微分積分 [無断転載禁止]©2ch.net
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1/(x^2+1)の定積分ではx=tanΘとおいて やるのがふつうですが、これ以外の 方法はありますかね。 >>309 不定積分だが ∫ dx / (x^2 + 1) = ∫ dx / (i + x)(i - x) = (1/2i) ∫ (1/(i + x) + 1/(i - x)) dx = (1/2i) (log(i + x) - log(i - x)) + C = (1/2i) log((i + x)/(i - x)) + C = y + C とおくと (i + x)/(i - x) = exp(2iy) x = -i(exp(2iy) - 1) / (exp(2iy) + 1) x = -i(exp(iy) - exp(-iy)) / (exp(iy) + exp(-iy)) x = -i (2i sin y)/(2 cos y) = tan y ゆえに y = arctan x >>310 ありがとうございます。 (i + x)/(i - x) = exp(2iy) までは分りますが この後の変形は数学の何の分野で出てくるのですか? 教養課程の微積分では見かけませんが。 >>311 (i + x)/(i - x) = exp(2iy) の両辺に(i-x)掛けて i+x = (i-x) exp(2iy) ってやって更に展開してxについて 解いただけじゃないの? もしかして cos(x) = { exp(ix) + exp(-ix) }/2, sin(x) = { exp(ix) - exp(ix) }/2i の部分で引っかかってるのかな。大学の複素関数論や 物理数学やるともうこれは定義なんだけどあなたが中高生なら マクローリン展開を使って理解するといいかもね ある非常に有名な本に以下のような内容の記述があります。 でも、 n > 1 のとき、 H が universal になることは決してないですよね。 u = v のとき、常に、 h(u) = h(v) なので、問題の確率は 1 ですから。 -------------------------------------------------- U を要素数の非常に多い有限集合とする。 H を U から {0, 1, ..., n-1} へのすべての写像の集合のある部分集合とする。 u, v ∈ U に対して、ランダムに選んだ h ∈ H が h(u) = h(v) を満たす確率はたかだか 1/n であるとき、 H は universal であるという。 >>314 >大学の複素関数論や やはりそうでしたか。 数学科じゃなくてもノルム空間からやったほうがいいですか。 アーベルの定理ですが、なぜ以下のように書かないのでしょうか? x = r > 0 で級数 Σa_n * r^n が収束していれば、 Σa_n * x^n は区間 (-r, r) で収束する。 (-r, r] で定義された関数 f(x) = Σa_n * x^n は x = r で連続である。 f(z)=z/sinh z,z∈Cにおいて (1) f(z)はC上正則であることを示せ。 (2) z=0はf(z)の除去可能特異点であることを示せ。 (3) z=0まで定義域を拡大したf(z)のz=0におけるマクローリン展開の2次の項までを求めよ。 (1).(2).(3)の解答をお願い致します。 👀 Rock54: Caution(BBR-MD5:ae2afb6cd11f3e92f5cd12f037b4c3ac) 次の(1), (2), (3)をみたす R 上の C^∞ 関数 f(x) と g(x) が存在する。 (1) lim_{x → ∞} f(x) = lim_{x → ∞} g(x) = +∞ (2) lim_{x → ∞} f'(x)/g'(x) は存在して有限値 (3) lim_{x → ∞} f(x)/g(x) は存在しない 例 f(x) = x + sin(x)*cos(x) g(x) = exp(sin(x)) * f(x) と書いてあるのですが、 g'(x) = exp(sin(x))*(f(x) + 2*cos(x))*cos(x) なので、 lim_{x → ∞} f'(x)/g'(x) は考えられないと思います。 これはどういうことなのでしょうか? >>336 任意の正の実数 K に対して、分母である g'(x) がゼロになるような x (> K) が存在するので。 学部初級の微分積分の本で,オススメはなんですか? 溝畑「数学解析 上下」 でいいですか? レベルは高くないですが、野村隆昭著『微分積分学講義』がおすすめです。 なんかこの所よく野村くんが出てくるなー 九大の方ですか? 斎藤正彦さんの『行列と群』という本の中で、 f(z) を実係数多項式とし、複素係数の多項式として f(z) = g(z)*h(z) と分解されるとする。 このとき、g(z) が実係数多項式ならば h(z) も実係数多項式である という論法が使われているのですが、証明を教えてください。 >>373 f(x)/g(x)=h(x) の両辺が 実数係数有理式。 区間 [a, b) と R は同相でないことの証明ですが、 [a, b) から1点 a を除いた集合は連結 一方、 R から1点を除いた集合は非連結 という証明がありますが、直接的に証明してください。 〔問題〕 g_i(t)=(1/π)log|1-(r_i)/t| のとき ∫(-∞,∞)g_1(t)g_2(t) dt を求めよ。 >>396-397 min{r_1,r_2} 森口・宇田川・一松:「数学公式I」岩波全書221(1956)p.242 〔問題〕 a,b>0 のとき (1/π)∫[0,∞)2sin(at)sin(bt)/tt dt を求めよ。 >>399 積和公式 2 sin(at)sin(bt)= cos((a-b)t)- cos((a+b)t), より (1/π)∫[0,∞)2sin(at)sin(bt)/tt dt =(1/π)∫[0,∞){1-cos((a+b)t)}/tt dt -(1/π)∫[0,∞){1-cos((a-b)t)}/tt dt ={(|a+b|-|a-b|)/π}∫[0,∞){1-cos(u)}/uu du =(|a+b|-|a-b|)/2 (*) = min{a,b} *)高木:「解析概論」改訂第三版、岩波書店(1961) §48,p.169 森口・宇田川・一松:「数学公式I」岩波全書221(1956) p.251,p.257 floor(sqrt(x)) = floor(sqrt(floor(x))) がすべての負でない実数に対して成り立つことを示せ。 解答: floor(x) ≦ x だから sqrt(floor(x)) ≦ sqrt(x). floor(sqrt(floor(x))) ≦ floor(sqrt(x)). 今、仮に、 floor(sqrt(floor(x))) < floor(sqrt(x)) が成り立つような負でない実数が存在すると仮定する。 x が整数ならば floor(sqrt(floor(x))) = floor(sqrt(x)) だから、 x は整数ではない。 x は整数ではないからもちろん sqrt(x) も整数ではない。 よって、 floor(sqrt(x)) < sqrt(x) sqrt(floor(x)) < floor(sqrt(x)) が成り立つ。なぜなら、 floor(sqrt(x)) ≦ sqrt(floor(x)) と仮定すると、 floor(sqrt(x)) ≦ floor(sqrt(floor(x))) となってしいまい仮定に反するからである。 以上より、 sqrt(floor(x)) < floor(sqrt(s)) < sqrt(x). x < floor(x) + 1 だから sqrt(x) < sqrt(floor(x) + 1). ∴ sqrt(floor(x)) < floor(sqrt(x)) < sqrt(floor(x) + 1) sqrt(floor(x)) < sqrt((floor(sqrt(x)))^2) < sqrt(floor(x) + 1) floor(x) と floor(x) + 1 の間に整数 (floor(sqrt(x)))^2 が存在することはあり得ない。 これは矛盾である。 したがって、 floor(sqrt(x)) = floor(sqrt(floor(x))) がすべての負でない実数に対して成り立つ。 👀 Rock54: Caution(BBR-MD5:0be15ced7fbdb9fdb4d0ce1929c1b82f) ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
read.cgi ver 07.4.7 2024/03/31 Walang Kapalit ★ | Donguri System Team 5ちゃんねる