2^xのグラフと3^xのグラフをGRAPEなんかで色を分けて書いてみる。
次に2^x(ln2)と3^x(ln3)のグラフを線種を破線なんかにして色を対応させて書いてみる。

破線のグラフはそれぞれ微分した値をプロットしたものになっているんだけれど、
2^x(ln2)のグラフは2^xよりも下の値を取っていることが観測できる。
一方、3^x(ln3)のグラフは3^xよりもうえの値を取っていることがわかる。

そうすると、2と3の間に、?^xと?^x(ln?)がバシッと一致する?があるんじゃないか
と想像できる。そいつがeなわけだ。
このとき、e^x=e^x(lne)となるんだけれど、lne=1だから当然つじつまが合っているだろう。

e^xのグラフを書いてみると2^xより3^xに近いところにあることも見える。

ただし、ln?は自然対数