「どの同値条件を定義にするか」に拘るのが無駄ってことでしょ

「一度くらい学んでおく」のにもわざわざ定義として採用する必要はない
特に完備性(=コーシー列の収束)なんて殆どの本でεδと同値であることが明記されてると思うよ