モンティーホール問題を高校生にわかるように説明してくれ [無断転載禁止]©2ch.net
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モンティーホール問題とは...
プレーヤーの前に閉まった3つのドアがあって、プレーヤーが1つのドアを選択した後、司会のモンティが残りのドアのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる。
プレーヤーはドアを変更すべきだろうか?
(wikiより) 済まん。再訂正。
期待値も変わるのか。
扉を変更する場合と、扉を変更しない場合との比較の上で、両者の他方に対する有利さが、
扉を開ける前と後とで変わるのか
だね。
ごめん。 >>14も訂正。
あと、
●有利さが変わらないのは、開けるドアをランダムに選んだとき。
●ドアを開ける人間がルールをちゃんと理解してドアを選んで開けるときは、有利さは変わる。
これがつい勘違いで逆になってしまう。
これがこのモンティーホールの問題がここまで紛糾してしまった最奥の理由だと思う。
よくあるでしょ。右と左とか、白と黒とか真逆なものを取り違えてしまう間違い。
あれねこれは。
独立事象と背反事象を取り違えるとかね。
ああいう類いのやつ。
頭で考えただけだと、つい真逆に取り違えてしまう。
手を使って図を書いて考えると気づくんだけどね。
三つのドアのうちランダムに開けるドアを選んで、それが外れのドアだったってことなら、最初からドアが二枚しか無いのと同じことだもんね。
だから変更する/しないの有利さは変わらない。
期待値は変わるよね。扉の数が減るんだから。 >>14は>>59の「変更して当たる確率」だから間違いだけど、
>>102は>>59の「どちらを選ぶかで当たる確率」だから正しい。
それでいいよ。
ID:vc/8ftZi = ID:cqtXqSWv = ID:xOxuhfox だけど、
正解を理解してもらえたようで安心した。 >>14の間違いは訂正したようだが、
>>10に固執する理由がわからん。
>>4で終わってんじゃねえか。 普通に考えて最初にあたり選ぶのは1/3なんだから残り1枚のドアに当たりがあるのが2/3ってすぐわかるだろ
騙される要素がない 要するに簡単な問題だというのには同意するが、
その説明の仕方でないと君には理解できないのか? モンティホール問題の
プレイヤーが選択したドアを除いたドア二つのうちで
当たりでないドアを司会者が開けてはずれであることがわかった、は
@当たりのドアは残った二つのどちらかであるということと
Aプレイヤーが選択したドアが当たりの場合ならばどちらかを開いて
はずれの場合ならば残った内の当たりのドアを避けて開いたということ
の二つの情報を持っている
(どちらかを開く場合の確率の偏りはないもの、1/2ずつと見なす)
まず@Aのどちらの情報もない状態(ドアを開けていない状態)では
(確率の偏りがない条件下で)それぞれのドアが当たりの確率は1/3
ここで、プレイヤーが選択したドアをドアA、司会者が開けたドアをドアCとして
@の情報を取り入れると、ドアCが当たりの確率は0となり
ドアA、ドアBが当たりの確率はそれぞれ1/3÷(1/3+1/3)=1/2となる
次にAの情報を取り入れると、ドアAが当たりの確率は
ドアAが当たりかつドアCを開いたまたはドアBが当たりでドアCを開いた場合に対する
ドアAが当たりかつドアCを開いた場合の比率であるため
(1/2×1/2)÷(1/2×1/2+1/2×1)=1/4÷(1/4×1/2)=1/3となり
ドアBが当たりの確率は
ドアAが当たりかつドアCを開いたまたはドアBが当たりでドアCを開いた場合に対する
ドアBが当たりでドアCを開いた場合の比率であるため
(1/2×1)÷(1/2×1/2+1/2×1)=1/2÷(1/4×1/2)=2/3となる
@Aの情報を同時に取り入れると
司会者がドアCを開けてはずれだとわかったときにドアAが当たりの確率は
ドアAが当たりかつドアCを開いたまたは
ドアBが当たりかつドアCを開いたおよびドアCが当たりかつドアCを開いた場合に対する
ドアAが当たりかつドアCを開いた場合の比率であるため
(1/3×1/2)÷(1/3×1/2+1/3×1+1/3×0)=1/6÷(1/6+1/3+0)=1/3となり
司会者がドアCを開けてはずれだとわかったときにドアBが当たりの確率は
ドアAが当たりかつドアCを開いたまたは
ドアBが当たりかつドアCを開いたおよびドアCが当たりかつドアCを開いた場合に対する
ドアBが当たりかつドアCを開いた場合の比率であるため
(1/3×1)÷(1/3×1/2+1/3×1+1/3×0)=1/3÷(1/6+1/3+0)=2/3となる モンティホール問題の応用、最初にドアが当たりの確率を変えた問題
例えばそれぞれのドアが当たりの確率が1/11、4/11、6/11とした場合で
司会者がはずれのドアを示したときの確率を求めると理解が正されやすい
プレイヤーが6/11のドアを選択して司会者が1/11のドアを開いたとき
ドアを変えないで当たりの確率は3/7、変えると当たりの確率は4/7となる
プレイヤーが4/11のドアを選択して司会者が6/11のドアを開いたとき
ドアを変えないで当たりの確率は2/3、変えると当たりの確率は1/3となる 最初に選択するドアが当たりの確率は1/3だからそのまま変わらず1/3という考えや
(たまたま変わらない1/3となったという考えでなく変わらないから1/3という考え)
最初に1/3だから残りのドアのいずれかが当たりの確率は2/3であるため
残りのドアが一つになったならばそのドアが当たりの確率は2/3であるという考えは
間違い。たまたま正答と数値が一致してるに過ぎない
数値が一致する条件は最初に選択したドアを除いたドアが当たりの確率が
皆等しい場合である。(簡易)モンティホール問題の1/3ずつが該当している
また、最初に選択したドアが当たりの確率<残ることになるドアが当たりの確率×2
ならば選択を変えた方が当たりの確率は大きくなる
実際のモンティホールでの確率がそれに該当している(それぞれおよそ1/3)
考え方も数値も間違っていても変えた方がいいという解答は一致する >最初に選択するドアが当たりの確率は1/3だからそのまま変わらず1/3という考え
>(中略)は間違い。たまたま正答と数値が一致してるに過ぎない
そーかね?
アタリが3枚のドアに当確率に仕込まれて、
司会者がハズレのB,Cからどちらを開けるかも当確率
と仮定するならば、
Cが開けられたというイベントは、
Aがアタリでもハズレでも当確率で生じるから
Aのアタリ/ハズレに関して情報をもたらさない。
つまり、事後確率は事前確率のままで変わらない。
そこから答えに至ることもできるよ。 1桁台にいたけどもうそこで解決してたんだよなぁ。。。
なんでこんな言い合いしてるんですかね(困惑)
とりあえず確率を知った気でいる奴が多すぎる、条件付確率以前に
素事象と標本空間とか学びなよ >>111
この当たりの確率は間違いだ。このモンティホール問題の応用は
等確率のドアが11枚あり1枚セットと4枚セットと6枚セットに分かれている、
と考えるとわかりやすい。
最初に選択したn枚セットのドアが当たりの確率は
司会者が残り(11-n)枚のドアを1〜(11-n-1)枚開けてもn/11のまま変わらない。
プレイヤーが6枚セットのドアを選択して司会者が1枚セットのドアを全部開いたとき
ドアを変えないで当たりの確率は6/11、変えると当たりの確率は5/11のままだ。
プレイヤーが4枚セットのドアを選択して司会者が6枚セットのドアを全部開いたとき
ドアを変えないで当たりの確率は4/11、変えると当たりの確率は7/11のままだ。 そうなんだよね、この問題の説明は>>4で終わってるだが何故か理解できない人が少なくないのが不思議
しかもプロの数学者でさえ理解できないのが何人もいるってのは信じがたいんだが本当なんだから呆れてしまう >>4が真だと知ってる(確信してる)こととちゃんと理解してることは別だし
「4は真」は単なる事実であって、論理的な説明としては不十分だと思うから「4で終わってる」は流石に言い過ぎじゃないか
ふわっとした説明や常識()的判断、オカルト理論を用いず、4が真であると示せないなら理解してることにならないし
設定を変えて、司会が適当に選んで開けたら偶々ハズレだった場合は4は適用できないが、これをちゃんと理解できてなくて間違える者もここに限らずよく居る
「自然言語で書かれた状況を適切な数学概念に変換すること」に関して数学者がプロとは言いがたいのだから
その部分で間違えたことに対して「プロも間違えた!」などとはやし立てるのもやや誇張に感じる
(間違えた数学者には反省して欲しいが) 確かに、
「自然言語で書かれた状況を適切な数学概念に変換すること」は、
数学じゃなく、算数の対象だよな。
算数の専門家を集めてモンティーホール問題を議論させたら、
数学者の場合より更に悲惨なことになりそうではあるが。 《プレーヤーが当てる確率についての件》
司会者モンティが開けたドアがヤギを
見たその瞬間に
1/3→1/2に増加するハズだ。
3つに1つを選択から、
2つに1つを選択に変化したからだ。
司会者モンティが、2つのドアのうち、
無心かつランダムに、開け
モンティの開けたドアにヤギ(はずれ)だった
としたらだがな
ちなみに、最初に選択したドアを変更しても
1/2→1/2のままだ 2/3にはならん >>120
このランダムに開けた時に当てる確率は正しい。
しかしランダムに開けるのはモンティホール問題ではない。
モンティホール問題は司会者が必ずハズレのドアを開ける。 確率って不完全だよね。ワンチャンなら1/3は変わらない。
こんなことも分からないのか。 すまん。ワンチャンならじゃなくワンチャン「だから」だ。 2,3日ほど前の事ののだが
最初に選んだドアが当たりの確率は、
司会の「ヤギ見せ」で、1/3→1/2に確変
ドアを選び直しても1/2だと思った
細かいルールを掴みそこねたぁ〜
それにしても、「ヤギ見せ」でも確変
しないなんて、超すばらしいルールだ
《最初の選んだドアが当たりの確率》
ABCのドアのうち、
・プレーヤの最初に選んだのが、Aの場合
(A,B,C)=(当たり,はずれ,はずれ)の場合
司会者は、BかCのいずれか開ける
プレーヤは最初に選らんだAを開け
当たりとなる
(A,B,C)=(はずれ,当たり,はずれ)の場合
司会者は、必ずやCを開ける
司会者は、ルールのからみで
Bを開けてはいけないからだ
プレーヤは最初に選らんだAを開け
はずれとなる
(A,B,C)=(はずれ,はずれ,当たり)の場合
司会者は、必ずやBを開ける
司会者は、ルールのからみで
Cを開けてはいけないからだ
プレーヤは最初に選らんだAを開け
はずれとなる
然るに、プレーヤが当てる確率は
(A,B,C)=(当たり,はずれ,はずれ)の
確率と同じだ。
この確率は、ルールにより1/3だ
まぁ、ルールを確認するの疲れるゼ
で、
プレーヤーは、1/3の確率で当たる
・プレーヤの最初に選んだのが、Bの場合
文面のAとBを入れ換えて考えれる。で
で、同じく、1/3
・プレーヤの最初に選んだのが、Cの場合
同じく、 1/3 極端な例を考えれば理解しやすい
1億個の箱があって当たりは一つ当たりがあるゲームを考える。
一個箱を選んで(仮に箱Aとする)、残り9999万9999個のうち9999万9998個は絶対ハズレなのだから主催者がハズレのものを明かす。残りの一箱を箱Bとしよう。
確率が変化すると考える人は箱Aが当たりの確率と箱Bが当たりの確率が等しく1/2と思うか? >>126は、昔からよく言われる説明だが、
これが解りやすいと思う人の気持ちが解らない。
箱が3個でも100個でも1億個でも
定性的には、問題に変わりがない。
計算しないで、気分で判断しようとしてないか? >>126
俺もこの説明は好きじゃないなぁ
「なんで3個の時は1個しか開けなかったのに、10000になると9998も開けるんですか?」
っていう疑問を投げかけられる 当たりが1本 外れ99本の、くじびき、
外れが98本でた後で、当たる確率は、
1/2だ。
当たりが1本 外れ9999本の、くじびき、
外れが9998本でた後で、当たる確率も
1/2だ。
だから、モンティホールの問題解説で、
どんなに枚数増やした説明されても
1/2はさらに揺るがない
なんてね、以上、支離滅裂な反論でした >>129
モンティーホールのヤギの扉は、偶然開いたんじゃなく、
ヤギであることを確認して開けているんだからね。
偶然開いた扉がヤギだった場合には、
モンティーホールとは別の問題になって
そのクジと同じことになる。 ドアとヤギは相性よくない。人間ですら。占いの世界の方が
数学より短絡的じゃないし。理を知り悟るのもそのすじの方々では。 絶対に変えないと決めてやると
単純に1/3
絶対に変えると決めてやると
外れを引くと勝利2/3
当たりを引くと負け1/3
つまり変えろ モンティホールがヒントを与えてくれる回答者の味方ってこと。
好意に応えた方がいい、という話。 >>126
必ず外れ1ヶ所オープンという時点で一回目の抽選は無効となる。1回目で当たりが出る場合があるのにそれを無視するとなると、再抽選ということになる。
そして
選び直さない1/2
選び直す1/2
の2卓になる。
つまり確率的には同じになる。
一回目の抽選で外れた場合はという仮定が付くなら後に選んだ方が確率は高い。
1回目は1/3
2回目は1/2
この問題は説明不足だな 書いたあとで気が付いたが、1回目に選んだものを残し、他の外れをオープンするんだな。
1回目で選んだ物は確率1/3のもの
選び直した物は確率1/2のもの
1回目で当たりを引いたらそれで終了かと思ってしまったわ。 >>135-136
ルールを理解出来たのに選びなおすと1/2と思っているのか。
>>4-7を読んでくれ。 >>128
126が言いたいのは、
「司会者がハズレをいくつ開けるか」ではなく、
「最初に自分が選んだ箱と選んでいない箱のうち1個、合計して2個だけ残す」って事だと思う。
その上で、最初に選んだ箱がアタリだという確率が、33%より0.00000001%であると誇張した方がイメージしやすい、と言うだけの話。
分かりづらいなら無理にイメージする必要はない。 それが解るなら、3個でも解るだろ?
数の問題じゃあない。 変える
当たりを選ぶ(1/3)→はずれ
当たり以外の二つを選ぶ(2/3)→あたり
変えない
当たりを選ぶ(1/3)→当たり
当たり以外の二つを選ぶ(2/3)→はずれ
これじゃダメなのか。
1億個にしたところで
変える
当たりを選ぶ(1/100000000)→はずれ
当たり以外の二つを選ぶ(99999999/100000000)→当たり
変えない
当たりを選ぶ(1/100000000)→当たり
当たり以外の二つを選ぶ(99999999/100000000)→はずれ
なんか説明がわかりやすい感じもないけど シミュレーションてのは、実証したふりの
仮定ロンダリングだよな。 >>144
実証にはならないけどあたりをつける価値はあるだろね。 問題は、証明じゃないことじゃなく、
仮定ロンダリングのほうだよ。
最近さあ、放送大学の「心理統計学」が、伝統的な検定主義からベイズ統計学に変更されて、
第2回に「三囚人問題」について論じていたわけ。
で、モンティ・ホール問題に似ていると思ってみていたんだけれど、こちらは1980年代に日本でも
心理統計学で議論されていて、
「1/2ずつになる直感解と、1/3と2/3になる模範解がなぜ存在しうるのか」
という人間らしい認知は、本来心理学的問題じゃない。で、議論があったみたいだわ。Wikiで
「三囚人問題」を検索するとその過程が書かれている。
結局、
P(A当たり|B開く) = P(B開く|A当たり)/( P(B開く|A当たり)+1 )
となって、Aが当たっているときにBを開く確率が1/2と仮定するのが問題と言うことのようだ、
P(B開く|A当たり) = 1-( P(C開く|A当たり) )
なのは自明だよね。
P(B開く|A当たり)を一様分布とすると、求めたいP(A当たり|B開く)の最尤値1/2、中央値
1/3になるから、どちらも間違いじゃないというのが結論のようだよ。
この放送大学の講義は2017年新設で、5月の連休の時期はBSで再放送しているからタダで
見られるかも知れないな。
>>148の続き
今、電子番組表を見たら、5/4(木)正午から、放送大学BS 231chでタダで見られる。
ま、私もまだHMC法をRで自由に使えるところまで行っていないから、講師の先生の
説明を聞いて欲しい。
講師の先生も、昔は事前確率、事後確率共に主観的な判断を行っていたが、
ベイズ統計学的には、事後確率に主観を入れることには否定的だ。
その辺を確率大好きな人は判断して欲しい。
プレーヤーの前に閉まった3つのドアがあって、プレーヤーが1つのドアを選択した後、司会のモンティが残りのドアの内一つを開くとヤギが居た。
プレーヤーはドアを変更すべきだろうか?
これだとどうなるん? >>151
元の問題は、P(B開ける|B当たり)=0、P(B開ける|C当たり)=1になるところが
問題じゃなかったっけ。当たりは開けるわけにはいかないし、Aを開けるわけにはいかないのが、
対称的じゃない最大の理由。
ルールを変える方法が決まれば決まると思うんだけれど。
>>151 答えは同じ(変えた方がよい)
モンティホール問題が直観に反するように思えるのは
「一つのドアを選ぶ」とか「開けられたドアの中を見る」が
日常感覚的に対象の状態変化と捉えにくいところにあると思う。
(「見るだけでは確率に影響しないだろう」という直観的感覚)
ドアを選んだ時点でそれは特定されて他のドアからは隔離される。
他のドアはモンティによる言わば「精錬」の操作を受ける。
(「精錬」=当たりを残すべく外れを捨てる操作)
操作後残ったドアと最初に選んだドア(最初の確率で隔離された)は
同質ではない。151の場合でも(モンティの意思に関わらず結果的に)
「精錬」されたことは変わりない。 >>153
>>151は>>1とはルールを変えたつもりだろう。
どう変えたのかわからないから答えが変わるかどうかもわからない。
モンティが残りの2枚からランダムに開いたというつもりなら答えは変わる。
その場合はドアを変更しても当たる確率は1/2だ。 >>153
解答者がAを選び、モンティがBを開けるとする
P(Bを開ける|Aが当たり)を1/2と仮定しているのが間違いらしい。
それは最初の確率が1/3ずつと違って、事後確率を主観的に決めている点が、
誤りとのこと。
>>154 ランダムでも(>>151が書いた通りの状況であれば)変更した方がよい。
#モンティの意思に関わらず、外れが排除されているので。
それでも1/2だという人には、こんな例えはどうだろうか?
・濃度1%の塩水が10L(10リットル)ある。そこから1Lを取り分けた。
残り9Lを煮詰めて1Lにした。
最初に取り分けた1Lと煮詰めた1L、どちらが濃いか? >>156
残り9Lを煮詰めるのは真水だけを選んで取り除いている。
すなわちモンティがハズレとわかっている扉を開けるルールと同じだ。
ランダムに開けるルールを言い換えるとこうなる。
プレイヤーは3人いて、あなたはプレイヤー3だ。
モンティは必ずプレイヤー1、2、3の順で扉を開ける。
3人がそれぞれ別の扉を選んだ。
モンティがプレイヤー1の扉を開けたらヤギがいた。
ここでプレイヤー3にプレイヤー2と扉を交換する権利が与えられる。
あなたは扉を交換した方が良いのか?
プレイヤー1が外した時点でプレイヤー2とプレイヤー3は同条件だ。
プレイヤー2とプレイヤー3の当たる確率は同じでそれぞれ1/2だ。
ここで扉を交換しても当たる確率は変わらない。 >>156
すごいな、水と食塩を混ぜたときに、
1Lの中にNa, Clイオンが集まっている確率と、全体に広がっている確率とを比較するのか。
統計力学的にあり得ないがな。
AIの技術応用が広がるにつれて、R言語の使い方が楽になるにつれて、
ベイズ統計学の復活例が増えている。
10,000例の母集団があっても、10,001例目の確率が変化するという
のがベイズ統計学だよ。そうしないと機械学習の意味がない。
さあて、条件付き確率を主観的に決めて良いのかな?
例えば、10年分の株式価格のデータがあったとする。
そこで、未来を予測するのが旧来の統計学。
でも、今日1日の値動きをそれに含めて、明日は勝負するのが
AIであり機械学習。
どっちが勝っているのかねぇ?
もうちょとシンプルに...
プレイヤーが選んだ扉をA、
残りふたつの扉の中からモンティが偶然開けてしまった扉をB、
そのどちらでもない扉をCと名付ける。
A,B,Cが当たりである確率は1/3づつである。
A当たりBヤギCヤギの確率が1/3、
AヤギB当たりCヤギの確率が1/3、
AヤギBヤギC当たりの確率が1/3だから、
Bヤギという条件下にAが当たりである条件つき確率は(1/3)/{(1/3)+(1/3)}=1/2。
Bヤギという条件下にCが当たりである条件つき確率も(1/3)/{(1/3)+(1/3)}=1/2。 >>161
違うのよね。
モンティは、当たりとプレイヤーが選んだドアを知っているのよ。
モンティがAのドアを開ける確率は0、BヤギでBのドアを開ける確率は0、
BヤギでCのドアを開ける確率は1。
全部が対称ではないのよ。
だから、A当たりでBを開ける確率が肝心。
>>162
あ、間違えた。
モンティがAのドアを開ける確率は0、BとCのどちらかがヤギでBのドアを開ける確率は?
BヤギでCのドアを開ける確率は1。
だから対称じゃないのね。
>>162-163 それは、正しいモンティーホール問題の話。
>>161は、>>156-157が話題にしている>>154の
「モンティが残りの2枚からランダムに開いたというつもりなら」
という別問題の話。だから、
「残りふたつの扉の中からモンティが偶然開けてしまった扉をB」
と書いたでしょ。 >>163
正しいモンティーホール問題の話としても確率が正しくない。
BがヤギでCが当たりならCを開ける確率は0。
BがヤギでCもヤギならCを開ける確率は1/2。
対称でないことを言いたいだけなら、こう言えばよい。
「モンティがAのドアを開ける確率は0、BがヤギでBを開ける確率は0」 >>165
うわ、間違った。
投稿するまえに読み直さないとダメだね。
正しいモンティーホール問題が対称でない事を言うにはこう言えばよい。
「モンティがAのドアを開ける確率は0、Bが当たりでBを開ける確率は0」 >>167
>>157=>>165だから>>161がランダムに開けた場合の話なのは分かっているよ。
でも>>163はモンティが必ずヤギのいる扉を開ける問題について書いている。
それなのにBがヤギでも絶対Bを開けない事になっている。
だから「正しいモンティーホール問題の話としても」と書いて、
その問題の答えとしても間違っていると指摘した。
基本の問題に戻って、数学の説明にはならないんだが、
A プレイヤーが選んだドア
B モンティが開けてみせるドア
C ?のドア
として、Bを開けたときにCに変える方がいいという模範解のサイトや本は減るん
じゃないかな。
既に「どちらでも1/2ずつでしょ」という直感解がどうして出るかは認知心理学の
問題で、心理学には心理学統計という専門分野があって研究されている。
A当たりの場合にB、Cを開ける確率が1/2ずつになると仮定すること自体が間違いで、
一様分布とすれば、Aのままで当たる確率は0-1/2まで変化し、最頻値が1/2で中央値が
1/3になる、この主張が増えるのではないかと思う。
ベイズ統計学による事後確率に主観を入れることへの危険性を指摘する話だ。
んな事言ったら
Aに当たりが入っている確率は1/3では無くなるし
Aを選ぶ人の比率も1/3では無くなる
仕込むのも選ぶのも人間なので
心理学的偏りが結果を変える >>170
じゃあ、どうしてサイコロの目を信じるのってことになる?
サンプルのサイコロを1万回ぐらい振って、同じ製法のサイコロの母集団の確率を
推定しているに過ぎない。
実際、カジノで使っているサイコロやらトランプ、ルーレットの精度管理を
どうやっているのか知りたいが。
>>157 本当かな?と思いつつ再考したところ、ランダムの場合は1/2が正しいな。すんません。
ルールによって可能な(取りえる)状態の集合が変わるんだな。
>>169 一様分布で最頻値ってあるの? >>172
x=P(B開ける|A当たり)を0<x<1で一様分布と考えるわけ。
P(A当たり|B開ける)=x/x+1になるはず。
これを教科書通り、θ=x/x+1とすると、変数変換して、
眠いから飛ばすと、(必要なら明日書きます。)
f(θ)=1/(θ-1)^2 0<θ<1/2
これの最頻値、中央値を求めると言うことです。
試験問題とかだったらこういう風に解答すればいいのかな?
3つの扉の内、プレイヤーが選んだ扉をA、それ以外の扉をB、Cとする。
P(A=当) = 1/3, P(B=当) = 1/3, P(C=当) = 1/3
P(B開|A=当) = 1/2, P(C開|A=当) = 1/2
P(B開|B=当) = 0, P(C開|B=当) = 1
P(B開|C=当) = 1, P(C開|C=当) = 0
であるから、ベイズの定理より、
P(A=当|B開) = {P(B開|A=当)P(A=当)} / {P(B開|A=当)P(A=当) + P(B開|B=当)P(B=当) + P(B開|C=当)P(C=当)}
= (1/2 * 1/3) / (1/2 * 1/3 + 0 * 1/3 + 1 * 1/3)
= (1/6) / (1/6 + 0 + 1/3) = (1/6) / (1/2) = 1/3 …@
P(A=当|C開) = {P(C開|A=当)P(A=当)} / {P(C開|A=当)P(A=当) + P(C開|B=当)P(B=当) + P(C開|C=当)P(C=当)}
= (1/2 * 1/3) / (1/2 * 1/3 + 1 * 1/3 + 0 * 1/3)
= (1/6) / (1/6 + 1/3 + 0) = (1/6) / (1/2) = 1/3 …A
P(B=当|B開) = 0 (∵P(B開|B=当) = 0)
P(B=当|C開) = {P(C開|B=当)P(B=当)} / {P(C開|A=当)P(A=当) + P(C開|B=当)P(B=当) + P(C開|C=当)P(C=当)}
= (1 * 1/3) / (1/2 * 1/3 + 1 * 1/3 + 0 * 1/3)
= (1/3) / (1/6 + 1/3 + 0) = (1/3) / (1/2) = 2/3 …B
P(C=当|B開) = {P(B開|C=当)P(C=当)} / {P(B開|A=当)P(A=当) + P(B開|B=当)P(B=当) + P(B開|C=当)P(C=当)}
= (1 * 1/3) / (1/2 * 1/3 + 0 * 1/3 + 1 * 1/3)
= (1/3) / (1/6 + 0 + 1/3) = (1/3) / (1/2) = 2/3 …C
P(C=当|C開) = 0 (∵P(C開|C=当) = 0)
選択を変えないのは@とA、選択を変えるのはBとCが該当するので、選択を変えるべきである。 >>174
反論は簡単で、
> P(B開|A=当) = 1/2, P(C開|A=当) = 1/2
はい、ここが最大の問題で、
P(B開|A=当) を一様分布とする
という仮説の方が、説得力があるんじゃないですか?
P(B開|A=当) を一様分布としたときに、つまりは気まぐれだったと思うわけですよ、
P(A=当|B開)の確率分布
をとりあえずは解析的に求めてくださいよ。
すーっと、
どうしてインデントするのか?
という問には
python流じゃいけないのか?
と言えるようになったのがありがたいですよね。
{}でくくりますか? 余計に読みにくいはずです。
《 P(A当 | B開) = 1 + ln(0.5) ≒ 0.307 》
>>174 >>175
p=P(B開|A当) が一様分布に従うとする。
そんな訳だから、
P(A当) = P(B当) = P(C当) = 1/3
P(B開 | A当) = p, P(C開 | A当) = 1-p とする
P(A当でB開) = p/3
P(A当でC開) = (1-p)/3
P(B当でC開) = 1/3
P(C当でB開) = 1/3
P(B開)=P(A当でB開) + P(C当でB開)=(p+1)/3
P(C開)=P(A当でC開) + P(B当でC開)=(2-p)/3
P(A当 | B開)= P(A当でB開) / P(B開)
= p / (p+1) ───★
P(A当 | C開)= P(A当でC開) / P(C開)
= (1-p) / (2-p) ───☆
ここで、検算 p=0.5として、★に代入、
P(A当 | B開)= 1/3となり ★はOkみたい。
さて、
(B開|A当) の確率分布関数をF(p)とすると、
F(p) = 1 ちなみに、0≦p≦1, ∫F(p) dp = 1
解析的には解くのは一旦諦めて、まずは、
区分求積的な数値計算で、算出すると
そう、F(0.1)=F(0.3)=…=F(0.9)=0.2で計算
P(A当 | B開) = p / (p+1) というか、まあ、
P(A当 | B開) = (1/5) * Σ{p / (p+1)}
for p is 0.1 , 0.3 , 0.5 , … , 0.9 だ。
P(A当 | B開) =
= (1/5) * (1/11 + 3/13 + 5/15 + 7/17 + 9/19)
≒ 0.308 < 1/3 になる!
さて「 積分 x/(x+1) 」ググると、どうやら、
∫ p/(p+1) dp = p - ln|p+1| + C だ。
で、 詳細は省くとして、とにかく
P(A当 | B開) = 1 + ln(0.5) ≒ 0.307
【かってに考察】
P(A当 |司会者あまり開けない扉を開けた )
< 1/3
数学の話じゃないんだけれど、
↑のような、P(B開ける|A当たり)の確率密度関数は? 1/2ずつではないよ?
って、話が出るようになって、
古典的(?)なモンティ・ホール問題を扱っているサイトは、その後のベイズ統計学の説明が
「本当に正しいのか?」
私も疑問に思っているわけ。どこかで主観的な事前確率を入れてしまえば、結論は変わって
しまう。いかにRなんかでシミュレーションをしても同じだね。
いくつか、モンティ・ホール問題を扱っているサイトが検索できなくなっているのはそういう理由かな
と思う。これは、科学じゃなくて主観ですけれど。
条件付き確率や事後確率を扱う分野は、
パズルじゃなくて、
「医薬業界では巨万の富を生む。」
産業なのよ。
ノバルティスの薬事法違反事件はニュースで報道されているでしょ?
医師が統計学を知らない、製薬会社は数学者を雇うとしたら、その知識の差で
やり込められてしまうわけ。
AIが正しいかどうか、1万件の事例を集めればFischer流の有意差統計に持ち
込めるわけだけれど、今日の失敗で学ぶ、という証券業界みたいな交通事故での
AIブレーキ処理になったときに、今日と明日の自動ブレーキの振る舞いが違っていても
おかしくないわけよね。
まあ、
医師・病院スレに
http://egg.2ch.net/test/read.cgi/hosp/1493809494/l50
を立てているわけなんだけれど、
この程度に付いていけない医師が診療しているのよね。
自分の医療機関でのNNTを意識していない、製薬会社の言う通りに働いている
医師は存在意義がないでしょ。専門医に多くのお金を払う時代になったら、
その差はきちんと消費者が計算すべき話なんだけれど。日本は報酬一定の保険医療
だからね。その分、医師は努力に見合わない安い給与で働いているわけ。
IT技術者や統計学の先生だって、報酬は見合わないでしょ。
まあ、そんな戦国時代かな(笑)。
>>177
> P(A当 | B開) = p / (p+1) というか、まあ、
> P(A当 | B開) = (1/5) * Σ{p / (p+1)}
なんで条件付き確率(確率の比)の平均をとってるんだ?
求める事後確率は、確率の平均の比と同値だよ >>181
>求める事後確率は、確率の平均の比と同値
そうだ。なるほど、
P(B開 | A当) = p = 0.5
P(A当 | B開) = p / (p+1) = 0.5/1.5 = 1/3 だ
But
>>175 のリクエストのより、
P(B開 | A当) は一様分布として解いたもの
なお平均とったつもりではなく、
各々が1/5の確率の条件付き確率の計算
もっとも、確率の平均との解釈もOK
では、詳細に解説
P(B開 | A当) = 1/2 → P(A当 | B開) = 1/3
では、
P(B開 | A当) が平均1/2の離散一様分布で、
P(A当 | B開) = 1/3となるか、吟味する
P(B開 | A当) は、以下よりxとして記載
x = 0.1 となる事前確率 1/5
x = 0.3 となる事前確率 1/5
…
x = 0.9 となる事前確率 1/5
さて、
P(A当 | B開) は、以下より pと記載する
p = x / (x+1) であるから、
P(A当 | B開) の分布は、
p = 0.1 / (0.1+1) = 1/11 となる確率 1/5
p = 0.3 / (0.3+1) = 3/13 となる確率 1/5
…
p = 0.9 / (0.9+1) = 9/19 となる確率 1/5
一様でない離散分布となる。
では、P(A当 | B開) 求めると、
条件付き確率の公式から、
P(A当 | B開) = (1/5)(1/11)+…+(1/5)(9/19)
つまり、
P(A当 | B開) = (1/5){(1/11)+…+(9/19)}
≒ 0.308 < 1/3
補足
司会者が開けたドアがBなのかCなのか
プレイヤーが判断できるのか微妙かも
P(B開 | A当) = 1/2 → P(A当 | B開) = 1/3
との説も捨てがたい。
こういう基本的な科学や数学の知識は、通り過ぎる森のようなもので、そこで得られた
果実を持って、次に進めばいいんじゃないの? 迷うほどの密林じゃないし...。
>>184
モンティ・ホール問題で、確率が増えると書いてあるから変えた方が良いと、
タダそれだけしか書いていないサイト・本の説明があると、そこから先が
信用できるのかどうか、分からなくなった。
P(B開ける|A当たり)=P(C開ける|A当たり)=1/2と考える人は、
シミュレーションしても間違っているしなぁ。
でも現実には数値データになると、器用に正解しているしなぁ。
ベイズ統計学で応用をやりたければ、先に進まないとね。
>>182
平均とは期待値のことだよ
p_k=(2k+1)/10
として、いまpが{p0,p1,p2,p3,p4}の一様分布に従うと仮定したんでしょ
だったら正しい表記は
P(A当,B開|p=p_k) = p_k/3
P(A当,C開|p=p_k) = (1 - p_k)/3
P(B当,C開|p=p_k) = 1/3
P(C当,B開|p=p_k) = 1/3
で確かに
P(A当|B開,p=p_k) = P(A当,B開|p=p_k)/P(B開|p=p_k) = p_k/(p_k + 1)
とはなる
これに各P(p=p_k)を掛けた数の合計Σ{(p_k/(p_k + 1)) * P(p=p_k)}
とは
E[P(A当|B開,p)]=E[P(A当,B開|p)/P(B開|p)]
条件付き確率の期待値、確率の比の期待値である
しかし求める確率P(A当|B開)の正しい式変形は
P(A当|B開) = Σ{P(A当,B開|p=p_k)P(p=p_k)} / Σ{P(B開|p=p_k)P(p=p_k)}
で、右辺は
E[P(A当,B開|p)] / E[P(B開|p)]
確率の期待値の比となっている
p_kやP(p=p_k)に値を入れて実際に計算すると
E[P(A当,B開|p)] =1/6、E[P(B開|p)=1/2
だから、pが0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9の値をとり得て、この一様分布に従うという仮定の下では
P(A当|B開)=1/3 となる 例えば
表の出やすさpがp_k=(2k+1)/10 (K=0,1,2,3,4)のどれか(同様に確からしいとする)であるコインを100回投げたら
100回連続で表だった時に、101回目も表の確率を求めてごらんなさい
君のやり方だと
表の出やすさpで100回連続表が出た時に、101目も表が出る確率は
(101回連続表が出る確率)/(100回連続表が出る確率)
=(p^101)/(p^100)=p
を計算して、この条件付き確率の期待値=1/2 を答えることになる
しかし
100回も表が出たなら表の出やすさはp4=0.9であるのが尤もらしいと考えて
101回目も表の確率はp4=0.9に近い(1/2より大きい)と思うのが直観的にも明らか
実際、求める事後確率は
(101回連続で表が出る確率の期待値)/(100回連続で表が出る確率の期待値)
となり
(101回連続で表が出る確率の期待値)=4.781…×10^(-6)
(100回連続で表が出る確率の期待値)=5.312…×10^(-6)
なので、
求める事後確率はほぼ0.9となる >>186
正しい表記
P(A当,B開|p=p_k) = p_k/3 等
とのご指導、感謝いたします。
正しい表記を参考に、p_kに値を入れて
計算し、確かに1/3を確認できました。
ご指導、有り難うごさいました。
計算の過程を以下に記載してみます。
P(B開 | A当)は、
{0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9}の一様分布と仮定
P(B開|p=p_k) =
P(C当,B開 | p=p_k) + P(A当,B開 | p=p_k)
∴
P(B開|p=0.1) = 1/3 + 0.1/3 = 11/30
P(B開|p=0.3) = 1/3 + 0.3/3 = 13/30
P(B開|p=0.5) = 1/3 + 0.5/3 = 15/30
P(B開|p=0.7) = 1/3 + 0.7/3 = 17/30
P(B開|p=0.9) = 1/3 + 0.9/3 = 19/30
上記5つの平均は、15/30 ∴ 1/2
P(B開) = 1/2
P(A当,B開 | p=0.1) = 0.1/3 = 1/30
P(A当,B開 | p=0.3) = 0.3/3 = 3/30
P(A当,B開 | p=0.5) = 0.5/3 = 5/30
P(A当,B開 | p=0.7) = 0.7/3 = 7/30
P(A当,B開 | p=0.9) = 0.9/3 = 9/30
上記5つの平均は、5/30 ∴ 1/6
P(A当 | B開) = 1/6
P(A当 | B開) = P(A当 | B開) / P(B開) = 1/3 >>186
>>188
こういう話は、とりあえず、いかに主観的にモデルを構築するかって話だよ。
そういう主張は間接的に流布するのではなく、
どちらが正しいか、学会なり、学問的に議論すべきだね。
私は、放送大学の豊田先生の一様分布を今は支持しているけれど、
モンティ・ホール問題なら、最頻値での1/2は、モンティがBを開ける確率が
100%
と言っているに過ぎない。
その理由は知りたいんだけれどね。
もっと言えば、
「日本人であること、日本国籍を持っていることは有利なのか?」
って話だと思うよ。
反論したければ、公的保険に対する期待値を示すべきだね。
トランプ政権成立という
トランプ政権の成立の確率=1
という前提での事前確率をどう評価するのかね?
統計学者や確率論学者は負け組なのかね。
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