ピタゴラス数をなんと　～荒らされたので立て直しました～ [無断転載禁止]©2ch.net

**旭=1000** · 2016/11/02(水) 07:53:23.97

自分で作ったプログラムでa^2+b^2のaが35万以上計算しました。
100万以上に向けて頑張りたいと思いますので
応援お願いいたします。
プログラムにバグがあった場合抜けている数があると思うので
その点には留意いたしたいと思う次第であります。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/10(月) 16:52:02.82

…… というような話を、きょう
室井和男著／中村滋コーディネートの
『シュメール人の数学 ― 粘土板に刻まれた古の数学』
（共立出版。スマート・セレクション）の感想として
送っておいた。
反応が楽しみなんだが、結果はどうだろう。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/11(火) 01:39:42.12

読めないよ

https://m.facebook.com/masaoki.iwasaki.9
https://twitter.com/mas20285
https://twitter.com/keepmathtop
https://twitter.com/kyuuchan_
https://twitter.com/xPuGPq8Tn9GWCJb

https://i.imgur.com/EuqD4Nf.png
https://i.imgur.com/AcRxZW4.jpg
https://i.imgur.com/4Dk16V9.jpg
https://i.imgur.com/JHemyAu.jpg
https://i.imgur.com/L463soq.jpg
https://i.imgur.com/jpf8lOd.jpg
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/14(金) 09:51:17.02

思考停止の総当たり

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

int pit(int A,int B, int C){
int a,b,c; int pit=0;
for(a=1;a<=A;a++){
for(b=a;b<=B;b++){
for(c=b;c<=C;c++){
if((a<b) && (a*a+b*b==c*c)) {
++pit;
printf("%d : %d * %d + %d * %d = %d * %d\n",pit,a,a,b,b,c,c);
}
}
}
}
return 0;
}

int main( int argc, char *argv[] ){
int a,b,c;
a = atoi(argv[1]);
b = atoi(argv[2]);
c = atoi(argv[3]);
pit(a,b,c);
return 0;
}

**M.B.** · 2018/09/16(日) 17:19:57.16

>>187
おれも同じことをやったが、
演算子 ++ は、「構造体とかのサイズのあるものに
対するポインタに対して、sizeof() 分だけインクリメント
するのが本来の使い方」なんで、ポインタじゃない
整数値に対しては ++ じゃなくて +=1 を使うのが
礼儀正しい C プログラミングのありかただと思われ。

**M.B.** · 2018/09/16(日) 17:27:29.21

>>187
あと、これはまったく余計な話だが、
main() の戻り値は、昨今は void に
しとくのが流行らしい。
どうせレジスタに残ってる値を使うか使わないかの
話なんで、「どうでもいいや」っちゅー話はあるんだけどね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/18(火) 08:20:24.71

プリンプトン３２２が４５° から３０° までの表だとすると、

{175, 288, 337}:1.369225

が入って 16 行になんないとおかしいと思うんだが、
どうだろう。
288 / 175 < √3 = 1/tan(30°)
だよなぁ？

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/20(木) 17:45:50.60

すまん。別スレの話題なんだが、そっちの方では
スレ違いなんで、「ピタゴラス数つながり」で、
このスレの残りを有効利用させてもらいたい。
m(_ _)m

まず、「ユークリッドの公式」（つーても、ユークリッドが
生まれる千五百年前には発見されていたのだが）という
ものがある。

【ユークリッドによる、原始ピタゴラス数の公式】
「互いに素な奇数 p, q （ただし、0 < p < q）から、一意に
原始ピタゴラス数を求める式がある。すなわち、
{X, Y, Z} ＝ {(q^2 - p^2}/2, p×q, p^2 + q^2}
である。」

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/20(木) 17:54:26.29

つぎに、Barning = Hall = 亀井の定理について説明する。

互いに素な奇数 {p, q} （ただし、0 < p < q）があったとき、
以下の三つの奇数の組は、互いに素であり、すべて異なる。
１）{p, q + 2p}
２）{q, p + 2q}
３）{2q - p, q}

【Barning = Hall = 亀井の定理】
すべての原始ピタゴラス数は、三分木によって、一意に表される。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/20(木) 18:04:03.04

【Barning = Hall = 亀井の定理の逆問題】
任意の原始ピタゴラス数から、最小の原始ピタゴラス数に
至る経路を求めるアルゴリズムを示せ。

【解】
前期（１）（２）（３）は、逆操作として、
0 < p < q のとき、
{p', q'} ＝ {p, |q - 2q|} として表される。

ただし、p = 1, q = 3 のとき、
p' = q' = 1 となり、「0 < p < q 」の条件を満たさないため、
逆操作は行えない。このとき、
f(1, 3) = {3, 4, 5}
であり、Barning = Hall = 亀井の定理の示すところと
一致する。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/20(木) 20:28:47.15

Path Reconstruction in the Barning–Hall Tree
https://link.springer.com/article/10.1007%2Fs10958-014-2034-5

こんなのあるけど

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/20(木) 20:56:47.23

この分野はよく知らないが、HallはMath GazzetteのClassroom Notesに
Barningはオランダ語のレポートと、主流の結果でもない
最近の論文見ると
http://nntdm.net/volume-18-2012/number-1/49-57/
みたいなのに掲載されてる。

あとは日本国内の研究者でBarning-Hallに興味持っている研究者を
調べて、そこの欧文紀要があれば掲載を頼む

英語で数学論文を書いた経験があまりないのなら
誰かに論文見てもらって直してもらわないと、論文の体裁をなしてないという理由で
rejectくらっても仕方ないよ
へぼい国内紀要でもそういう論文は結構投稿されていて門前払いを食らう
論文の校正まで編集部やrefereeはやってられないからね

**Mr.Moto** · 2018/09/20(木) 21:01:23.09

>>194
ありがとう。
「やべぇ！　後追いだったか？」と思ってちょっとビビったけど、
このレベルだったら細矢先生のほうが先に行ってる。
つーか出たのが二〇一四年の十月だったら、おれらがもう
逆問題を解いた後だ。
やっぱ、行列式使って解こうとすると、逆行列を考えたところで
行き詰まっちゃうんだろうな。おれらはそっちへ行ってないから、
どこで行き詰まるのか自体がよく解らんけど。

ついでに指摘しておくと、結城浩さんや紹介してくれた論文で
使ってる公式（こっちの方が有名だ）は、インドのプラーマグプタ
（０の発見者として有名）が書き残してるもので、
時代的にはユークリッドの式よりも何百年か遅いはず。
>>191 以降の議論は、そっちの式を使っても、同じ結論に
なる。p, q と m, n は、たしか和差の関係になるはず。
おれがプラーマグプタの式を使わなかった理由は、数式を
図で描こうと思うとダサいからだ（笑）
ユークリッドの式は、長方形の中に三角形一つと長方形
一つで描ける（なんせ、古代バビロニアには数式がねぇ！）
ので、壁に貼っておきたくなるようなシロモノだ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/20(木) 21:05:38.44

(1)『すべての原始ピタゴラス数は、{3, 4, 5} に
　　　U/D/A という三次の行列を掛けることで、一意に表される』

という性質を既知とする。
e＝(3 4 5)とする(横表記だけど縦ベクトルのつもり)。

v＝(x y z)を原始ピタゴラス数とする。
(1)によれば、eにU/A/Dを掛け算していくことでvが得られるので、
U^{-1}v, A^{-1}v, D^{-1}v のうち、原始ピタゴラス数が少なくとも1つはある。

**Mr.Moto** · 2018/09/20(木) 21:07:22.64

>>195
おぉ、ありがとう。
とりあえず敷居が高いというのは理解したので、
小冊子を自費で出版して（マンガ同人誌と
おんなじようなモンだし）、心当たりに
片っ端から配って回る、とかいうのが
いちばん手っ取り早いかもしらんな。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/20(木) 21:07:26.78

ここで、U^{-1}vとA^{-1}vがともに原始ピタゴラス数になることはない。
なぜなら、もしこの2つが原始ピタゴラス数なら、
U^{-1}vとA^{-1}vそれぞれに(1)を適用して、

eにU/A/Dを掛け算していくことでU^{-1}vが得られる
eにU/A/Dを掛け算していくことでA^{-1}vが得られる

ので、

eにU/A/Dを掛け算してU^{-1}vを得たのちに、さらにUを掛ければ v が得られる
eにU/A/Dを掛け算してA^{-1}vを得たのちに、さらにAを掛ければ v が得られる

となり、eからvへの経路が2つあることになって、(1)の一意性に矛盾する。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/20(木) 21:09:17.24

同じようにして、U^{-1}vとD^{-1}vがともに原始ピタゴラス数になることはないし、
A^{-1}vとD^{-1}vがともに原始ピタゴラス数になることはない。
要するに、U^{-1}v, A^{-1}v, D^{-1}v のうち、原始ピタゴラス数は1つしかない。
よって、以下のアルゴリズムで、vからeへのルートが出力できる。

v＝(x y z)を原始ピタゴラス数とする。U^{-1}v, A^{-1}v, D^{-1}v を計算する。
この中に、原始ピタゴラス数がちょうど1つだけあるので、それに対して同じ作業を繰り返す。
有限回の作業でeに辿り着くので、ここまでの経路を出力すればよい。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/20(木) 21:11:40.87

eに合計でm個のU/A/Dを掛け算してvに辿り着くなら、>>200のアルゴリズムでは
行列の積の計算が3m回必要になる。また、(x y z)が原始ピタゴラス数であるかどうかの判定には、
「x,y,zが負になってないか」「x,y,zに共通の因数がないか」を判定しなければならない。
前者は簡単に判定できる。後者はユークリッドの互除法で判定すれば高速に終わる。
(あるいは、U^{-1},A^{-1},D^{-1}の性質上、前者しか起きないのかも？)

全体としては、このようなアルゴリズムだけでも普通に速いんじゃないかという気がする。
たぶん、この分野ではもっと凄まじいアルゴリズムが希望されているのだろう。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/20(木) 21:14:07.69

次に、>>191-193のやり方だが、記述を端折りすぎていてよく分からない。
エスパーすると、たぶんこういうことを言いたいのだと思う。

v＝(x y z)を原始ピタゴラス数とする。
x＝(t^2 - s^2)/2, y＝s×t, z＝s^2 + t^2 となるような、
互いに素な奇数0＜s＜tを求める。いつでもこのようにすると、
原始ピタゴラス数は「互いに素な奇数0＜s＜t」に対応することになる。
すると、>>191-193によれば、U^{-1}v, A^{-1}v, D^{-1}v を計算することは、
互いに素な奇数0＜s＜tを用いて

(1) 0＜s＜t－2s
(2) 0＜t－2s＜s
(3) 0＜2s－t＜s

を計算することと同じことになるらしい(この順番で対応しているかは知らないが)。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/20(木) 21:15:38.92

sを基準にして書き換えると、(1),(2),(3)は

s∈(0,t/3)
s∈(t/3,t/2)
s∈(t/2,t)

と同じになる。最初に与えられているのは0＜s＜tつまりs∈(0,t)だから、
上の3つのうち2つ以上が同時に起きることはない。また、3つそれぞれが
U^{-1}v, A^{-1}v, D^{-1}v のどれかに対応している(らしい)。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/20(木) 21:17:21.38

よって、>>191-193のアルゴリズムは、たぶん次のようになるのだろう。

v＝(x y z)を原始ピタゴラス数とする。
x＝(t^2 - s^2)/2, y＝s×t, z＝s^2 + t^2 となるような、
互いに素な奇数0＜s＜tを求めておく。このとき、

(1) 0＜s＜t－2s
(2) 0＜t－2s＜s
(3) 0＜2s－t＜s

のうち2つ以上が成り立つことはないので、成り立つものは高々1つである。
もし成り立つものがあったら、それを 0＜s'＜t' として、今までの操作を繰り返す。
(1)～(3)のどれもが成り立たなくなったら、その時点で e＝(3 4 5) に対応しているので、
そこでやめる。ここまでの過程で、(1)～(3)のうちどれが成り立ってきたのかという履歴が
U^{-1},A^{-1},D^{-1}の経路にきれいに対応している(らしい)ので、この履歴を出力すればいい。

これでいいのかは知らないが、もしこれでいいなら、
>>191-193のアルゴリズムはとても速いし、面白いと思う。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/20(木) 21:24:23.94

で、速いし面白いことは大体わかったが、

・この程度なら、この界隈の人がとっくに見つけてたのではないか？
・たとえば、>>194の論文で全く同じことやってないか？

という疑問点が生じる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/20(木) 22:05:15.23

>>196
方法論として優れているのだろうと思うが
逆問題自体が解決されているとしたら、自分たちの手法の
どこが優れているか明確に書かないといけない
学術論文を書く基本的な訓練を受けてないように感じる

>>198
普通ならarXivに載せておくと良いでしょう
後から誰かとかち合っても記録に残る

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/21(金) 01:58:12.57

>>119
は、ご覧になりましたか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/21(金) 03:46:38.82

次は、「番号」、「原始ピタゴラス数」、「p,q値」を列挙するプログラムです。
http://codepad.org/UhYptqy2

「番号」というのは、私が、原始ピタゴラス数の整理に便利だと考え、勝手につけた通し番号です。
（>>119でアップした、http://codepad.org/VKGibeHo　にちょっと手を加えただけのものです）

この「番号」は、三分木構造のどの位置にあるのかを知るのに、便利な指標となっています。
番号に1を加え、３で割って切り捨てすれば、親の番号が判ります。
番号に1を加え、３で割った余りを求めれば、子の枝順位、つまり、長男(=0)、次男(=1)、三男(=2)を判定できます。

簡単に説明すると、番号１が始祖です。その子供が、2,3,4で、2の子供が5,6,7、3の子供が8,9,10、
4の子供が11,12,13、5の子供が、14,15,16、...となっています。
１が第一世代、2,3,4が第二世代、5～13が第三世代で、14～40が第4世代、、、(3^(n-1)+1)/2～(3^n-1)/2　が第n世代　です。

簡単な構造なので、このような樹形図を初めて扱う方でも、各原始ピタゴラス数が、三分木構造のどこに配置されているか
簡単に図示できるでしょう。
この原始ピタゴラス数樹形図を、(p,q)の視点で眺めると、親を(p,q)としたとき、(p,2p+q)が長男、(q,2q-p)が次男、
(q,2q+p)が三男に相当しているようですね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/21(金) 06:24:08.06

親のpq値(p',q')から、三人の子のpq値(p,q)を求める方法は、
(p,q)=(p',2p'+q'),(q',-p'+2q'),(q',p'+2q')
それぞれ、長男、次男、三男に相当

子供のpq値(p,q)から、親のpq値(p',q')を求める方法は
(p',q')　=(p,q-2p)　　　(3p<q　の時；長男→親の変換に相当)
　　　=(2p-q,p)　　　(p<q<2p　の時；次男→親の変換に相当)
　　　=(-2p+q,p)　　　(2p<q<3p　の時；三男→親の変換に相当)

ですね。　>>193　では
>>　{p', q'} ＝ {p, |q - 2q|} として表される。
のようにされていますが、この場合、変換時、p',q'の大小をチェックして、
小さい方をp'、大きい方をq'としなければなりません。

しかし、変換式をここで書いたように固定すると、
p<q　⇔　p'<q'
が成立しますよ。

**Mr.Moto** · 2018/09/21(金) 06:30:10.45

>>202 >>203 >>204
問題の本質を理解してくださってありがたいが、
そんなに難しいことは言ってないんだ (^_^!)
二つの互いに素な奇数 p, q （0 < p < q）があるとすると、
そこから原始ピタゴラス数 { x, y, z } が求まる。x と y が
決まれば z も決まるので、本質は x, y。
で、奇数のほうが pq、偶数のほうが (q^2 - p^2) /2 だから、
{x, y} から p, q が求まる。
ここで、p × q の長方形を考えて、そこから p × p の正方形を
二個取り去る（面積が 1 になったらそこで終わり。マイナスに
なった場合は「面積の絶対値」を取る）と、p' と q' が出て、
そこから原始ピタゴラス数を計算すると、それが「親」にあたる
原始ピタゴラス数になる。
ピタゴラス数を、「直角三角形の三辺」と考えるより、
「縦横と対角線の長さが自然数の比で表される長方形」
と考えたほうが素朴だろう（だいたい、日常で直角三角形と
いうのはほとんど見ないし）、というのが出発点。

**Mr.Moto** · 2018/09/21(金) 06:31:39.87

あとは、「互除法と連分数は、同じ概念の二つの側面」
であって、1 + √2 = [2; 2, 2, 2, 2, …]、
φ = [1; 1, 1, 1, 1, …] なんで、
プリンプトン３２２が計算しているのはこのあたり、
みたいな話につながってく。

**Mr.Moto** · 2018/09/21(金) 06:48:39.23

>>207
見てますよー。
連分数にしろ図的解法にしろ、あまり一般的な
手法とはいえないので、現在広く使われている
基本の手法とか考え方とかとの相性がよいと
思います。数学をちゃんとやってる人に
してみたら、「こっちの方がわかりやすい」
と思うんじゃないかな。

**Mr.Moto** · 2018/09/21(金) 07:49:15.05

>>205
じつは、そのあたりはあんまり気にしてないんだ (^_^)
もともと、本筋は「プリンプトン３２２の解読」のほうなので、
「ひょっとしたら、三千八百年くらい前に、バーニングとホールの
定理を見つけてたんじゃないか？」と思ってる。
だけど、室井和男さんという「塾講師（数学）でシュメール学者」
の方が「プリンプトン３２２を完全解読！」と宣言して
いらっしゃったのね。で、「くそぅ、先を越されたか！」と
思ってたんだけど、最近になって、その室井さんの解読結果に
穴があったと知ってしまったので、「よし、勝ったぜ！」と
思ったのよ。
だけど、どこに発表したらいいのか分からんのよ。『数学セミナー』？
『日経サイエンス』？『子供の科学』？『ムー』？　で、いま
途方に暮れているところ。

**Mr.Moto** · 2018/09/21(金) 09:00:35.72

>>205
> この程度なら、この界隈の人がとっくに見つけてたのではないか？
おれもそう思ったんだが、ラプラス変換みたいに「いっぺん別の
世界に行って、また戻ってくる」というラプラス変換みたいな
やり口は、物理屋や工学屋のやりそうな手法で、昨今の数学屋さんには
不得手なんじゃないか？と思った。だから、そっち方面で独立に
見つけてる人はたぶんいる。
> たとえば、>>194 の論文で全く同じことやってないか？
・偶数辺と奇数辺があり、斜辺（対角線）は奇数
・偶数辺は４の倍数
・斜辺は ≡ 1(mod 4)
・偶数辺×奇数辺×斜辺は 60 の倍数
あたりで手詰まりになってる。自分でも引っかかったので、
英語だけど風情はよくわかる。
「奇素数が出るとするなら、どこに出るか？」とか
「（m, n で表したときに）奇数辺が平方数の和差になってる
ところから、何か掴めないか？」とかスケベったらしい
コトを考えると、だいたい捕まるというのが体験的に
謂える。
まぁ、原始ピタゴラス数のことだけを考えると簡単なんだが、
「平方数の和差と素因数分解の関係」とか考えると、
そっちの方へ行きたくなる気持はよくわかる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/21(金) 23:09:07.10

webで公表するのが良い

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/21(金) 23:21:39.37

>>191-193について。
互いに素な奇数0＜s＜tを任意に取る。

v_{s,t}＝( (t^2 - s^2)/2, st, (s^2 + t^2)/2 ) (横表記だけど縦ベクトルのつもり)

と置くと、v_{s,t}は必ず原始ピタゴラス数である。逆に、(x y z)を原始ピタゴラス数とする。
このとき、(x y z)＝v_{s,t}となるような、互いに素な奇数0＜s＜tが一意的に存在する。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/21(金) 23:22:57.96

Barning-HallのU/A/Dとv_{s,t}の関係について。

互いに素な奇数0＜s＜tに対して、s∈(0,t)が成り立つので、
s∈(0,t/3)またはs＝t/3またはs∈(t/3,t/2)またはs＝t/2またはs∈(t/2,t)
のいずれかが成り立つ。すなわち、
(1) 0＜2s－t＜s
(2) 0＜t－2s＜s
(3) 0＜s＜t－2s
(4) s＝t/3またはs＝t/2
のうち、1つだけが成り立つ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/21(金) 23:25:07.38

(1)のとき、0＜2s－t＜sは互いに素な奇数である。
(2)のとき、0＜t－2s＜sは互いに素な奇数である。
(3)のとき、0＜s＜t－2sは互いに素な奇数である。

(1)が成り立つとき、U^{-1}v_{s,t}＝v_{2s-t,s} が成り立つ(左辺を計算するだけ)。
(2)が成り立つとき、A^{-1}v_{s,t}＝v_{t-2s,s} が成り立つ(同上)。
(3)が成り立つとき、D^{-1}v_{s,t}＝v_{s,t－2s} が成り立つ(同上)。
(4)が成り立つとき、もしs＝t/2なら、2s＝tとなるので、tが奇数であることに矛盾する。
よって、s＝t/3となる。このとき3s＝tなので、s,tが互いに素であることから、
s＝1となり、よってt＝3となる。このとき、v_{s,t}＝(4 3 5) となり、
これは最小の原始ピタゴラス数である。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/21(金) 23:26:24.83

>>216-218を踏まえると、こちらがエスパーした>>204のアルゴリズムは、
実際にこのアルゴリズムで正しいことが分かる。
そして、このアルゴリズムは確かに高速だ。行列の積を計算しなくても、

U^{-1}v_{s,t}＝v_{2s-t,s}
A^{-1}v_{s,t}＝v_{t-2s,s}
D^{-1}v_{s,t}＝v_{s,t－2s}

によって、vの添え字s,tの単純計算だけで済んでしまう。とても面白い。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/21(金) 23:27:17.05

だが、s,tの単純計算の計算量を行列の積の場合と比べてみると、
パラメータの桁数に関するオーダーとしては、定数倍の差しかないことが
分かった(次からのレスで書くが)。なので、オーダーの観点からは、
行列の積を計算してもs,tで計算しても同じオーダーになってしまう。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/21(金) 23:29:01.18

まず、>>200のアルゴリズムの効率について。当初の>>201では

＞(あるいは、U^{-1},A^{-1},D^{-1}の性質上、前者しか起きないのかも？)

と書いたが、2s-tやt-2sが負の場合も含めて

U^{-1}v_{s,t}＝v_{2s-t,s}
A^{-1}v_{s,t}＝v_{t-2s,s}
D^{-1}v_{s,t}＝v_{s,t－2s}

を考察すると、実際に前者しか起きないことが分かる。
なので、>>200のアルゴリズムの効率は、>>201から次のように改良できる。

eに合計でm個のU/A/Dを掛け算してvに辿り着くなら、>>200のアルゴリズムでは
行列の積の計算が3m回必要になる。また、(x y z)が原始ピタゴラス数であるか
どうかの判定には、「x,y,zが負になってないか」を判定するだけでよい。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/21(金) 23:31:19.45

では、行列の積の計算1回にかかる計算量と、
x,y,zが負になってないか判定するのにかかる計算量は、
それぞれどうなっているか。

v＝(x y z)を原始ピタゴラス数とする。x,y,zそれぞれを2進法で表したときの桁数のうち
最大のものをn_{x,y,z}と表す。zの桁数が一番大きいので、実際にはzの桁数がn_{x,y,z}である。
次に、U^{-1},A^{-1},D^{-1}の成分は±1,±2,±3しかないので、(x y z)にU^{-1},A^{-1},D^{-1}を
掛け算すると、n_{x,y,z}の定数倍の計算量にしかならない。
よって、行列の積1回の計算で、n_{x,y,z}の定数倍の計算量にしかならない。
また、「x,y,zが負になってないか」の判定は上位1ビットを見ればいい(そこが符号の役目を
している処理系なら)ので、これは定数時間で終わる。よって、>>200のアルゴリズムを
1操作分やると、n_{x,y,z}の定数倍の計算量にしかならない。

よって、>>200のような普通のアルゴリズムの時点で、かなり効率がよいと言える。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/21(金) 23:33:39.67

次に、>>204のアルゴリズムの効率について。

(x y z)＝v_{s,t}と表して、s,tに対して操作を行うのだから、
n_{s,t}に対する計算量を考えればよい。

(1) 0＜s＜t－2s
(2) 0＜t－2s＜s
(3) 0＜2s－t＜s

しかないので、実質的にはt－2sだけ計算すればよい、これはn_{s,t}の定数倍の計算量で終わる。
n_{s,t}は、sとtの桁数のうち最大のものを表しているが、s＜tだから、実際にはtの桁数がn_{s,t}である。
また、x＝(t^2－s^2)/2, y＝st, z＝(s^2＋t^2)/2 なので、t^2/2＜z＜t^2 が成り立つ。
よって、2n_{s,t}－2≦n_{x,y,z}≦2n_{s,t}となることが分かる。
よって、n_{s,t}＝n_{x,y,z}/2, n_{x,y,z}/2－1 である。
よって、n_{x,y,z}を基準にしても、t－2sの計算はn_{x,y,z}の定数倍の計算量で終わる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/21(金) 23:35:57.43

>>200では、(x y z)→(x' y' z')→(x'' y'' z'')→…
という形でピタゴラス数そのものを変形していくが、
>>204では、v_{s,t}→v_{s',t'}→v_{s'',t''}→…
としてs,tの方を変形していく。

一番最初は、v_{s,t}＝(x y z)という関係がある。操作1回のあとの
(x' y' z')とv_{s',t'}については、v_{s',t'}＝(x' y' z')という関係がある。
操作1回のあとの(x'' y'' z'')とv_{s'',t''}については、
v_{s'',t''}＝(x'' y'' z'')という関係がある。・・・

このように、>>200と>>204では、各ステップで同じ対象について計算が進んでいて、
各ステップで ”n_{s,t}＝n_{x,y,z}/2, n_{x,y,z}/2－1”の関係式が成り立つ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/21(金) 23:40:54.54

よって、>>200と>>204は、処理全体が終わるまで見ても
定数倍の違いしかないことになるので、オーダーとしては同じになってしまう。
もちろん、定数倍の部分は>>204の方がずっと小さいので性能が良いと言えるが、
オーダーの観点からは定数倍の差でしかない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/21(金) 23:43:25.30

当初の話は、

「行列の積で逆問題を考えると有効な手立てがなくて
未解決問題だったが、連分数や図形で考えると効率よく解決する」

という話だったはず。しかし、行列の積で逆問題をやってる>>200でも、
v_{s,t}のs,tに対する単純計算だけで終わっている>>204でも、定数倍の違いしか
効率が変わらないので、行列の積で不満があるなら>>204でも不満があるはずだし、
逆に>>204で満足なら行列の積の>>200でも満足のはず。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/21(金) 23:45:31.91

「>>200では不満だが>>204なら満足」という立場を維持するには、
定数倍の部分がとても小さいから>>204で満足、と考えるしかない。

実務で使いたい人ならそういう立場でもいいのだが、
あくまでも理論的な未解決問題として考えたときには、
定数倍の違いしかないアルゴリズムを未解決問題だったとは普通は言わないので、
結局、この手の話で何かが未解決だったというのは考えにくい。

今も未解決のまま残っている問題は実際に存在するのかもしれないが、
少なくともこの話が未解決だったわけではないと思う。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/21(金) 23:48:57.33

そろそろ連投規制に引っかかる予感。

次に、v_{s,t}ではなく、別の公式を使った場合の>>204について。
互いに素かつ偶奇の異なる正整数0＜s＜tに対して

w_{s,t}＝( t^2 - s^2, 2st, s^2 + t^2 )

と置くと、w_{s,t}は必ず原始ピタゴラス数である。逆に、(x y z)を原始ピタゴラス数とする。
このとき、(x y z)＝w_{s,t}となるような、互いに素かつ偶奇の異なる正整数0＜s＜tが一意的に存在する。
v_{s,t}よりもこっちの方が有名な気がする。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/21(金) 23:50:44.57

Barning-HallのU/A/Dとw_{s,t}の関係について。

互いに素かつ偶奇の異なる正整数0＜s＜tに対して、s∈(0,t)が成り立つので、
s∈(0,t/3)またはs＝t/3またはs∈(t/3,t/2)またはs＝t/2またはs∈(t/2,t)
のいずれかが成り立つ。つまり、
(1) 0＜2s－t＜s
(2) 0＜t－2s＜s
(3) 0＜s＜t－2s
(4) s＝t/3またはs＝t/2
のうち、1つだけが成り立つ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/21(金) 23:53:55.86

(1)のとき、0＜2s－t＜sは互いに素かつ偶奇の異なる正整数である。
(2)のとき、0＜t－2s＜sは互いに素かつ偶奇の異なる正整数である。
(3)のとき、0＜s＜t－2sは互いに素かつ偶奇の異なる正整数である。

(1)が成り立つとき、U^{-1}w_{s,t}＝w_{2s-t,s} が成り立つ(左辺を計算するだけ)。
(2)が成り立つとき、A^{-1}w_{s,t}＝w_{t-2s,s} が成り立つ(同上)。
(3)が成り立つとき、D^{-1}w_{s,t}＝w_{s,t－2s} が成り立つ(同上)。
(4)が成り立つとき、もしs＝t/3なら、3s＝tとなるので、s,tの偶奇が一致してしまい、矛盾する。
よって、s＝t/2となる。このとき2s＝tなので、s,tが互いに素であることから、s＝1となり、
よってt＝2となる。このとき、w_{s,t}＝(3 4 5) となり、これは最小の原始ピタゴラス数である。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/21(金) 23:55:55.83

よって、w_{s,t}を使っても、>>204と同じアルゴリズムが成り立つ。

計算した感触からすると、原始ピタゴラス数を2つの変数で表す公式が得られるたびに、
その公式に対応した>>204のアルゴリズムが必ずあるような予感がする。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/22(土) 01:13:34.73

>>144　にて私は、全てのピタゴラス数は、単位円上の一つの有理点に対応し、その有理点は
一つの有理数に対応可能だと言うことを指摘しました。
ピタゴラス数を探すと言うことは、有理数を探すことと同値です。

また、偶然にも私は、>>149　にて、「ユークリッドの互除法」は、
「（a と b　の公約数）＝（a と a-b の公約数）の積み重ねだ」とも指摘しました。
通常ユークリッドの互除法は最大公約数を見つける方法と認識されますが、最大公約数が１
だということになれば、「互いに素」であることを示す道具にもなります。

Mr.Motoさんの
>>{p', q'} ＝ {p, |q - 2q|}
という変換は、pとqの最大公約数を求めるための、途中計算と考えることができます。
その際利用しているのは、「（a と b　の公約数）＝（a と a-b の公約数）」という内容。
ただし、これを、一歩ずつではなく二歩ずつ行っていると、考えるのです。
このようにして、(1,3)へ到達したならば、元々の奇数の組み合わせ(p,q)は、互いに素だったことを意味し、
同時にそれに対応する原始ピタゴラス数を表す有理数、指標となります。
このチェックの際辿った、(p,q)の変換経路は、ピタゴラス数を三分木構造に当てはめたときの、
樹形図上の経路そのものです。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/22(土) 01:14:17.85

親の方へ向かう変換は、最大公約数の計算or互いに素かどうかのチェックであり、
子の方へ向かう変換は、有理数の探索　or　作成に相当します。

ただ、２段飛びなので、全ての有理数を網羅することはできません。
分母分子とも奇数の場合しか回れませんから。
しかし、「ピタゴラス数の探索」という意味では、(奇数、奇数)の組み合わせだけで必要十分です。
一組のピタゴラス数に対応する単位円上の有理点は実は二つあります。（例:(5/13,12/13)と(12/13,5/13))
その有理点に対応する有理数は、一方は分母分子が両方とも奇数だし、もう一方は分母分子が、
偶数奇数混合型だからです。(先ほどの例では、1/5と2/3が対応)

(3,4,5)にUAD行列を施して制作される原始ピタゴラス数樹形図は、
(1,3)に>>209で記した変換公式を施して制作する有理数樹形図と同一で、お互いに変換可能です。
同様に、(1,2)に>>209で記した変換公式を施しても有理数樹形図ができますが、これらも、お互いに変換可能です。
そして、下二つの有理数樹形図で、全ての有理数を過不足無く網羅します。

UAD行列を使う場合も、(p,q)変換公式を使う場合も、プログラム的にはほとんど差はありません。
前者は同時に三数を扱う一方、後者は二数だけなので、この分高速になります。
ただし、「原始ピタゴラス数を順に表示する」というのが目的であった場合は、変換コストを払う必要があるため、
前者の方が速いかもしれません。特定の場合だけ表示するのであれば、後者の方が高速でしょう。

**Mr.Moto** · 2018/09/22(土) 10:47:55.01

おお、すばらしい。
お二方に感謝する。

個人的には、「行列を使ってないので、
中学生にも理解できるだろう」という点から、
教育分野で利用してくれれば、と思う。
いわゆる「ユークリッドの互除法」は、
分数の約分・通分には便利なアルゴリズムだし、
それを単位格子に適用すると連分数や
フィボナッチ螺旋にする話題にも持ってゆける。
「単位円上に無限個の有理点が存在する」という
証明にもつながれば、「そもそも、一般式をどうやって
導出できるか？」（『数学ガール』にも出てくる）
という話にもなる。
これで少しでも数学嫌いが減ってくれれば嬉しい。

**Maria** · 2018/09/22(土) 10:54:18.49

もうひとつ、「世界最古の都市文化」といわれる
古代バビロニア（「シュメールのほうが先じゃん」という
意見はあるんですが、そのあたりの議論は略）の時代に、
すでにピタゴラス数について研究していた人々がいた
（まぁ、長方形だし、ピタゴラス生まれてねぇし、みたいな
話はあるとして）、というのが分かっただけで面白いし、
コンピュータを利用して、「当時の人々が、どんなことを
考えていたのか」がうかがい知れるので、ソフトウェア
教育にも利用してほしいな、と思っています。

どうも、ありがとうございました m(_ _)m

**Maria** · 2018/09/22(土) 11:11:25.14

あ、あと、この件に関して、とくに権利とかを
主張するつもりはないので、
どこかで発表するとか論文にして公開する場合でも、
好き勝手にやっちゃってください。

「それも気づまりだな」という律儀な方は、遠慮なく
nsb14421＠nifty.com
までメールしてください（アットマークは半角に）。
では。(^_-)b~*
（Maria ＆ Mr.Moto）

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/22(土) 12:41:25.33

大元のHallの論文が載ったMath Gazzetteは教育用の雑誌なので
投稿するといいんじゃないかなあ

まあ話を聞いていると、学術論文にまとめる訓練を受けてないから
敷居が高いと思ってるような気がする
論文を書くマニュアル作業を身につけるのも指導者がいないと難しい

**Mr.Moto** · 2018/09/22(土) 13:56:08.06

>>237
> まあ話を聞いていると、学術論文にまとめる訓練を受けてないから
> 敷居が高いと思ってるような気がする
> 論文を書くマニュアル作業を身につけるのも指導者がいないと難しい
いちおう学術論文にまとめる訓練は受けているんだが (^_^!)、
ジャンルと学会によってテイストが違うのよ。
「電気学会」と「電気通信学会」と「日本コンピュータ科学会」でも
違うし、「日本航空宇宙学会」もまた違うだろうし、「言語処理学会」と
「計量国語学会」でも違うと思う。

「数学教育協議会」とか「日本数学教育学会」とかにアプローチするのが
早道なんかな？　「古代バビロニアの数学粘土板」とか言っても、
なかなか通じないんだよな。都立雪谷高校の数学の先生にも訊いてみたんだが、
「同僚にも訊いてみたけど、ちょっと ……」みたいな話だった。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/22(土) 14:58:27.71

>>238
申し訳ないが、あなたは何か根本的にわかってないように思う
テイストが違うのはわかるが、あなたの数学の説明の仕方はこなれてない

問い合わせしている相手も間違ってる
大学のいわゆる数学科に属している教員に接触しましょう
「数学教育協議会」とか「日本数学教育学会」は別物

あなたの結果は大体わかったつもり、以下の雑誌を勧める
Math Gazzette
https://www.cambridge.org/core/journals/mathematical-gazette

Mathematics Magazine
https://www.maa.org/press/periodicals/mathematics-magazine

**Mr.Moto** · 2018/09/22(土) 15:08:42.28

>>239
> あなたの数学の説明の仕方はこなれてない
すまん (^_^!)
もともと航空屋でソフトウェア業界人なので、
「だって飛んでるじゃん」「だって動いてるじゃん」
で済ませてきたもんだから、わりとリクツは後回しなんだ。
演算子法のオリヴァー・ヘヴィサイドじゃないけど、
「数学は実験的科学であり、定義が先にくるわけではない」
「私が消化のプロセスを知らないからといって、ディナーを
断らなければならないのか？」っつースタイルなもんだから、
「数学的に厳密な論文の記述スタイル」っつーのに
なじめないところはある。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/22(土) 16:04:25.19

>>240
ヘヴィサイド同様に、適切な証明を書かないとrejectされます
それが数学の流儀ですので、自分はすごい結果を出しているのに～
と言っても通りません

数学でも新規性が高くはなくても掲載する雑誌はあります
あなたが馴染めないのは自由ですが論文掲載までの手続きは変わりません

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/22(土) 16:47:54.51

>>241
>>215

**M.B.** · 2018/09/22(土) 16:57:18.48

>>241
つーか、数学における「行列の積」っていうのが、
ソフト屋における「配列の積」っていうのと
ちょっと違う、っていう問題があるのよね。
内積（スカラー積）と外積（ベクトル積）という
概念上の差があるのは分かるんだけど、
プログラマの頭にあるのは、「一次元配列と
二次元配列の積っていうのは、どうイメージしたらいいのか？」
っていう話なのよ。
{x, y, z}・{x', y', z'} ＝ x*x' + y*y' + z*z'
みたいな頭があるんで、「縦ベクトルと横ベクトル」みたいな
イメージとかとは、ちょっと違う頭で考えてんですよね。

**Maria** · 2018/09/22(土) 19:32:41.02

>>239 による批判があったので、真面目にお応えしたいと思います。

とりあえず、
v_{p, q} ＝ { (q^2 - p^2) / 2, p * q, (p^2 + q^2) / 2 }
（p, q は、互いに素な奇数。ただし 0 < p < q）
と、
w_{m, n} ＝ { n^2 - m^2, m * n, m^2 + n^2}
（m, n は、偶奇が異なる互いに素な自然数であり、0 < m < n）
というところから始めましょう。
このあたり、ツッコミがございましたら歓迎いたします m(_ _)m

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/22(土) 19:49:07.38

早々にごめんなさい m(_ _)m

v_(p, q) ＝ { (q^2 - p^2) / 2, p * q, (p^2 + q^2) / 2 }
（p, q は、互いに素な奇数。ただし 0 < p < q）
と、
w_(m, n) ＝ { n^2 - m^2, m * n, m^2 + n^2}
ですね。

で、
v_(1, 3) = {4, 3, 5}
かつ
w_(1, 2) = {3, 4, 5}
であり、
「ピタゴラス数について、偶数項=偶数項、（最大ではない）
奇数項＝奇数項、斜辺（あるいは対角線）項 = 斜辺項」あるいは
任意の自然数 n について「偶数項=偶数項 × n、奇数項＝奇数項 ×、
斜辺項 = 斜辺項 × n」が成り立つときに、合同（≡）であるとする。

したがって、
v_(1, 3) ≡ w_(1, 2) ≡ {4, 3, 5} ≡ {3, 4, 5} ≡ {45. 60, 90}
である。

**Maria** · 2018/09/22(土) 19:54:38.80

プログラマ的にいうと、
「a ≡ b」は、「equals(a, b) == true」であり、
「{3, 4, 5} = {4, 3, 5}」は、
「({3, 4, 5} == {4, 3, 5}) != true」だということです。

**Mr.Moto** · 2018/09/22(土) 21:13:52.56

選手交代。
で、ここからが面白いんだ。
１）v_{p, q} ＝ { (q^2 - p^2) / 2, p * q, (p^2 + q^2) / 2 }
（p, q は、互いに素な奇数。ただし 0 < p < q）
２）w_{m, n} ＝ { n^2 - m^2, m * n, m^2 + n^2}
（m, n は、偶奇が異なる互いに素な自然数であり、0 < m < n）
という関数の、逆関数を考えよう。
{x, y, z} が原始ピタゴラス数だったら、(p, q) も (m, n) も
一意に（自然数として）求まるんだが、
{x, y, z} が「原始ピタゴラス数ではない、一般のピタゴラス数」
である場合、(p, q) や (m, n) は、自然数に落ちない！！！

これは、一度自分で計算して確かめてみることをお奨めする。

つまり、V_(p, q) および W_(m, n) を（「引数が自然数である」
という条件を保ったまま）「原始ピタゴラス数ではない、
一般のピタゴラス数」に拡張しようと思うと、引数を一個増やさないと
いけない。つまり、V_(s, p, q) または W_(s, m, n) で表さないと
いけない。
これが、プリンプトン３２２の１１番と１５番が “原始” ピタゴラス数に
なっていない理由につながっていたりする。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/23(日) 02:18:55.23

おそらく、>>127　に大きな勘違いがあるのが見えます。

>> 脱帽します。私は、Barning と Hall の業績を知ったうえで、
>> その逆問題（任意の原始ピタゴラス数を、{3, 4, 5}と
>> U, D, A の積で表すアルゴリズムを求める）が未解決
>> だというのを知り、それを連分数によって解決してから、
>> 図形的な解法を思いつきました。

とありますが、「任意の原始ピタゴラス数を、{3,4,5}とU,D,Aの積で表すアルゴリズムを求める問題」
は簡単に解決しています。「解決」と書きましたが、問題設定と同時に解かれるような問題で、
「解決」という言葉は、不適当と感じるような内容です。
私の一番最初の投稿 >>119 のプログラムの中に、原始ピタゴラス数を与えると、「番号」を返す
関数がありますが、それが、具体的な手順を与えるプログラムになります。
UDAが書かれていないじゃないかというかもしれませんが、「番号」にその情報が詰め込まれています。
番号は三分木構造の住所を表す指標となっています。住所が分かれば、(3,4,5)と、どのような経路を経て
あるいは、長男、次男、三男の誰を通して、あるいは、U,D,Aのどれを適用して、その原始ピタゴラス数
と繋がっているか、一意に決定されます。具体的な手法は　>>208　に記してあります。

「逆問題」が、ここで書かれている内容であれば、未解決であるはずがありません。そう仰っていた方が間違っている
のかもしれませんし、未解決としている部分を勘違いされているかもしれません。整理を望みます。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/23(日) 08:52:50.57

>>119は　a^2+b^=c^2下での恒等式　(-a-2b+2c)^2 + (-2a-b+2c)^2 = (-2a-2b+3c)^2を利用した
原始ピタゴラス数に関する各種プログラムでしたが、今回は

p/q　→　p/(2p+q) , q/(-p+2q) , q/(p+2q)

という変換が、有理数生成法として完全系であることを利用したプログラムとなっています。
多くの場面で前回のものを流用し、サンプルなどは同じ物を使っていますが、エンジンは別物です。
前回のエンジンは、事実上UDA行列の利用と同じで、原始ピタゴラス数の三数を媒介しているのですが、
今回媒介しているのは、有理数p/qで、整数二つです。

http://codepad.org/W400rZjo

4種類の内容をまとめて走らせています。
・p,qを小さい方から変化させ、pq値、ピタゴラス数、番号を表示
・番号順にpq値、ピタゴラス数を表示
・与えられたピタゴラス数に対し、pq値、番号を表示
・与えられた番号に対し、pq値、ピタゴラス数を表示

手抜き感満載なのはご了承ください。

**Mr.Moto** · 2018/09/23(日) 09:28:41.44

>>248
任意の原始ピタゴラス数があったとして、
それに U^(-1) ・ A^(-1) ・ D^(-1) をそれぞれ
掛けて、そのうち意味のあるものが「親」にあたるので、
e に到達するまでその操作を繰り返せばいい。
そういう意味では、そもそも「逆問題」というものは
存在しない、とも言えます。
で、細矢治夫先生が、『トポロジカル・インデックス』の中で、
Barning=Hall の定理の「大きな泣き所」としているのが、
この「試行錯誤が必要」という点でした。
「試行錯誤ではなく、アルゴリズムの形で、ストレートに解けないか？」
という問題意識があり、「そういう方法があるはずだ」という予想が
ありました。ところが、「行列」という視点で問題に取り組むと
なかなか面倒臭いことになる。
それを、「互いに素であり、相異なる自然数の組」からなる
空間に移動し、そこから {1, 2} あるいは {1, 3} へ移動する
ルートを探すという方法だと、「大きい方から小さい方を二回
引いて、絶対値を取る」だけでルートが見つかってしまう。
で、「大きい方から小さい方を引く」という操作は、「ユークリッドの
アルゴリズム」として知られているものです。現在は「互除法」と
呼ばれ、「大きい方を小さい方で割った余りを求める」と捉えられて
いますが、ユークリッド自身の記述によれば、「互減法」とも
いうべきものです。
ですから、「未解決問題を解いた」というより、「素朴な証明を
提出した」くらいの話になるでしょうか。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/23(日) 09:44:11.88

試行錯誤は必要ありません。

>>119の三つ目のプログラムをご覧ください。
q[0]=- p[0]-2*p[1]+2*p[2];
q[1]=-2*p[0]- p[1]+2*p[2];
q[2]=-2*p[0]-2*p[1]+3*p[2];
if(q[0]<0){
q[0]=-q[0];
if(q[1]<0){q[1]=-q[1];r=1;}else{r=-1;}
}else{
if(q[1]<0){q[1]=-q[1];r=0;}else{return 0;}
}
return 3*g(q)+r;
と書きました。q[0]の正負、q[1]の正負で、rの値を　-1,0,1　と変化させています。
これが将に、長男、次男、三男の見極めなんです。

これは、(-a-2b+2c)^2 + (-2a-b+2c)^2 = (-2a-2b+3c)^2　を利用して新しい
ピタゴラス数を生成させる際、a→-a　という置き換えを使ったか、
b→-bを使ったか、両方の符号反転を使ったかに対応します。

**Maria** · 2018/09/23(日) 09:44:51.49

>>250
で、ここに至る過程で、「 q / p を連分数展開したらどうなるか？」と
思いついて、「U・D・A というのは、そのときのどういう操作に
対応しているのか？」を考えて、そこに 2 が出てくるということに
気づきました。奇数＋偶数＝奇数、偶数＋偶数＝偶数ですから、
「互いに素で相異なる二数に対して、『大きいほうから小さい方を二回引く』
という操作を行なっても、『互いに素である』という性質は保存され、
『ともに奇数』『偶奇が異なる』という性質も保存される」という
ことになります。
問題は、q - 2p がマイナスの場合です。このとき、「長方形から
正方形をふたつ取り去ったときに、面積がマイナスになってしまう」
ということになるわけですが、それも図形的に解釈できました。
「じゃあ、その逆操作は？」ということになり、「それは三通りある」
ので、U ・ D ・ A と比較してみると、それぞれが対応していることが
わかりました。
「意外に気づかんもんだなぁ」と思ったんですが、しつこいようですが
プリンプトン３２２は五十年以上未解読で、いろんな人があーだこうと、
みんなそっちへ行っちゃうということは、あるんだなぁ、と。
それで、「こういう面白い話があるんですよ」と、お知らせしようと
思いました。

**Maria** · 2018/09/23(日) 10:00:45.29

プリンプトン３２２は、古代バビロニアの数学粘土板です。
おおむね三千八百年前、ハンムラビ王の治世のころに
作成されました。文書のスタイルとしては、当時の
公文書のスタイルで書かれていて、書かれている文字については、
室井和男先生が解読されています。詳しくは、中村滋『数学の花束』を
どうぞ。読んだことないけど。
で、そこには１５個のピタゴラス数が記されています。

**Maria** · 2018/09/23(日) 10:08:30.72

この１５個の数値に関しては諸説あるんですが、
現時点ではエレノア・ロブソンという人（あたし、
会ったことないけど、この人嫌い）の説です。
「プリンプトン３２２は、初期見習いのための
計算の課題である」というものです。
これとは別のマイナーな説ですが、「これは
三角関数表である」というのがあります。
オットー・ノイゲバウアー先生と室井和男さんが
この説を支持しています。
すなわち、
・三角関数なので、直角三角形（あるいは、単位円上の
有理点）の表である。
・公式としては W_(m, n) を使った。
・範囲としては、４５° から３０° まで。
・だいたい一度ごとに、計算するときに便利な値を
選んだら、この１５個になった。
ということです。けっこう説得力がありますね。

**Maria** · 2018/09/23(日) 10:13:37.33

ところが、W_(m, n) を使って原始ピタゴラス数を
計算すると、うまくこの１５個が出てこないんですよ。
「なんか、これ違うんじゃない？」と思ってよく見ると、
短辺と長辺の比が、1.0 と 1.618 の間に入ってるんですよね。
「これ、三角関数じゃなくて、長方形なんじゃない？」と。
つまり、「正方形と黄金長方形の間にある、縦横と対角線の
長さが、自然数の比で表現できる長方形の表」なんではないかと。
ところが、それにしても m, n の値が半端なのが気に入らない。

**Maria** · 2018/09/23(日) 10:18:19.87

そんでもって、「これは公式が違うんじゃない？」と
思っていろいろ調べているうちに、V_(p, q) の式に
辿り着きました。そこで計算してみると、
まぁ、なんということでしょう。
正方形と黄金長方形の間にある、q < 180 のときの
V_(p, q) で表される１５個の長方形が、プリンプトン
３２２に記されている 15 個の数と、一致するでは
ありませんか！

**Maria** · 2018/09/23(日) 10:24:50.25

ただ、ここで喜ぶのはまだ早い。４５° から３０° というと、
1.0 から √３まで、ということになりますよね？　だったら、
その範囲でも１５個になるかもしれません。で、計算してみたところ、
1.618 と 1.7320508 の間に、一個、解があるではありませんか。
あの連中（もはや古代バビロニア神殿の書記たちは他人ではありません。
心の友です）が、これを見逃すわけがない。やっぱり黄金比だ！

謎はあと二つ。
１）#11 は 15 倍、#15 は 2 倍されていて、原始ピタゴラス数になっていない。
２）粘土板の向かって左端が削られている。
なぜでしょうか？というものです。

**Maria** · 2018/09/23(日) 10:28:40.20

ここから先は、あたしたちの妄想です。
#11 の長辺には、60 という数字が出てきます。で、
60 には、1, 2, 3, 4, 5, 6 が約数として出てきます。
そこで、#15 に着目すると、その面積に
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 が出てくるんです！
うん、キミらはそういうのが好きなんだね？　わかるわかる。

**Maria** · 2018/09/23(日) 10:35:54.74

じゃあ、最後の謎です。
プリンプトン３２２は、最初 1;φ で作られていたんだと思います。
「なんかダサくね？」「そもそも、長すぎて割れやすそうだめ」
「だったら、削っちまっていいんじゃね？　小数点のトコしか
使ってねぇから、無視できるべ」「んだな。」
ということで、1 ： √2 にしちゃたんです。
「ほーら、カッコいいっぺ」「ちょうど、パスポートサイズだなや」
「SONY のハンディカムだなや」「まだ売ってねぇだよ（ｗｗｗｗｗ」
となると、削られてしまった数値の役割はなんでしょう？
そう、「整列キー」だったんですね。
つまり、プリンプトン３２２の正体は、「古代バビロニアの算額」
（あるいは、その試作品）だったんです。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/23(日) 10:45:22.32

>>250
申し訳ありませんが石版については興味が無く、>>251に続く内容になります。

「これこれの行列を使えば、新しいピタゴラス数を作ることができる」という
ことに気づいた人たちの中には、いくつかの原始ピタゴラス数の組み合わせだけで
UDA行列に到達した方々がいるようです。
そのような内容の文献あるいはサイトを見たことがありますから。

確かにそのような経緯でUDA行列に到達したならば、>>251で書いたような事には
気づかなく、試行錯誤が必要と考えるかもしれません。

が、私は、導入部分が、(-a-2b+2c)^2 + (-2a-b+2c)^2 = (-2a-2b+3c)^2　であること。
a単独、b単独、a,b両方の符号反転により生成される恒等式が、UDA行列と同内容になる事等を
>>120等で説明を与えているし、>>119ではプログラムで具体的に示してもいます。
逆変換すれば、負になるものが現れ、それを見極めれば、UDAのどの変換に相当するか
見極められるというのは、全く自明で、「解決」が必要なものに等ならないのです。

あなたは、これらに触れていたはずです。ならば、あなたは「逆問題」など、すでに解決済み
だということに気づくべきだったのではありませんか？
「逆問題」など無い、あるいは、解決済みと言うことでよろしいですね。

**Maria** · 2018/09/23(日) 11:11:52.03

>>260
> 「逆問題」など無い、あるいは、解決済みと言うことでよろしいですね。
そういう解釈で結構だと思います (^_^)
> あなたは、これらに触れていたはずです。ならば、
> あなたは「逆問題」など、すでに解決済みだということに
> 気づくべきだったのではありませんか？
あえて無視した、と解釈していただいても宜しいかと (^_^)
この問題について問題提起をされた細矢先生は、有機化合物の
構造決定と検索の方面で有名な方でして、「図式化による直観的な
把握」というものを重視していらっしゃいました。
現在、高校数学の新課程において行列は教えられていませんので、
これは「大学生以上でないと理解できない」ということになって
しまうんですが、大学の教養課程では「高校数学の復習」以上の
ことはなかなかできない（そもそも、高校数学は受験数学に
偏りがちであり、就職組はそもそも数学なんかやる気がない）ので、
そのあたりは何とかしたい、と思いました。
いわゆる「ベルトラン予想」に対するチェビシェフによる証明は
ガンマ関数を使った高度なものでしたが、のちにポール・エルデーシュが
高校生のときに初等的な証明を与えました。一松信先生は、エルデーシュによる
初等的な証明をさらに解きほぐしたものを発表しました。
大学生のときに「ベルヌイの定理」が理解できなくて悩んでいたのですが、
航空業界から離れてから「なんだ、要するにエネルギー保存則じゃないか」
と気づいたこともあって、「証明はすべからく簡明でありたい」と
思っています m(_ _)m

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/23(日) 12:03:54.49

＞そういう解釈で結構だと思います (^_^)

＞あえて無視した、と解釈していただいても宜しいかと (^_^)

こりゃあダメだな、研究発表の何かがわかってない
「知られている証明の別照明を与えた」と最初からいえば良かったのに
ま、何言ってものらりくらりかわすだけ
Webで書くなら勝手にすればいいが「数学会は俺の研究を評価しない」とか言うなよ

Mb · 2018/09/23(日) 13:17:38.96

×「知られている証明の別照明を与えた」と最初からいえば良かったのに
〇「現在知られている証明とは違う、別証明を与えた」と最初からいえば
良かったかもしれないが、それは後付けの理由になってしまう。
それは「いわゆる “数学者”」に受け入れられないかもしれない、
と後から思ったんだけど、みたいな話を延々としても不毛だと思うんで、
「アイゼンシュタイン三角形」とか、「ヘロンの公式って、
内接円で考えるのはいいんだけど、数論的には別の切り口が
あるんじゃねぇ？」みたいな話に、教育的には
持ってゆきたいんだが。

**Maria** · 2018/09/23(日) 13:34:26.66

>>261
> ま、何言ってものらりくらりかわすだけ
「真向正面から、ぶっ潰す」っていうスタイルがお好みなら、
ちょっと表（しかるべき学会とか）に出ていらっしゃって
下さらない？　お呼びいただけたら参上しますわよん ♡

> Webで書くなら勝手にすればいいが「数学会は俺の研究を
> 評価しない」とか言うなよ
Web には書いてございます（笑）。
（NG ワードに引っかかっちゃったんで、
『プリンプトン３２２ BackLog』でググってください）
数学会はどうかともかく、日本ソフトウェア科学会の自然言語処理の
分科会は、うちらの研究を正しく評価してくださいませんでした
（それで所長が社会的ひきこもりになっちゃったんだよ！）。
このあたり、日本語の形態素解析システムに関する、いろいろ薄らぐらい
話があるんで、自分からは言いませんが、「説明しろ！」というのなら、
いろいろ言っちゃうぞ？
よろしければ、
『日本語処理技術者の憂鬱』
https://medaka.5ch.net/test/read.cgi/prog/1537503146/
へどうぞ。

Mb · 2018/09/23(日) 14:00:44.52

>>260
> 石版については興味が無く
キリスト原理主義者の前でそれ言うと、
殺されかねないから用心したほうがいい。
「十戒」を記したのもタブレットだし、
「陶板」も「粘土板」もタブレットだ。

「かれこれ四千年前から、数学というものが
存在し、それが現在に至るまで連綿として続いている」
ということに対する敬意は、表明しておいたほうがいいぞ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/23(日) 14:13:51.49

天下り的にUDA行列を与えられ、これらをピタゴラス数に掛けていけば、
いくらでもピタゴラス数ができるよと教わっただけの人に対し、
てきとうな原始ピタゴラス数を示して、これが最後に掛けられたのが、U行列なのか、
D行列なのか、A行列なのかの見極めろと問えば、窮するのも仕方ないかもしれない。

その時、ピタゴラス数を、pq変換し、q<2pなのか、2p<q<3pなのか、3p<qなのかで
判断可能だというのは、立派な視点を与えたと思います。
（それぞれ、正方形二つを除いたとき、面積が負、長短辺入替、長短辺維持に対応）

しかし、UDA行列の実態は、(-a-2b+2c)^2 + (-2a-b+2c)^2 = (-2a-2b+3c)^2　の
符号反転変換だと知っている人に取ってみれば、全く自明な問いで、なぜ、困ってるの？
というレベルの問いなのです。

兎に角、解決したということで、一安心です。
それよりも、1/2、および、1/3　からスタートする有理数変換、
p/q　→　p/(2p+q) , q/(-p+2q) , q/(p+2q)
が、有理数生成法として、完全系（重複することなく、全てを表現可能）を成している
という事は私にとっては新鮮でした。
よく考えれば、全ての原始ピタゴラス数が三分木構造に埋め込まれているということの
焼き直しに過ぎないのですが、面白い知識を得た気がしてます。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/23(日) 14:35:43.75

>>265
申し訳ありませんが、私が>>260にて「石版」と書いたのは、
>>252　の後半から　>>259まで続く　一連の　プリンプトン322　のお話です。
石版ではなく、粘土板だったようです。申し訳ありません。
しかし、あるいは、だからといって、意図的な曲解や、脱線はおやめください。

**Maria** · 2018/09/23(日) 15:06:55.21

>>267
べつに、お気になさらずに。
いわゆる「十字架」も、本来は「スタウロス（杭）」
でして、「『十字架』という訳語は間違いだ！」という
意見もあります。
英語では、「ステーク」て、競馬のレースで「ステークス」と
いうのは、そこに由来しています。
むしろ、四千年以上の昔から「タブレット」として
利用されていたものが、現代においてスマートフォンとして
実現され利用されていることを、寿（ことほ）ぎたいと
思います。

つーワケで、スマホはパスポートサイズにしてくんねぇかなぁ？
と思うんだけど、どうかね。
あと、いわゆるタブレットは、A4 サイズとか B5 サイズあたりに
してくれるといいと思うんだけど、じゃあ、縦横のドット数は
（当然、自然数だわな？）どうすんのよ、っていう話はあると思うん
だけど、「じゃあ、あんたはどう思うのよ」っていう話は、この
スレの話題として、あっていいと思う。
B4 サイズのタブレットって、正直しんどいと思うんだけど、
キーボードやマウスと WiFi でつながってりゃいいのかなぁ？
と思うと、他の人の意見も聞きたいと思う。

**Mr.Moto** · 2018/09/23(日) 15:20:02.14

古代バビロンの粘土板、YBC7289 に√２の値が詳しく
記されていた、っていう話はあるんだが、
それを具体的にどうやって計算したのか、っていう話は
とりあえず現代において解明されていないんだよ。
古代バビロニアでは、「開平法」というものが、おそらく
知られていなかったらしくて、現在「バビロニアの開平法」と
呼ばれているものは、「割り算を行なって、除数と商の平均値を
求める」の繰り返しだと云われている。
「いや、『あらゆる数の平方根』を求めるアルゴリズムは
知られていなかったけど、白銀比とか黄金比については、連分数
との関連で、知られていたんじゃねーの？」と、おれらは考えている。
そのあたり、「どう思う？」っていうのは、いろんな人の意見を
聞いてみたいと思う。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/24(月) 20:51:46.14

唐突だが、√３の連分数展開って、どうなるんだ？
プリンプトン３２２の上限値が√３だったとしたら、
連分数できれいに表されるはずだと思うんだが。

**Mr.Moto** · 2018/09/27(木) 10:16:23.84

スレ違いではあるが、ピタゴラス数関連ということで
ご容赦願いたい。
プリンプトン３２２の計算を、コンピュータで
やりなおした結果がこれ。
0 < p < q < 180
長辺 / 短辺の比 AR は、1 < AR < φ。

1 : (p = 7, q = 17) {119, 120, 169}:1.9834027
2 : (p = 37, q = 91) {3367, 3456, 4825}:1.9491584
3 : (p = 43, q = 107) {4601, 4800, 6649}:1.9188021
4 : (p = 71, q = 179) {12709, 13500, 18541}:1.8862479
5 : (p = 5, q = 13) {65, 72, 97}:1.8150077
6 : (p = 11, q = 29) {319, 360, 481}:1.7851928
7 : (p = 29, q = 79) {2291, 2700, 3541}:1.7199837
8 : (p = 17, q = 47) {799, 960, 1249}:1.6927094
9 : (p = 13, q = 37) {481, 600, 769}:1.6426694
10 : (p = 41, q = 121) {4961, 6480, 8161}:1.5861225
11 : (p = 1, q = 3) {3, 4, 5}:1.5625
12 : (p = 23, q = 73) {1679, 2400, 2929}:1.4894168
13 : (p = 7, q = 23) {161, 240, 289}:1.4500173
14 : (p = 23, q = 77) {1771, 2700, 3229}:1.4302388
15 : (p = 5, q = 9) {28, 45, 53}:1.3871605

**Mr.Moto** · 2018/09/27(木) 10:22:54.56

同じことを別の式で計算すると、
こうなる。
0 < m < n < 180
長辺 / 短辺の比 AR は、1 < AR < √3。

1 : (m = 5, n = 12) {119, 120, 85}:0.5017361
2 : (m = 27, n = 64) {3367, 3456, 2457}:0.5054321
3 : (m = 32, n = 75) {4601, 4800, 3424}:0.50884444
4 : (m = 54, n = 125) {12709, 13500, 9666}:0.512656
5 : (m = 4, n = 9) {65, 72, 52}:0.52160496
6 : (m = 9, n = 20) {319, 360, 261}:0.525625
7 : (m = 25, n = 54) {2291, 2700, 1975}:0.5350652
8 : (m = 15, n = 32) {799, 960, 705}:0.53930664
9 : (m = 64, n = 135) {14129, 17280, 12736}:0.5432236
10 : (m = 12, n = 25) {481, 600, 444}:0.5476
11 : (m = 40, n = 81) {4961, 6480, 4840}:0.5578799
12 : (m = 1, n = 2) {3, 4, 3}:0.5625
13 : (m = 81, n = 160) {19039, 25920, 19521}:0.56719726
14 : (m = 64, n = 125) {11529, 16000, 12096}:0.571536
15 : (m = 25, n = 48) {1679, 2400, 1825}:0.5782335
16 : (m = 8, n = 15) {161, 240, 184}:0.5877778
17 : (m = 27, n = 50) {1771, 2700, 2079}:0.5929
18 : (m = 2, n = 7) {28, 45, 18}:0.16
19 : (m = 9, n = 16) {175, 288, 225}:0.61035156
20 : (m = 72, n = 125) {10441, 18000, 14184}:0.620944

あぁ、すっきりした。んじゃ。
……と思ったら、最後の比のところが違ってるな。まあいいか。
このスレの住民なら、意味するところはわかるだろ。
そのうち気が向いたら、プログラム直してまた書いとくし。

**Mr.Moto** · 2018/09/27(木) 10:38:12.95

>>272
こっちが正確な値です。どーも失礼いたしましたー

1 : (m = 5, n = 12) {119, 120, 169}:1.9834027
2 : (m = 27, n = 64) {3367, 3456, 4825}:1.9491584
3 : (m = 32, n = 75) {4601, 4800, 6649}:1.9188021
4 : (m = 54, n = 125) {12709, 13500, 18541}:1.8862479
5 : (m = 4, n = 9) {65, 72, 97}:1.8150077
6 : (m = 9, n = 20) {319, 360, 481}:1.7851928
7 : (m = 25, n = 54) {2291, 2700, 3541}:1.7199837
8 : (m = 15, n = 32) {799, 960, 1249}:1.6927094
9 : (m = 64, n = 135) {14129, 17280, 22321}:1.6685523
10 : (m = 12, n = 25) {481, 600, 769}:1.6426694
11 : (m = 40, n = 81) {4961, 6480, 8161}:1.5861225
12 : (m = 1, n = 2) {3, 4, 5}:1.5625
13 : (m = 81, n = 160) {19039, 25920, 32161}:1.5395334
14 : (m = 64, n = 125) {11529, 16000, 19721}:1.5192103
15 : (m = 25, n = 48) {1679, 2400, 2929}:1.4894168
16 : (m = 8, n = 15) {161, 240, 289}:1.4500173
17 : (m = 27, n = 50) {1771, 2700, 3229}:1.4302388
18 : (m = 2, n = 7) {28, 45, 53}:1.3871605
19 : (m = 9, n = 16) {175, 288, 337}:1.369225
20 : (m = 72, n = 125) {10441, 18000, 20809}:1.3364645

**Mr.Moto** · 2018/09/27(木) 15:48:05.56

このスレの >>116 以降にチョッカイを出していたのだが、
いちおう >>273 までで役割は果たしたと思う
（>>1 も、たぶん >>267 あたりの時点で、やり尽くした感が
あると思う）ので、あと 700 エントリくらいは、適当に埋めちゃう
ことにする。
そんなわけで、次スレに関しては、雑談の一部として
議論してもらって、なんかしらテーマがあったら
別途立てていただきたいと思うが、その点に関しては
「>>1 氏はどう思う？」とお伺いを立てておきたいが、
まぁオレが立てたスレでもないんで、
オレが口を出すような話でもない。

とりあえず、プリンプトン３２２に関しては、いわゆる
ピタゴラス数に関する議論の出発点としての
歴史的な意味があるので、雑談っぽく埋めてゆきたいと
思っている。たぶん連投になっちゃうだろうけど
（質問等に関しては、「流れをぶった切ってしまって申し訳ない」
みたいな配慮はしなくていい。そもそもが「荒らされたんで立て直した」
みたいなスレでもあるし。だよな？ >>1）

つーコトで、よろしく。苦情等があれば（つーか、>>1 氏に
してみれば、途中からオレが脱線してるんで、不本意な部分は
あると思うので、そこは言ってもらえるとありがたい）、
適宜書き込んでほしい。

Mb · 2018/09/27(木) 15:53:51.53

とりあえず、
ID:6r9Vk7wm 氏と
ID:Z3ZHtaSh 氏には、
非常に感謝している。
ありがとう m(_ _)m

学術 · 2018/09/27(木) 19:14:00.42

これ面白いね。計算が間違う方が面白いんじゃないの、数学の癖というモノが
反比例の高次関数だから。

学術 · 2018/09/27(木) 19:17:30.88

左利きの数学者のつぶれ方って面白いよ。数字は右利き用だから、迫害され、
才気も届くことはない。

**Mr.Moto** · 2018/09/27(木) 19:39:51.31

ところで、>>271 の件なんだが、
> 11 : (p = 1, q = 3) {3, 4, 5}:1.5625
つーのは、倍率を M として、
「11 : (p = 1, q = 3:m = 1, n = 2:M=15) {45, 60, 75}:
[(対角線の二乗 / 長辺の二乗)の六〇進数による表記](≒1.5625):
[長辺 / 短辺の比の値（この場合は ≒1.33）];
みたいに表しときゃいいのかね？
「授業で使うんなら、そっちの方が便利」っちゅー気がするんだが。

式としちゃあ、V_(p, q) と W_(m, n) でいいとは思うんだが、
エウクレイデスとプラーマグプタだと思うと、
E(p, q) と P(m, n) というのが粋っちゃあ粋だと思うんだが。

**Mr.Moto** · 2018/09/27(木) 19:49:42.37

>>202
申し訳ない。
> 互いに素な奇数 0 ＜ s ＜ t を用いて
はちゃんと読んでいるんだが、
いろいろ試行錯誤する過程で
なんとなく p と q を使っていたので、
>>278 では、それを踏襲しただけだ。
「尊重しない」といった意味合いはないので、
気に障られたら勘弁していただきたい m(_ _)m

Mb · 2018/09/27(木) 19:53:36.72

>>277
> 左利きの数学者のつぶれ方
久留島喜内 (wwwww

**Mr.Moto** · 2018/09/27(木) 20:42:21.09

てなワケで、
１）E(p, q) ＝ { (q^2 - p^2) / 2, p * q, (p^2 + q^2) / 2 }
（p, q は、互いに素な奇数。ただし 0 < p < q）
２）P(m, n) ＝ { n^2 - m^2, 2 * m * n, m^2 + n^2}
（m, n は、偶奇が異なる互いに素な自然数であり、0 < m < n）
という話になるのだが、困ったことに、こう定義すると、
E(p, q) ＝ {偶数項, 奇数項, 斜辺(=対角線。奇数)}
P(m, n) ＝ {奇数項, 偶数項, 斜辺(=対角線。奇数)}
という、いやらしいコトになる。古代メソポタミア的な
気分でいうと、
{短辺, 長辺, 対角線}
みたいな形にまとめたい気がするのだが、そうなると
{p, q} および {m, n} について「どういう条件で
『偶数辺 < 奇数辺』あるいは『奇数辺 < 偶数辺』が
成り立つか」っていう話になるので、これがまた
そこそこ面倒臭い（つーか、高校生でも解るような
簡単な話なんだが）コトになるので、これはこれで
授業に使えるネタではあると思う。

**Maria** · 2018/09/28(金) 08:41:52.32

うちのマヌケでズボラな同僚が、いろいろと
お騒がせして申し訳ございません m(_ _)m
プリンプトン３２２の範囲が「４５°から３０°の
間」（1 < AR < √3）なのか「1 < AR < φ」なのかに
ついては {175, 288, 337} という反例が出たのでいいとして、
使われた公式が P(m, n) なのか E(p, q) なのかに
ついては決着がついていませんでした。
ところが、>>273 の #14 をごらんください。
{11529, 16000, 19721} という値があって、これは、
(m = 64, n = 125) に相当します。となると、「0 < n < 125」
という条件を考えると、#13 と #14 が消えて、プリンプトン３２２の
表の値に近づきます。ですが、それをやってしまうと、#4 の
{12709, 13500, 18541} (m = 15, n = 125) も落ちてしまい、
「プリンプトン３２２は、１４行でなければならない」ことに
なってしまいます。
以上、結果報告でございました。

**Mr.Moto** · 2018/09/28(金) 08:52:32.76

>>282
うっかり「久留島喜内」でググッたら、
「オイラーの φ 関数」とかいう
「互いに素な自然数の個数」みたいなのに
引っかかってびっくりした。

**Maria** · 2018/09/28(金) 12:30:52.32

>>288
おまえ煩（うるさ）いんだよ。
「左利き」に「酒呑み」っていう意味があって、
久留島喜内が「日本三大算法家」の一人で、
酒好きで、詰将棋作家として有名とか、
そのあたりは丁寧にコメしとけよっ！
うちの評判を落とすじゃないかっ！

ただでさえ他スレで評判落としてるんだからほんとにもぅ …