>>870
ペアノの公理で自然数を定義して、自然数の組みで整数を定義して、整数の組みで有理数を定義して、有理数の集合で実数を定義する
こういう風に段階を踏んでいけばちゃんと証明することは可能です

数の構成とかでググればすぐ出て来ます