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270コメント82KB
1文字変えたら難易度が激変する問題 3文字目 [無断転載禁止]©2ch.net
0162132人目の素数さん2018/07/31(火) 06:36:57.82ID:OcKQyzud
age
0165132人目の素数さん2019/04/18(木) 21:14:05.89ID:P7w6zJwg
[Hard] 微分方程式 ((y'(x))^2)'+2y'(x)*exp(-2*y(x))=0 (初期条件y(0)=0, y'(0)=2)を解け。
[Easy] 微分方程式 ((y'(x))^2)'+2y'(x)*exp(-2*y(x))=0 (初期条件y(0)=0, y'(0)=1)を解け。??
0166132人目の素数さん2019/04/18(木) 21:25:51.36ID:avxFv/rD
KJ2guel2aRE

障害者顔のゴミ山ほだかヒトモドキ轢き殺されろ
0167132人目の素数さん2019/04/27(土) 23:01:12.21ID:PK3jSwMr
[Hard] 定数αが0<α<π/2の範囲にある。tが全実数を動くときf(t)=1+|t|-cos(2(t-α))の最小値を求めよ。
[Easy] 定数αが0<α<π/2の範囲にある。tが全実数を動くときf(t)=1+2|t|-cos(2(t-α))の最小値を求めよ。
0168132人目の素数さん2019/05/24(金) 06:39:52.59ID:o9XC54ZH
[Hard] \lim_{n→+∞} cos (2πen!)を求めよ。
[Easy] \lim_{n→+∞} cos (2πn!)を求めよ。
0169132人目の素数さん2019/09/27(金) 12:46:07.54ID:tGYpjaBC
[未解決]x^3+y^3+z^3=114を満たす整数x,y,zを求めよ
[糞簡単]x^3+y^3+z^3=514を満たす整数x,y,zを求めよ
0173132人目の素数さん2020/05/31(日) 02:09:33.77ID:LICLE/8y
[例9-3]
 次の不等式をみたす整数a,b,cで、どれか1つは0でなく、
かつどの絶対値も100万を超えないものが存在することを示せ。
[Easy]  |a + b√2 + c√3|< 10^(-11),
[Hard]  |a + b√2 + c√3|< 10^(-12),

秋山 仁 + ピーター・フランクル 共著:
 [完全攻略]数学オリンピック, p.47-48, 日本評論社 (1991/Nov)

注) Hrad は鳩ノ巣原理では解けません。
0174132人目の素数さん2020/06/01(月) 03:43:07.02ID:LHxMDESI
97 -56√3 = 1/(97+56√3) = 0.005154776
99 -70√2 = 1/(99+70√2) = 0.005050634
辺々足して14で割る。
14 - 5√2 - 4√3 = 7.28957859×10^(-4) ・・・・ (1)
辺々引いて2で割る。
-1 + 35√2 - 28√3 = 5.207113×10^(-5) ・・・・ (2)
(2)×14 - (1)
-28 + 495√2 - 388√3 = 3.7957659×10^(-8) ・・・・ (3)
また、
127 + 138√2 -186√3 = 2.1399676×10^(-5) ・・・・ (4)
205 - 58√2 - 71√3 = 6.0449702×10^(-6) ・・・・ (5)

* 3.352882344113・・・・×10^(-13)まではあるらしい。
0175132人目の素数さん2020/06/02(火) 04:42:24.72ID:TPydHgX/
[Hard]
a=96051, b=-616920, c=448258 のとき
 a + b√2 + c√3 = 3.352882344113・・・×10^(-13)
0176132人目の素数さん2020/06/02(火) 14:05:44.39ID:hfqlPygz
6を法として+1に合同な素数と、-1に合同な素数が、p以下に同数あるような素数pを「均衡素数」と呼ぶことにする。
(例えば2,3,7,13は均衡素数だが、5,11はそうでない)
このとき、
[Easy] 均衡素数を10個見つけよ
[Hard] 均衡素数を20個見つけよ
0178132人目の素数さん2020/06/05(金) 15:56:39.31ID:gPkvRYC5
[Easy]
2 (0)
3 (0)
7 (1)
13 (2)
19 (3)
37 (5)
43 (6)
79 (10)
163 (18)
223 (23)
229 (24)
0180132人目の素数さん2020/06/08(月) 02:58:47.78ID:4nsS10XA
>>174
38419 -13895√2 -10836√3 = 9.489944×10^(-9),
1920 -42258√2 +33395√3 = 4.066451×10^(-10),
0181132人目の素数さん2020/06/08(月) 07:56:26.00ID:4nsS10XA
>>174
97-56√3 = (2-√3)^4 = 1/(2+√3)^4,
99-70√2 = (√2 -1)^6 = 1/(1+√2)^6,
より
-28 +495√2 -388√3 = {-(√2 -1)^12 +(2-√3)^8}/28, ・・・・ (3)
0182132人目の素数さん2020/06/09(火) 10:33:58.10ID:oCR5MqlE
38419 -13895√2 -10836√3 = 9.489944×10^(-9)  ・・・・ (6)
1920 -42258√2 +33395√3 = 4.066451×10^(-10)  ・・・・ (7)

(4)×2 - (5)×7
 -1181 +682√2 +125√3 = 4.84560485×10^(-7)  ・・・・ (8)

(6)×4 - (3)
 153704 - 56075√2 -42956√3 = 2.11768032×10^(-12)  ・・・・ (9)
0183132人目の素数さん2020/06/09(火) 11:18:36.38ID:oCR5MqlE
>>139
>>140
[Easy]
2018 京都大学前期 数学(理系) 第2問

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q11187969786 2018/03/23
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12186895702 2018/03/01
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12202651132 2019/01/29

http://www.youtube.com/watch?v=qrepKWHlGBQ 02:07 東ふく郎
http://www.youtube.com/watch?v=tIcb9m3LAOQ 03:52 鈴木貫太郎
0186132人目の素数さん2020/07/27(月) 20:10:11.95ID:ywO4S5HE
>>182
(3)×1372 - (2)
 -38415 +679105√2 -532308√3 = 6.778753462914×10^(-9) ・・・・ (10)
また
 -292 -3153√2 +2743√3 = 2.999061727274×10^(-6) ・・・・ (11)
(5) - (11)×2
 789 +6248√2 -5557√3 = 4.68467447809×10^(-8) ・・・・ (12)
(11) - (3)×79
 1920 -42258√2 +33395√3 = 4.0664508730847×10^(-10) ・・・・ (7)
(10)×3 + (7)×50
 -19245 -75585√2 +72826√3 = 4.0668514754165×10^(-8) ・・・・ (13)
(13) - (3)
 -19217 -76080√2 +73214√3 = 2.7108554859783×10^(-9) ・・・・ (14)
(13) - (14)×15
 269010 +1065615√2 -1025384√3 = 5.68246449041×10^(-12) ・・・・ (15)
(3)×10 - (10)×2 - (13)×9
 249755 -672995√2 +405302√3 = 2.4529685541555×10^(-12) ・・・・ (16)
(16) - (9)
 96051 -616920√2 +448258√3 = 3.352882344112924×10^(-13) ・・・・ (17)
0187132人目の素数さん2020/08/03(月) 02:02:59.98ID:I6C2ZYeB
>>167
[Hard?]
 0<α≦π/12 のとき
  f(t) ≧ f(0) = 1 - cos(2α),
 π/12≦α<π/2 のとき
  f(t) ≧ f(α-π/12)
  = 1 + (α-π/12) - cos(π/6)
  = 1 + (α-π/12) - (√3)/2,

[Easy]
 t<0 で単調減少、t>0 で単調増加だから
 f(t) ≧ f(0) = 1 - cos(2α),

1文字変えても難易度が変わらない問題
0188132人目の素数さん2020/08/03(月) 02:11:36.00ID:I6C2ZYeB
>>168
[Hard?]
 e = Σ(k=0,∞) 1/k!,
より
{e・n!} = 1/(n+1) + 1/((n+1)(n+2)) + 1/((n+1)(n+2)(n+3)) + ・・・・
  < 1/(n+1) + 1/(n+1)^2 + 1/(n+1)^3 + ・・・・   (等比級数)
  = 1/n,
 cos(2πen!) = cos(2π{e・n!}) ゆえ
 1 > cos(2πen!) > cos(2π/n) > 1 - 2(π/n)^2,
 ∴ cos(2πen!) = 1   (n→∞)

[Easy]
 cos(2πn!) = cos(0) = 1,

1文字変えても難易度が変わらない問題
0189132人目の素数さん2020/08/03(月) 14:44:05.07ID:I6C2ZYeB
>>165
与式は
 {(y '(x))^2 - exp(-2・y(x))} ' = 0,
xで積分して
 (y '(x))^2 - exp(-2・y(x)) = (y '(0))^2 - 1
  = cosh(b)^2 - 1 = sinh(b)^2 = aa, (とおく)
両辺に exp(2・y(x)) を掛けて
 {y '(x)・exp(y(x))}^2 - 1 = {a・exp(y(x))}^2
a・exp(y(x)) = z(x) とおくと
 (z '(x)/a)^2 - 1 = (z(x))^2,
 z(0) = a・exp(y(0)) = a・exp(0) = a,
 z '(0) = a・y '(0) = a・cosh(b),
よって
 z(x) = sinh(ax+b),
 y(x) = log| sinh(ax+b) /a |.

1文字変えても難易度が変わらない問題
0190132人目の素数さん2021/01/20(水) 20:57:07.64ID:vsh0LBBi
[Hard] a_1^{a_2^・・・^{a_{16}^{a_{17}} }・・・}とa_2^{a_3・・・^{a_{16}^{a_{17}} }・・・}
がいずれも77で割って1余るような、2以上20以下の整数の組(a_1,・・・,a_{17})の個数を求めよ。
[Easy] a_1^{a_2^・・・^{a_{16}^{a_{17}} }・・・}とa_2^{a_3・・・^{a_{16}^{a_{17}} }・・・}
がいずれも17で割って1余るような、2以上20以下の整数の組(a_1,・・・,a_{17})の個数を求めよ。
0191132人目の素数さん2021/02/03(水) 22:39:26.47ID:s1FS7q5L
[Hard] 1/9998の小数第96位の数を求めよ。
[Easy] 1/9999の小数第96位の数を求めよ。
0192132人目の素数さん2021/02/10(水) 00:04:06.10ID:V7Ph0vhz
1/9998 = 1/(10^4 -2) = Σ[k=1,∞] 2^{k-1} (1/10000)^k
k≦23 の項は小数第92位迄で収まる。
k≧24 の項の和は
 8388608×10^{-96} + 16777216×10^{-100} + 33554432×10^{-104} + 67108864×10^{-108} + ・・・・
 = (8388608 + 1677.7216 + 0.335544 + 0.0000671 + ・・・・) × 10^{-96}
 = 8390286.057×10^{-96}
よって小数第93〜96位の数は 0286
(参考)
1/9998 =
0.0001000200 0400080016 0032006401 2802560512 1024204840
 9681936387 2774554910 9821964392 8785757151 4302860572
 1144228845 7691538307 6615323064 6129225845 1690338067
 6135227045 4090818163 6327265453 0906181236 2472494498 9

[Easy]
1/9999 = 0.000100010001・・・・
∴ 小数第93〜96位の数は 0001
0193132人目の素数さん2021/02/11(木) 01:53:44.38ID:cfUWdQYu
>>176 [Hard] 残り9個
608981812891 (11669295392)
608981812951 (11669295393)
608981812993 (11669295394)
608981813507 (11669295402)
608981813621 (11669295403)
608981813819 (11669295409)
608981813837 (11669295410)
608981813861 (11669295411)
608981813929 (11669295412)
0194132人目の素数さん2021/02/17(水) 06:28:36.94ID:pOGUunX7
  p ≡ +1     p ≡ -1   (mod 6)
-------------------------------
         608981812721
 608981812759
 608981812771
 608981812867
 608981812891*
         608981812919
 608981812951*
         608981812961
 608981812993*
 608981813017
 608981813029
         608981813123
 608981813137
 608981813191
         608981813261
 608981813269
         608981813273
         608981813303
 608981813311
 608981813347
         608981813357
 608981813449
         608981813459
         608981813501
         608981813507*
 608981813569
         608981813621*
 608981813677
 608981813683
 608981813701
 608981813707
         608981813711
         608981813717
 608981813719
         608981813777
 608981813779
         608981813789
         608981813807
         608981813819*
 608981813833
         608981813837*
 608981813851
         608981813861*
         608981813927
 608981813929*
         608981813939
 608981813941*
         608981813963
 608981814019*
 608981814043
 608981814127
         608981814131
         608981814143*
         608981814149
         608981814173
------------------------------
* 印は「均衡素数」
0195132人目の素数さん2021/02/19(金) 04:36:26.82ID:45fvrIx7
>>178  [Easy] の方は
 p≡+1  p≡-1  (mod 6)
-----------------
      5
 7 *
      11
 13 *
      17
 19 *
      23
      29
 31
 37 *
      41
 43 *
      47
      53
      59
 61
 67
      71
 73
 79 *
      83
      89
 97
      101
 103
      107
 109
      113
 127
      131
      137
 139
      149
 151
 157
 163 *
      167
      173
      179
 181
      191
 193
      197
 199
 211
 223 *
      227
 229 *
      233
      239
 241
      251
      257
      263
      269
 271
* 印は「均衡素数」
0197132人目の素数さん2021/02/21(日) 20:37:52.24ID:j1fi0g6q
>>196
30=2*3*5 であるから、30 個の正の約数をもつ正数は 3種類の素数 p1,p2,p3 で p1*p2^2*p3^4 と表される
p=2 のとき p(p+2)=8 や p(p+2)^2=32 は条件を満たさない
pが奇素数ならば p+2 は p と素であるから、
[Hard] p=p1,p+2=p2^2*p3^4
p2^2*p3^4 の形の数は 2025, 3969, 5625, ... であり、そのうち p=p2^2*p3^4-2 が素数になる最小数は p=3967 のとき
[Easy] p=p1,p+2=p2*p3^2
p2*p3^2 の形の数は 45, 63, 75, ... であり、そのうち p=p2*p3^2-2 が素数になる最小数は p=43 のとき
0198132人目の素数さん2021/02/22(月) 13:40:11.20ID:WaTuyXRA
[Easy]
No.18
 What is the smallest prime number p such that p^3 + 4p^2 + 4p has exactly 30 positive divisors ?

 p+2 = q^7 とすると… (q=2,3,5は×)  q=7 で p=823541

[Hard]
 p+2 = q^14 とすると… (q=2,3 は×) q=5 で p=6103515623
0199132人目の素数さん2021/02/25(木) 22:35:57.80ID:7afa7qFU
[Lunatic] pとp^4+15が両方とも素数になるようなpが存在すれば全て求めよ。
[Trivial] pとp^4+14が両方とも素数になるようなpが存在すれば全て求めよ。
0201132人目の素数さん2021/02/27(土) 23:10:18.47ID:mIXbckyZ
訂正
[Lunatic] pとp^4+18が両方とも素数になるようなpが存在すれば全て求めよ。
[Trivial] pとp^4+14が両方とも素数になるようなpが存在すれば全て求めよ。
0202132人目の素数さん2021/03/04(木) 03:02:16.87ID:cVC4XyuV
[Trivial]
 存在しない。
 p=3 のとき p^4 + 14 = 95 = 5×19,
 p=5 のとき p^4 + 14 = 639 = 3×3×71,
 p≠3,5 のとき 15の倍数。
京大の問題らしい…
0203132人目の素数さん2021/03/05(金) 03:48:59.48ID:s8OGtqZr
[Lunatic]
p = 5, 13, 29, 31, 73, 97, … などがある。
すべてぢゃないけど。
0204132人目の素数さん2021/03/18(木) 11:57:23.57ID:26zMuxAb
Lunatic] \int^1_{-1} |x^6-x/2-1/2| dxを求めよ。
[Trivial] \int^1_{-1} |x^2-x/2-1/2| dxを求めよ。
0205132人目の素数さん2021/03/19(金) 10:15:36.66ID:kblq5sn9
>>186
  -28 + 495√2 - 388√3 = 3.7957659×10^(-8)    ・・・・ (3)
  789 + 6248√2 - 5557√3 = 4.68467447809×10^(-8)  ・・・・ (12)
(3)×21 - (12)×17
 -14001 - 95821√2 + 86321√3 = 7.161833560804×10^(-10) ・・・・ (18)

 1920 - 42258√2 + 33395√3 = 4.0664508730847×10^(-10) ・・・・ (7)
(7)×2 - (18)
 17841 + 11305√2 - 19531√3 = 0.9710681853653×10^(-10)
0206132人目の素数さん2021/03/28(日) 23:28:12.48ID:Eu8CzLjp
>>204
[Trivial]
x^2 - x/2 - 1/2 = (x+1/2)(x-1) = (x-α)(x-β),
(与式) = ∫[-1, α] (xx - x/2 - 1/2) dx + ∫[α,β] (β-x)(x-α) dx
 = [ (1/3)x^3 - (1/4)xx - (1/2)x ](x=-1,α) + (1/6)(β-α)^3  (←公式)
 = 1/12 + 7/48 + 9/16
 = 19/24
 = 0.791667
0207132人目の素数さん2021/03/30(火) 23:14:40.05ID:5YDL31sD
[Hard] rを実数定数とするとき、xについての方程式x^2=r[x]の相異なる正の実数解の個数を求めよ。
[Easy] rを実数定数とするとき、xについての方程式x^2=rxの相異なる正の実数解の個数を求めよ。
0208132人目の素数さん2021/04/08(木) 11:12:52.22ID:jAHOCp/v
[Hard]
 x>0 より (左辺) >0, [x] ≧ 0,

・r≦0 のとき
 (右辺) = r[x] ≦ 0 だから0個,
・0≦r<4 のとき
 [r] 個
・4≦r のとき
 [r] = r' とおく。
 0 ≦ {r} < 1/(r'-2) のとき3個 (r'-2≦x<r'-1, r'-1≦x<r', r'≦x<r'+1)
 1/(r'-2) ≦ {r} < 1 のとき2個 (r'-1≦x<r', r'≦x<r'+1)

[Easy]
与式と x>0 より x=r,
・r≦0 のとき0個
・r>0 のとき1個

1文字変えても難易度が変わらない問題
0209132人目の素数さん2021/04/08(木) 11:37:32.09ID:jAHOCp/v
>>173
 次の不等式をみたす整数a,b,cで、どれか1つは0でなく、
かつどの絶対値もnを超えないものが存在するか?
  |a + b√2 + c√3|< 1/(n^2),

[Hard]    n = 10^6
[Lunatic]  n = 10^m
0210132人目の素数さん2021/04/27(火) 20:25:13.46ID:zO6wGSmd
[Lunatic] (√5+2)^{20000}の小数第13000位の数字を求めよ。
[Hard] (√5+2)^{20000}の小数第12000位の数字を求めよ。
[Trivial] (√4+2)^{20000}の小数第12000位の数字を求めよ。
0211132人目の素数さん2021/06/03(木) 15:16:38.18ID:HMcyGjac
[Trivial]
4^20000 = 158426015・・・(12042桁)・・・5509376
  答え「0」(整数なので 999・・・ の表示も可能だがここでは 000・・・ をとる)

[Hard / Lunatic]
 (√5 +2)^20000 = 181307178・・・(12540桁)・・・000000002 - (√5 -2)^20000,

 (√5 -2)^20000 = 5.51550142・・・ × 10^{-12540}
 第12000位は0 ・・・ 答え「9」
 第13000位は6 ・・・ 答え「3」
0212132人目の素数さん2021/06/03(木) 20:16:36.36ID:HMcyGjac
>>206
∫[α,β] (β-x)(x-α) dx = (1/6)(β-α)^3,


4点 (α,0,0) (β,0,0) (α,0,β-α) (β,β-α,0) を頂点とする
四面体を考える。
 x軸に垂直な断面は長方形で S(x) = (β-x)(x-α),
体積Vは縦・横・高さが β-αの立方体の体積の 1/6
∴ (左辺) = V = (1/6)(β-α)^3,
0213132人目の素数さん2021/07/01(木) 08:54:01.73ID:3LOTp7It
>>201
[Trivial]
nが偶数のとき
 n^4 + 14 ≡ 0 (mod 2)
nが3の倍数でないとき
 n^2 ≡ 1  (mod 3)   フェルマーの小定理
 n^4 + 14 ≡ 1^2 + 14 = 15 ≡ 0  (mod 3)
nが5の倍数でないとき
 n^4 + 14 ≡ 1 + 14 = 15 ≡ 0  (mod 5)
nが7の倍数のとき
 n^4 + 14 ≡ 0 (mod 7)

これらはいずれも素数でない。
n^4 + 14 が素数になるのはnが奇数かつ15の倍数であり7と素である場合に限る。
(例) 165, 195, 255, 405, …
0215132人目の素数さん2021/09/09(木) 03:51:22.71ID:41HtP13l
[Easy] 2^m + 47 が素数であるような自然数mを全て求めよ。

m:偶数 → 3の倍数
m≡3 (mod 4) → 5の倍数
残りは m≡1 (mod 4) だが…
m≡1 (mod 3) → 7の倍数
m≡3 (mod 10) → 11の倍数
m≡9 (mod 12) → 13の倍数
m≡2 (mod 8) → 17の倍数
m≡-1 (mod 18) → 19の倍数


最小の素数: m=5  2^5 + 47 = 79
0217132人目の素数さん2021/09/16(木) 21:19:29.87ID:oiL8ZJ3/
[Hard] 方程式(√3)×tan50°×tan70°=tanx°を解け(但し0<x<90)。
[Easy] 方程式(√3)×tan20°×tan70°=tanx°を解け(但し0<x<90)。
0218132人目の素数さん2021/10/21(木) 21:40:34.27ID:J76W6j2E
[Hard] 実数x,yがx^2+y^2+xy≦6を満たすとき、f(x,y)=x^2y+xy^2-(x+y)^2+x+yの最大値と最小値を求めよ。
[Easy] 実数x,yがx^2+y^2+xy=6を満たすとき、f(x,y)=x^2y+xy^2-(x+y)^2+x+yの最大値と最小値を求めよ。
0219132人目の素数さん@そうだ選挙に行こう2021/10/31(日) 08:08:58.70ID:O5wXnDZ3
 u = (x+y)/√2,
 v = (x-y)/√6,
とおくと
 xx+xy+yy = (3/2)(uu+vv),
 f(x,y) = (x+y)(x-1)(y-1)
     = (u/√2){(u-√2)^2 - 3vv},

uu+vv ≦ 4 では
最大値 3         (u=-1/√2, v=±√(7/2))
最小値 -2(√2)(1+√2)^2  (u=-2, v=0)
0220132人目の素数さん2021/11/02(火) 21:22:58.92ID:la8IjbBZ
[Hard] 1,2,4の3種類の数字を横一列にn個(nは3以上の整数)並べて出来るn桁の整数のうち、49の倍数はいくつあるか?但し1,2,4は少なくとも1回は用いる。

[Easy] 1,2,4の3種類の数字を横一列にn個(nは3以上の整数)並べて出来るn桁の整数のうち、4の倍数はいくつあるか?但し1,2,4は少なくとも1回は用いる。
0222132人目の素数さん2021/11/05(金) 20:49:50.53ID:MO5Kof3j
>>220
[Easy] 値を求めることはできる
 下2桁が12で、上の桁に4を含む  …… 3^(n-2) - 2^(n-2)
 下2桁が24で、上の桁に1を含む  …… 3^(n-2) - 2^(n-2)
 下2桁が44で、上の桁に1,2を含む …… 3^(n-2) - 2・2^(n-2) + 1,
これを合計すれば一般式を出せるだろうが…
 3^(n-1) - (2^n) + 1,
0225132人目の素数さん2022/01/10(月) 09:34:10.96ID:n8SK/aQl
[Hard] \int^1_0 [log(1+x)]÷ x dxを求めよ。
[Easy] \int^1_0 [log(1+x)]✕ x dxを求めよ。
0226132人目の素数さん2022/02/14(月) 20:45:40.39ID:rUDVwSgL
[Lunatic] r=p^3+4q^3-32とする。p,q,rが全て素数であるような(p,q)の組み合わせを全て求めよ。  
[Easy] r=p^3+3q^3-32とする。p,q,rが全て素数であるような(p,q)の組み合わせを全て求めよ。
0228132人目の素数さん2022/03/02(水) 19:45:10.58ID:rWMw7QhA
[Hard] 平城君が1頭の鹿に以下の指示を与えて運動させている。
・平城君が表と裏が何れも確率1/2で出る鹿せんべいを投げる。
・裏が出た場合は鹿は動かず待機する。
・表が出た場合は、 (この回自体も含めて) それまでに裏の出た回数を3で割った余りkに対して鹿は次の「kノ型」の運動をする。
 ・「0ノ型」東に20m走る
 ・「1ノ型」西に10m、北に17m走る
 ・「2ノ型」西に10m、南に17m走る
平城君が鹿せんべいを20回投げて鹿がそれに応じた運動を終えたとき、鹿せんべいを投げる前のはじめの地点に鹿が戻っている確率を求めよ。

[Easy] 平城君が1頭の鹿に以下の指示を与えて運動させている。
・平城君が表と裏が何れも確率1/2で出る鹿せんべいを投げる。
・裏が出た場合は鹿は動かず待機する。
・表が出た場合は、 (この回自体も含めて) それまでに表の出た回数を3で割った余りkに対して鹿は次の「kノ型」の運動をする。
 ・「0ノ型」東に20m走る
 ・「1ノ型」西に10m、北に17m走る
 ・「2ノ型」西に10m、南に17m走る
平城君が鹿せんべいを20回投げて鹿がそれに応じた運動を終えたとき、鹿せんべいを投げる前のはじめの地点に鹿が戻っている確率を求めよ。
0229132人目の素数さん2022/03/05(土) 21:47:24.48ID:Yggdk8l8
[Hard] 点Pが、座標平面上の点(0,0),(1,0),(2,0),(3,0),(0,1),(2,1),(3,1),(0,2),(1,2),(3,2),(0,3),(1,3),(2,3),(3,3),(1,4),(3,4)の何れかを運動する。1回の移動で、x軸方向に+1または-1、あるいはy軸方向に+1または-1移動する。点(0,0)からスタートして、9回目の移動で初めてゴールの(3,4)に到達する移動の仕方は何通りか?
[Easy] 点Pが、座標平面上の点(0,0),(1,0),(2,0),(3,0),(0,1),(2,1),(3,1),(0,2),(1,2),(3,2),(0,3),(1,3),(2,3),(3,3),(1,4),(3,4)の何れかを運動する。1回の移動で、x軸方向に+1または-1、あるいはy軸方向に+1または-1移動する。点(0,0)からスタートして、7回目の移動で初めてゴールの(3,4)に到達する移動の仕方は何通りか?
0230132人目の素数さん2022/03/26(土) 21:45:31.45ID:t5ho5kYu
[Hard] xについての方程式tanx=xの正の実数解を小さい順にa_1<a_2<a_3<…とする。\sum_{k=1}^{+∞} 1/a_k^2を求めよ。
[Easy] xについての方程式tanx=0の正の実数解を小さい順にa_1<a_2<a_3<…とする。\sum_{k=1}^{+∞} 1/a_k^2を求めよ。
0232132人目の素数さん2022/07/07(木) 12:07:05.68ID:lF9/ME5M
このスレも20周年か
実質何人くらいで維持してきたんだろう


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1文字変えたら難易度が激変する問題



1 :132人目の素数さん :02/04/13 13:30

いろいろ作れそうですが、センスを感じるもの希望

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0233132人目の素数さん2022/07/10(日) 08:26:27.06ID:FFW7XbY7
有名ですが…121回数検1級とか
x^14 + x^7 + 1 を係数が整数の範囲で因数分解しなさい。
x^14 + x^7 + 1 を係数が実数の範囲で因数分解しなさい。

実数なら高校範囲でゴリ押せるけど整数だと難易度めっちゃ上がる気がする…
0234132人目の素数さん2022/07/25(月) 22:06:40.34ID:O2mZG+XE
[Hard] \int (1+tan x)^{-1} dxを求めよ。
[Easy] \int (1+tan x)^{+1} dxを求めよ。
0235132人目の素数さん2022/09/06(火) 23:01:20.34ID:tXkSVvNK
[Hard] ∫^{1}_{-1} x^2/(1+e^x) dxを求めよ。
[Easy] ∫^{1}_{-1} x^0/(1+e^x) dxを求めよ。
0236132人目の素数さん2022/10/27(木) 21:45:20.99ID:fICpIOQy
[Hard] 円x^2+(y-1)^2=2のy≧0の部分を、x軸周りに1回転させて出来る立体の体積を求めよ。
[Easy] 円x^2+(y-0)^2=2のy≧0の部分を、x軸周りに1回転させて出来る立体の体積を求めよ。
0237132人目の素数さん2022/10/27(木) 21:45:37.83ID:fICpIOQy
[Hard] ∫^{1}_{3^{+1}} 1/\sqrt{|x(2-x)|} dxを求めよ。
[Easy] ∫^{1}_{3^{-1}} 1/\sqrt{|x(2-x)|} dxを求めよ。
0239132人目の素数さん2023/01/10(火) 21:01:39.40ID:pHKYAW6x
[Hard] f(x)=x^3-20005xとする。a<b<c且つf(a)>f(b)>f(c)を満たす正の整数の組(a,b,c)はいくつあるか?
[Easy] f(x)=x^2-20005xとする。a<b<c且つf(a)>f(b)>f(c)を満たす正の整数の組(a,b,c)はいくつあるか?
0240132人目の素数さん2023/02/27(月) 21:24:21.65ID:ePq8wQVn
[Hard] (1/π)arccos(1/p)が有理数となる3以上の素数pは存在するか?
[Trivial] (1/π)arccos(1/p)が有理数となる2以上の素数pは存在するか?
0241132人目の素数さん2023/02/27(月) 21:35:15.73ID:ePq8wQVn
[Hard] "1"、"√3"、"i"、"i√3"、"1+i√3"、"√3+i"の目が等確率1/6で出るサイコロをn回投げ、出た目の積をz_nとする。|z_n|<5^9となる確率を求めよ。
[Easy] "1"、"√3"、"i"、"i√3"、"1+i√3"、"√3+i"の目が等確率1/6で出るサイコロをn回投げ、出た目の積をz_nとする。|z_n|<5^1となる確率を求めよ。
0242132人目の素数さん2023/03/01(水) 19:22:44.02ID:48k0iPgj
[Hard] 1/[2×9^(1/3)+3^(1/2)+5]の分母を有理化せよ。
[Easy] 1/[2×9^(1/3)+3^(1/3)+5]の分母を有理化せよ。
0243132人目の素数さん2023/03/10(金) 21:15:30.04ID:+czhDGJi
[Hard] θ=30°とする。x軸を軸とする半径2の円柱から「|y|<1且つ|z|<1」で表される角柱の内部を取り除いた立体をAとする。Aをx軸周りにθ/2回転してからz軸周りにθ回転した立体をBとする。AとBの共通部分の体積を求めよ。
[Easy] θ=90°とする。x軸を軸とする半径2の円柱から「|y|<1且つ|z|<1」で表される角柱の内部を取り除いた立体をAとする。Aをx軸周りにθ/2回転してからz軸周りにθ回転した立体をBとする。AとBの共通部分の体積を求めよ。
0244132人目の素数さん2023/03/29(水) 17:20:28.56ID:qqdhxAUT
[Hard] \int^{2023}_0 2/(x+e^x) dxの整数部分を求めよ。
[Easy] \int^{2023}_0 1/(x+e^x) dxの整数部分を求めよ。
0245132人目の素数さん2023/04/03(月) 07:10:30.09ID:yDIDmN/Q
[Hard] 球に内接する体積最大の5面体を求めよ。
[Easy] 球に内接する体積最大の4面体を求めよ。
0246132人目の素数さん2023/05/27(土) 23:48:24.75ID:T/l+9rmx
[Hard] \int^3_{-3} |x^4-2x^2+x+3|dxを求めよ。
[Easy] \int^3_{-3} |x^4-2x^2+x^2+3|dxを求めよ。
0247132人目の素数さん2023/07/02(日) 09:52:58.21ID:jxMwUqB3
ランダムな整数係数をもつ多項式が既約である確率を求めよ。
0250132人目の素数さん2023/10/17(火) 02:53:47.58ID:JXd4ceYU
あら、さすが庶民ですわね。このような所にわたくしが座れるとおもって?
0251132人目の素数さん2023/11/16(木) 22:05:25.39ID:JIJaamcD
[Hard] x^{100} - 3x^{10}-2x-1=0の区間-2≦x≦3内の実数解の個数を求めよ。
[Easy] x^{100} - 3x^{10}-2x-1=0の区間 2≦x≦3内の実数解の個数を求めよ。
0252132人目の素数さん2023/11/29(水) 22:11:39.91ID:bc9MzPP1
[Lunatic] p^q-q^p=rを満たす素数(p,q,r)の組を全て求めよ。
[Easy] p^q+q^p=rを満たす素数(p,q,r)の組を全て求めよ。
0255prime_1322024/01/14(日) 17:55:09.25ID:CqEp4LUI
>>234
∫ (1+tan x) dx = x - log(cos x),
∫ 1/(1+tan x) dx = ∫ cos x /(cos x + sin x) dx
 = (1/2)∫ {1 + (-sin x + cos x)/(cos x + sin x) } dx
 = (1/2) (x + log(cos x + sin x) )

>>235
∫ 1/(1+e^x) dx = ∫ {1 - e^x /(1+e^x)} dx
 = x - log(1+e^x),
∫ x^2 / (1+e^x) dx = ∫ x^2*e^(-x) /(1+e^(-x)) dx
 = - x^2 log(1+e^(-x)) + 2 x Li_2{-e^(-x)} + 2 Li_3{-e^(-x)},
   ↑部分積分を繰り返す
>>237
∫^{1}_^{a} 1/sqrt{|x(2-x)|} dx
 = arcsin(a-1)    1≦a≦2,
 = (π/2) + 2*log(sqrt{a}+sqrt{a-2}) - log(2), a≧2,

>>242
1/[2*9^(1/3) + 3^(1/3) + 5] = [19 + 7*3^(1/3) - 9*3^(2/3)] /110,
1/[2*9^(1/3) + 3^(1/2) + 5] = [1109 + 222*3^(1/6) + 726*3^(1/3) + 59*3^(1/2) - 488*3^(2/3) - 234*3^(5/6)] /10078,
0256prime_1322024/01/14(日) 19:34:41.47ID:CqEp4LUI
>>241
 √3 または i√3 が出た回数をx,
 1+i√3 または √3 + i が出た回数をy
とすると、求める条件は
 log(√3)*x + log(2)*y < log(5) または 9*log(5).
 log(√3) = 0.549306…
 log(2) = 0.693147…
 log(5) =1.609438…
5 については、合計2回以下となる。 x + y ≦ 2,
 (1/3)^{n} + C[n,1](1/3)^{n-1}*(2/3) + C[n,2](1/3)^{n-2}*(2/3)^{2}

5^9 については、各yに対してxの上限が与えられる。
 y : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.
 x : 26,25,23,22,21,20,18,17,16,15, 13, 12, 11, 9, 8, 7, 6, 4, 3, 2, 1.

>>244
 y = log(x) は上に凸だから x=1 で接線を曳くと
 log(x) < x-1,
 0 < x < e^(x-1),
これより
 ∫_0 ^a 1/(x+e^x) dx < ∫_0 ^a e^(-x) dx = 1 - e^(-a) < 1,
 ∫_0 ^a 2/(x+e^x) dx > (2/(1+1/e))∫_0 ^a e^(-x) dx
  = 1.4621…{1 - e^(-a)} > 1,
ここで
 e^(-2023) = 2.644…*10^(-879) << 1
0257prime_1322024/01/14(日) 20:11:12.44ID:CqEp4LUI
>>233
(x^2 +x+1)*(x^12 -x^11 +x^9 -x^8 +x^6 -x^4 +x^3 -x+1),

x^7 + 1 + x^(-7) = (x + 1 + 1/x)*{x^6 -x^5 +x^3 -x^2 +1 -x^(-2) +x^(-3) -x^(-5) +x^(-6)}
= (t+1)*(t^6 - t^5 - 6t^4 + 6t^3 + 8t^2 - 8t + 1)
= (t+1) {(t-2)(t-1)t(t+2)(t^2 -2) + 1},
t = x + 1/x.
0258prime_1322024/01/17(水) 01:14:36.20ID:hscf/bf2
>>225
[Easy]
 x = {(x^2 -1)/2} ' により部分積分して
∫ log(1+x)*x dx = log(1+x)*(x^2 -1)/2 - ∫ (x-1)/2 dx
  = log(1+x)*(x^2 -1)/2 - (x-1)^2 /4,
 [0,1] では 1/4.

[Hard]
マクローリン展開で
 log(1+x) /x = Σ[k=1,∞] (1/k)*(-x)^{k-1},
∫ log(1+x) /x dx = Σ[k=1,∞] (-1)^{k-1} (x^k)/kk,
 [0,1] では (1 - 1/2)ζ(2) = (π^2)/12 = 0.8224670

これら積分の相乗平均は π/(4√3) = 0.45344984 である。
一方、相乗平均の積分は
∫ log(1+x) dx = (1+x)*log(1+x) - x より,
 2*log(2) - 1 = 0.38629436
0259132人目の素数さん2024/01/17(水) 02:47:30.85ID:hscf/bf2
>>245
球の半径 R=1とします。

[Easy] 正4面体とすると
 1辺の長さa 4/√6,
 各面の面積S 2/√3,
 高さh   4/3,
 体積V   8/(9√3) = 0.5132
 https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1258853022

[Hard] 正3角柱とすると
 正3角形の一辺の長さa √2,
 正3角形の面積S (√3)/2,
 高さh 2/√3,
 体積V 1.
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13274146463
0260prime_1322024/01/17(水) 20:34:56.67ID:hscf/bf2
補足
[Easy]
 もし a角形の面と他の頂点があると、(a+1)面体(以上)になる。
 ∴ 4面体の各面は3角形に限る。4頂点をABCDとする。

 体積V = (1/3)*(僊BCの面積)*(頂点Dの高さ),
ここで、高さの基準は ABC平面です。

いま、僊BCを固定し、頂点Dを動かしてみる。
 外接球の中心OからABC面に垂線OHを下ろす。
 OA=OB=OC より AH=BH=CH, ∴ HはABCの外心。
 HOの延長線と球面の交点をPとする。 AP=BP=CP,

 ところで
 (頂点Dの高さ) ≦ DH ≦ DO + OH
 = PO + OH = PH = (点Pの高さ),
 よって 体積Vが最大になるのは 頂点DがPにあるとき。
 このとき AD=BD=CD,
 これが4面について言えるから、6稜はすべて等長。
 4面はすべて合同な正3角形で、正4面体となる。 (終)
0261prime_1322024/01/17(水) 21:17:39.20ID:hscf/bf2
>>210
 √5 + 2 = φ^3,
 φ = (√5 + 1)/2 〜 1.618034  (黄金比)
 1/φ = (√5 - 1)/2 〜 0.618034
これを使うと
 (√5 + 2)^n = φ^{3n} = L_{3n} - (-1/φ)^{3n},

L_n = φ^n + (-1/φ)^n     (リュカ数)
0262132人目の素数さん2024/01/19(金) 23:03:38.61ID:8Emk6H+1
[Hard] 5^πは整数か?
[Easy] 2^πは整数か?
0263prime_1322024/01/21(日) 13:09:10.78ID:SkW0HQll
[Easy]
 2^π > 2^3 = 8,
 π < 22/7 (約率) と 2^11 = 2048 < 2187 = 3^7 より
 2^π < 2^{22/7} < 3^2 = 9,
よって整数ではない。
0264prime_1322024/01/21(日) 18:05:36.41ID:SkW0HQll
>>251
[Easy]
 |x| > 1.1 では x^{100} が圧倒的に大きいから
 実数解 0個
[Hard]
 実数解 4個
 -1.0080753102
 -0.8691931251
 -0.5015096784
 1.0191496071
これどうやって見つける? (WolframAlpha ?)

>>252
[Easy]
 (2,3,17)

>>253
[Easy]
 x ≧ 0 では | … | の中身 > 0.
 677/60 ≒ 11.28333.
[Hard]
 | … | の中身が (xx+2x-1)(xx+7x+3)
 0 ≦ x < √2 -1 では | … | の中身 < 0,
 x > √2 -1 では | … | の中身 > 0,
 (951-416√2)/60 ≒ 6.0448
0265prime_1322024/01/22(月) 01:34:50.30ID:7UUiJy43
>>262-263
[Hard]
 π > 311/99 = 3.141414… と
 5^311 = 2.397018…*10^217 > 1.316240…*10^217 = 156^99 より
 5^π > 5^{311/99} > 156,

 π < 355/113 (密率) と
 5^355 = 1.362547…*10^248 < 1.369811…*10^248 = 157^113 より
 5^π < 5^{355/113} < 157,
よって整数ではない。
0267prime_1322024/01/22(月) 20:26:07.58ID:7UUiJy43
>>254
[Hard]
nについての帰納法による。
・n=1 のとき
 1 > e^t,     (t<0)
を u<t<0 で積分すると
 -u > 1 - e^u,   (u<0)
これを x<u<0 で積分すると
 xx/2 > -x -1 + e^x,    (x<0)
∴ 1 + x + xx/2 > e^x > 0. (x<0)
・あるnについて
 1 + Σ[k=1, 2n] t^k / k! > e^t,   (t<0)
が成り立つと仮定する。これを u<t<0 で積分すると
 −Σ[k=1, 2n+1] u^k /k! > 1 - e^u, (u<0)
これを x<u<0 で積分すると
 Σ[k=2, 2n+2] x^k /k! > -x -1 + e^x , (x<0)
∴ 1 + Σ[k=1, 2n+2] x^k /k! > e^x,  (x<0)
∴ n+1 についても上式は成り立つ。 (終)
0268prime_1322024/01/23(火) 00:21:32.33ID:sSGPqeUO
>>236
[Easy]
 半径√2 の球
 体積V = (8π√2)/3 = 11.8476878
[Hard]
 (y≧0 の部分の面積) A = 1 + 3π/2 = 5.71239
 (重心のy)  η = (5/3 + 3π/2)/A = 1.1167054
 体積V = 2πη*A = π(10/3 + 3π) = 40.0808
 体積に関する Guldin の法則
出典
 高木「解析概論」改訂第三版、岩波書店 (1961) §98, p.371

>>246
[Easy]
 x^4 - xx + 3 = (xx - 1/2)^2 + 11/4 ≧ 11/4.
 ∫_{-3}^{3} (x^4 - xx + 3) dx
  = [ (1/5)x^5 - (1/3)x^3 + 3x ]_{-3}^{3}
  = 97.2
[Hard]
 | … | 内 ≧ 0.943827115
  等号は x ≒ -1.1071598717 のとき。
 ∫_{-3}^{3} (x^4 - 2xx + x + 3) dx
  = [ (1/5)x^5 - (2/3)x^3 + xx/2 + 3x ]_{-3}^{3}
  = 79.2
0269prime_1322024/01/23(火) 03:53:50.43ID:sSGPqeUO
>>235 >>255
 f(x) が偶関数のとき
 ∫[-a,a] f(x)/(1+e^x) dx
 = ∫[0,a] {f(x)/(1+e^x) + f(-x)/(1+e^{-x})} dx
 = ∫[0,a] f(x) dx,
[Easy] 1
[Hard] 1/3
0270132人目の素数さん2024/02/26(月) 22:39:51.04ID:5/Xla7DH
[Hard] a,bを整数の定数とし、g(x)=x^3+ax^2+bxとする。g(n)が素数となるような整数nは高々3個であることを示せ。
[Easy] a,bを整数の定数とし、g(x)=x^3+ax^2+bxとする。g(n)が素数となるような整数nは高々6個あることを示せ。
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