《 P(A当 | B開) = 1 + ln(0.5) ≒ 0.307 》

>>174 >>175

p=P(B開|A当) が一様分布に従うとする。
そんな訳だから、
P(A当) = P(B当) = P(C当) = 1/3
P(B開 | A当) = p,　P(C開 | A当) = 1-p とする

P(A当でB開) = p/3
P(A当でC開) = (1-p)/3
P(B当でC開) = 1/3
P(C当でB開) = 1/3

P(B開)=P(A当でB開) + P(C当でB開)=(p+1)/3
P(C開)=P(A当でC開) + P(B当でC開)=(2-p)/3

P(A当 | B開)= P(A当でB開) / P(B開)
= p / (p+1)　───★

P(A当 | C開)= P(A当でC開) / P(C開)
= (1-p) / (2-p)　───☆

ここで、検算　p=0.5として、★に代入、
　P(A当 | B開)= 1/3となり ★はOkみたい。
　　　
さて、
(B開|A当) の確率分布関数をF(p)とすると、
F(p) = 1 ちなみに、0≦p≦1, ∫F(p) dp = 1

解析的には解くのは一旦諦めて、まずは、
区分求積的な数値計算で、算出すると
そう、F(0.1)=F(0.3)=…=F(0.9)=0.2で計算

P(A当 | B開) = p / (p+1) というか、まあ、
P(A当 | B開) = (1/5) * Σ{p / (p+1)}
for p is 0.1 , 0.3 , 0.5 , … , 0.9 だ。
P(A当 | B開) =
= (1/5) * (1/11 + 3/13 + 5/15 + 7/17 + 9/19)
≒ 0.308 < 1/3　になる!

さて「 積分 x/(x+1) 」ググると、どうやら、
∫ p/(p+1) dp = p - ln|p+1| + C だ。
で、 詳細は省くとして、とにかく

P(A当 | B開) = 1 + ln(0.5) ≒ 0.307

【かってに考察】

P(A当 |司会者あまり開けない扉を開けた )
< 1/3