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有理数であることも無理数であることも証明できない実数 [無断転載禁止]©2ch.net
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0001１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/03/26(土) 20:15:39.13ID:qZN8Npts
真であることも偽であることも証明不可能な命題は確かに存在し、具体的に構成可能である。
では、有理数であることも無理数であることも証明不能な実数は存在するか？　また、具体的に構成可能か。
存在しないとすれば、そのことを示せるか。
0068１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/09/21(水) 18:02:30.75ID:gokoLlcn
>>1
> では、有理数であることも無理数であることも証明不能な実数は存在するか？

これは無数に存在する

というよりもほとんどすべての実数は有理数とも無理数とも証明できず
いずれかであると証明できる実数のルベーグ測度はゼロである

より分かりやすい言い方をすると、それが有理数であることか無理数であることの何れかを証明できる実数全てを
集めた集合の濃度は全ての自然数（あるいは全ての有理数でも同じ）の成す集合の濃度に等しい

その理由は数学を形式化（記号化）して考えると、何らかの形式的体系での証明は、その形式的体系が
枚挙可能な可算個の記号に基づき公理すべての成す集合が再帰的である
（つまりその体系での論理式が与えられた時その論理式が公理か否かは機械的に判定可能ということ）限りは、
その形式的体系でのありとあらゆる証明（の各々はゲーデル数化の方法で各々固有の自然数に対応する）の成す集合は
全自然数の集合の部分集合に対応し、従ってその全証明の集合は可算無限個の濃度しかないからだ
0069１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/09/21(水) 18:11:53.37ID:LiW+0kGY
それは正しいが求めるものではないと思う。
計算可能な実数ではあるけど、有理数とも無理数とも証明できないような実数はあるか
というのが>>1の期待してる答えだろう
0073１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/09/21(水) 20:45:07.70ID:LiW+0kGY
例えば自然対数のeは無理数だけど
数列(Σ_{k=1}^n 1/k!)_{n∈N}の極限として表せるじゃん
計算可能な有理数の極限として表せる実数が>>1の考える例だろう．（後で調べて分かったけど極限計算可能実数というらしい）

平たく言えば，小数展開した時に任意桁まで表示可能な実数が求められてる例だと思う．
例えばe+πは時間さえかければどの桁までも表示できるよね．
0088１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/10/01(土) 20:28:44.70ID:RryPavju
R：実数全体
Q：有理数全体
とする
このときQはRの部分集合であることを量化であらわすと

∀x?Q　⇒　∀x?R

数学と論理学がいつも喧嘩をするのは

Q　⇒　R

というとき(¬Q)∨Rと定める部分だ
また対偶より

(Q　⇒　R) ⇔　(¬R　⇒　¬Q)

という
それでは論理学のいう定義に従って数を考えてみたい
QがRの部分集合であることをまず具体的な要素は考えない場合をみる
対偶の同値性より

(¬R　⇒　¬Q)　
def.⇔　(¬(¬R))∨(¬Q)
⇒　　　R∨(¬Q)　　二重否定律
⇒　　　R∪(¬Q)　　集合算の定義

一方
(Q　⇒　R)は定義より(¬Q)∨R　⇒　R∪(¬Q)　可換律
たしかに
　　　
R∪(¬Q)から元をとることが保証されている
さて実数全体と有理数全体でないものの和集合とは何だろうか
(¬Q)：=複素数全体CのときR⊆CよりR∪(¬Q)=C
(¬Q)：=Rのとき　 　　　　　　　　　　　R∪(¬Q)=R
また整数全体Zに対して
Z　⇒　Q　と書けるとき

¬Q　⇒　¬Z

であるから
(¬Q)：=Zと置くことはできない(置いた場合は空集合)
(¬Q)：=自然数全体N　のときN⊆RよりR∪(¬Q)=R
したがって

(Q　⇒　R)　　⇒　　(R∨C)∨(空集合)

が導出された
0089１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/10/01(土) 20:37:36.99ID:RryPavju
ここから数学として言えることは

N⊆Z⊆Q⊆R⊆C

という数体系に従う限り
部分集合について論理学に云う量化

∀x?Q　⇒　∀x?R

あるいはその対偶

∃x?R　⇒　∃x?Q

という記法は採用できない
また対偶や背理法を用いることも危険であることがわかる
空集合はすべての集合の部分集合であることの証明方法
すなわち偽の命題から導出された結論は論証として真である
を用いて数学を行うとすればある部分集合を扱うとき
すべて空集合の元で考えていることになる
それゆえにある数学者は空でないと予め宣言をする
それでは部分集合とは何だろうか
数学はすべてを構成しているわけではない
それが理解できれば部分集合が点のように思えるだろう
0090１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/10/01(土) 21:51:41.12ID:GPWnCHI5
＞このときQはRの部分集合であることを量化であらわすと
＞∀x?Q　⇒　∀x?R

いきなり間違ってる
0092１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/06/21(水) 18:05:28.97ID:li9YiQr4
統計
422 43 ￥ ◆2VB8wsVUoo
233 25 ￥ ◆2VB8wsVUoo ,　猫 ◆2VB8wsVUoo
244 30 ￥ ◆2VB8wsVUoo
123 12 ￥ ◆2VB8wsVUoo
231 18 ￥ ◆2VB8wsVUoo
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垢版 |
2017/06/21(水) 18:30:14.21ID:cGYdNhEa
★★★数学徒は論理的な考察により客観的に暮らし、日頃から深い学術を志すべき。★★★

￥
0103１３２人目の素数さん
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2018/08/05(日) 12:30:29.80ID:txWpcULJ
全てルベーグ可測な公理系でやるとどうなるのかは知らん
0105１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/07(月) 03:07:07.72ID:Bh/Ybtbb
実数体Rを適当に「切断」するものはすべて実数と認める。　…　デデキント
　↓
簡単にビザが取れるので、身元不明の難民が押し寄せる。（たとえばドイツ）
　↓
ビザ発給の条件として、有理数・代数的無理数・超越数の区別を書く欄を設けてはどう？
0106１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/04/21(日) 19:47:39.40ID:GNmvaUw0
家庭教師のトライが新しい数学を創造する。「無理数はルートとπ、有理数はルートとπ以外」


nagata＠数学垢@kamere112
これ、YouTubeにある無料授業動画の1シーンだけど、有理数と無理数の説明ガバガバじゃね？
https://i.imgur.com/WR0wZ6G.png
3,064リツイート
7,914いいね

nagata＠数学垢
トライかなんかの無料動画ですね。あそこまで堂々とcmとか流してる塾がこんなガバガバな授業をするのは流石に、、

平田朋義@tomo3141592653
無理数を無理矢理作った数と説明するトライの講師、ピタゴラス派の残党なのでは。

ヘルパー竹@merazoma25252
最近話題になってるトライの有理数と無理数の動画を見てたら急に再生止まって動画削除された
https://i.imgur.com/SylD7RP.jpg

すーぱーぜっき@superZ_th
√でもπでもないため、有理数である。
https://i.imgur.com/nfsp27p.jpg

ソース
https://twitter.com/kamere112/status/1117796154408783872
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)
0107１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/09/10(木) 22:59:37.01ID:jjbbY3Vn
具体的に構成可能
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