-ap+hp+c-h≡0 (mod g)
p(-a+h)+c-h≡0 (mod g)
整数iを用いて
p(-a+h)+c-h=gi
c-h≡gi≡0 (mod p)
整数jを用いて
pj=gi
p=gi/j
pは素数だから、i=1で、g=pjでなければならい。
g≡0 (mod p)
2b=jp^2+h
c-h≡0 (mod p)だから、整数をk(0<k<p)として
c=pk+h
ap-2bp+2b=c
ap=2b(p-1)+c
=(jp^2+h)(p-1)+pk+h
=jp^3+ph-jp^2-h+pk+h
=jp^3+ph-jp^2+pk
a=jp^2-jp+h+k
∴a≡h+k (mod p)
c=pk+hで、c,pはともに奇数であるから、hとkの偶奇は反対になり、
h+kは奇数となる。
整数をmとして
a=mp+h+k
a-2b=mp+h+k-(jp^2+h)=mp-jp^2+k≡k (mod p)
c-2b=pk+h-(jp^2+h)=pk-jp^2≡0 (mod p)
a-c≡k (mod p)
a≡h+k (mod p)
c≡h (mod p)だから、2b≡c≡h (mod p)
gp^2+(-a-g+h)p+c-h=0
p^3-p(p+a-h)+c-h=0
p^3-p^2+(-a+h)p+c-h=0
p^2(p-1)+h(p-1)-ap+c=0
ap-c≡0 (mod p-1)
ap-c-a(p-1)=a-c≡0 (mod p-1)
a-c≡k (mod p)
a-c≡0 (mod p-1)
整数をsとして
a-c=ps+k
ここで、a-cは偶数だから、sとkの偶奇は反対になっている。
