0001１３２人目の素数さん
2016/03/08(火) 02:34:20.88ID:XujHaeyU座標平面上の原点O、A_0(-1,0)、A_1(-1,1)を結んだ二等辺直角三角形OA_0A_1がある
以上を「1回目の操作」と定義する。
次に、以下の1、2の一連の操作を「n回目の操作」と定義する。
1、線分OA_(n-1)に垂直かつ点A_(n-1)を端とする長さ1の線分A_(n-1)A_nを描く。
なお、この時のA_nのx座標は
閉区間A_(n-2)、A_(n-1)中に存在しないものとする。
2、A_nとOを結び、
直角三角形OA_(n-1)A_nを作成する。
以上の操作を1、2と交互に繰り返していく。
n回目の操作の時点で
直角三角形OA_(n-1)A_nの斜辺をX_nと表す。
するとX_n=√(n+1)を満たすことが分かる。
（即ち、任意の自然数の平方根は作図可能）
次に、∠A_(n-1)OA_n=θ_nを考えよう。
余弦定理を用いてCos(θ_n)は比較的簡単に、
Cos(θ_n)=[(X_n)^2+{(X_(n-1)}^2-1]/[2*(X_n)*{X_(n-1)}] と表現される。
∴X_nの式を用いて
Cos(θ_n)=n/{√n(n+1)}=√(n^2+n)/(n+1)
lim[n→∞]{Cos(θ_n)}=1 なのは当然で、
以上からθ_nは0に収束する。
さて、問題である。
線分A_(n-1)A_nをx軸と交わるように延長したならば、x軸と成す角をφ_nと表す。
どのような挙動をするだろうか。
