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微分積分 [無断転載禁止]©2ch.net
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0309132人目の素数さん2017/09/16(土) 22:24:01.14ID:xdoLEzuz
1/(x^2+1)の定積分ではx=tanΘとおいて
やるのがふつうですが、これ以外の
方法はありますかね。 
0310132人目の素数さん2017/09/17(日) 07:35:47.61ID:aM377AWr
>>309
不定積分だが

∫ dx / (x^2 + 1)
= ∫ dx / (i + x)(i - x)
= (1/2i) ∫ (1/(i + x) + 1/(i - x)) dx
= (1/2i) (log(i + x) - log(i - x)) + C
= (1/2i) log((i + x)/(i - x)) + C
= y + C

とおくと

(i + x)/(i - x) = exp(2iy)
x = -i(exp(2iy) - 1) / (exp(2iy) + 1)
x = -i(exp(iy) - exp(-iy)) / (exp(iy) + exp(-iy))
x = -i (2i sin y)/(2 cos y) = tan y
ゆえに y = arctan x
0311132人目の素数さん2017/09/17(日) 08:30:09.23ID:SMzO9ZfS
>>310

ありがとうございます。
(i + x)/(i - x) = exp(2iy) までは分りますが
この後の変形は数学の何の分野で出てくるのですか?
教養課程の微積分では見かけませんが。
0312132人目の素数さん2017/09/17(日) 11:10:06.81ID:O1us+wI2
>>311
(i + x)/(i - x) = exp(2iy) の両辺に(i-x)掛けて
i+x = (i-x) exp(2iy) ってやって更に展開してxについて
解いただけじゃないの?
0313132人目の素数さん2017/09/17(日) 11:14:54.77ID:BalAohPS
(´・∀・`)ヘー
0314132人目の素数さん2017/09/17(日) 11:27:43.54ID:O1us+wI2
もしかして

cos(x) = { exp(ix) + exp(-ix) }/2,
sin(x) = { exp(ix) - exp(ix) }/2i

の部分で引っかかってるのかな。大学の複素関数論や
物理数学やるともうこれは定義なんだけどあなたが中高生なら
マクローリン展開を使って理解するといいかもね
0315132人目の素数さん2017/09/17(日) 17:08:10.68ID:gMyUTi3U
ある非常に有名な本に以下のような内容の記述があります。
でも、 n > 1 のとき、 H が universal になることは決してないですよね。
u = v のとき、常に、 h(u) = h(v) なので、問題の確率は 1 ですから。



--------------------------------------------------
U を要素数の非常に多い有限集合とする。

H を U から {0, 1, ..., n-1} へのすべての写像の集合のある部分集合とする。

u, v ∈ U に対して、ランダムに選んだ h ∈ H が h(u) = h(v) を満たす確率はたかだか 1/n であるとき、
H は universal であるという。
0316132人目の素数さん2017/09/17(日) 20:41:05.50ID:SMzO9ZfS
>>314
>大学の複素関数論や

やはりそうでしたか。
0317132人目の素数さん2017/09/21(木) 13:02:01.11ID:EbWjsC88
数学科じゃなくてもノルム空間からやったほうがいいですか。
0319132人目の素数さん2017/09/22(金) 02:26:06.78ID:IbaffgK4
>>316
こいつwwwやはりじゃねえよwww
0320132人目の素数さん2017/09/23(土) 09:03:26.65ID:FwiJcoAw
イラっとポイントはどこかな?
0323132人目の素数さん2017/10/11(水) 10:39:21.53ID:HgIAH4lS
アーベルの定理ですが、なぜ以下のように書かないのでしょうか?

x = r > 0 で級数 Σa_n * r^n が収束していれば、 Σa_n * x^n は区間 (-r, r) で収束する。
(-r, r] で定義された関数 f(x) = Σa_n * x^n は x = r で連続である。
0324ル.ヌー2017/10/12(木) 20:34:20.15ID:Hbkmuqaq
f(z)=z/sinh z,z∈Cにおいて
(1) f(z)はC上正則であることを示せ。
(2) z=0はf(z)の除去可能特異点であることを示せ。
(3) z=0まで定義域を拡大したf(z)のz=0におけるマクローリン展開の2次の項までを求めよ。
(1).(2).(3)の解答をお願い致します。 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:ae2afb6cd11f3e92f5cd12f037b4c3ac)
0336132人目の素数さん2017/11/01(水) 11:44:22.20ID:JbuIDZZG
次の(1), (2), (3)をみたす R 上の C^∞ 関数 f(x) と g(x) が存在する。

(1) lim_{x → ∞} f(x) = lim_{x → ∞} g(x) = +∞
(2) lim_{x → ∞} f'(x)/g'(x) は存在して有限値
(3) lim_{x → ∞} f(x)/g(x) は存在しない



f(x) = x + sin(x)*cos(x)
g(x) = exp(sin(x)) * f(x)

と書いてあるのですが、

g'(x) = exp(sin(x))*(f(x) + 2*cos(x))*cos(x)

なので、

lim_{x → ∞} f'(x)/g'(x) は考えられないと思います。

これはどういうことなのでしょうか?
0337132人目の素数さん2017/11/01(水) 11:46:48.26ID:JbuIDZZG
>>336

任意の正の実数 K に対して、分母である g'(x) がゼロになるような x (> K) が存在するので。
0338132人目の素数さん2017/11/01(水) 12:51:26.14ID:Ui7V9dMR
0349132人目の素数さん2017/11/05(日) 13:27:04.69ID:H+oI+PsN
学部初級の微分積分の本で,オススメはなんですか?

溝畑「数学解析 上下」
でいいですか?
0350132人目の素数さん2017/11/05(日) 20:44:48.74ID:RSWE/Y5W
レベルは高くないですが、野村隆昭著『微分積分学講義』がおすすめです。
0351132人目の素数さん2017/11/06(月) 13:08:59.54ID:rqyClSHs
なんかこの所よく野村くんが出てくるなー
九大の方ですか?
0373132人目の素数さん2017/11/07(火) 20:41:55.47ID:tIMewAzz
斎藤正彦さんの『行列と群』という本の中で、


f(z) を実係数多項式とし、複素係数の多項式として

f(z) = g(z)*h(z)

と分解されるとする。

このとき、g(z) が実係数多項式ならば h(z) も実係数多項式である


という論法が使われているのですが、証明を教えてください。
0385132人目の素数さん2017/11/14(火) 12:10:38.53ID:5GwueLvD
区間 [a, b) と R は同相でないことの証明ですが、

[a, b) から1点 a を除いた集合は連結

一方、

R から1点を除いた集合は非連結


という証明がありますが、直接的に証明してください。
0396132人目の素数さん2017/11/24(金) 12:27:06.34ID:2XbK5FAe
〔問題〕
g_i(t)=(1/π)log|1-(r_i)/t|
のとき
∫(-∞,∞)g_1(t)g_2(t) dt
を求めよ。
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