2018年4月号

■出題１

〔シューア不等式〕の拡張版
　p,q,r≧0 かつ (a,b,c) と (p,q,r) が同順または逆順のとき
　F(a,b,c) = p(a-b)(a-c) + q(b-c)(b-a) + r(c-a)(c-b) ≧ 0
をまづ示しましょう。
　bとqがそれぞれ中間にあるとして、p-q+r≧0, (a-b)(b-c)≧0,
　F(a,b,c) = p(a-b)^2 + (p-q+r)(a-b)(b-c) + r(b-c)^2 ≧ 0,

(1)
　(a+b+c) f(a,b,c；2) = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b) ≧ 0,
　t≦2　⇒　f(a,b,c；t) ≧ 0,
　t>2 に対して f(a,b,c；t) < 0 となるような (a,b,c) の例を探す。

(2)
(a,b,c)∈△ のとき
　(a+b+c) f(a,b,c；3) = -(b+c-a)(a-b)(a-c) -(c+a-b)(b-c)(b-a) -(a+b-c)(c-a)(c-b) ≦ 0,
　t≧3　⇒　f(a,b,c；t) ≦ 0,
　0<t<3 に対して f(a,b,c；t) >0 となるような (a,b,c)∈△ の例を探す。

(3)
　t_3 = (t_1 + t_2)/2 = 5/2,
　(a+b+c) f(a,b,c；5/2) = (2a-b-c)(2b-c-a)(2c-a-b)/2 = 0,
　∴ (a,b,c) は等間隔に並ぶ。
　これは (a,b,c) = (1,3,5) のような、△をなさない例も含む。