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1文字変えたら難易度が激変する問題 3文字目 [無断転載禁止]©2ch.net
0015１３２人目の素数さん
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2016/12/05(月) 02:37:24.30ID:nUOyjeEP
Σ[k=0〜n]nCk・(1/n)^k・((n-1)/n)^(n-k)
=Σ[k=0〜n]nCk・(1/n)^k・((n-1)/n)^(n-k)・k
を証明せよ
0016１３２人目の素数さん
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2016/12/05(月) 02:40:24.95ID:nUOyjeEP
Σ[k=0〜n]nCk・(1/n)^k・((n-1)/n)^(n-k)
=Σ[k=0〜n]nCk・(1/n)^k・((n-1)/n)^(n-k)
なら自明
ちな
Σ[k=0〜n]nCk・(1/n)^k・((n-1)/n)^(n-k)・kの最後のkは(n-k)にはかかってないやつ
0027１３２人目の素数さん
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2016/12/06(火) 23:22:55.63ID:twzlQiNT
[Hard] 四面体ABCDの頂点A,B,C,Dから、それぞれの対面を含む平面に下した
　　　　　垂線が対面の内心を通るとき、四面体ABCDは正四面体であることを示せ。
[Intermediate] 四面体ABCDの頂点A,B,C,Dから、それぞれの対面を含む平面に下した
　　　　　垂線が対面の重心を通るとき、四面体ABCDは正四面体であることを示せ。
[Easy] 四面体ABCDの頂点A,B,C,Dから、それぞれの対面を含む平面に下した
　　　　　垂線が対面の外心を通るとき、四面体ABCDは正四面体であることを示せ。
0029１３２人目の素数さん
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2016/12/30(金) 20:47:25.75ID:xUPfGcLk
[Hard] f(n) = \sum_{k=0}^{n} (nCk)^{-1}とする。n=1,2,...,2017のときf(n)の最大値を求めよ。
[Easy] f(n) = \sum_{k=0}^{n} (nCk)^{+1}とする。n=1,2,...,2017のときf(n)の最大値を求めよ。
0030１３２人目の素数さん
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2017/01/21(土) 22:57:59.06ID:FbAF1rLM
[Hard] 数列 { a_k }(k=1,2,…)を、a_1=1、a_{k+1}=a_k^2+1と定める。{a_k}の中にpの倍数が存在するような素数pが無数に存在することを示せ。
[Easy] 数列 { a_k }(k=1,2,…)を、a_1=1、a_{k+1}=a_k +1と定める。{a_k}の中にpの倍数が存在するような素数pが無数に存在することを示せ。
0031１３２人目の素数さん
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2017/01/31(火) 07:52:13.28ID:jJ5/qkFY
>>15-16

1/n = a、(n-1)/n = b とおく。

(左辺) = Σ[k=0〜n] Ｃ(n,k)・a^k・b^(n-k) = (a+b)^n,

また
Ｃ(n,k)･k = n･Ｃ(n-1,k-1)　　　(k=1〜n)
だから

(右辺) = nΣ[k=1〜n] Ｃ(n-1,k-1)・a^k・b^(n-k)
= naΣ[k=0〜n-1] Ｃ(n-1,k)・a^k・b^(n-1-k)
= na(a+b)^(n-1),
0032１３２人目の素数さん
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2017/01/31(火) 08:51:36.79ID:jJ5/qkFY
>>29

[Easy]
f(n) = (1+1)^n = 2^n,
最大値 2^2017,

[Hard]
　f(1) = 2、f(2)= 2.5、f(3)=f(4)= 8/3、f(5)= 2.6
n≧6 のとき、
　C(n,k) ≧ C(n,2)　　　(2≦k≦n-2)
　f(n) < 1 + 1/n + (n-3)/C(n,2) + 1/n + 1
　= 2 + 4(n-2)/{n(n-1)}
　< 2 + 4/(n+1),
　≦ 2 + 4/7,
最大値 8/3
0033１３２人目の素数さん
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2017/02/01(水) 06:16:04.25ID:1riayXnc
>>28
[Easy]
　周期2πをもつ。


[Hard]
　f(R) = Max{cos(x)+sin(πx)；|x|≦R}
とおき
(1)　f(R) < 2,
(2)　lim[R→∞] f(R) = 2,
を示せばよい。
0034１３２人目の素数さん
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2017/02/01(水) 08:25:49.31ID:1lIs5qcW
>>33
[Hard] f(x)が周期関数だと仮定すると、f(x)=f(T+x)を常に(どんなxでも)満たす
正の定数Tが存在するはず。
f(0)=1、f(±T)=cosT±sin(πT)=1より、cosT=1、sinπT=0。
T=2mπ=2n(m,nは0でない整数)より、π=m/nが有理数になってしまい矛盾。
0035１３２人目の素数さん
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2017/02/01(水) 10:06:55.08ID:1riayXnc
>>33 (1)
sin(πx)=1 のとき x = 2m + (1/2) ≠ 2Lπ, cos(x)<1,
∴ cos(x)<1 または sin(πx)<1,
∴ cos(x) + sin(πx) < 2,
∴ f(R) < 2.


>>33 (2)
任意のε>0 に対して、n ≧ π/√(2ε) なる自然数nをとる。
｜x｜≦ π/n　⇒　cos(x) > 1 - ππ/2nn > 1-ε,

区間[0,1) を幅 1/n の小区間にn等分する。
鳩ノ巣原理（ディリクレの引き出し論法）により
0,｛1/π},｛2/π},｛3/π}, ････,｛n/π｝のn+1個のうちの2つは同じ小区間に含まれる。
0 <｛(i-j)/π｝=｛i/π} - {j/π｝< 1/n,
0,｛(i-j)/π},｛2(i-j)/π},｛3(i-j)/π}, ････ は 1/n より狭い間隔で並ぶ。
｜{m/π} + 1/(4π)｜< 1/2n,
を満たす整数（i-jの倍数）mがある。
π/n >｜2π{m/π} + 1/2｜ =｜2m + 1/2 -2Lπ｜=｜x - 2Lπ｜,
∴｜x - 2Lπ｜< π/n < √(2ε),
∴ cos(x）= cos(x-2Lπ）> 1-ε,
∴lim[R→∞］f(R）= 2,
0036１３２人目の素数さん
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2017/02/01(水) 10:41:23.37ID:1riayXnc
>>28
[Super hard / Ultra hard] cos(x)+sin(πx）は一様概周期函数か？

”uniformly almost-periodic function”はBohr(1925)、Bochnner(1927)が創始したらしい。
0037１３２人目の素数さん
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2017/02/05(日) 07:38:26.09ID:efUd6pB/
>>30

〔補題〕
a_{L*n} は a_L、a_n で割りきれる。（乗法的）

[Easy] では a_k=k なので明らか。[Hard］は別記。


(略証)
ユークリッド法（背理法）による。
題意の素数が｛p_k｜k=1,2,…,n｝のみだったと仮定する。
各p_k に対し、p_kの倍数である a_φ(k) がある。（[Easy] ではφ(k)=p_k）
ψ＝φ(1)φ(2)……φ(n)
とおくと、補題により
a_ψ≡ 0（mod p_k)
a_(ψ+1）≡ 1（mod p_k)
は上記のどのp_kでも割りきれないから、仮定に反する。（honda氏の解）

* [Hard] は ヨーロッパ女子数学オリンピック、日本代表選抜一次試験の問題
0038１３２人目の素数さん
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2017/02/05(日) 07:59:55.36ID:efUd6pB/
>>30

〔補題の補題〕
[Hard］のとき
a_{m+n｝- a_m は（a_n)^2 で割り切れる。（kisato氏)

(略証)
m についての帰納法で。
m=1 のとき、漸化式より
a_{n+1｝- a_1 =｛(a_n)^2 + 1｝- 1 =（a_n)^2,
また、
a_{m+n+1｝- a_{m+1} =（a_{m+n｝+ a_m)(a_{m+n｝- a_m)
ゆえ、あるmに対して成立なら、m+1に対しても成立。


〔補題〕
a_{L*n} は a_L、a_n で割り切れる。（乗法的）


これが分かると難易度に差はない、というのが出題の趣旨でしょうか。

http://suseum.jp/gq/question/2658
0039１３２人目の素数さん
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2017/02/05(日) 18:25:12.89ID:efUd6pB/
>>38
2項漸化式を少し一般化して、
a_{n+1} = P( a_n ),　ただし P(x)は多項式で P(0) = a_1,
としても
a_{n+1} - a_1 = P(a_n) - a_1 = Q(a_n, 0)a_n ≡ 0（mod a_n),
a_{m+n+1} - a_{m+1} = P(a_{m+n}) - P(a_m)
= Q(a_{m+n}, a_m)(a_{m+n} - a_m),
なので、同様のことが成立つ（？）
0040１３２人目の素数さん
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2017/02/22(水) 23:50:47.55ID:EseMNYqj
[Lunatic] n^m=4m^nを満たす自然数(m,n)の組を全て求めよ。
[Easy]　　n^m= m^nを満たす自然数(m,n)の組を全て求めよ。
0041１３２人目の素数さん
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2017/03/04(土) 12:11:28.08ID:RMF5wwRo
[Hard] 正の実数xに対して、整式f(x)が常にf(0)=1、f(x+1)=f(x)+2xを満たすとき、f(x)=x^2-x+1を示せ。
[Easy] 正の整数xに対して、整式f(x)が常にf(0)=1、f(x+1)=f(x)+2xを満たすとき、f(x)=x^2-x+1を示せ。
0042１３２人目の素数さん
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2017/03/04(土) 12:24:55.38ID:QYeU8Lea
違いないぞ
0043１３２人目の素数さん
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2017/03/04(土) 12:25:16.23ID:QYeU8Lea
整数と実数ね
0044学術　帝皇　shinscake adaniu
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2017/03/04(土) 17:04:55.33ID:D6uRmqha
数自体が詩の世界では幻。
0045１３２人目の素数さん
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2017/03/09(木) 00:19:03.74ID:TgjHh48n
　　　　　　[3,1,0]
[Hard] A=[0,0,1]のn乗(nは自然数)を求めよ。
　　　　　　[0,2,2]

　　　　　　[3,1,0]
[Easy] A=[0,0,0]のn乗(nは自然数)を求めよ。
　　　　　　[0,2,2]
0046１３２人目の素数さん
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2017/04/23(日) 07:33:38.10ID:/V4oY/Gk
[Hard] 点(k,-8)を通る、y=x^4-6x^2の接線は何本あるか？
[Easy] 点(k,-8)を通る、y=x　-6x^2の接線は何本あるか？
0057１３２人目の素数さん
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2017/07/23(日) 22:47:27.34ID:XXU6hFOz
[Hard] nを自然数とする。0≦x<2^{+1}πの範囲で、方程式cos^n x = sin^n xを解け。
[Easy] nを自然数とする。0≦x<2^{-1}πの範囲で、方程式cos^n x = sin^n xを解け。
0058１３２人目の素数さん
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2017/08/28(月) 16:35:51.28ID:Wo4wdHuU
座標平面上にA(0,2)、B(1,-1)があり、動点Pがx軸上全体を動く。
[Hard] PA-PBの最小値があれば、その値を求めよ。
[Easy] PA+PBの最小値があれば、その値を求めよ。
0059１３２人目の素数さん
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2017/09/14(木) 18:02:05.27ID:FltbsT74
[Hard]0=1
[Easy]0=0
0060１３２人目の素数さん
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2017/09/15(金) 18:53:07.02ID:pJ8WQv+f
>>58
激変？
大して変わらん気がする
0061１３２人目の素数さん
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2017/09/15(金) 18:57:01.02ID:pJ8WQv+f
[Easy]の方はピタゴラスの定理が必要だが
[Hard]の方は不要
考え方によっては[Hard]の方が簡単
0062１３２人目の素数さん
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2017/10/08(日) 07:26:23.94ID:fxtde4YE
あげ
0063１３２人目の素数さん
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2017/10/17(火) 07:13:26.13ID:ZfTjWMwB
>>40
[Lunatic］（m,n）=（1,4）（8,2）　たぶん…
[Easy］　（m,n）=（m,m）（2,4）（4,2）

>>41
整式を差分すると次数が１つ下がるから、fは2次式。

>>45
[Easy］
　　　［ 3^n，3^(n-1)，0 ］
A^n =［ 0，0，0 ］
　　　［ 0，2^n，2^n ］

[Hard］
　　　［ 3^n，3^n - f_{n+1}，3^n -（1/2)f_{n+2｝］
A^n =［ 0，2f_{n-1}，f_n ］
　　　［ 0，2f_n，f_{n+1｝］

ここに　f_n =｛(1+√3)^n -（1-√3)^n}/(2√3),

漸化式
　f_{n+1｝= 2f_n + 2f_{n-1},
　f_0 = 0，f_1 = 1，f_2 = 2，f_3 = 6，…

>>46
[Easy]
　k <（1-√193)/12，k >（1+√193)/12　　2本
　k =（1±√193)/12　　　　　1本
　（1-√193)/12 < k <（1+√193)/12　　なし

[Hard］
（±2，-8）（±√2，-8）を通る。
（±1，-5）変曲点
　|k｜< 11/8　　2本
　11/8 ≦｜k｜≦√2　3本
　√2 <｜k｜<2　2本
　|k｜= 2　　3本
　2 <｜k｜　　4本

>>57
[Easy］x=π/4,
[Hard] 増減表より
　nが偶数のとき x=π/4 + nπ/2,
　nが奇数のとき x=π/4 + nπ,

>>58
[Hard］最小値なし。下限 -1，P(-∞，0)
[Easy］△不等式より AB=√10，P(2/3，0)
0064１３２人目の素数さん
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2017/10/17(火) 14:24:48.30ID:ZfTjWMwB
>>4
［2014/5］+［2014/25］+［2014/125］+［2014/625］= 501,
2014! = 5^501 ×（2 + 15 + 25 + 250 + 0 + 12500 + …）
= 5^501 ×（2+15）+ 5^503・M

[Easy］ 0
[Hard］ 17×5^501
0065１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/10/18(水) 07:22:28.02ID:Li2iz1Xu
>>57
[Hard］増減表より
　nが偶数のとき周期π　x = π/4 + mπ/2
　nが奇数のとき周期2π　x = π/4 + mπ
（mは任意の整数）


>>58
[Hard］
P(x，0）とおく
PA + PB >｜x｜+｜1-x｜= Max｛｜2x-1｜，1｝≧｜2x-1|,
PA - PB + 1 = 2(x+1)/(PA+PB）+ 1 > 0,
0066１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/10/20(金) 17:16:00.74ID:ORRJSZel
結び目の完全分類法。ジョーンズ多項式までなら理解できたのだが。

Γとηとζとθの関数等式。どこかで見たけどどんなんだったかな。
0080１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/10/25(水) 17:17:07.68ID:rTA9quFK
▂▅▇█▓▒(’ω’)▒▓█▇▅
0091１３２人目の素数さん
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2017/11/21(火) 08:55:16.64ID:AS5f0LLu
100の二乗を求めよ
100の階乗を求めよ
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