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モンティーホール問題を高校生にわかるように説明してくれ [無断転載禁止]©2ch.net
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0001SOUTH2017/03/12(日) 18:23:31.38ID:/Eul2Kt1
モンティーホール問題とは...
プレーヤーの前に閉まった3つのドアがあって、プレーヤーが1つのドアを選択した後、司会のモンティが残りのドアのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる。

プレーヤーはドアを変更すべきだろうか?
(wikiより)
0605別式2018/06/19(火) 16:26:42.63ID:eN0ZLm1Z
P(F|n)=fとおく

P(A∪E|f)={P(A)+P(E)} * P(f|A∪E)

      ={1/3+2/3} * 1/2

      =1/2(直観確率と一致)

(P(A∩E)=0)とき、

事象AとEは、互いに排反
0606132人目の素数さん2018/06/20(水) 02:48:35.53ID:eEceDYka
>>595
読解力の問題でしょ。
あなたの書き込み見てると「言い難い」とか「思えてしまう」とか
主観が先行しすぎ。>>548はモンティホール問題と異なるのは
明らか。数学力関係ない。読解力さえあれば両者の設定が異なることはすぐわかる。
「答えを知っているに違いない」というのもあなたの主観にすぎない。
0609132人目の素数さん2018/06/20(水) 05:11:32.31ID:z9EMIWft
厳密には全27通り(1/18が6通り、1/9が6通り、確率0が15通り、不成立0通り)
確率0と不成立をちゃんと区別できるかどうかが鍵
いずれの場合も、問題が成立するのは12通りしかない

(ステイ、チェンジ、確率0、不成立)
標準モンテ (6、6、15、0)   33% → 66%
変形モンテ (6、6、9、6)   33% → 33%
突風モンテ (6、6、0、15)   22% → 22%
0610132人目の素数さん2018/06/20(水) 13:04:45.67ID:z9EMIWft
(当扉、選択、開扉) (stay、switch) (標準、変形、突風)

AAB  ○×  1/18  1/18  1/27
AAC  ○×  1/18  1/18  1/27
ABC  ×○  1/9  1/18  1/27
ACB  ×○  1/9  1/18  1/27

BAC  ×○  1/9  1/18  1/27
BBA  ○×  1/18  1/18  1/27
BBC  ○×  1/18  1/18  1/27
BCA  ×○  1/9  1/18  1/27

CAB  ×○  1/9  1/18  1/27
CBA  ×○  1/9  1/18  1/27
CCA  ○×  1/18  1/18  1/27
CCB  ○×  1/18  1/18  1/27
0612別式22018/06/20(水) 17:31:33.15ID:XnvbCFgr
事象Aの尤度関数P(n|A)=3/2

事象Eの尤度関数P(n|E)=3/4

と考えられるので、

事象Fの確率 P(F|n)=P(B|n) * P(C|n) * P(D|n)

             =P(n|E)/P(n|A)=1/2


P(A∪E|n)={{P(A)+P(E)} * P(n|A∪E)} * {P(n|E)/P(n|A)}

      ={{1/3+2/3} * 1} * {(3/4)/(3/2)}

      =1/2(直観確率と一致)

(P(A∩E)=0)とき、

事象AとEは、互いに排反
0613132人目の素数さん2018/06/20(水) 18:17:14.83ID:XnvbCFgr
■事象Eの尤度関数P(n|E)について

ゲームの回数が(N<3)の時の事象Eの確率 P(E|n)

事象Eの尤度関数P(n|E)=3/4

事象Eの主観確率P(E)=2/3

P(n|E)=eとおくと

ゲームの回数が(N<3)であるからeのとる値は

3/4<e<1の範囲になる可能性が高い

e=1ならP(E|n)=2/3

e=3/4ならP(E|n)=1/2(直観確率と一致)
0614132人目の素数さん2018/06/20(水) 18:20:00.32ID:XnvbCFgr
P(n|E)=P(n|A) * P(F|n)=(3/2) * (1/2)=3/4

P(n|A)=a

P(n|E)=e

P(F|n)=fとおく

a=e/f

e=af

f=e/a
0615132人目の素数さん2018/06/20(水) 18:25:36.52ID:XnvbCFgr
■事象Aの尤度関数P(n|A)について

ゲームの回数がN<3の時の事象Eの確率 P(A|n)

プレイヤーのファーストチョイス時の当たりの確率…事象A

事象Aの尤度関数P(n|A)=3/2

事象Aの主観確率 P(A)=1/3

P(n|A)=aとおくと

ゲームの回数がN<3であるからaのとる値は

1<a<2の範囲になる可能性が高い

a=1ならP(A|n)=1/3

a=3/2ならP(A|n)=1/2

a=2ならP(A|n)=2/3(この場合チェンジすると当たりの確率が1/2)
0616訂正2018/06/20(水) 18:27:54.54ID:XnvbCFgr
>>615
ゲームの回数がN<3の時の事象Eの確率 P(A|n)

ゲームの回数がN<3の時の事象Aの確率 P(A|n)
0617132人目の素数さん2018/06/20(水) 18:56:19.88ID:z9EMIWft
>>611
高くならない(609・610参照)
当たりを知ってる司会者が「必ず」外れ扉を開けるのと
突風が吹いて「たまたま」外れ扉が開いてしまった、とでは雲泥の差

突風には意思を持たない完全なランダム性があるので
挑戦者が選んだ扉や、当たり扉を開けてしまったりして
ゲームが成立しない場合が 5/9 の確率で発生するというのがミソ

ゲーム成立確率 4/9 (ステイ:チェンジ)=(2/9:2/9)=(1/2:1/2)
0618132人目の素数さん2018/06/20(水) 20:55:43.53ID:eEceDYka
>>564
>なぜ>>548ではそれが適応されないのかすぐに説明することは難しい。
そんなことはない。
>>548では「たまたま」当たりのドアが開いてしまうことがあり得るが
モンティホールのオリジナル設定では絶対にあり得ない。
また>>548は、3つの扉のうち自分が選ぼうとしていた扉がたまたま開いて
「はずれ」であったとき、残りの扉のどちらかを選ぶという状況と同じ。だから
扉を変える・変えないの設定は548の状況とは無関係であるとわかる。
0619132人目の素数さん2018/06/20(水) 22:40:33.93ID:z9EMIWft
ラスト3行の説明は、いまいち分かりづらいな

結果的には同じ状況になるかもしれんけど
選んでから突風が吹くのと、選ぼうとする直前に突風が吹くのでは
数学的な計算の上では全然別の問題になるような気がしないでもない
0620132人目の素数さん2018/06/20(水) 23:14:57.99ID:z9EMIWft
上記の前者と後者の比較

12/27 の確率で発生する現象を前提とした問題
6/27 の確率で発生する現象を前提とした問題
0621132人目の素数さん2018/06/21(木) 00:47:02.41ID:yqvY8io3
>>619
選択は確率とまったく関係が無い
どの扉も閉じたままの状況を考えれば良い
このとき選択をいくら変えても当たり確率は変わらない
だから外れが見えたのが偶然であれば事前に選んでいようがいまいが状況は同じ
0622132人目の素数さん2018/06/21(木) 03:20:55.51ID:CRjJCC/c
>3つの扉のうち自分が選ぼうとしていた扉がたまたま開いて
「はずれ」であったとき、残りの扉のどちらかを選ぶという状況と同じ

何をもって>>548と同じ状況と言いきれるのかが不明
本来ならゲーム不成立になるところを、無理やり別のゲームにしてる感が拭えない

>>10の説明が>>548には適応されないということを主張したいなら
もっと簡潔に以下の説明ぐらいで良いのでは

突風モンテでは挑戦者が選んだ扉や、当たりの扉を開けてしまう可能性もあるので
標準モンテとは明らかに設定が異なることが分かる
0623132人目の素数さん2018/06/21(木) 14:27:37.65ID:pnZkAiuy
>>617
わかりやすくする例えでドアが100あって選んだの以外の98枚が開いたら…
てのがあるが98枚が風で開いて全て外れの場合、やっぱ高くなってるんじゃ?
0624132人目の素数さん2018/06/21(木) 19:44:20.68ID:chEULKLp
□当たり ■ハズレ

ゲームを二回しか行わない場合は
期待値の設定ができない
(3回のうち何回当たるという表現ができない)

1□■■…p1
2■□■…p2

考えられる組み合わせは4つ

(□■ ■□ □□ ■■)…p3

p3は、次のように分解できる

(□■□■)…一回目の選択

(■□□■)…二回目の選択

一回目も二回目もともに確率50%

p1とp2は独立な試行
(p1の結果がp2の結果に影響を与えない)

p1の確率は50%、p2の確率は50%
(ベルヌーイ・トライアル)

以上により、
p3のそれぞれの要素の起こる確率は
すべて等しく各50%になる
0625132人目の素数さん2018/06/21(木) 22:54:20.46ID:CRjJCC/c
・標準仮定
@当たり扉はランダムかつ等確率に設定される
Aホストは挑戦者の選んだ扉を開けない
Bホストは必ず残りの扉を一枚開ける
Cホストはハズレの扉しか開けない
Dホストは挑戦者の選んだ扉が当たりのとき、ハズレ扉をランダムかつ等確率に選んで開ける
Eホストは扉を開けた後に必ずswitchの機会を挑戦者に与える
0626132人目の素数さん2018/06/22(金) 00:04:11.92ID:l/bMxt9o
>>623
高くなるのは>>625の標準仮定の条件を満たしているときのみ
>>548は仮定ABCの条件を満たさずに
ゲーム中止になる可能性があるというところがミソ

それでも納得がいかない場合は、全パターンを列挙して数え上げてみて(全27通り)
『突風が吹いた場合のモンティ・ホール問題』で検索
0627132人目の素数さん2018/06/22(金) 00:51:41.05ID:l/bMxt9o
AAA  BAA  CAA 
AAB  BAB  CAB
AAC  BAC  CAC

ABA  BBA  CBA
ABB  BBB  CBB
ABC  BBC  CBA

ACA  BCA  CCA
ACB  BCB  CCB
ACC  BCC  CCC

(当たり 最初の選択 突風) 3×3×3=27通り
変えないで当たり 6通り
変えて当たり   6通り
ゲーム中止    15通り
0629132人目の素数さん2018/06/23(土) 09:00:52.78ID:PhFBu7vX
>>626
>『突風が吹いた場合のモンティ・ホール問題』で検索

突風の場合だと1/3になっちゃう?なんかモンティ・ホール問題を初めて聞いたときのような
わけわからない感覚になる
0630132人目の素数さん2018/06/23(土) 09:01:43.58ID:PhFBu7vX
>>629
もしかしたらマリリンのいうことを否定した数学者側視点だったりする可能性もあるか…
0631132人目の素数さん2018/06/23(土) 11:24:13.41ID:1obFhger
>>629
数字上は以下のようになっても、にわかには納得しづらいという気持ちは分かる
もう既にゲームが成立してる状況なんだから
ゲームが中止になる確率は関係ないんじゃないかってね

標準モンテ 1/3 → 2/3
変形モンテ 1/3 → 1/3 1/3 中止
突風モンテ 2/9 → 2/9 5/9 中止
0632132人目の素数さん2018/06/23(土) 11:53:10.63ID:1obFhger
ちなみに変形モンテの定義は、当たりを知らない司会者が
残り2扉から開けたドアが「たまたま」外れだったという場合

自分一人でもトランプ3枚を使って300回やれば、以下のようになるはず
そのうち 100回は途中で当たりカードを開けてしまってゲーム中止
ゲームが成立した200回のうち、100回はステイで当たり、100回はチェンジで当たり
0633132人目の素数さん2018/06/23(土) 14:07:43.07ID:1obFhger
>>630
マリリン否定の視点じゃないことは明らかだと思うけど?
どういう人が、どういう場合に、どういう錯覚をしてるのかを、いったん整理ね

普通の人は直感的に以下のように考える
(標準・変形・突風)モンテのいずれの場合でも
最終的には二者択一にしかならないんだから、変えても変えなくても50%で当然

その考え方は(変形・突風)モンテの場合には、結果的には正しくなる
ところが、標準モンテの場合だけは 1/3 が 2/3 になると主張したのがマリリン
当時マリリンは袋叩きにあったが、シミュレートその他で正しいことが証明?された

しかし、なお現在に至っても納得できない人達が一定数存在するので
認知心理学?その他の分野で直感と確率が一致しない好例として有名な問題である

標準モンテの場合で 1/3 が 1/2 になると錯覚する人は珍しくないけど
(変形・突風)モンテの場合でも、標準モンテの場合と同じように
1/3 が 2/3 になると錯覚する人は、個人的には相当レアだと思う
0634132人目の素数さん2018/06/23(土) 19:17:13.57ID:G/lX9GVf
標準モンテの場合で 1/3 が 1/2 になると
錯覚する人は珍しくない

■錯覚ではない

シミュレーション効果の薄い
ゲームを二回以下プレイまたは観察する者にとって
確率は限りなく50%に見える
0636132人目の素数さん2018/06/23(土) 19:49:54.17ID:G/lX9GVf
モンティがハズレのドア98個開けるのよりも

風がハズレのドアを98枚開けるほうが

遥かに難易度が高い
0637132人目の素数さん2018/06/23(土) 20:49:36.81ID:1obFhger
>>635
標準モンテの場合は、以下の通りで間違いないということは
とりあえずの共通認識でよろしいかな?

ドアの枚数       N枚
ステイで当たる確率   1/N
チェンジで当たる確率  (N−1)/N
0639132人目の素数さん2018/06/23(土) 22:23:54.75ID:BXnrOFPS
マリリンさんの問題の表現の仕方には
次のように考えさせる言葉(文章題)の「ひっかけ」がある。
abcは場合、ドアは左から#1, #2, #3という番号がふられている。

a. 当外外
b. 外当外
c. 外外当

ここで回答者が#1のドアを選ぶとするとaの場合になるのでそれを除外する。
b. 外当外
c. 外外当

モンティさんは#3のドアを開けるので、cの場合だと「当たり」になってしまう。
したがってcの場合はないのでcを除外。

2. 外当外

残ったのはこれ。つまり1/3で同じ。
0640132人目の素数さん2018/06/23(土) 22:29:02.05ID:1obFhger
>>636
色んな人達が色んな錯覚をするんだよなぁ
「必ず」と「たまたま」とは全く違う現象の問題である
ということを納得させるのは一筋縄じゃいかんわ

ちなみに、ドアの枚数を増やして考えるのは定番だけど、個人的にはあまり好みじゃない
3枚でも100枚でも100万枚でも、本質的には同じことだからね    
0641132人目の素数さん2018/06/23(土) 22:34:15.88ID:BXnrOFPS
確率は「偶然」のことだから「偶然=たまたま」。
モンティさんは「作為的=選択的」。
モンティ・ホール問題は、偶然に作為が混入する。
だから確率から逸脱する。
0642132人目の素数さん2018/06/23(土) 22:44:38.45ID:BXnrOFPS
司会者はサイコロをふらない神。
サイコロをふらない神は作為的な神だから、外れのドアだけを作為的に開ける能力がある。
これによって偶然性がそのぶんだけ除去される。
偶然の要素が減るということは確実性が高まることを意味している。
0643132人目の素数さん2018/06/23(土) 23:09:28.16ID:G/lX9GVf
100枚のドアを使った場合

モンティなら98枚開けることができる

突風だと48枚とか52枚なんて言う場合もある

同じ取り扱いができない
0644132人目の素数さん2018/06/23(土) 23:34:20.54ID:G/lX9GVf
※100枚のドアを使って突風モンティを行う

□当たり ■ハズレ

突風は必ず98枚のドアを開けるとすると

1□■■■■■■■■■■……■100

最初にプレイヤーが当たりを引く確率は1/100…p1

最初にプレイヤーがハズレを引く確率は99/100…p2

最初にプレイヤーが当たりを引いて
ゲームが成立する確率は99/100…p3

最初にプレイヤーがハズレを引いて
ゲームが成立する確率は1/100…p4

p1*p3=99/10000

p2*p4=99/10000

ともに等確率になる
0645132人目の素数さん2018/06/23(土) 23:45:55.10ID:G/lX9GVf
※3枚のドアを使って突風モンティを行う

□当たり ■ハズレ

最初にプレイヤーが当たりを引く確率は1/3…p1

最初にプレイヤーがハズレを引く確率は2/3…p2

最初にプレイヤーが当たりを引いて
ゲームが成立する確率は2/3…p3

最初にプレイヤーがハズレを引いて
ゲームが成立する確率は1/3…p4

p1×p3=2/9

p2×p4=2/9

ともに等確率になる
0646132人目の素数さん2018/06/24(日) 00:37:32.90ID:SQiZ/Stc
ドアの枚数       N枚
ステイで当たる確率   1/N
チェンジで当たる確率  (N−1)/N

突風モンティは突風がプレイヤーのドアを開けたり
プレイヤーの選択したドア以外で当りのドアを開けてしまう
などの偶然性を含むといいながら、ドアの数が増えた時には
突風が開けるドアの数はN−2で固定されるという
必然性を含んでいる
0647132人目の素数さん2018/06/24(日) 01:21:29.06ID:SQiZ/Stc
■突風モンティ

ドアの枚数       N枚
ステイで当たる確率   1/N
チェンジで当たる確率  (N−1)/N
突風が開ける枚数   N−2

ステイで当たりを引いて
ゲームが成立する確率  (N−1)/N

チェンジで当たりになって
ゲームが成立する確率  1/N

ステイとチェンジで当たる確率はともに

(1/N)×{(N−1)/N}=N−1/N^2
0648132人目の素数さん2018/06/24(日) 01:34:01.47ID:UWGyO4g5
>>644>>645
そんな単純な計算式で良かったのか! 目から鱗
ドア3枚なら全27通りで、なんとか表を作れたけど
ドア4枚の全パターンを列挙しようとしたら、途中で挫折したw

N=3、4、5、、、N
P= 2/9、3/16、4/25、、、(N−1)/Nの2乗
0649132人目の素数さん2018/06/24(日) 01:54:50.70ID:UWGyO4g5
>>646
>突風が開けるドアの数は(N−2)で固定されるという必然性を含んでいる

自分的にはコロンブスの卵
言われてみればそうだなという感じで、気づかなかった着眼点
>>647は先に書かれてたけど、さすがに上手くまとまってるな
0650132人目の素数さん2018/06/24(日) 07:57:15.74ID:dHxgFJil
ドアに鍵がかかっている場合、突風が吹いても一枚のドアも開かないから
突風の喩え話はよくないw
てか、自然現象が必ずランダム(サイコロ振り)だとは限らないからね。
0651132人目の素数さん2018/06/24(日) 16:04:55.26ID:dHxgFJil
選択を変えても変えなくても1/2で変わらないと考えた人の直感がなんであったか、
その1つを想定してみよう。

Aは当たり
Hは外れ
[]は回答者が最初に選択する1番目のドア
()は司会者が開ける3番目のドア
以下は起こり得るケース

[A]H(H) [H]A(H) [H]H(A)
[H]A(H) [H]H(A) [A]H(H)
[H]H(A) [A]H(H) [H]A(H)
9ケース中[A]を持つのは3ケース:3/9=1/3

この中から起こり得ないケースを消そう。
司会者が当たりであるAのドアを開くことはないので
(A)を含むケースは起こり得ないことになる。
残ったケースは次のとおり。

[A]H(H) [H]A(H)
[H]A(H) [A]H(H)
[A]H(H) [H]A(H)
6ケース中[A]を持つのは3ケース:3/6=1/2

じゃあ、マリリンの提案どおり[]を乗り換えてみよう。
A[H](H) H[A](H)
H[A](H) A[H](H)
A[H](H) H[A](H)
6ケース中[A]を持つのは3ケース:3/6=1/2

どちらも1/2で変わらない、という結論が得られる。
0652132人目の素数さん2018/06/24(日) 18:01:06.66ID:dHxgFJil
起こり得るケースは9通りじゃない18通りだと思う人がいるかもしれない。
なので18ケースを用意にしてみよう。

[A]H(H) [H]A(H) [H]H(A)
[H]A(H) [H]H(A) [A]H(H)
[H]H(A) [A]H(H) [H]A(H)

[A](H)H [H](A)H [H](H)A
[H](A)H [H](H)A [A](H)H
[H](H)A [A](H)H [H](A)H

18ケース中[A]を持つのは6ケース:6/18=1/3
司会者は正解のAを開けることはないので
(A)というケースは起こりえないことになる。
そのケースを取り除いてみよう。

[A]H(H) [H]A(H)
[H]A(H) [A]H(H)
[A]H(H) [H]A(H)

[A](H)H [H](H)A
[H](H)A [A](H)H
[H](H)A [A](H)H

12ケースに減った。12ケース中[A]を持つのは6ケース:6/12=1/2
では、マリリン氏が提案するように選択ドアを乗り換えてみよう。

A[H](H) H[A](H)
H[A](H) A[H](H)
A[H](H) H[A](H)

A(H)[H] H(H)[A]
H(H)[A] A(H)[H]
H(H)[A] A(H)[H]

12ケース中[A]を持つのはやはり6ケース:6/12 = 1/2

やはり1/2で変更しても変わらない。
0653132人目の素数さん2018/06/24(日) 20:08:43.60ID:UWGyO4g5
どこにトリックがあるかは、パッと見では分かりづらいな

選択1、開扉3に固定するのは別に問題ないとして
それなら、そもそも起こり得るケースは
[A]H(H) と [H]A(H) の2通りしかない
単純に[A]と[H]の比較で 1/3 と 2/3 だな
0654132人目の素数さん2018/06/24(日) 21:30:36.04ID:UWGyO4g5
ラスト1行はさすがに我田引水が過ぎたか?
これだと、まんまと 1/2説を補強してるみたいだな
0655132人目の素数さん2018/06/24(日) 22:02:45.56ID:UWGyO4g5
(全パターン12通りの中で)選択A、扉開Cとなる場合を考える
(当たり 選択 扉開) の起こり得るケースは
AAC と BAC の2通りのみ

AAC の起こる確率 1/3 × 1/3 × 1/2 = 1/18
BAC の起こる確率 1/3 × 1/3 × 1= 1/9
0657132人目の素数さん2018/06/24(日) 23:20:03.64ID:tpJ+bPtz
マリリンさんの発想はすごくシンプル
100 010 001 (3/9 = 1/3)
00 10 01 (2/6 = 1/3)
0 1 1 (2/3)
0658132人目の素数さん2018/06/25(月) 05:20:16.24ID:xKWv81b+
1,000枚のうち1枚が正解のドア。
回答者がそのうち1枚を選ぶ。
a. すると司会者が残りの999枚のドアのうちハズレのドアを1枚開ける。
b. すると司会者が残りの999枚のドアのうちハズレのドアを998枚開ける。
回答者は最初の選択を変えたほうが賢明ですか。
0659132人目の素数さん2018/06/25(月) 05:31:56.68ID:xKWv81b+
>>653
話をシンプルにしてみた。

1. [A]H(H)
2. [H]A(H)
3. [H]H(A)

3ケース考えられるが、このうち(A)をもつ3.のケースは起こりえないので、3.を消す。

1. [A]H(H)
2. [H]A(H)

2ケースのうち当たりを選択した[A]を持つのは1のケースだけ。
つまり1/2になる。
マリリンさんの提案通りここで選択ドアを乗り換えてみる。

1a. A[H](H)
2a. H[A](H)

それでもやはり[A]を持つケースは1/2のまま。
0660132人目の素数さん2018/06/25(月) 09:07:37.78ID:L1yARLEy
全部で●通りの場合、それぞれの1通りが起こる確率は(1/●)で全て等しい
という思い込みが錯覚の原因だな
場合分けをする時は、それぞれの1通りが起こる確率も計算に入れる必要がある
(当たり 選択 開扉) の起こり得る組み合わせは全12通り

AAB  BAC  CAB  
AAC  BBA  CBA  
ABC  BBC  CCA 
ACB  BCA  CCB

ステイで当たりが6通り  1/18 が6通りで 1/3
チェンジで当たりが6通り  1/9 が6通りで 2/3
0661132人目の素数さん2018/06/25(月) 10:14:33.85ID:L1yARLEy
こっちのほうがイメージしやすいか
確率 1/9 と 確率 1/18 の両方が混在するというのが分かるはず

AA(BC)   BAC    CAB
ABC    BB(AC)   CBA
ACB    BCA    CC(AB)
0662132人目の素数さん2018/06/25(月) 12:06:47.85ID:xKWv81b+
>>660-661
それらABCはそれぞれ何を意味する記号ですか?
0663132人目の素数さん2018/06/25(月) 12:34:00.58ID:xKWv81b+
モンティ・ホール問題には選択の機会が2度ある。

1番目の機会
司会者がハズレの扉を開ける前の起こり得るケース:
AHH
HAH
HHA

2番目の機会
司会者がハズレの扉を開けた後の起こり得るケース:
AH
HA
0664132人目の素数さん2018/06/25(月) 12:48:56.83ID:pAprNDoD
見た目の区別がつかないコインを2枚投げた時でも
区別した場合の数を数えるのが確率(高校数学)の定石
ハズレの2つも区別すべし
0665132人目の素数さん2018/06/25(月) 12:58:07.31ID:L1yARLEy
>>658
試しにドア(4、5、6)枚でハズレ扉を1枚だけ開けるケースを
全パターン(36、80、150)通りを考慮した上で計算してみた

ステイで当たる確率   1/4  1/5   1/6    
チェンジで当たる確率  3/8  4/15  5/24

規則性が正しいと推測すると
ステイ:チェンジ = 1/N : (N−1)/N(N−2)

変更したほうが期待値が上がるのは間違いないが、N=1000枚とかだと
どっちでも現実的には、あんまり変わらんなという気がしないでもない
0666132人目の素数さん2018/06/25(月) 13:20:02.58ID:L1yARLEy
>>662
単に3つのドアを区別できるように名前をつけただけ
別に扉1・扉2・扉3って名前をつけてもいいけど
確率計算の数字と紛らわしくなるから、個人的には好みじゃない

例えばABCは、賞品(当たり)をAのドアに配置した後に
挑戦者がBのドアを選択して、司会者がCのハズレ扉を開いたってこと
0668132人目の素数さん2018/06/25(月) 15:10:14.28ID:1S6E/T4G
□当たり ■ハズレ

A  B
□|■■←Bに突風が吹いてもゲームは成立
■|□■
■|■□
□|■■←Bに突風が吹いてもゲームは成立
■|□■
■|■□
□|■■←Bに突風が吹いてもゲームは成立
■|□■
■|■□←当たりに突風が吹いたらゲームは不成立

最初に当たりを引く確率は1/3
0669132人目の素数さん2018/06/25(月) 18:57:36.38ID:xKWv81b+
御免。L1yARLEyさんが用いていらっしゃる記法が解らない。(´;ω;`)
0670132人目の素数さん2018/06/25(月) 22:10:22.33ID:L1yARLEy
>>669
>>667はスルーして
以下はABC表記の意味の再解説(すでに理解してるならスマン)

ゲームの流れとして、まず3つのドア(A、B、C)を用意する
@当たりの賞品を(AまたはBまたはC)に配置する
A挑戦者は最初に(AまたはBまたはC)のドアを選択する
B司会者は必ずハズレの(AまたはBまたはC)のドアを1枚だけ開ける

@ABの流れを時系列的にワンセットで表現したのが(ABC)という表記の仕方
標準モンテの全パターンは>>660の 12通り
分かりやすいように@ABの記号付きで表示してみる

AAB  @A AA BB  1/3 × 1/3 × 1/2 = 1/18  ステイ○ チェンジ●
AAC  @A AA BC  1/3 × 1/3 × 1/2 = 1/18  ステイ○ チェンジ●
ABC  @A AB BC  1/3 × 1/3 × 1 = 1/9   ステイ● チェンジ○
ACB  @A AC BB  1/3 × 1/3 × 1 = 1/9   ステイ● チェンジ○

以下省略
0671132人目の素数さん2018/06/25(月) 22:43:55.75ID:L1yARLEy
Bに「挑戦者が選ばなかった残り2つのドアから」という条件を追加
0672132人目の素数さん2018/06/25(月) 23:27:03.05ID:pAprNDoD
標準も変形も突風も扉増加も全部まとめてみた↓

n個の扉からプレイヤーが1つ選び、それがアタリであるという事象をXとし、確率は1/nとする
司会がn個の中から、n-2個選び
司会が選んだ中にアタリがない(司会が選んだ扉は全部ハズレ)という事象をY
司会が選んだ中にプレイヤーが選んだ扉がない(司会はプレイヤーとは別の扉を選ぶ)という事象をW
プレイヤーも司会も選ばなかった扉の中にアタリがあるという事象をZとする

p=P(Y|notX,W) ; プレイヤーが選んだ扉がハズレで、かつ、その扉を司会は選んでない時に、司会の選んだ扉が全部ハズレの確率
q=P(W|X) ; プレイヤーの選んだ扉がアタリの時に、司会がプレイヤーと同じ扉を選ばない確率
r=P(W|notX) ;プレイヤーの選んだ扉がハズレの時に、司会がプレイヤーと同じ扉を選ばない確率
とすると

司会がプレイヤーと同じ扉を選ばず、かつ、司会が選んだ中にアタリがない時の、プレイヤーが選んだ扉がアタリの確率
P(X|Y,W)
=q/{q + (n-1)pr}
とくにq=rのときは
=1/{1 + (n-1)p}

司会がプレイヤーと同じ扉を選ばず、かつ、司会が選んだ中にアタリがない時の、残った扉がアタリの確率
P(Z|Y,W)
={(n-1)pr}/{q + (n-1)pr}
とくにq=rのときは
={(n-1)p}/{1 + (n-1)p}
となる

標準では
p=1,q=r=1だからP(X|Y,W)=1/n, P(Z|Y,W)=(n-1)/n

変形では
p=1/(n-1),q=r=1だからP(X|Y,W)=1/2, P(Z|Y,W)=1/2

突風では
p=1/(n-1),q=r=2(n-1)/{n(n-1)}だからP(X|Y,W)=1/2, P(Z|Y,W)=1/2
0673132人目の素数さん2018/06/26(火) 10:51:42.39ID:w4WDHmue
3枚のカードが袋に入っています。
1枚は両面赤(A)、1枚は両面青(B)、1枚は片面が赤で片面が青(C)です。
今、目をつぶって袋からカードを1枚選び、机の上に置いて目を開けたところ、
カードは赤でした。
このカードの裏が赤である確率は?
0674132人目の素数さん2018/06/26(火) 19:28:52.61ID:CLgQrMrq
「突風」はどういう意味ですか? ランダムという意味?
0675132人目の素数さん2018/06/26(火) 19:45:11.21ID:xUBJRniz
>>674
そうランダム。詳しくは>>548
このとき「本来ならゲーム不成立になる」という御仁がいるが
この意見については意味が分からん
0676132人目の素数さん2018/06/26(火) 21:56:18.57ID:dUleU0w7
ドッピオが1のドアを選択する

モンティがハズレのドアを開ける

2つの選択可能なドアがある

ディアボロが現れてその内一つを選ぶ

当たりの確率は50%
0677132人目の素数さん2018/06/26(火) 21:58:39.86ID:CLgQrMrq
つまり、クイズの司会者もどのドアの後ろに車があるのか山羊がいるのか知らなくて
回答者が選択したドア以外をどれか一枚を適当に選んで開けるってことですね?
その場合、このクイズが想定していない事態が起こるので新たにルールを設ける必要がありそうですね。
不成立にした場合は標準形式と同じことになりそうですね。繰り返しゲームならば。
0678132人目の素数さん2018/06/26(火) 22:00:58.88ID:CLgQrMrq
>>666
ABCがドアの名前だとすると、なぜAACとかいう並びがあるのか不思議で。
ドアの並び方が動くというのはおかしいので。
0679132人目の素数さん2018/06/26(火) 22:32:23.75ID:dUleU0w7
□当たり ■ハズレ

ハズレのドアの面積は当りのドアの面積の二倍あるので
ゲームが多数回(N→∞)に向かうと
最初の選択(ファーストチョイス)時にハズレを引く
確率P(H)が2/3に限りなく近づく

1□■■
2■□■
3■■□
   :
   :
N■■□←P(H)=2/3

プレイヤーは最後に当たりとハズレのドアのうち
一つを開ける二択を必ず行う

□■(ステイ or チェンジ)

この事象だけ単独で取り出せば確率は50%
しかし、プレイヤーが多数回のゲームを行えば
ファーストチョイス時の確率P(H)=2/3を保持したまま
二択を行うことになる

1□■
2■□
3■□
  :
  :
N■□←チェンジすると当たりの確率が2倍

ステイのハズレの確率はチェンジの当たりの確率に
等しいので、チェンジし続ける(Changing)なら
当たる確率が二倍になるといえる
0680132人目の素数さん2018/06/26(火) 23:31:04.37ID:w4WDHmue
>>678
確かに ABC がドアの名前だという説明部分は紛らわしかったな
あらためて説明すると、ABC はゲームの流れ@ABを表したもの
@当たりを扉Aに配置 A挑戦者が扉Bを選択 B司会者がハズレ扉Cを開ける
分かりにくいかもしれんが、文字数省略の一手段として大目に見てくれ
0681132人目の素数さん2018/06/27(水) 00:33:35.70ID:Yl00OMGD
>>677
何が同じことになると思ってるの?
不成立 → やり直し → ゲーム成立 で結局は同じ状況になるってことかな?
その場合でも確率は違ってくるので誤解のなきよう

標準形式      変更しないで当たる確率 1/3  変更して当たる確率 2/3
(変形・突風)形式  変更しないで当たる確率 1/2  変更して当たる確率 1/2
0682132人目の素数さん2018/06/27(水) 16:11:21.20ID:54pwDIeN
コンピュータでシミュレーションしたらマリリンが正しかった、ってなったとかいうから
突風モンテもシミュレーションしたら…
0683132人目の素数さん2018/06/27(水) 18:23:51.63ID:tZWz7sXs
計算が複雑な問題ならシミュレーションも有効かもしれんが
この手の問題は、与えられた設定や状況を正しい式で表すのが難しい(間違えやすい)だけで
計算自体は簡単な「文章題」だから、シミュレーションはほぼ意味はないぞ

「正しい式で表す」が「正しくシミュレートする」に置き換わるだけだから
前者を正しく理解できてる人にとってはシミュレートするまでもなく正解は分かるし
前者を間違える人は後者も間違える

この手の問題で間違ったシミュレーション(正しくカウントしない等)を持ってきて
間違った答えの正当性を主張したり「そういう解釈もできる」とかのたまう輩のなんと多いことか・・・
確率をシミュレーションで求めるのは止めた方が良い
0684132人目の素数さん2018/06/27(水) 18:46:40.45ID:4Hhy671s
大数の弱法則はちゃんと証明されとりますがな(´・ω・`)
0685132人目の素数さん2018/06/27(水) 19:18:53.27ID:tZWz7sXs
大数の法則は否定しないぞ
正しく適用できない人が居るという話

「どう数式化するのか(どうシミュレートするのか)」が問題の肝なのに
「シミュレーションの結果、数値は○○になりました。だから○○が正しい答えです」
という解答、解説は本質を誤魔化して理解した気にさせてるだけ
間違った答えも導きやすいから辞めた方が良いということ
0686132人目の素数さん2018/06/27(水) 19:20:42.64ID:Yl00OMGD
標準モンテであくまで 1/2だと言い張ってて、頑なに納得しない人がいるじゃん?
いくら「正しい式」とやらを示したところで、平行線の議論が永久ループするだけの場合もある
そういう場合には「そんなに納得できないなら自分でシミュレーションしてみろ」
と突き放すぐらいしか最終的にはなさそうな気がするけどね

「シミュレーションはほぼ意味ない」は語弊を恐れず言いきったね
「もしかしたら自説(直感・思い込み)が間違ってたのかも?」
と気づかせる、あるいは疑問を持つキッカケぐらいにはなると補足しておく

ねらい
確率の実験での確率的現象の不思議さを感得させ、生徒の確率の学習に対する興味・関心を覚醒する。
実験・観察から予想された結果について、その根拠を樹形図に基づいて論理的に分析することを通して、
確率の考え方とその重要性(よさ)を体験的に理解させ、そして数学的確率の定義を確立する。
また、確率の考え方に基づいて分析的に調べていく過程で「同様に確からしい」ことの意味とその重要性に気づかせる。
0687132人目の素数さん2018/06/27(水) 21:12:03.99ID:tZWz7sXs
頑なに理解しようとしない人に実験させたところで
実験のやり方を間違える(自説に沿うように実験を改変する)と正しい答えは導かれない
そういう人はやり方が間違ってると指摘されても頑なに納得しないだろうし
「やっぱり自説は正しかったんだ」と更に信じ込んでしまう危険性もある
0688132人目の素数さん2018/06/27(水) 21:48:16.56ID:5wXhh7nG
シミュレータを使うと試行回数5回くらいだとチェンジの正解率100%から20%まで幅が生じる。
試行回数1回だと2/3くらいの確率で100%、1/3くらいの確率で0%になる。
試行回数を30回くらいにするとチェンジ後の正解率が50%以下になることはまずなくなる。
0689132人目の素数さん2018/06/27(水) 21:51:12.88ID:4Hhy671s
ゲームの観測数が少ない者にとっては

確率は50%です
0690132人目の素数さん2018/06/27(水) 21:58:17.12ID:5wXhh7nG
4万か5万くらいから10万回くらいの試行回数で66%から67%くらいの間にほぼ収束しますね。
0691132人目の素数さん2018/06/27(水) 22:02:53.08ID:5wXhh7nG
>>681
例えばモンティ・ホールさんがロボットだと考えてみます。
モンティ・ロボが残りの2枚のドアから外れのドアを選択するまでの内部処理を考えてみます。

1. 残りの2枚のドアから1枚のドアをランダムに選ぶ。
2. モンティ・ロボがセンサーでドアの後ろを確認する。
3a. 1.で選んだドアが当たりのドアだったら取り消して1.の処理に戻る。
3b. 1.で選んだドアが外れのドアだったら実際にそのドアを開けるアクションを起こす。

でも外部的にはモンティ・ロボは外れのドアだけを選んで開けているように見えます。
だから標準パターンと同じですよね?

ランダムな突風が当たりのドアを開けてしまったときはゲームを不成立にし、
車と山羊を並び替えるところからゲームをリセットし、
ゲームがやり直される場合と3a.とはどう異なるんでしょうか?
0692132人目の素数さん2018/06/27(水) 22:08:38.94ID:Yl00OMGD
そこまでムキになって実験の有効性を否定しなくても、という気はするけどね
必要以上に実験の無効性を強調したがる、
標準(1/2)派のミスリードと疑われてもしょうがない
0693132人目の素数さん2018/06/27(水) 22:11:09.26ID:4Hhy671s
最初の一回目にシミュレーションの極限値が
当てはまらないなんて常識
0694132人目の素数さん2018/06/27(水) 22:54:17.29ID:5wXhh7nG
20回の試行回数だとまだチェンジ後の正解率が5割を下回ることがある。
0695132人目の素数さん2018/06/27(水) 23:31:11.72ID:Yl00OMGD
>>691
>だから標準パターンと同じですよね?
その通り(1/3 → 2/3)
しかし、やり直すなら「最初から」やり直すのが鉄則
「途中から」やり直すのなら、わざわざ(1/2)のランダム開けにした意味がなくなる

3a.のモンティ・ロボが当たりのドアを開けてしまう確率0%
突風が当たりのドアを開けてしまう確率 1/3
0696132人目の素数さん2018/06/27(水) 23:47:23.77ID:tZWz7sXs
シミュレーションによる説明は他の説明に比べ
(真の理解が得られなてないのに)分かった気にさせやすいという点と
シミュレーションで得られた数値は正しいはずという思いが先行して
そのシミュレート方法が正しいかどうかの吟味が軽視されがち
という問題点がある

モンティホール問題やその他の確率の問題を話題にした場所で
その手の勘違いや間違いをウンザリするほど見てきたから
それならいっそシミュレーションによる説明はすべきではない、というのが俺の判断だ

それでもどうしてもシミュレーションで説明したいなら
それらの点に十分注意していただきたい
0697132人目の素数さん2018/06/28(木) 00:22:28.11ID:OQ7qmKXt
>>691
90回試行し、プレイヤーははじめに扉Aを選ぶとして

ロボの場合
扉Aがアタリなのは30回で、そのうちの15回でロボは扉Bを開け、もう15回は扉Cを開ける
扉Bがアタリなのは30回で、そのうちの30回ともロボは扉Cを開ける
扉Cがアタリなのは30回で、そのうちの30回ともロボは扉Bを開ける
(正確には、90回試行したときの回数の期待値がそれぞれ30回や15回ということ)

ロボが扉Bを開けたのは45回で、そのうち扉Aがアタリなのは15回
ロボが扉Cを開けたのは45回で、そのうち扉Aがアタリなのは15回
となる


突風の場合
扉Aがアタリなのは30回で、そのうちの10回で突風は扉Aを開け、10回は扉Bを開け、10回は扉Cを開ける
突風がAを開けた10回はゲーム不成立となる
扉Bがアタリなのは30回で、そのうちの10回で突風は扉Aを開け、10回は扉Bを開け、10回は扉Cを開ける
突風がAかBを開けた20回はゲーム不成立となる
扉Cがアタリなのは30回で、そのうちの10回で突風は扉Aを開け、10回は扉Bを開け、10回は扉Cを開ける
突風がAかCを開けた20回はゲーム不成立となる

突風が扉Bを開け、かつゲーム成立だったのは20回で、そのうち扉Aがアタリなのは10回
突風が扉Cを開け、かつゲーム成立だったのは20回で、そのうち扉Aがアタリなのは10回
となる
0698132人目の素数さん2018/06/28(木) 01:41:37.48ID:jP2ykfUb
完璧な説明、乙!
試行回数 90回、選択扉A固定はナイスアイデア
こういうふうに丁寧に場合分けすれば間違いようがないよね

標準モンテ  成立(1)   不成立(0)
変形モンテ  成立(2/3)  不成立(1/3)
突風モンテ  成立(4/9)  不成立(5/9)
0699132人目の素数さん2018/06/29(金) 01:18:37.68ID:CMxPZiZ+
【リフレーミング】は
先入観にとらわれず
物事を視点や焦点、解釈を変えて
色んな角度から見ることで
別のものや前向きな考え方が見えてくるということ
0700132人目の素数さん2018/06/29(金) 16:00:37.13ID:PlFzt4v1
パンツに穴が空いたwwwwwww



パ ン テ ィ ー ホ ー ル 問 題
0701132人目の素数さん2018/06/30(土) 16:21:04.74ID:9o4Z4BWV
賞品の  挑戦者  司会者が開けた扉
配置   の選択  扉1開  扉2開  扉3開

扉1当  扉1選   0   1/2  1/2
扉1当  扉2選   0    0    1
扉1当  扉3選   0    1    0

扉2当  扉1選   0    0    1
扉2当  扉2選  1/2   0   1/2
扉2当  扉3選   1    0    0

扉3当  扉1選   0    1    0
扉3当  扉2選   1    0    0
扉3当  扉3選  1/2  1/2   0
0702132人目の素数さん2018/06/30(土) 16:57:05.01ID:9o4Z4BWV
>>701を基に(標準・変形・突風)を列挙。 ()内はゲーム不成立
(当たり扉1固定、以下省略)

0 1/2 1/2     0  1/2  1/2     (1/3)  1/3  1/3
0  0  1    (1/2)  0  1/2     (1/3)  (1/3)  1/3
0  1  0    (1/2)  1/2  0     (1/3)  1/3  (1/3)
0703132人目の素数さん2018/06/30(土) 21:06:11.98ID:k5z0ZaJF
モンティがランダムに残りのドアを開け、
かつ、車のドアを開けてもゲームが有効なままならば、
それが繰り返しゲームの場合、
スイッチングのほうがステイングよりも有利だと
直感的に思うでしょう。
なぜなら、モンティ自らが車のドアを開けて種明かしする偶然もそこに加わるのですから
プレイヤは車を直接指差すチャンスにも恵まれます。
0704132人目の素数さん2018/06/30(土) 21:27:34.60ID:k5z0ZaJF
モンティがランダムに残りのドアを開けるか選択的に開けるかの違いは、
果たして根本的な違いでしょうか?

モンティ・ホール問題には暗黙の前提があるように思われます。
・それが繰り返し試行ゲームであること。
・繰り返しのたびに回答を変えてはいけないこと。
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