yの素因数の指数は一つだけ奇数にならなければならない。
yが完全数であるためには、以下の式が成立しなければならない。
y/p^n=(1+p+p^2+…+p^n)Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)/(2p^n)=Π[k=1,m]pk^qk
ここで、
a=Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)
b=Π[k=1,m]pk^qk
とすると
y/p^n=a(1+p+p^2+…+p^n)/(2p^n)=b
a(p^(n+1)-1)/(2(p-1)p^n)=b
a(p^(n+1)-1)=2b(p-1)p^n
ap^(n+1)-2b(p-1)p^n=a
(ap-2bp+2b)p^n=a
ここで、ap-2bp+2bは整数だからa/p^nは整数となりこれをcとする
ap-2bp+2b=c
(a-2b)p=c-2b
p=(c-2b)/(a-2b)
となる。
有理数dをd=a/bとすると
p=(2-d/p^n)/(2-d)
b=Π[k=1,m]pk^qkだから、
b≢0 (mod p)
正整数e,fとして、
b=ep+f
0<f<p
b≡f (mod p)
が成立する
c-2b≡0 (mod p)
c≡2b≡2f (mod p)
c≢0 (mod p)
ap-2bp+2b=c
ap-c=2b(p-1)
2b=(ap-c)/(p-1)
正整数g,h、h≡2f (mod p), 0<h<p
2b=(ap-c)/(p-1)=gp+h
ap-c=gp^2+hp-gp-h
gp^2+(-a-g+h)p+c-h=0
