑戦者がチェンジするかどうかとは全く関係がない
>>896はちゃんと
プレイヤーがドアAのみにチェンジした時
プレイヤーがドアCのみにチェンジした時
って書いてあった
∵Q(A)＝P(A)／P(A∪０．５B)＝４／７
∵Q(C)＝P(C)／P(C∪０．５B)＝２／３
これはプレイヤーがAとCどちらも選ぶ場合だった
① Q(X)＝P(開C)*Ｑ(A) ＋ P(開A)*Q(C)＝5/8
② Q(X)＝Ｑ(A)＋Ｑ(C)＝5/8
①と②の解釈の違いか？
②の解釈としても Q(A)＝1/4 Q(C)＝3/8 にしかならんが
4/7は、ドアＣが開いた場合のドアＡが当たりである確率
じゃあ、5/14は何の確率なんだ？
＞P(A)／P(A∪０．５B)＝４／７ だよ
＞これはドアBが当たりでAかCどちらかのドアを開けた時と
＞ドアAが当たりの状況下での、ドアAの当たりの確率という意味で
これはドアBが当たりでドアＣを開けた時と
ドアＡが当たりでドアＣを開けたという状況下での
ドアＡの当たりの確率という意味で
つまり、ドアＣが開いた場合のドアＡが当たりである確率
P(A)＝１／４ P(B)＝３／８ P(C)＝３／８
ここからプレイヤーは確率１でBのドアを選ぶ
ピック→チェンジ→チェンジ戦略における
ドアAの当たりの確率をQ（A）
ドアBのハズレの確率をP(B－）とおきます
∵Q(A)＝P(A)P(B－）／｛P(A）＋P(B)／２｝
ドアＢを選択 → ドアＣを開ける
Q(A)＝P(A)/{P(A)＋P(B)/2}＝4/7
Q(B)＝{P(B)/2)}/{P(A)＋P(B)/2}＝3/7
／ ｀､
/ ヽ
/ ● ● |
／l ''''' し '''''' |
/ l ＿＿. |
l /ヽ＿ ` --' ＿ノ
＼ ￣ ヽ∩
⌒l l三 |
| ヽ.__|
それチェンジ戦略じゃなくてオープン戦略じゃん
単なる事実を言ってるだけだろ
①ピック→チェンジ→チェンジ
②ピック→チェンジ→ステイ
①戦略でも②戦略でも、ドアＣが開いた場合は
Q(A)＝4/7 Q(B)＝3/7 の事実は変わらんぞ
Q(A)＝4/7 Q(B)＝3/7 になるという話をしているだけ
でもチェンジｘ２戦略とると
Q(A)＝５／１４
Q(A)＝4/7 Q(B)＝3/7 のままであることには変わりがない
Q(A)＝５／１４ Q(B)＝９／１４ だよ
Q(A)＝4/7 Q(B)＝3/7 だよ
ハズレのドアが１枚だけ開けられた
ステイ 3/7 チェンジ 18/35
① {3－(3/7)}/5＝18/35
② (3/7)*(2/5)＋(4/7)*(3/5)＝18/35
②の考え方でも正しいんだろうけど、いまいちシックリこない
３人の死刑囚ABC、２人処刑、１人釈放
恩赦の確率、Ａ(1/4)、Ｂ(1/4)、Ｃ(1/2)
Ａ「少なくともBCのうち１人は処刑されるわけだから、どっちが処刑されるか教えてくれ」
看守「Ｂが処刑される」
Ａが助かる確率は？
(答え) 1/5
余計な質問をしてしまったばかりに、助かる確率が減ってしまった可哀想なＡ
最初に当たり選んでれば選び直すと外れる
最初にハズレ選んでれば選び直すと当たる
ハズレのほうが選ぶ確率高いんやから選び直したほうがええやろ
② ×|○× ×|○開 ×|○ チェンジで当たり
③ ×|×○ ×|開○ ×|○ チェンジで当たり
④ ○|×× ○|×開 ○|× ステイで当たり
⑤ ×|○× ×|○開 ×|○ チェンジで当たり
⑥ ×|×○ ×|開○ ×|○ チェンジで当たり
P(A)＝1/3 → Q(A)＝1/3
P(B)＝1/3 → Q(B)＝2/3
P(C)＝1/3
② P(当B ∧ 開C)＝(1/3)*(1)
①：②＝1：2
P(当A｜開C)＝①/(①＋②)＝1/3
P(当B｜開C)＝②/(①＋②)＝2/3
分からないうちははっきり言って何億枚にドアを増やそうが最後に二択を手渡される、という観点から1/2にしてしまうと思うよ
1/3で変わらんってのはただの中二病
1. ヒントなしに答える
2. ヒントが出てから答える
2のほうが得だと思うだろ？
なんでモンティホール問題では
直感がこの逆に働くのか。その謎を解明した人がいない。
一つはヒントを出す前の回答、
もう一つはヒントを出してからの回答だ。
ただしヒントを出してからの回答では
ヒントを出す前の回答を放棄しなければならない。
ヒントを出してからの回答はオプションだ。
モンティホール問題では多くの人々がオプションを選ばなかった。
なぜだろう？
ヒントがない時点での回答にそれほど自信があるんだろうか？
そんなバカな。
車がどの扉の背後に置かれるかが完全にランダムじゃない場合があるとする。
つまり、車と羊をゲームが繰り返されるごとに並べ替える人がいて
その人の並び替えにはある「癖」があるのだ。
回答者はゲームが繰り返されている間にその「癖」を学習する。
そうすると、最初に選んだ扉に少しずつ自信が増してくるかもしれない。
でもこのモンティーホール問題は繰り返しゲームだと明言されていない。
厳密なルールを追加して、純粋な数学的問題にしたものと認識している
現実ではヒントをくれる、いわゆる天使モンティなどいなくて
いわゆる悪魔モンティが心理戦をしかけてきていると考えるのが自然
既にゲームに参加してしまっている回答者には
主催者側が厳密なルールを守っていて公平である
という裏を取る術がない
無作為に開けるなら２枚とも1/3で
残りの1/3が当たり扉を開けてしまって無効とも言えなくもない
レス数が950を超えています。1000を超えると書き込みができなくなります。
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