【　数　学　検　定　】　数　学　検　定　１　級　の　た　め　の　ス　レ [無断転載禁止]©2ch.net

**１３２人目の素数さん** · 2016/11/17(木) 22:59:18.12

２９３回の１級二次は「比較的」良問だった。夏までの悪問
から一気に良問になった感じだ。しかし採点体制は旧態依
然である。

反面、一次は悪問だった。知識問題が多かったし
なにより相変わらずの６０分である

来年春の試験もこのまま良問が続くことを祈る

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/05(火) 22:50:34.23

〔問題２〕
　a_n = (1 + 1/n)^n
　b_n = (1 + 1/n)^(n+1)
　c_n = (1 + 1/n)^(n+1/2)
とおくとき、nが増加すると a_n は増加し、
b_n と c_n は減少することを証明せよ。
　(数学検定１級 2次[2]改、2011年･秋)

採点者「微分法を使うのは･････本末転倒の感がある。」

分かスレ４５６、289-290

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/05(火) 22:53:52.35

(略解)
(a)
　a_n / a_{n-1} = (1 +1/n)^n (1 -1/n)^(n-1),
　{1,････,1,(1-1/n)} のn個でAM-GMすると
　　n-1個
　(1 -1/nn)^n > 1 -1/n,
∴　a_n / a_{n-1} = (1 +1/n)^n (1 -1/n)^(n-1) > 1,

(b)
　b_n / b_{n-1} = (1 +1/n)^(n+1) (1 -1/n)^n,
　{1,････,1,n/(n-1)} のn+1個で AM-GMすると
　　n個
　{nn/(nn-1)}^(n+1) > n/(n-1),
∴　b_n / b_{n-1} = (1 +1/n)^(n+1) (1 -1/n)^n < 1,

(c)
　　c_n / c_{n-1} = (1 +1/n)^(n+1/2) (1 -1/n)^(n-1/2),
二項公式を使うと
　(1 -1/nn)^(n+1/2)
　　= 1 - (n+1/2)/nn + (n+1/2)(n-1/2)/(2n^4) - ････
　　= 1 - 1/n - 1/(2nn) + (nn-1/4)/(2n^4) - ････
　　< 1 - 1/n - 1/(2nn) + 1/(2nn)
　　= 1 - 1/n,
∴　c_n / c_{n-1} = (1 +1/n)^(n+1/2) (1 -1/n)^(n-1/2) < 1.

分かスレ４５６、289-290

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/16(土) 17:34:49.55

〔応用問題〕　
(a)　n! > n^n / e^(n-1),
(b)　n! < n^(n+1) / e^(n-1),
(c)　n! < n^(n+1/2) / e^(n-1),

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/16(土) 17:36:53.16

(略証)
(a)　>>195 より
　(1+1) < (1+1/2)^2 < (1+1/3)^3 < ････ < {1+1/(n-1)}^(n-1) < e,
すなわち
　2 < (3/2)^2 < (4/3)^3 < ････ < {n/(n-1)}^(n-1) < e,
右のn-1項を掛け合わせて
　n^n / n! < e^(n-1),

(b)　>>195 より
　(1+1)^2 > (1+1/2)^3 > (1+1/3)^4 > ････ > {1+1/(n-1)}^n > e,
すなわち
　2^2 > (3/2)^3 > (4/3)^4 > ････ > {n/(n-1)}^n > e,
右のn-1項を掛け合わせて
　n^(n+1) / n! > e^(n-1),

(c)　>>195 より
　(1+1)^(3/2) > (1+1/2)^(5/2) > (1+1/3)^(7/2) > ････ > {1+1/(n-1)}^(n-1/2) > e,
すなわち
　2^(3/2) > (3/2)^(5/2) > (4/3)^(7/2) > ････ > {n/(n-1)}^(n-1/2) > e,
右のn-1項を掛け合わせて
　n^(n+1/2) / n! > e^(n-1),

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/17(日) 03:30:41.45

〔応用問題〕　
(a)　(2n)! / n! > (4n/e)^n,
(b)　(2n)! / n! < 2(4n/e)^n,
(c)　(2n)! / n! < (√2)(4n/e)^n,

(略証)
　(1+1/n)^(n+a), {1+1/(n+1)}^(n+1+a), ･････, {1+1/(2n-1)}^(2n-1+a)
すなわち
　{(n+1)/n}^(n+a), {(n+2)/(n+1)}^(n+1+a), ･････, {2n/(2n-1)}^(2n-1+a)
のn個を掛け合わせると
　(2^a)(4n)^n･n!/(2n)!,
これと e^n と比べる。　>>195

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/17(日) 15:28:37.64

スターリングの公式
　n! ≒ n^(n+1/2) e^(-n + 1/(12n)) √(2π)
と比べてみると････

>>197(c) は真値の約 1.08444 倍。

>>199(c) は真値の約 exp(1/(24n))倍。n→∞ では１に近づく。

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/17(日) 16:40:53.49

〔問題１〕
　三角形の三内角を A, B, C とするとき
　cos(-A+B+C) + cos(A-B+C) + cos(A+B-C) = 1,
が成立するのは　どのような三角形か？
　(数学検定準１級 2次[1]、2011年･秋)
　(数学セミナー 2011年5月号に出題した問題と本質的に同じ)

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/26(火) 04:23:26.79

〔問題〕
a,b,c>0 のとき
　(a^4+b^4+c^4)^3 ≦ (a^3+b^3+c^3)^4 ≦3 (a^4+b^4+c^4)^3,
を示せ。
　(数学検定１級-改、2008年･秋)
　(数学セミナー、2009年2月号 p.13)

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/27(水) 02:33:56.76

(右)
M = a^3+b^3+c^3　とおくと　a,b,c < M^(1/3),
　a^4 + b^4 + c^4 ≦ (a^3 + b^3 + c^3)M^(1/3) = M^(4/3),
両辺を3乗する。

(左)
コーシーで
　(a^3+b^3+c^3)^2 ≦ (aa+bb+cc)(a^4+b^4+c^4),
　(a^3+b^3+c^3)^2 ≦ (aa+bb+cc)(a^4+b^4+c^4),
　(aa+bb+cc)^2 ≦ (1+1+1)(a^4+b^4+c^4),
辺々掛ける。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/12(木) 11:56:01.29

>>193
数検何級取ってますか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/20(金) 02:16:38.55

1645
しろ@huwa_cororon 11月27日
苦節6ヶ月、初満点&一等賞です！
https://twitter.com/huwa_cororon/status/1199593474128896000
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/31(土) 09:10:35.77

必死に勉強したのに１０回連続不合格の場合、
脳に障害がある可能性があります。
まずは、病院で検査を受けましょう。